圆的垂径定理及推论知识点与练习(最新整理)

第十讲 垂径定理及其推论一、知识要点回顾：1、圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。

2、垂径定理： 文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且_______________________________。

符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于M∴____=_____，_____=______，_____=______。

3、垂径定理的推论： 。

符号语言： ∵ ∴二、例题讲析：用垂径定理解决问题例1、已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求：⊙O 的半径。

例2：如图，过点B 、C 的⊙O 的圆心在等腰三角形的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，求⊙O 的半径。

例3：如图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ， DE=8cm,CE=2cm. 求弦AB 的长.例4：如图，某地有一圆弧开拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。

现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？三、巩固练习B ACD O M _B _A _O _垂径定理的推论中的条件要特别注意。

B A E D O CC BD OA 1．判断对错：（ ）1、垂直于弦的直径平分这条弦。

（ ）2、平分弦的直径垂直于这条弦。

（ ）3、平分弦的直线必垂直弦。

（ ）4、弦的垂直平分线经过圆心。

（ ）5、平分弧的直径平分这条弧所对的弦。

（ ）6、在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。

（）7、分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分。

（ ）8、垂直于弦的直线必经过圆心。

2、已知如右图：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则BC =____，AC =____ ；CE=______ 3、 已知：AB 为⊙O 的弦，⊙O 的直径为26cm, 圆心O 到AB 的距离 为5cm, 求弦AB 的长。

专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E 为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC 上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。

1．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．82.在半径为12 cm 的圆中，垂直平分半径的弦的长为（ ）cmA 、33B 、27C 、123D 、633.已知AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，C 为垂足，若OA=2， OC=1，则AB 的长为（ ）A 、5B 、25C 、3D 、234．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米O图 4ED C BA5．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.6．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD＝l ，则弦AB 的长是7．如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度AB题型二:求半径(直径)1．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm2．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米OD A BCDOB C A3．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB 于点D。

已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径.ACD B题型三:求弦心距1．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．52．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm413．在直径为20cm的圆中，弦AB的长为16cm，则它的弦心距为 cm 4．在半径为13cm的圆中有一条长为24cm的弦，那么这条弦的弦心距等于5．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm 题型四:求拱高1．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米2．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m3．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；0.1（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 0.1或0.7OA B题型五:求两平行线间距离1、⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离是多少1或7垂径定理在实际中的应用例1、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4,求这个圆形截面的半径.A B例2.某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面 2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?写出你的结论，并说明理由。

