人教版九年级数学上《垂直于弦的直径》知识全解

人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》一. 教材分析《垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的一部分。

本节课主要内容是让学生掌握垂径定理，理解并证明圆中的一些特殊性质。

通过学习，学生能够运用垂径定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。

但部分学生对圆的性质理解不够深入，对圆中特殊位置关系的判断和证明能力较弱。

因此，在教学过程中，要注重引导学生发现圆中的垂直关系，培养学生动手操作和解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂径定理，学会运用垂径定理解决圆中的问题。

2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高动手操作和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习圆的性质的兴趣，培养学生团队协作和积极参与的精神。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。

2.难点：圆中特殊位置关系的判断和证明。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实物演示、图形展示等手段，引导学生发现圆中的垂直关系。

2.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和探究，培养学生的团队协作能力。

4.讲授法：教师讲解垂径定理及相关性质，引导学生理解和掌握。

六. 教学准备1.准备相关图形和实物，如圆、弦、直径等。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物或图形，展示圆中的垂直关系，引导学生关注垂直于弦的直径。

提问：你们发现了吗？垂直于弦的直径有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的内容，并用多媒体展示垂径定理的证明过程。

让学生理解并掌握垂径定理。

3.操练（10分钟）设计一系列练习题，让学生运用垂径定理解决问题。

教师引导学生思考和探究，解答学生的疑问。

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。

这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。

但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。

2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。

2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。

2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。

4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。

5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。

七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。

八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。

主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。

专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理（知识讲解）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.特别说明：　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.特别说明：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦1．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，点M 在O e 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB ．（1）若16CD =，4BE =，求O e 的直径；（2）若M D Ð=Ð，求D Ð的度数．【答案】（1）20；（2）30°【分析】（1）由CD ＝16，BE ＝4，根据垂径定理得出CE ＝DE ＝8，设⊙O 的半径为r ，则4OE r =-，根据勾股定理即可求得结果；（2）由OM ＝OB 得到∠B ＝∠M ，根据三角形外角性质得∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，则2∠B ＋∠D ＝90°，加上∠B ＝∠D ，所以2∠D ＋∠D ＝90°，然后解方程即可得∠D 的度数．解：（1）∵AB ⊥CD ，CD ＝16，∴CE ＝DE ＝8，设OB r =，又∵BE ＝4，∴4OE r =-∴222(4)8r r =-+，解得：10r =，∴⊙O 的直径是20．（2）∵OM ＝OB ，∴∠B ＝∠M ，∴∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，∵∠DOB ＋∠D ＝90°，∴2∠B ＋∠D ＝90°，∵M DÐ=Ð，∴∠B＝∠D，∴2∠D＋∠D＝90°，∴∠D＝30°；【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．举一反三：e中，弦AB长50mm．求：【变式1】如图，在半径为50mm的OÐ的度数；（1）AOB（2）点O到AB的距离．【答案】（1）60°；（2）【分析】V是等边三角形，从而可得结论；（1）证明AOBAC BC再利用勾股定理可（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解,,得答案.解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB＝50mm，又∵AB＝50mm，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°． （2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，由垂径定理得AC ＝CB ＝12AB ＝25mm ，在Rt △OAC 中OC 2＝OA 2－AC 2＝502－252＝252×3，∴OC mm ），即点O 到AB 的距离是．【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.【变式2】如图，AB 是O e 的直径，E 为O e 上一点，EF AB ^于点F ，连接OE ，//AC OE ，OD AC ^于点D ．若2,4BF EF ==，求线段AC 长．【答案】6【分析】设OE =x ，根据勾股定理求出x ，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD =OF =3，根据垂径定理得到答案．解：设OE =x ，则OF =x -2，由勾股定理得，OE 2=OF 2+EF 2，即x 2=（x -2）2+42，解得，x =5，∴OF =3，∵AC ∥OE ，OD ⊥AC ，∴OD ⊥OE ，∠A =∠EOF ，∵OA =OE ，EF ⊥AB ，∴△ADO ≌△OFE ，∴AD =OF =3，∵OD ⊥AC ，∴AC=2AD=6．【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．类型二、利用垂径定理求进行证明2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD^AB，OE^AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见分析【分析】（1）根据AC^AB，OD^AB，OE^AC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA，由勾股定理可得．(1)证明：∵AC^AB，OD^AB，OE^AC，∴四边形ADOE是矩形，12AD AB=，12AE AC=，又∵AB=AC，∴AD=AE，∴四边形ADOE是正方形．