垂径定理九年级知识点

九年级数学垂径定理知识点数学是一门令我们既爱又恨的学科，而九年级的数学则是更加具有挑战性和深度的一门课程。

在九年级数学中，垂径定理是一个重要的知识点，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活中也有着许多有趣的应用。

在本文中，我们将一起来探索九年级数学中的垂径定理。

首先，我们来了解一下垂径定理的定义和概念。

垂径定理是几何学中的一个基本定理，它指出：“如果两条直线相交于一个点，并且其中一条直线垂直于另一条直线的过程中所产生的垂直线段与交点的距离相等，那么这两条直线是垂线。

”简单来说，垂径定理就是通过一个垂直线段来判断两条直线是否垂直的方法。

举个例子来说明垂径定理的应用。

假设有一个四边形的对角线相交于一个点，我们需要判断对角线是否垂直。

按照垂径定理，我们可以通过在交点处作一条垂直于对角线的线段，并将它延长至相邻的边上。

如果延长后的线段与相邻边的距离相等，那么我们可以断定对角线是垂直的；反之，如果距离不相等，则对角线不是垂直的。

通过这个简单的方法，我们可以快速判断一个四边形的对角线是否垂直。

垂径定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在实际生活中也有许多有趣的应用。

例如，我们在修建房屋时需要确保墙体垂直，这就需要使用垂径定理来检验墙体是否垂直。

另一个应用是在导航系统中，也需要使用垂径定理来计算地球上两点之间的最短距离。

除了应用方面，垂径定理还有着一些有趣的数学性质。

一个有趣的性质是，如果两条直线是垂线，那么它们的斜率乘积为-1。

这个性质是垂径定理的一个重要推论，通过它我们可以更直观地理解垂线的概念。

此外，垂径定理还与其他几何定理有着密切的关系。

例如，垂径定理与直角三角形定理、等腰直角三角形定理以及勾股定理之间有着紧密的联系。

通过运用这些定理，我们可以更好地理解垂径定理的应用，并解决一些复杂的几何问题。

在学习垂径定理时，我们还需要注意一些容易出错的地方。

例如，我们在判断两条直线是否垂直时，不能只通过一个垂直线段的长度是否相等来判断，还需要考虑这个线段是否垂直于另一条直线。

九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。

本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。

一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。

二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。

1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。

我们需要证明AO = BO。

首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。

根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。

又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。

由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。

代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。

通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。

进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。

所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。

因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。

2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。

设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。

直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。

根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。

将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。

简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。

第14讲圆的有关性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论圆内接四边形的性质 知识点1垂径定理①弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的两倍。

②弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ⌒,读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 ACB .小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。

（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

③弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．⑥同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（图一）（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。

垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。

在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。

一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。

根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。

2. 直径的两个垂径互相垂直。

3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。

了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。

二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。

换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。

三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。

下面我们通过具体的例子来进行证明。

假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。

我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。

首先，连接OA和OB。

根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。

同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。

由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。

根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。

因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。

根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。

所以弧度CA等于角CBA的度数。

同理，弧度CB等于角CAB的度数。

既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。

所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。

四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。

例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。

通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。

此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。

九年级圆的垂径定理知识点在九年级的数学学习中，圆的垂径定理是一个非常重要的概念，也是学习圆形的几何性质的关键之一。

在这篇文章中，我们将深入探讨圆的垂径定理的知识点，了解其背后的原理和应用。

一、圆的定义和性质首先，我们需要回顾一下圆的定义和基本性质。

在数学中，圆是由平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合组成。

而这个固定点被称为圆心，半径则是圆心到圆上任意一点的距离。

圆具有很多重要性质，例如任意两点到圆心的距离相等，直径是圆的特殊弦，且它的长度是半径的两倍，而弧则是圆上的一段曲线，它与圆心对应的角叫做圆心角。

二、垂径定理的表述圆的垂径定理是指，如果一个直径和一个弦垂直相交，那么它就是弦的垂径，且它把弦分为两个相等的部分。

或者反过来说，如果一个弦被圆心角所分为两个相等的部分，那么它就与直径垂直相交。

这个定理的表述可能有点晦涩难懂，但是我们可以通过几何图形来直观地理解。

三、垂径定理的证明圆的垂径定理是可以通过简单的几何推导证明的。

假设有一个圆，圆心为O，直径为AB，弦为CD垂直于直径AB于点E。

我们需要证明CE = DE。

首先，连接AC和BD，并假设它们交于点F。

由于CD垂直于AB，所以CDE是一个直角三角形。

而由于圆心角的性质，角COD的度数是弦CD对应的角，即∠COE。

由于COE和COD是同位角，所以它们的度数相等，即∠COE = ∠COD。

而∠COD是一个直角，所以∠COE也是一个直角。

因此，我们可以得出结论，CE与DE相等，即CE = DE，证明了定理。

四、垂径定理的应用垂径定理在实际学习和应用中非常有用。

例如，在解决证明问题时，我们可以利用垂径定理来简化问题和推导证明过程。

此外，垂径定理还与圆的切线有着密切的关系。

当一个直径与一个切线相交时，由于切线与半径垂直，我们可以通过垂径定理得出切线与直径相交的两点的性质。

最后，垂径定理也与三角形的性质相关。

当我们在一个三角形内有一个圆时，利用垂径定理可以推导得出一些重要的三角形性质，如内切圆和外接圆的性质等。

初三数学学科精讲精练--垂径定理【知识点】1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.直线与圆：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的一条弧；（5）平分弦所对的另一条弧.这五者只要具备其中两个，就可以推出另外三个，即“知二推三”.垂径定理是由（1）（2）→（3）（4）（5），推论是由（1）（3）→（2）（4）（5）.由（2）（3）→（1）（4）（5）即垂直平分弦的直线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧，尤其在找三角形的外接圆等作图题中经常运用.【典型例题】1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=8，AE=2，求⊙O的半径．【考点】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=4，∠OEC=90°，设OC=OA=x，则OE=2x−，根据勾股定理得：222+=，CE OE OC即222+−=，x x4(2)解得x=5，所以⊙O的半径为5．2.如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点E，∠AEC=30°，OE：AE=2：3，求弦CD的长．（【考点】此题考查了勾股定理，垂径定理和含30度角的直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AB=10，∴AO=OB=OD=5，∵OE：AE=2：3，∴OE=2cm．∵∠AEC=30°，∴∠OEF=30°，∴OF=OE=1（cm）；∴2226−=，OD OF∵OF⊥CD，∴CD=2DF=463.如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），OD ⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为O，E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．【考点】该题主要考查了垂径定理、三角形的中位线定理、勾股定理及其应用问题；牢固掌握定理是基础，灵活运用解答是关键．【解答】解：（1）∵OD⊥BC，∴BD=DC=1BC=0.5，2由勾股定理得：OD2=OB2﹣BD2，而OB=2，∴15．（2）存在，DE的长度不变．∵∠AOB=90°，OA=OB=2，∴AB2=22+22，∴AB=22∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD=DC，AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=12．24.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．【考点】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，由垂径定理得：BC=1AB=0.3，2在Rt△OBC中，22−OB BCCD=0.5﹣0.4=0.1，此时的水深为0.1米；（2）当水位上升到圆心以下时,水面宽0.8米则，水面上升的高度为：0.3﹣0.2=0.1米；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3=0.7米，综上可得，水面上升的高度为0.1米或0.7米．【练习】1.如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N，若⊙O的半径长度为2，则MN的长为．2.已知：如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠BED=60°，DE=OE=2．求：（1）CD的长；（2）⊙O的半径．3.如图，在半径为23的扇形AOB 中，∠AOB=120°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC=4时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．4.赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约10米，（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O （保留作图痕迹）；（2）如图2，求桥弧AB 所在圆的半径R ．【练习解析】1.解：MN 的长没有变化；理由如下，如图所示，延长PN 交圆于点E ，延长PM 交圆于点F ，连接EF 、OE 、OF ，作OH ⊥EF 于H ． 根据垂径定理，PN=NE ，PM=MF ，∴//MN EF 且12MN EF =， ∵∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，∴∠P=60°，120EOF ∠=︒,∴弦EF 的长为定值，MN 的长也为定值，在Rt △EOH 中，易知∠EOH=60°，∠OEH=30°∵OE=2，∴OH=1 22213−=∴EF=23 ∴132MN EF =， 32.解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于点F ．∴DF=CF ．在△OEF 中，∵∠OFE=90°，∠OEF=60°，OE=2，∴EF=1．∴CF=DF=DE+EF=3．∴CD=6．（2）连接OC ．在△OEF 中，∵∠OFE=90°，∠OEF=60°，OE=2，∴223OE EF −在△OFC 中，∵∠OFC=90°，CF=3，OF=，∴2223OF CF += 3.解：（1）∵OD ⊥BC ，∴122BD BC ==， ∴2222(23)222OD BO BD =−−=（2）存在，DE 是不变的，理由是：如图，连接AB ，过点O 作AB 的垂直平分线，与AB 交于点F ，与弧AB 交于点M ，则OM 平分∠AOB 与弧AB ，∴∠AOF=60°，在Rt △AOF 中，∵60,23AOF OA ∠=︒= ∴33AF =， ∴AB=2AF=6，由垂径定理可知，点D 、E 分别是BC 和CA 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴132DE AB ==． 4.解：（1）如图1所示；（2）连接OA ．如图2．由（1）中的作图可知：△AOD 为直角三角形，D 是AB 的中点，CD=10， ∴AD=12AB=20． ∵CD=10，∴OD=R ﹣10．在Rt △AOD 中，由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，∴R 2=202+（R ﹣10）2．解得：R=25．即桥弧AB 所在圆的半径R 为25米．。