自学资料一、圆的相关定义【知识探索】1．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．【说明】（1）过平面上一点能作无数多个圆；（2）过平面上两点能做无数多个圆，这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线上；（3）过平面上三点：①三点不在同一直线上，能作唯一一个圆；②三点在同一直线上，不能作圆．【错题精练】例1．下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1页共23页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【解答】解：①过两点可以作无数个圆，正确；②经过三点一定可以作圆，错误；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，正确的有2个，故选：B．【答案】B例2．有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C例3．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（﹣2，0）．点P是⊙O上的一个动点，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（）A.B.C.D.【解答】第2页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】C例4．如图，已知△ABC．（1）尺规作图作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，求圆的半径r．【答案】解：（1）如图所示；（2）连接OB，连接OA交BC于点E，∵△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，∴BE=CE=5，AE=√AB2−BE2=√11，在Rt△BOE中，r2=52+（r-√11）2∴r=18√11=18√1111．第3页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第4页 共页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M，∴AM=BM，∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中，OM==4，OM的长即为OP的最小值，∴4≤OP≤5．【答案】4≤OP≤55．已知：△ABC（如图）（1）求作：△ABC的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法及证明）．（2）若∠A=60°，BC=8√3，求△ABC的外接圆的半径．【答案】解：（1）如图所示：⊙O即为所求△ABC的外接圆；（2）过点O作OD⊥BC于点D，∵∠A=60°，BC=8√3，∴∠COD=60°，CD=4√3，第5页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∴CO=4√3sin60°=8，答：△ABC的外接圆的半径为8．二、圆心角、弧、弦、弦心距、圆周角之间的关系【知识探索】年份题量分值考点题型2015114圆内接四边形的性质；点与圆的位置关系选择、简答201613圆周角定理；填空2017219弧长面积；切线的性质；圆周角定理选择、填空、简答201824圆周角定理；填空2019216扇形面积；切线长定理；圆心角、圆周角、垂径定理填空、解答【错题精练】例1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A. 51.5°B. 60°C. 72°D. 76°【解答】解：连接OD．∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=52°，∴∠AOB=（360°-52°）÷4=77°，第6页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第7页 共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼 非学科培训∴α=（180°-77°）÷2=51.5°． 故选：A ．【答案】A例2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）若∠A=25°，求BD̂的度数． （2）若BC=9，AC=12，求BD 的长．【答案】解：（1）连接CD ，如图， ∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=90°-25°=65°，∵CB=CD ，∴∠CDB=∠B=65°， ∴∠BCD=180°-2∠B=50°， ∴BD ̂的度数为50°；（2）作CH ⊥BD ，如图，则BH=DH ， 在Rt △ACB 中，AB=√92+122=15， ∵12CH•AB=12BC•AC ， ∴CH=9×1215=365， 在Rt △BCH 中，BH=√92−（365）2=275，∴BD=2BH=545．̂的度数为（）例3．已知如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，则CDA. 20°B. 25°C. 30°D. 35°【解答】解：连接OC，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠A=35°，∴∠OBC=90°-35°=55°，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=55°，∴∠COB=70°，∴∠COD=90°-70°=20°，̂的度数为20°，∴CD故选：A．【答案】A例4．已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A=50°，∠B=70°，连接DO，CO，DC （1）如图①，求∠OCD的大小：（2）如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．