(2)解：如图，连接OA，∵四边形ADOE是正方形，∴112OE AE AC===cm，在Rt△OAE中，由勾股定理可得：OA==，即⊙O cm．【点拨】本题考查圆与正方形，熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质，是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF【分析】根据垂径定理进行解答即可．解：∵E为AB中点，MN过圆心O，∴MN⊥AB，∴∠MEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠MFD＝∠MEB＝90°，即MN⊥CD，∴CF＝DF．【点拨】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．【变式2】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=BD．【分析】过圆心O 作OE ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得到AE=BE ，同理得到CE=DE ，又因为AE-CE=BE-DE ，进而求证出AC=BD ．解：过O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE=DE ，AE=BE ，∴BE-DE=AE-CE.即AC=BD.【点拨】本题考查垂径定理的实际应用．类型三、利用垂径定理推论求圆的半径、弦心距、角度、弦3．如图，∠AOB 按以下步骤作图：①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆弧PQ ，交射线OB 于点D ；②连接CD ，分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径作弧，交圆弧PQ 于点M 、N ；③连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．(1)求证：OA 垂直平分MD .(2)若30AOB Ð=°，求∠MON 的度数.(3)若20AOB Ð=°，6OC =，求MN 的长度．【答案】(1)证明见分析；(2)90MON Ð=°；(3)6MN =．【分析】（1）由垂径定理直接证明即可得；（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；（3）由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，得出60MON Ð=°，根据等边三角形得判定可得OMN n 为等边三角形，即可得出结果．(1)证明：如图所示，连接MD ，由作图可知，CM CD =，∴»ºCM C D =，∵OA 是经过圆心的直线，∴OA 垂直平分MD ；(2)解：如图所示，连接ON ，∵CM CD DN ==，∴»º»CM C D D N ==，∴30COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴90MON COM COD DON Ð=Ð+Ð+Ð=°，即90MON Ð=°；(3)解：由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴60MON Ð=°，∵OM ON =，∴OMN n 为等边三角形，∴6MN OM OC ===．【点拨】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．举一反三：【变式1】 如图，AB 为圆O 直径，F 点在圆上，E 点为AF 中点，连接EO ，作CO ⊥EO 交圆O 于点C ，作CD ⊥AB 于点D ，已知直径为10，OE ＝4，求OD 的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE ⊥AF ，由CO ⊥EO ，得到OC ∥AF ，即可得到∠OAE ＝∠COD ，然后通过证得△AEO ≌△ODC ，证得CD ＝OE ＝4，然后根据勾股定理即可求得OD ．解：∵E 点为AF 中点，∴OE ⊥AF ，∵CO ⊥EO ，∴OC ∥AF ，∴∠OAE ＝∠COD ，∵CD ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠ODC ，在△AEO 和△ODC 中，OAE COD AEO ODC OA OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△ODC （AAS ），∴CD ＝OE ＝4，∵OC ＝5，∴OD＝3．【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．【变式2】如图所示，直线=y x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线BC 交x 轴于D ，交△ABO 的外接圆⊙M 于C ，已知∠COD ＝∠OBC ．（1）求证：MC ⊥OA ；（2）求直线BC 的解析式．【答案】（1）见分析；（2）y=【分析】（1）利用弧弦角转化得¼¼OC AC=，由垂径定理即可得MC⊥OA；（2）由直线=y x与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点坐标，从而得到A、B中点M点坐标，再由勾股定理求出OM，进而求出点C坐标．由B、C两点坐标用待定系数法求直线BC解析式即可．解：（1）证明：∵∠COD＝∠OBC，∴¼¼OC AC=，∵点M是圆心，∴由垂径定理的推论，得MC⊥OA；（2）解：∵MC⊥OA，∴OG＝GA＝12OA，∵点M是圆心，∴BM＝AM，∴GM是△AOB的中位线，∴GM，∵=y x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当x＝0时，y y＝0时，x＝3，∴B（0，A（3，0）∴OB OA＝3，∴MG OG＝32，连接OM，在Rt△OGM中，由勾股定理，得OM＝∴GC=∵点C 在第三象限，∴C （32，）．设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ，∴32k b =+解得：k b ìïíïî，直线BC的解析式为：y =【点拨】本题主要考查了弧弦角的性质，垂径定理，数形结合求出关键点坐标是解决本题的关键．类型四、利用垂径定理推论求进行证明4．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且»»CFCB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【分析】证法一：连接CB ，可证»»CFGB =，从而可证明CE ＝BE ；证法二：作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ，证明△ONE ≌△ODE ，可得NE ＝DE，再结合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．解：证法一：如图(1)，连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴»»CB GB=,∵»»CF BC=，∴»»CF GB=，∴∠C＝∠CBE，∴CE＝BE．证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴»»CB BG=，∵»»CB CF=，∴»»»CF BC BG==，∴BF＝CG，ON＝OD，∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE（HL），∴NE＝DE．∵12BN BF=，12CD CG=，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．∵»»=，CF BC∴OC⊥BF，∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，∴»»=，BG BC∴»»»==，CF BG BC=，∴»»BF CG=，ON OD∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD，又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键．