2019中考数学知识点-垂径定理及其推论

九年级数学垂径定理知识点数学是一门令我们既爱又恨的学科，而九年级的数学则是更加具有挑战性和深度的一门课程。

在九年级数学中，垂径定理是一个重要的知识点，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活中也有着许多有趣的应用。

在本文中，我们将一起来探索九年级数学中的垂径定理。

首先，我们来了解一下垂径定理的定义和概念。

垂径定理是几何学中的一个基本定理，它指出：“如果两条直线相交于一个点，并且其中一条直线垂直于另一条直线的过程中所产生的垂直线段与交点的距离相等，那么这两条直线是垂线。

”简单来说，垂径定理就是通过一个垂直线段来判断两条直线是否垂直的方法。

举个例子来说明垂径定理的应用。

假设有一个四边形的对角线相交于一个点，我们需要判断对角线是否垂直。

按照垂径定理，我们可以通过在交点处作一条垂直于对角线的线段，并将它延长至相邻的边上。

如果延长后的线段与相邻边的距离相等，那么我们可以断定对角线是垂直的；反之，如果距离不相等，则对角线不是垂直的。

通过这个简单的方法，我们可以快速判断一个四边形的对角线是否垂直。

垂径定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在实际生活中也有许多有趣的应用。

例如，我们在修建房屋时需要确保墙体垂直，这就需要使用垂径定理来检验墙体是否垂直。

另一个应用是在导航系统中，也需要使用垂径定理来计算地球上两点之间的最短距离。

除了应用方面，垂径定理还有着一些有趣的数学性质。

一个有趣的性质是，如果两条直线是垂线，那么它们的斜率乘积为-1。

这个性质是垂径定理的一个重要推论，通过它我们可以更直观地理解垂线的概念。

此外，垂径定理还与其他几何定理有着密切的关系。

例如，垂径定理与直角三角形定理、等腰直角三角形定理以及勾股定理之间有着紧密的联系。

通过运用这些定理，我们可以更好地理解垂径定理的应用，并解决一些复杂的几何问题。

在学习垂径定理时，我们还需要注意一些容易出错的地方。

例如，我们在判断两条直线是否垂直时，不能只通过一个垂直线段的长度是否相等来判断，还需要考虑这个线段是否垂直于另一条直线。

垂足为 N，则 ON＝( A )
A．5
B．7
C．9
D．11
如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB＝8 cm，
OC＝5 cm，则 OD 的长是( A )
ห้องสมุดไป่ตู้
A. 3 cm
B． 2.5 cm
C． 2 cm
D． 1 cm
如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 M.若 AB＝12，
OM∶MD＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )
A．26π
B．13π
C．956π
D．39 5 10π
二、填空题
如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD , 垂足为 E , 若∠COD
＝120°，OE＝3 厘米，则 CD＝ 66 3
厘米．
如图，AP＝4，BP＝6，OP＝5，则⊙O 的半径＝ 7 7 .
积为 6 ．
三、解答题 如图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和 ︵︵ 小丽沿湖边选取 A，B，C 三根木桩，使得AB＝BC，并测得 点 B 到 AC 的距离为 15 米，AC 的长为 60 米，请你帮他们求 出人工湖的半径．
解：如图，设点 O 为圆心， 连接半径 OA，OB，
设 OB 交 AC 于点 D．
即 AC＝BD．
(2)若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长.
解：由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD， 如图，连接 OC，OA. ∵OE＝6，
∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
∵A︵B＝B︵C， ∴OB⊥AC，AD＝CD＝30 米．