第8页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：（1）∵OA=OD，OB=OC，∴∠A=∠ODA=50°，∠B=∠OCB=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=60°；（2）∵PD⊥OD，PC⊥OC，∴∠PDO=∠PCO=90°，∴∠PDC=∠PCD=30°，∴PD=PC，∵OD=OC，∴OP垂直平分CD，∴∠DOP=30°，∵OD=2，∴OM=√32OD=√3，OP=4√33．例5．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为BD̂的中点．（1）求证：DE=EC；（2）若DC=2，BC=6，求⊙O的半径【答案】解：（1）连结AE，BD，∵E为BD̂的中点，∴ED̂=BÊ，∴∠CAE=∠BAE，∵∠AEB是直径所对的圆周角，第9页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第10页 共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练 非学科培训∴∠AEB=90°， 即AE ⊥BC ，∴∠AEB=∠AEC=90°，在△AEC 和△AEB 中{∠CAE =∠BAE AE =AE ∠AEC =∠AEB ，∴△AEC ≌△AEB （ASA ）， ∴CE=BE ， ∴DE=CE=BE=12BC ；（2）在Rt △CBD 中，BD 2=BC 2-CD 2=32， 设半径为r ，则AB=2r ， 由（1）得AC=AB=2r ， AD=AC-CD=2r-2，在Rt △ABD 中AD 2+BD 2=AB 2， ∴（2r-2）2+32=（2r ）2， 解得：r=4.5，∴⊙O 的半径为4.5．例6．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，AB ∥OC ．（1）求证：∠ACB+∠BOC=90°；（2）若⊙O 的半径为5，AC=8，求BC 的长度．【答案】（1）证明：∵AB̂对的圆周角是∠ACB ，对的圆心角是∠AOB ， ∴∠AOB=2∠ACB ， ∵OB=OA ，∴∠ABO=∠BAO ， ∵AB ∥OC ，∴∠ABO=∠BOC ，∠BAO+∠AOC=180°， ∴∠BAO+∠AOB+∠BOC=180°， 即2∠ACB+2∠BOC=180°， ∴∠ACB+∠BOC=90°；（2）延长AO 交⊙O 于D ，连接CD ，则∠ACD=90°，由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√（5+5）2−82=6，∵OC∥AB，∴∠BOC=∠ABO，∠COD=∠BAO，∵∠BAO=∠ABO，∴∠BOC=∠COD，在△BOC和△DOC中{OB=OD∠BOC=∠DOC OC=OC∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC=CD，∵CD=6，∴BC=6．例7．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，∠CAB=60∘，若AB=6cm．（1）求弦AC的长；（2）点P从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，到点B停止，过点P作PQ∥AC，交半圆O于点Q，设运动时间为t（s）．①当t=1时，求PQ的长；②若△OPQ为等腰三角形，直接写出t（t＞0）的值．【解答】（1）解：如图1中，∵OA=OC，∠CAB=60∘，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=3（cm）；（2）解：①如图2中，作OH⊥PQ于H，连接OQ，由题意得：AP=1，OP=2，∵PQ∥AC，∴∠OPH=∠CAB=60∘，在Rt△OPH中，∵∠POH=90∘−∠OPH=30∘，OP=2，∴PH=1OP=1，OH=√3PH=√3，2在Rt△QOH中，HQ=√OQ2−OH2=√6，∴PQ=PH+HQ=1+√6；②如图3中，∵△OPQ是等腰三角形，观察图象可知，只有OP=PQ，作PH⊥OQ于H．∵PQ∥AC，∴∠QPB=∠CAB=60∘，∵PQ=PO，PH⊥OQ，，∠POQ=∠PQO=30∘，∴OH=HQ=32∴OP=OH÷cos30∘=√3，∴AP=3+√3，∴t=3+√3秒时，△OPQ是等腰三角形．【答案】（1）3cm；（2）①1+√6；②t=3+√3．例8．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．【解答】（1）解：△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∵，∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB=90∘，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）解：∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE=CE=12BC=12×12=6，在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，∴AE=√102−62=8，∵AB为直径，∴∠ADB=90∘，∴12AE⋅BC=12BD⋅AC，∴BD=8×1210=485，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=485，∴AD=√AB2−BD2=145，∴sin∠ABD=ADAB =14510=725．【答案】（1）略；（2）725．【举一反三】1．如图，弦AC、BD相交于点E，且AB̂=BĈ=CD̂，若∠AED=80°，则∠ACD的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 15°【解答】解：如图，设AB̂的度数为m，AD̂的度数为n，∵AB̂=BĈ=CD̂，∴BĈ、CD̂的度数都为m，∴3m+n=360°①∵∠AED=80°，∴∠C+∠D=80°，∴12m+12n=80°②，由①②组成{3m+n=360°12m+12n=80°，解得m=100°，n=60°∴∠ACD=12n=30°．