举一反三：【变式1】如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设AB与CD能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确．解：设AB，CD交于点P,连接OP，假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP，∵AB，CD是圆O内非直径的两弦，∴OP⊥AB，OP⊥C D，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立，所以AB与CD不能互相平分【点拨】本题考查了反证法，解题的关键是：掌握反证法的步骤．【变式2】如图，已知在⊙O中，»»»＝＝，OC与AD相交于点E．求证：AB BC CD（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据»»=得到BC=CD，从而证明菱形．BC CD解：（1）连接BD，∵»»»==，AB BC CD∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF =∠CBF ，∵»»BCCD =，∴BC =CD ，∴BF =DF ，又∠DFE =∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE =BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC =CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF =DF ．类型五、垂径定理及推论解决其他问题5．如图，AB 为O e 的一条弦，连接OA 、OB ，请在O e 上作点C 使得ABC V 为以AB 为底边的等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】分别以点A 、B 为圆心，大于AB 长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，交O e 于点C ，则问题可求解．解：如图所示：【点拨】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 ；点（6，﹣2）在⊙D （填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为 ．【答案】（1）见分析；（2）90°【分析】（1）根据原点所在的位置，建立平面直角坐标系即可；根据圆心D必在线段AB和线段BC的垂直平分线上进行求解即可；（2）由（1）得到D点坐标，即可得到OA，OD的长，利用勾股定理求解即可得到AD 的长；利用两点距离公式求出点（6，-2）到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点（6，-2）与圆D的位置关系；利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到答案．解：（1）如图所示，即为所求；（2）由（1）可知D 点坐标为（2，0），A 点坐标为（0，4）∴OD =2，OA =4，AD ==∴圆D 的半径为∵点（6，﹣2）到圆心D =∴点（6，﹣2）到圆心D 的距离等于半径的长，∴点（6，﹣2）在⊙D 上．∵D （2，0），C （6，2），A （0，4），∴CD ==，AC ==，∴222CD AD AC +=，∴∠ADC =90°，故答案为：90°．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，两点距离公式，确定圆心位置，点与圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟知相关知识．【变式2】如图，O e 中，P 是»AB 的中点，C 、D 是PA 、PB 的中点，过C 、D 的直线交O e 于E 、F ．求证：EC FD =．【分析】连结OC，OD，OP交EF于G，由P是»AB的中点，可得¼¼AP BP=，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是PA、PB的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．解：连结OC，OD，OP交EF于G，∵P是»AB的中点，∴¼¼AP BP=，∴AP=BP，∵C、D是PA、PB的中点，∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，∴OC=OD，∴OP是CD的垂直平分线，∴CG=DG，∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，∴EG=FG，∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．∴EC= DF．【点拨】本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．类型六、利用垂径定理及推论的实际应用6．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕6AB =，求O e 的半径．【答案】【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，根据垂径定理，可得132AE AB ==，由折叠得： 12OE OA =，然后在Rt AEO V 中，利用勾股定理即可求得结果．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，∴132AE AB ==，由折叠得：12OE OA =，设=2OE x OA x =，则，∴在Rt AEO V 中，由勾股定理得：222=OE AE OA +，即：2223=4x x +解得： x 1x 2＝∴2x答：O e 的半径为【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练运用相关性质和定理是解题的关键．举一反三：【变式1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；AB=，水面最深地方的高度（即»AB的中点(2)若这个输水管道有水部分的水面宽16cm到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．【答案】(1)见分析(2)10cm【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可，（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．(1)如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．(2)如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA，AB＝8 cm，点C为AB n的中点，则AD＝12进而，CD＝4 cm．设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r－4）cm．在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，解得r＝10．即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm．【点拨】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．【变式2】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．【答案】（1）拱桥所在的圆的半径为17m；（2）不需要采取紧急措施，理由见分析．【分析】（1）由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），则A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出结论．解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，AB＝15（m），∴AM＝12在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱桥所在的圆的半径为17m；（2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，∴不需要采取紧急措施．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，准确计算是解题的关键．。