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）

④
⌒⌒
AM= MB
⌒⌒
AN= NB
8
推论3:
如果一条直线是弦的垂直平分线， 那么这条直线经过圆心,并且平分这条 弦所对的弧。
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9
M
垂径定理推论4
O
A
③ AC=BC ④ A⌒N= N⌒B
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C B
N
①直线MN过圆心O
② MN⊥AB
10
推论4: 如果一条直线平分弦和弦所对的一
5
M
垂径定理推论2
O
C A
N
1.直线MN过圆心
4.
⌒⌒
AN= NB
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B
③②MAA⌒CNM=⊥=BM⌒ACBB
6
推论2 如果圆的直径平分弦所对的一条弧
那么这条直径垂直平分这条弦。
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7
M
垂径定理推论3
O
A
② MN⊥AB ③ AC=BC
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C B
N
①直线MN过圆心O
14
填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。
A
C
M
M D
C B
AB被点D平分.
N
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17
条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂 直于这条弦。
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D
ET
A
B
c
D是直径 ABICD i AE EB
Ali BC
Ai
推论
直径时平行书垂直
D
AE 7 B C
10的为直径 ② ABID ⑦ EAEB
04 成二成 ⑤ 必成
銴 知 直- 粉 仍 非直径的弦 CD直径
- 直径
X
ˇ
- 直径
X
- 直径
X
V
斜 -
着平分
ㄨ
_
X
一
一
直A 13
A gE B
15 12
15
C 几下
D
烤 烤 平行弦所夹弧相等如何证明
A
B
已知 ABM
C
D 求证 成二叨
姤或订5
C
5
50
37
A 4 in
B
D
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大学阶段
欧几里德几何学
垂线定理是欧几里德几何学的 基础之一，是一个完整的证明 体系的一部分。
垂线定理的应用举例
建筑工程
建筑师可以使用垂线定理准确地 确定一个建筑的高度，并在施工 期间使用以确保建筑的平衡和结 构稳定性。
结构工程
天文学
结构工程师可以使用垂线定理学中， 在三角视差上衡量星际距离。
垂径定理及其推论课件
在这里，您将学习垂径定理，这是数学的一个基本定理。
垂线定理的定义
垂线
从一个点到一条直线的线段， 且该线段与这条直线成直角。
垂足
垂线与直线相交的点称为垂 足。
垂线定理
引自两点的垂线汇合于同一 直线，即两点到直线的垂线 长度乘积相等。
垂线定理的初步应用
测量高度
通过测量杆与建筑物之间的倾斜 角度和距离，可以使用垂线定理 精确地测量建筑物的高度。
总结
垂径定理是一项常见而又重要的数学知识，无论您是初学者还是专业人士， 掌握垂线定理都是非常有用的。
判断直角
一个三角形是否是直角三角形可 以用垂线定理来判断。如果线段 的平方相加等于斜边平方，那么 这个三角形是直角三角形。
消防安全
垂线定理也可以用于消防安全。 消防员可以使用绳索若干次下落 以评估火场内的距离、阻力和重 量等要素。
垂线定理的推论
1 勾股定理
勾股定理是垂线定理最著名的推论之一。它得出了一个正直角三角形的边长之间的关系。
3
费马点
假设有一个圆，它可以将三角形内的所有角度看成锐角或钝角。垂线定理可以用 来查找与三角形顶点相连线相交的圆的圆心。所得的点被称为费马点。
垂线定理的证明
初中阶段
展示长度关系
证明可延伸为平行四边形的变 形，使用长度、面积和方向的 来解释定理。

OA OB
∵

AD

BC
，
∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=DC， 设 AD=acm，则 OD=OC= 1 DC= 1 AD= 1 acm，
222 在△AOD 中，由勾股定理得：OA=OB=OE= 5 acm，
2 ∵小正方形 EFCG 的面积为 16cm2，
1．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径
为（ ）
A． 4 5 cm
B．9 cm
C． 4 5 cm
【例题解析】
解：
D． 6 2 cm
连接 OA、OB、OE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在 Rt△ADO 和 Rt△BCO 中
∴EF=FC=4cm，
在△OFE 中，由勾股定理得：
5 2
a
2
=42+

1 2
a

8， 5 a=4 5 （cm）， 2
故选：C．
2．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，若⊙O 的半径为 5，AB=8，则 CD 的长是
另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 在 5 个条件中（知二推三）:
1.平分弦所对的一条弧 2.平分弦所对的另一条弧 3.平分弦 4.垂直于弦 5.经过圆心(或者说直径) 只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论 【例题】
4．已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径 R=10，小圆的半径 r=8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长．