故选：C．【答案】C2．已知△ABC内接于⊙O，点D平分弧BmĈ．（1）如图①，若∠BAC=2∠ABC．求证：AC=CD；（2）如图②，若BC为⊙O的直径，且BC=10，AB=6，求AC，CD的长．【答案】（1）证明：∵点D平分弧BmĈ，∴弧DC=弧DB，∵∠BAC=2∠ABC，∴弧BDC=2弧AC，∴弧CA=弧CD，∴AC=CD；（2）解：连结BD，如图②，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=∠BDC=90°，在Rt △BAC 中，∵BC=10，AB=6，∴AC=√BC 2−AB 2=8；∵弧DC=弧DB ，∴DB=DC ，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴CD=√22BC=5√2．3．如图，在⊙O 中，点C 是优弧ACB 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 上的点，且AD=BE ，弦CM 、CN 分别过点D 、E ．（1）求证：CD=CE ．（2）求证：AM̂=BN ̂．【答案】（1）证明：连接OC ．∵AĈ=BC ̂， ∴∠COD=∠COE ，∵OA=OB ，AD=BE ，∴OD=OE ，∵OC=OC ，∴△COD ≌△COE （SAS ），∴CD=CE ．（2）分别连结OM ，ON ，∵△COD ≌△COE ，∴∠CDO=∠CEO ，∠OCD=∠OCE ，∵OC=OM=ON ，∴∠OCM=∠OMC ，∠OCN=∠ONC ，∴∠OMD=∠ONE ，∵∠ODC=∠DMO+∠MOD ，∠CEO=∠CNO+∠EON ，∴∠MOD=∠NOE ，∴AM̂=BN ̂．4．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC相交于点D，过点D作⊙O的切线与AC交于点E．（1）求BDBC的值．（2）判断DE与AC的位置关系，并证明你的结论．（3）已知BC:AB=2:3，DE=4√2，求⊙O的直径．【解答】（1）解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∴BDBC =12；（2）解：DE⊥AC；连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD，∴DE⊥AC；（3）解：∵BDBC =12且BC:AB=2:3，∴AB:CD=3，∵∠ADB =∠DEC =90∘，∠B =∠C ，∴△ABD ∽△DCE ，∴DC AB =CE BD =13，设CE =a ，则BD =CD =3a ，AB =9a ，在Rt△DEC 中，由勾股定理得：DE =2a √2=4√2，∴a =2，∴AB =18．【答案】（1）12；（2）DE ⊥AC ；（3）18．5．已知直径CD ⊥弦BF 于 E ，AB 为ʘO 的直径．（1）求证：FD̂=AC ̂； （2）若∠DAB=∠B ，求∠B 的度数．【答案】（1）证明：∵直径CD ⊥弦BF ，∴FD̂=BD ̂， ∵∠AOC=∠BOD ，∴BD̂=AC ̂， ∴FD̂=AC ̂； （2）解：由圆周角定理得，∠BOD=2∠DAB ，∵∠DAB=∠B ，∴∠BOD=2∠B ，∵CD ⊥BF ，∴∠B=30°．6．如图，⊙O 的半径为2，弦BC =2√3，点A 是优弧BC 上一动点（不包括端点），△ABC 的高BD 、CE 相交于点F ，连结ED ．下列四个结论：①∠A 始终为60°；②当∠ABC =45∘时，AE =EF ；③当△ABC 为锐角三角形时，ED =√3；④线段ED 的垂直平分线必平分弦BC ．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③④．7．圆O的直径为10cm，A是圆O内一点，且OA=3cm，则圆O中过点A的最短弦长=__________cm【答案】88．如图，在圆O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________°【答案】501．如图，AB圆O的直径，点C在圆O上，若∠OCA=50°，AB=4，则弧BC的长为（）πA. 103B. 109π C. 59πD. 518π【答案】B2．如图，将钢珠放在一个边长AB=8mm 的正方形的方槽内，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，则这个钢珠的直径为______mm ．【答案】103．如图，AB 是半圆的直径，E 是弦AC 上一点，过点E 作EF ⊥EB ，交AB 于点F ，过点A 作AD ∥EF ，交半圆于点D ．若C 是BD ̂的中点，AF AE =√54，则EFAD 的值为 ．【解答】解：延长BE 交AD 于A'，∵AD ∥EF ，EF ⊥BE ，∴AA'⊥BA'，∴∠AA'B=90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴D 与A'重合，∵AFAE =√54，∴设AF=√5a，AE=4a，过F作FG⊥AE于G，∵C是BD̂的中点，∴CD̂=BĈ，∴∠DAC=∠BAC，∵AD∥EF，∴∠BFE=∠DAB=2∠BAC=∠BAC+∠AEF，∴∠BAC=∠AEF，∴AF=EF，∴AG=EG=2a，由勾股定理得：FG=a，∵∠DAE=∠GAF，∠ADE=∠AGF=90°，∴△ADE∽△AGF，∴ADAE =AGAF，∴AD4a =2a√5a，AD=8a√5，∴EFAD =√5a8a√5=58，故答案为：58．【答案】584．在⊙O的内接△ABC中，AD⊥BC于D，（1）①图1中，若作直径AP，求证：AB.AC=AD.AP；②已知AB+AC=12，AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x．求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）图2中，点E为⊙O上一点，且弧AE=弧AB，求证：CE+CD=BD．【答案】5．在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x。