初三总复习知识点总结------圆(1)(2) (3)(4)(4)∵CD=AD=BD ∴ΔABC是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：∵ABCD是圆内接四边形∴∠CDE=∠ABC∠C+∠A=180°6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)圆的切线垂直于经过切点的半径；※(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：(1)∵OC是半径∵OC⊥AB∴AB是切线(2)∵OC是半径∵AB是切线∴OC⊥AB (3)……………7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵PA、PB是切线∴PA=PB∵PO过圆心PABO11．关于两圆的性质定理:(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；(2)如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.(1)(2)几何表达式举例：(1)∵O 1，O 2是圆心∴O 1O 2垂直平分AB (2)∵⊙1、⊙2相切∴O 1、A 、O 2三点一线12．正多边形的有关计算:(1)中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n ；(2)有关计算在RtΔAOC 中进行.公式举例：(1)αn =n 360︒；(2)n1802n ︒=α几何B 级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内(外)、公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.ABO1O2AO1O2αnβnABCDEOa r n nnR3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.三公式：1．有关的计算：(1)圆的周长C=2πR ；(2)弧长L=180Rn π；(3)圆的面积S=πR 2.(4)扇形面积S 扇形=LR 21360R n 2=π；(5)弓形面积S 弓形=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.(如图)2．圆柱与圆锥的侧面展开图：(1)圆柱的侧面积：S 圆柱侧=2πrh ；(r:底面半径；h:圆柱高)(2)圆锥的侧面积：S 圆锥侧=LR 21.(L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径)四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：(其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径)直线与圆相交⇔d ＜r ；直线与圆相切⇔d=r ；直线与圆相离⇔d ＞r.5．圆与圆的位置关系：(其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R≥r)两圆外离⇔d ＞R+r ；两圆外切⇔d=R+r ；两圆相交⇔R-r＜d ＜R+r ；两圆内切⇔d=R-r ；两圆内含⇔d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：。