垂径定理及其推论
【垂径定理】
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

【注】
（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。

【垂径定理的推论】
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧；
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧；
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论：
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦 (不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心。

第三节垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。

4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。

【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。

【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。

垂径定理九年级知识点垂径定理，也称为垂径长定理，是几何中一个重要的定理，用来描述圆内任意两条互相垂直的直径和其所对应的弦的关系。

下面将详细介绍有关垂径定理的九年级知识点。

1. 垂径定理的表述垂径定理指出，一个圆的直径与其所对应的弦垂直相交，具体表述为："在一个圆内，如果一条弦垂直于直径，那么这条弦将被切成两段，而且这两段的乘积等于每个一段的长度与直径的乘积，即 d1×d2=2×r×a"。

其中，d1和d2分别代表切割弦的两段，r代表圆的半径，a代表这两段与直径的距离。

2. 垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过数学推理和几何推导来完成。

首先，假设圆的直径AB与弦CD互相垂直相交于点O，以及切割弦CD的两段为CE和ED。

根据垂径定理的表述，我们可以得出以下几个等式：AE×EB = CE×ED （1）AO×OB = CO×OD （2）由于AO = CO, OB = OD，将式（2）代入式（1），我们可以得到：AE×EB = AO×OB = r×r = r²因此，垂径定理得证。

3. 垂径定理的应用垂径定理在几何证明和问题求解中经常被应用。

下面介绍几个常见的应用场景：a. 证明两条直线垂直相交当需要证明两条直线垂直相交时，可以利用垂径定理。

首先，通过画圆和连接弦的方式将直线和圆相交，然后利用垂径定理得出圆内两条互相垂直的直径和它们对应的弦的关系，进而推断出直线的垂直关系。

b. 求解弦长已知圆的半径和一个垂直切线与弦的交点坐标，可以利用垂径定理求解弦的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的半径和切线坐标计算出弦的长度，从而得到所需的结果。

c. 求解直径长已知圆的半径和两条互相垂直的弦的长度，可以利用垂径定理求解直径的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的弦长和半径计算出直径的长度，进而得到所需的结果。

垂径定理【知识梳理】1、圆的定义：平面内所组成的图形叫做圆2、点圆位置关系判断：设O为圆心，P为平面上一点，（1）若，则P在圆内；（2）若，则P在圆上；（3）若，则P在圆外；3、垂径定理：垂直于弦的直径推论一:平分弦( )的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等小结：一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论：1.平分弦所对的一条弧2.平分弦所对的另一条弧3.平分弦 (不是直径)4.垂直于弦5.经过圆心【典型例题】例1、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m，则DC的长为（）A、3cmB、2.5cmC、2cmD、1cm例2、已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．A BC D E F 【变式】如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°，求CD ．例3、如图，△OAB 中，OA=OB ，以O 为圆心的圆交BC 于点C ，D ，求证：AC=BD ．【变式】如图所示，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD ．求证：OC=OD ．例4、有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB 宽7.2m ，拱顶CD 高出水面2.4m.现有一艘宽EF 为3m ，船舱顶部为长方形并高出水面2m 的船要经过这里，此船能顺利通过这座桥吗?【变式】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm ，水深GF=2cm ．若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？例5、高致病性禽流感是比SARS 病毒传染速度更快的传染病。

垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。

在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。

一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。

根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。

2. 直径的两个垂径互相垂直。

3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。

了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。

二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。

换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。

三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。

下面我们通过具体的例子来进行证明。

假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。

我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。

首先，连接OA和OB。

根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。

同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。

由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。

根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。

因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。

根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。

所以弧度CA等于角CBA的度数。

同理，弧度CB等于角CAB的度数。

既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。

所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。

四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。

例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。

通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。

此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。

B
于点C．
3． 作AC、BC的
垂直平分线．
4． 三条垂直平分线
交于一点O．
O
点O就是A⌒B的圆心．
第十六页，共30页。
第十七页，共30页。
你 能 破 镜
重A
圆
吗？
m
n
C
B
O
作法：
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交 于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧．
长为16cm，圆心O到AB的距离为 6cm，求⊙O的半径．
E
B
．
O
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝16cm ∴AE＝8cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm ∴⊙O的半径为10cm．
第二十六页，共30页。
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
① 直径过圆心 ③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
第八页，共30页。
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
第十八页，共30页。
垂径定理三角形
有哪些等量关系？
d+h=r
rd h a
第十九页，共30页。
在a，d，r，h
中，已知其中任意 两个量，可以求出
其它两个量．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．