专题02 垂径定理及其应用圆的对称性圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。

）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543符号语言：⎩⎨⎧⊥AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BD AD BC AC BE AE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt △OAE ）。

圆的对称性以及垂径定理例题讲解一、概念考察【例1】下面四个命题中正确的一个是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【答案】D【解析】平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，A说法错误过圆心且平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦，B错误弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，C错误【例2】下列命题中，正确的是（ ）．　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧　B．过弦的中点的直线必过圆心　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心　D．弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C【解析】A、B都未指出这条直线应该为垂线，所以AB都错误D未说明过弦的中点，所以错误【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下结论正确的选项是〔 〕A、AE=BEB、=C、△BOC是等边三角形D、四边形ODBC是菱形【答案】B【解析】∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，(垂径定理）不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．【例4】如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A．AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB【答案】B【解析】OC＝2CD．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB，∵OC＝2CD，∴AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形．【例5】下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

第一讲圆及垂径定理知识点一：圆1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA叫做。

（圆心决定圆的，半径决定圆的。

）2、圆是到定点的距离等于的点的集合。

知识点二：点和圆的位置关系点在圆内；点在圆上；点在圆外知识点三：弦、弧、同心圆、等圆和等弧1、连接圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做；（直径是最长的弦）2、圆上任意两点间的部分叫做，大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做，直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做。

3、圆心相同，半径不等的两个圆叫做。

4、能够完全重合的两个圆叫做，的两个圆是等圆。

5、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。

知识点四：圆的对称性圆既是轴对称图形，有条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是。

【典型例题】例1．下列结论正确的是（ )A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径例2. 一个点到定圆上最近点的距离为3，最远点的距离为8，则此圆的半径是 .例3．如图，AB, CD为⊙O的两条直径，E, F分别为OA, OB的中点，求证：四边形CEDF是平行四边形．例4．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数．A BCDEFO第 1 页共 3 页第 2 页 共 3 页知识点四：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

弦心距：圆心到弦的距离叫弦心距。

【典型例题】例1. 如图,DE 是⊙O 的直径,弦AB ⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.例2．（2010年河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点RD ．点M 例3．如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12例4．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得ODDE = 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【课上练习】如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82.如图，MN 是⊙O 的直径，弦 AB ⊥MN ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A ． ＝B .AN ＝BNC .AC ＝CBD .OC ＝CM3．在直径为10cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则弦AB 的长为 . 4．若AB 是⊙O 的一条弦，AB=8cm ，AB 的弦心距为3cm ，则⊙O 的半径为_____cm..5.⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，点M 在线段AB （包括端点A B ，）上移动，则OM 的取值范围是（ ）Ａ．35OM ≤≤Ｂ．35OM <≤Ｃ．45OM ≤≤Ｄ．45OM <≤6、如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm ，其中有油部分油面宽AB 为24cm ，则截面上有油部分油面高CD （单位：cm ）为 .7、如图，已知在⊙O 中，直径10MN =，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及⊙O 上，并且45POM = ∠，则AB 的长为OENN第 3 页 共 3 页8、如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB 于E 点， ⑴若AB ＝8，OE ＝3，求⊙O 的半径； ⑵若CD ＝10，DE ＝2，求AB 的长： ⑶若⊙O 的半径为13，AB ＝24，求DE 的长.9.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°, 求CD 的长.10．半径为5cm 的⊙O 中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm .则这两条弦的距离为多少?DD。

