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f ：A B f (1 ) 4 , f ( 2 ) 5 , f ( 3 ) 6
是一个映射， D
f
A ，R
f
{ 4 ,5 ,6 } B
概括起来，构成一个映射必须具备下列三 个基本要素：
( 1 ) 集合 X ，即定义域 D
f
X ； R
f
( 2 ) 集合 Y ，即限制值域的范围：
f ( x 2 ( b a ))
故 f ( x ) 是周期函数，且 2 ( b a ) 是它的一个周期.
3．函数的单调性(monotonicity):
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间 I D ,
如果对于区间
I 上任意两点
x 1 及 x 2 , 当 x 1 x 2时 ,
综上，有:
0 0 . 05 x 40 y 0 . 1 x 105 0 . 15 x 245 0 . 2 x 535 ， ， x 800 800 x 1300
， 1300 x 2800 ， 2800 x 5800 ， x 5800
f ( x ) f ( x ), 则 称 f ( x )为奇函数
y
y f (x)
f (x)
-x
f ( x )
o 奇函数
x
x
2．函数的周期性(periodicity):
设函数 f ( x )的定义域为 D , 如果存在一个不为零的 数 l , 使得对于任一 x D , ( x l ) D .且 f ( x l ) f ( x ) 期函数 , l 称为 f ( x )的周期 .
f ：X Y
将 x 的对应元 y 记作 f ( x ) : x y f ( x )
并称 y 为映射 f 下 x 的像，而 x 称为映射 f 下 y 的 原像(或称为逆像). 集合 X 称为映射 f 的定义域，
记作 D f X ，而 X 的所有元素的像f (x) 的集合
{ y | y Y , y f (x) , x X }
y
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 显然:
x 1 [x] x
y 4 3 2 1 o
-4 -3 -2 -1
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 y D(x) 0 当 x 是有理数时 当 x 是无理数时
Y ；
(3) 对应法则 f : 使每个 确定的 y=f (x) 与之对应. 需要指出的是：
x X ， 有唯一
（1）映射要求元素的像必须是唯一的. （2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.
2.定义二： 设 f 是集合X 到集合Y 的一个映射， 若 f 的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两 个不同元素 x1 ≠x2 ，它们的像 y1 与 y2 也满
f ( x )在 区 间
恒有 ( 1 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ),
则称函数
I上 是 单 调 增 加 的 ;
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数
f ( x )的定义域为
I 上任意两点
D , 区间 I D ,
x 1 及 x 2 , 当 x 1 x 2时 ,
则称函数
f ( x ) 在 X 上有界
.否则称为无界
.
y
y
M
y=f(x) o -M 有界 x
M
x0
X
o -M
X
x
无界
五、小结 思考题
映射、逆映射、复合映射. 1.映射的有关概念：
函数、定义域、值域. 2.函数的有关概念：
3.函数的几种特性：
奇偶性、周期性、单调性、有界性.
思考题
已知 f
( x )是一个奇函数，且满足
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{
y
f ( x ), g ( x )}
f (x)
y min{
y
f ( x ), g ( x )}
f (x)
g( x)
g( x)
o
x
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如 , 2 x 1, f (x) 2 x 1,
当 2800 x 5800 时， y 0 . 05 500 0 . 1 1500 0 . 15 ( x 2800 ) 0 . 15 x 245
当 x 5800 时， y 0 . 05 500 0 . 1 1500 0 . 15 3000 0 . 2 ( x 5800 ) 0 . 2 x 535
f (a x ) f (a x )
,
则 f ( x ) 是不是一个周期函数？若是，请说明 它的一个周期，若不是，请说明理由.
思考题解答
是.
由 f ( a x ) f ( a x ) 可知 ： f ( 2 a x ) f [ a ( a x ) ] f [ a ( a x )] f ( x ) 又因为 f ( x ) 是一个奇函数，
1
四、函数的几种特性
1．函数的奇偶性(parity):
设 D 关于 y 轴对称 , 对于 x D , 有
f ( x ) f ( x )
, 则 称 f ( x )为偶函数
;
y
y f (x)
f ( x )
f (x)
-x
o
x
x
偶函数
设 D 关于原点对称
, 对于 x D , 有 .
2
x (1 x ) 5. 已知函数 f ( x ) x (1 x )
称为映射 f 的值域，记为 R f ( 或 f ( X ) )
例1 设 A={商场中的所有商品 }，B={商场中商 品九月份的销量 }，则
f ：A B x y ( y 是商品 x 九月份的销量
f
)
是一个映射， D
f
A， R
B
例2 设 A={1，2，3 }，B={4，5，6，7 }，则
既是单射，又是满射，存在逆映射
f
1
：B A x y x 3
例4 设 A=[0，π]，B=[－1，1]，则
f ：A B x y cos x
既是单射，又是满射，存在逆映射
f
1
：B A x y arccos x
2.复合映射：
g ： X U1 x u g (x)
y x
2
x 0 x 0
1
y 2x 1
例1
解 当 x 800 时， y 0
当 800 x 1300 时， y 0 . 05 ( x 800 ) 0 . 05 x 40
当 1300 x 2800 时， y 0 . 05 500 0 . 1 ( x 1300 ) 0 . 1 x 105
恒成立 . 则称 f ( x ) 为周
（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
例3 设 函数 y f ( x )， x R 的图形关于直线
x a 与 x b ( a b ) 均对称，证明 y f ( x ) 是周期函数 , 并求其周期 .
解 由 习 题
1 3 5 2 x 1 y 1. 已知A=N， B { , , ,...}，映射x 2 x 1 3 5 7 99 , 则在 f 的作用下，像 的原像是_____ (x A) 101
2. 函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为A，函数
)
W
y
f ( x0 )
因变量
约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取 的一切实数值.
例如， y 1 x
2
D : [ 1 ,1 ] D : ( 1 ,1 )
例如，
y
1 1 x
2
如果自变量在定义 域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有 W y 一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫做多值 函数． o
f ( a x ) f ( a x ), f ( b x ) f ( b x )
f ( x ) f ( a ( x a )) f ( a （ x a ))
f (2a x )
f ( b ( b x 2 a )) f ( b ( b x 2 a ))
为定义在
D 上的函数
y f (x)
, 记为
因变量
自变量
D 称为定义域，记作Df ，即 Df = D . 函数值的全体构成的数集称为值域，记为：
R
f
f ( X ) { y y f ( x ), x D f } .
2.函数的两要素: 定义域与对应法则.
(
x
D
x0
)
对应法则f
(
自变量
例如， x
2
y
( x , y )
x
x
y
2
a
2
是多值函数
D
定义: 点集 C {( x , y ) y f ( x ), x D } 称为
函数 y f ( x )的图形 .
3.几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1