垂径定理的5个结论垂径定理是解决圆与直线之间关系的一项重要定理，它有着广泛的应用。

下面将从五个不同的角度，详细介绍垂径定理的五个结论。

一、定理1：切线垂直于半径根据垂径定理的第一个结论，圆的切线垂直于过切点的半径。

这一结论可以通过简单的几何推理得出。

设圆的半径为r，切点为A，切线为l，连接圆心O与切点A，假设在切点A处引出一条过切点A 的直径AB，连接OB。

由于OA=OB=r，所以AB是圆的直径。

根据定理，AB垂直于切线l。

因此，切线l垂直于过切点A的半径OA。

二、定理2：半径平分弦垂径定理的第二个结论表明，过圆心的半径可以平分弦。

这一结论也可以通过几何推理来证明。

设圆的半径为r，弦的两个端点为A、B，连接圆心O与弦的中点M。

根据定理，OM垂直于弦AB。

又因为OM=r，所以OM是圆的半径，即OM=OA=OB=r。

因此，OM平分弦AB。

三、定理3：半径垂直于弦垂径定理的第三个结论是，过圆心的半径垂直于弦。

这一结论可以通过定理2的推论得出。

根据定理2，过圆心的半径OM平分弦AB。

因为OM平分弦AB，所以OM垂直于弦AB。

因此，过圆心的半径垂直于弦。

四、定理4：垂直弦的两条半径相等定理4指出，如果两条半径分别垂直于同一条弦，那么这两条半径的长度相等。

设圆的两条半径分别为OA和OB，弦为AB，连接OA和OB。

根据定理，OA垂直于弦AB，OB垂直于弦AB。

因为OA=OB=r，所以垂直弦的两条半径相等。

五、定理5：垂直弦的两条半径互为中线垂径定理的第五个结论是，如果两条半径分别垂直于同一条弦，那么这两条半径互为弦的中线。

设圆的两条半径分别为OA和OB，弦为AB，连接OA和OB，垂直弦的两条半径分别为OC和OD。

根据定理，OA垂直于弦AB，OB垂直于弦AB，所以OC=OD=r。

因此，垂直弦的两条半径互为弦的中线。

垂径定理有着五个重要的结论：切线垂直于半径、半径平分弦、半径垂直于弦、垂直弦的两条半径相等、垂直弦的两条半径互为中线。

精选初三上册数学第3章知识点复习：垂径定
理及推论
学习是一个循序渐进的过程，也是一个不断积累不断创新的过程。

下面小编为大家整理了精选初三上册数学第3章知识点复习：垂径定理及推论，欢迎大家参考阅读!1)定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧。

(常见辅助线，过圆心作弦的垂线)2)推论：平分(非直径的)弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。

[总结为：一条直线满足：1)过圆心，2)垂直于弦，3)平分弦，4)平分弦所对的优弧，5)平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立。