第02讲圆-垂径定理1.掌握垂径定理及其推论；2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.知识点1垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分知识点2垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】【典例1】（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（）A．5B．6C．8D．10【变式1-1】（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】（澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．4B．5C．6D．7【变式1-3】（2023•宿州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（）A．B．C．1D．2【题型2 垂径定理在格点中的运用】【典例2】（2023•平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式2-1】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（）A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）【变式2-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（）A．点D B．点E C．点F D．点G【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B 点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．【题型3 垂径定理与方程的综合应用】【典例3】（2023•寻乌县一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．2B．3C．4D．5【变式3-1】（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO 的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（）A．5B．6C．4D．2【变式3-2】（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．【题型4 同心圆与垂井定理综合】【典例4】（2022秋•梁山县期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．【变式4-1】（2022秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．【变式4-2】（2022秋•浦江县校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．（1）求AC的长；（2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径．【题型5 垂径定理的实际应用】【典例5】（2022秋•赣县区期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．米C．3米D．米【变式5-2】（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）A．4B．5C．6D．7【变式5-3】（2023•桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米【典例6】（2023•迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB ＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【变式6-1】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．【变式6-2】（2022秋•鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．【变式6-3】（2022秋•南宁期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．1．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米2．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB ＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分4．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D 为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为．5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．6．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．1．（2023秋•洞头区期中）如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC 的长为（）A．5B．6C．7D．8 2．（2023秋•东城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，直径AB⊥CD垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段AE的长为（）A．5B．4C．3D．2 3．（2022秋•中山市期末）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则OP的长为（）A．8B．2C．5D．4 4．（2023秋•绥阳县期中）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB 上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（）A．4B．5C．7D．9 5．（2023秋•硚口区期中）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径是（）A．24厘米B．26厘米C．28厘米D．30厘米6．（2023秋•鼓楼区校级月考）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米7．（2022秋•曲靖期末）下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．平分弦的直径垂直于弦8．（2023秋•滨江区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．9．（2023秋•无锡月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2，CD＝8，则⊙O半径为（）A．2B．3C．5D．8 10．（2023•衢州二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 11．（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16 12．（2023秋•思明区校级期中）如图，当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读图如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为（）A．B．C．5cm D．4cm 13．（2023•鼓楼区校级三模）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（）A．B．πC．2πD．4 π14．（2023秋•南京期中）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）3m，求盾构机刀盘的半径．15．（2023秋•福州期中）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P 是弦CD的中点．（1）依题意作弦CD；（尺规作图不写作法，保留作图痕迹）（2）若AP＝8，CD＝32，求⊙O的半径．16．（2023秋•萧山区期中）已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度AB为18m，过O作OC⊥AB于点D，CD＝3m．（1）求该圆弧形拱桥的半径；（2）现有一艘宽6m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？17．（2023秋•西湖区校级期中）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N 离地面的高度相等，都为17m．（1）求圆弧形拱顶的半径的长度；（2）求MN的长度．。

专题3.3 垂径定理【十大题型】【北师大版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式11】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式12】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式13】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式21】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式22】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式23】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式31】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式32】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式33】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式41】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式42】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式43】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式51】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式52】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式53】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式61】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式62】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式63】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式71】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式72】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式73】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式81】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式82】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式83】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式91】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式92】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式93】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式101】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式102】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式103】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。

垂径定理-知识讲解（提高)【学习目标】1．理解圆得对称性；2．掌握垂径定理及其推论;３。

学会运用垂径定理及其推论解决有关得计算、证明与作图问题.【要点梳理】知识点一、垂径定理1、垂径定理ﻫ垂直于弦得直径平分这条弦，并且平分弦所对得两条弧、ﻫ２、推论平分弦(不就是直径）得直径垂直于弦，并且平分弦所对得两条弧、ﻫ要点诠释：(1)垂径定理就是由两个条件推出两个结论，即ﻫ（2)这里得直径也可以就是半径,也可以就是过圆心得直线或线段、知识点二、垂径定理得拓展根据圆得对称性及垂径定理还有如下结论:（1）平分弦(该弦不就是直径)得直径垂直于弦，并且平分弦所对得两条弧;（2）弦得垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对得两条弧;（3）平分弦所对得一条弧得直径,垂直平分弦，并且平分弦所对得另一条弧、（4）圆得两条平行弦所夹得弧相等、要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对得优弧、平分弦所对得劣弧,在这五个条件中，知道任意两个,就能推出其她三个结论、(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时,平分得弦不能就是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1、如图,⊙O得两条弦AＢ、CD互相垂直，垂足为E,且AＢ=CD，已知CE=１,ＥＤ=3，则⊙O得半径就是.【答案】错误!、【解析】作ＯＭ⊥AB于M、ＯN⊥CD于N,连结ＯA，∵ＡＢ=CD,CＥ=１，ED=3,∴ＯM=EN=１，AＭ=2,∴ＯA＝、【点评】对于垂径定理得使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间得运算(配合勾股定理)问题、举一反三：【变式１】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH=4，ＢH=6,CH＝3,DH=8，求⊙Ｏ半径。