(注：①1)与3)结合使用时，弦为非直径弦。

②2)与3)结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点。

③利用垂径定理及勾股定理对于(圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量]以上就是查字典数学网为大家整理的精选初三上册数学第3章知识点复习：垂径定理及推论，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!
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垂径定理知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．4. 不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．课后练习1.如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，若120AOB ∠=°，则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（ ）A．R = Ｂ．3R r =Ｃ．2R r =Ｄ．R =3.如图，在平面直角坐标系中，P ⊙的圆心是()()22a a >，，半径为2，函数y x =的图象被P ⊙截得的弦AB的长为a 的值是（ ） A． B．2C． D．24. 已知O ⊙的半径为5，圆心O 到直线AB 的距离为2，则O ⊙上有且只有__________个点到直线AB 的距离为3．5.如图，DE 是O ⊙的直径，弦AB DE ⊥，垂足为 C ，若6AB =，1CE =，则OC =_________，CD =__________．7. 如图，在O ⊙中，AB AC 、是互相垂直的两条弦，OD AB ⊥于点D ，OE AC ⊥于 点E ，且8cm 6cm AB AC ==，，那么O ⊙的半径OA 长为___________．8.如图，O ⊙过点B C 、，圆心O 在等腰Rt ABC △的内部，90BAC ∠=°，1OA =，6BC =．则O ⊙的半径为（ ）A ．6B ．13 CD．9.如图，O ⊙的直径5cm CD =，AB 是O ⊙的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，35OM OD =∶∶，则AB 的长是（ ）A ．2cm Ｂ．3cm C ．4cm D．12.如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝6cm ，∠AOB ＝120º，则AB ＝ cm ．13. 如图，O ⊙的直径AB 与弦CD 交于点E ，若5AE =，1BE =，CD =，则AED ∠=____________.AB OC14.如图，在O ⊙中，圆心角120AOB ∠=°，弦cm AB =，则OA =_________cm ．15.如图，CD 是O ⊙的弦，直径AB 过CD 的中点M ，若40BOC ∠=︒，则ABD ∠=（ ） A ．40︒ B ．60︒ C ．70︒ D ．80︒16.已知O ⊙的半径10cm OA =，弦16cm AB =，P 为弦AB 上的一动点，则OP 的最短距离为（ ） （A ）5cm （B ）6cm （C ）8cm （D ）10cm17.一条公路弯道处是一段圆弧（AB ），点O 是这条弧所在圆的圆心，点O 是AB 的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB =120m ，CD =20m ，这段弯道的半径是（ ） （A ）200m （B）m （C ）100m （D）20.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6A BOC21. 如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB 的长，就计算出了圆环的面积．若测量得AB 的长为20米，则圆环的面积为（ ） A ．10平方米 B ．10π平方米 C ．100平方米 D ．100π平方米22.如图，CD 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点M ，20AB =，分别以DM ，CM 为直径作两个大小不同的1O ⊙和2O ⊙，则图中所示阴影部分的面积为 （结果保留π）．23. 已知O 的直径AB =40，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD =32，则AE 的长为（ ） A ．12 B ．8 C ．12或28 D ．8或32 27.如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC，若AB =，则⊙O 的半径为（ ）AB． C ．D ．28. 如图，⊙O 的弦AB =8，M 是AB 的中点，且OM =3， 则⊙O 的半径等于（ ）A ．8B ．4C ．10D ．5MBAO ·。

中考数学垂径定理
一、垂径定理基本形式
垂径定理是圆的基本性质之一，它指出：通过圆心且垂直于任意弦的直径将该弦平分。

用数学语言表示就是：如果一条直径通过圆心O，并且垂直于弦AB，那么它将弦AB平分于点C。

即 AC = CB。

二、圆心到弦的垂线性质
根据垂径定理，我们可以推导出圆心到弦的垂线性质。

如果一条弦通过圆心O，且圆心到弦的垂线交弦于点C，那么这条垂线将弦分为两段相等的部分。

即 AC = CB。

同时，这条垂线也是该弦所对的圆周角平分线。

三、圆心到切线的性质
圆心到切线的性质是指：通过圆心的直线与圆的切线垂直。

如果一条直线通过圆心O，且与圆相切于点P，那么这条直线与切线垂直。

即OP与AP垂直。

同时，切线与过切点的半径也垂直。

四、切线长定理
切线长定理是指：过圆上一点作圆的切线，则切线长相等。

具体来说，如果圆上有点A，且过点A分
别作圆的两条切线AB和AC，那么这两条切线的长度相等。

即 AB = AC。

这个定理可以用来证明一些与切线相关的几何问题。