【答案】如图所示，过点O分别作OＭ⊥AB于Ｍ,ON⊥CＤ于N，则四边形MONH为矩形,连结OB，∴,,∴在Rt△BＯM中,。

【高清ID号：35696５关联得位置名称（播放点名称）:例２—例3】【变式2】如图，AＢ为⊙O得弦，Ｍ就是ＡB上一点,若AB＝20cｍ,MB＝8cm，OM＝10ｃm,求⊙O得半径、【答案】14cm、【高清ID号:3５6965 关联得位置名称(播放点名称):例2—例3】2、已知:⊙O得半径为１0cm，弦AB∥CD,AB=１２cm，ＣD=１6cm,求AB、CD间得距离、【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、ＣD间得距离就就是它们得公垂线段得长度，若分别作弦ＡB、CD得弦心距，则可用弦心距得长表示这两条平行弦AＢ、CD间得距离、【答案与解析】(1)如图1，当⊙O得圆心O位于ＡB、CＤ之间时，作OM⊥ＡB于点M,并延长MO,交ＣD于N点、分别连结AO、CＯ、ﻫ∵AB∥CＤ∴ＯＮ⊥CD，即ON为弦CD得弦心距、∵AB=12ｃm，CD=16cm,ＡO=OC=10cm,ﻫﻫ=８+６=14（ｃm)ﻫ图1 图2(２）如图2所示，当⊙Ｏ得圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AＢ、CＤ在圆心O得同侧)时,ﻫ同理可得：MN=OM－ON=８-6＝2（ｃm)∴⊙O中,平行弦ＡB、CD间得距离就是14cｍ或2ｃｍ、ﻫ【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间得位置关系,分类讨论,千万别丢解、举一反三：【变式】在⊙O中，直径MＮ⊥AB,垂足为C,MＮ=１0,ＡB=８,则MＣ＝__＿__＿___．【答案】2或8.类型二、垂径定理得综合应用３、要测量一个钢板上小孔得直径，通常采用间接得测量方法。

垂径定理及其20个推论垂径定理及其20个推论是几何学中的基本定理，它描述了圆与其内接三角形的关系。

下面是垂径定理及其20个推论的详细解释：垂径定理：在一个圆中，任意一条直径与其上的任意一条弦垂直。

推论1：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的两个直角三角形互为相似三角形。

推论2：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边等于圆的半径。

推论3：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边的平方等于两直角边的乘积。

推论4：在一个圆中，任意两条垂直的弦所对的弧互补。

推论5：在一个圆中，两条交叉的弦所对的四个弧互补。

推论6：在一个圆中，一条弦和其所对的弧上的两个角互补。

推论7：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。

推论8：在一个圆中，两条相交弦所对的角相等。

推论9：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弧所对的角。

推论10：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弦所对的弧所对的角。

推论11：在一个圆中，两条相交弦所对的角等于其所对的弧所对的角。

推论12：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。

推论13：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等。

推论14：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等。

推论15：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等于圆的半径。

推论16：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等于圆的半径。

推论17：在一个圆中，两个相对的角所对的弦的平方等于两个相对角的余弦的差的平方。

推论18：在一个圆中，一条弦所对的角等于其所对的弧所对的角。

推论19：在一个圆中，一条弦所对的角互补。

推论20：在一个圆中，一条弦所对的角是其所对的弧的一半。

垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=222+1=5.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，22552OB BM OM=+=．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式2】（春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50．∵∠OCA=30°，∴=33，即=3，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.垂径定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③AC BC=；④AD BD=；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心COBDA3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=22，BD=3，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4 D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是2、3，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75° D．15°或75°5.（•河东区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．65°6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7题图8题图9题图9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10．（•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．(第12题)12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .三、解答题13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，35OE OC∶∶，求弦AB和AC的长．14．如图所示，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长．15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.（•杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．AEOFBPEODCBA【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D ．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的. 2．【答案】D ．【解析】根据垂径定理及其推论来判断. 3．【答案】B ． 【解析】由垂径定理得HD=2，由勾股定理得HB=1，设圆O 的半径为R ，在Rt △ODH 中，则()()22221R R =+-，由此得R=32， 所以AB=3.故选 B. 4.【答案】D ．【解析】分弦AB 、AC 在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】C ；【解析】连接CD ，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°， ∴∠ABC=90°﹣25°=65°， ∵BC=CD ，∴∠CDB=∠ABC=65°，∴∠BCD=180°﹣∠CDB ﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，∴=50°．故选C ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】.13 9．【答案】.13 10．【答案】42 ．【解析】解：连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴CE=DE=CD=4cm ，∵OA=OC ，∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE 为△AOC 的外角， ∴∠COE=45°，∴△COE 为等腰直角三角形， ∴OC=CE=4cm ， 故答案为：411．【答案】23cm .【解析】连接OC,易求CF= 3. CD=23cm . 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=15.2AB =三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，35OE OC =∶∶， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴222222227.5 4.562126335AE OA OE AB AE AC AE CE =-=-====+=+=，14.【答案与解析】因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB. 由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设,,BP a CP b ==则22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得210a =，2410AB a cm ==. 15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F.∵ PO 平分∠MPN∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.A A E EP O P O F FC C PA=PC PA=PC16.【答案与解析】 解：（1）过点O 作AB 、CD 的垂线，垂足为M 、N ，如图1，图1NMEODC BA∵OE 平分∠BED ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴OM=ON ， ∴AB=CD ；（2）如图2所示，A BC DOEMN图2由（1）知，OM=ON ，AB=CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴DN=CN=AM=BM ，在Rt △EON 与Rt △EOM 中， ∵，∴Rt △EON ≌Rt △EOM （HL ）， ∴NE=ME ，∴CD ﹣DN ﹣NE=AB ﹣BM ﹣ME ， 即AE=CE ，∴DE ﹣AE=DE ﹣CE=DN+NE ﹣CE=CN+NE ﹣CE=2NE ，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO=BED=30°，∴ON=OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE﹣AE=2NE=2．11 / 11。

垂径定理典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3.如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4.已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5.如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.A E F例题3、度数问题1.已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2.已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.A B D CE O。

一、知识点1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。

（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。

）4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。

（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。

）5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。

推论：圆的两条平行弦所夹弧。

6、与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.7、垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。

【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是欽绲腫賁軔铼剮誒緦骞恹輿筍谭黲枨贵珑莳苋鸩捡耸殚脐剀继剧荞缚鐃鳩俪谥圆颏輻嗇惡呛櫪组颓緗轢箩約鱼產辐鹃钠俭躒劲苎鸭拦尘谖。

第01讲 与圆有关的性质——垂径定理课程标准学习目标 ①与圆有关的概念②圆的对称性③圆的垂径定理 1. 认识圆，掌握圆的相关概念。

2. 掌握圆的对称性。

3. 掌握垂径定理，并能够灵活运用垂径定理解决相关题目。

知识点01 与圆有关的概念1. 圆的概念：静态定义：圆可以看做是到定点O 的距离等于定长r 的所有点的集合。

定点是，定长是圆的 。

动态定义：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转 ，另一个端点A 所形成的 叫做圆．固定的端点O 叫做 ，线段OA 的长叫做 。

以O 点为圆心的圆，记作 ，读作 。

2.弦的概念：如图：连接圆上任意两点的线段叫做。

如图中有弦CD与弦AB。

3.直径：过的弦叫做直径。

如图中弦AB是直径。

直径是弦，但是弦不一定是直径。

4.弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。

它包含、、。

（1）半圆：的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做。

（2）优弧：半圆的弧叫做优弧。

如图中的优弧AOC，表示为。

读作。

表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。

若只有两个字母默认为劣弧。

（3）劣弧：半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为。

读作。

5.等圆：能够的两个圆或半径的两个圆叫做等圆。

6.等弧：在同圆或等圆中，能够的两条弧叫做等弧。

题型考点：①相关概念的理解与认识。

知识点02 圆的对称性1.圆的对称性：圆既是图形，有条对称轴。

又是图形，对称中心是圆的。

【即学即练1】1．圆的有关概念：（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做．线段OA叫做．（b）圆是所有点到定点O的距离定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧．（5）等圆：能够 的两个圆叫等圆，半径 的两个圆也叫等圆..【即学即练2】2．如图中有 条直径，有 条弦，以点A 为端点的优弧有 条，有劣弧 条．【即学即练3】3．下列说法中，正确的是 ．①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆；⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形；⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段；⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形．知识点03 垂径定理1. 垂径定理的内容：垂直于弦的 ， 弦，平分弦所对的 和 。