苏教版数学高一必修四 作业 两角和与差的余弦

3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3．能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)[基础·初探]教材整理两角和与差的余弦公式阅读教材P103～P104完成下列问题．1．两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.2．两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.()(2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.()(3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )(4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α.( ) 【解析】 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]公式的直接应用已知sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．【精彩点拨】 由sin α求cos α；由cos β求sin β，套用cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β公式求值．【自主解答】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－35.又β是第三象限角，cos β＝－513，∴sin β＝－1213. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213 ＝－3365.解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式，便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的.[再练一题]1．已知sin α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．【解】 ∵sin α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－265.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝－265×12＋15×32＝3－2610.公式的逆用计算：(2)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．【精彩点拨】 从所求式子的形式，角的特点入手，化简求值． 【自主解答】 (1)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105° ＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.(2)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α) ＝cos[(α－35°)－(25°＋α)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．[再练一题] 2．求下各式的值(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°.【解】 (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°·sin 36° ＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12.[探究共研型]给值求值(角)问题探究1 【提示】 α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α. 探究2 已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？【提示】 由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.【导学号：06460069】【精彩点拨】 已知α＋β，β－π4的正弦值，可用同角三角函数的基本关系式，结合α，β的范围求其余弦值，所以可利用角变换α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4来求值．【自主解答】 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴(α＋β)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π.∴cos(α＋β)＝1－sin 2(α＋β)＝45.又⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．[再练一题]3．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.[构建·体系]1．cos 75°＝________；cos 15°＝________.【解析】 cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝6－24. cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝6＋24. 【答案】6－246＋242．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32.【答案】 323．化简cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°＝________.【解析】 原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 【答案】6＋244．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________.【导学号：06460070】【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210.【答案】 －2105．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜π2，求cos α.【解】 由于0＜α－π6＜π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝513.所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·sin π6＝1213×32－513×12＝123－526.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十四) 两角和与差的余弦(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于________． 【解析】 原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22. 【答案】 222．若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是________． 【解析】 ∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x3＝0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0，∵x ∈[0，π]∴x ＝π2.【答案】 π23．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________． 【解析】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45 ∴2cos αcos β＝0. ∴cos αcos β＝0. 【答案】 04．(2016·苏州高一检测)已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________. 【导学号：06460071】【解析】 ∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝45.又sin β＝－1213，β是第三象限角， ∴cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513.cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45 ＝1565－4865＝－3365. 【答案】 －33655．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形．【解析】 由sin A sin B ＜cos A cos B 得 cos(A ＋B )＞0， ∴cos C ＜0.∴∠C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 钝角 6．化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3. 【答案】37．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝________. 【解析】 |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1.【答案】 18．(2016·南京高一检测)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴cos(α－β)＝32.【答案】 32 二、解答题9．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．【解】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.10．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝55，∴sin(α－β)＝－255.∵α为锐角，cos 2α＝1010，∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎪⎫－255 ＝－22.∵0＜α，β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝3π4.[能力提升] 1．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________.【解析】 由已知sin α＝63，cos α＝33，cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 【答案】 3＋662. (2016·南通高一检测)如图3-1-1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则cos(α－β)＝________.图3-1-1【解析】 易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝45，sinβ＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665.【答案】 56653．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________. 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14∴cos α＋3sin α＝12.【答案】 124．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6， 而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617， ∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦预习课本P103～106，思考并完成以下问题1．如何通过向量法来推导两角差的余弦公式？2．如何由两角差的余弦公式来推导两角和的余弦公式？3．两角和(差)的余弦公式是什么？[新知初探]两角和与差的余弦公式(1)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.[点睛](1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．[小试身手]1．cos 110°cos 20°＋sin 110°sin 20°＝________. ★答案★：02．求值：cos 15°＋sin 15°＝________. ★答案★：623．满足sin π5sin α＋cos 4π5cos α＝12的锐角α＝________.★答案★： 7π154．已知cos(α＋β)＝12，cos(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.★答案★：－15给角求值问题[典例1] 求下列各式的值： (1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°. [解] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32. (2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋64. (3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式．[活学活用] 求值：2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)2cos 5°.解：原式＝2sin 50°＋2sin 80°cos 10°·⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos (60°－10°)2cos 5°＝2⎝⎛⎭⎫22sin 50°＋22cos 50°cos 5°＝2cos (50°－45°)cos 5°＝2.已知三角函数值求值[典例2] 已知π2＜β＜α＜3π4，且cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．[解] 因为π2＜β＜α＜3π4，所以π＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π4，又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45， 所以cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365.(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值． 解：因为π2＜α＜π，0＜β＜π2，所以π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－⎝⎛⎭⎫－192＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53，所以cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β＝ cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.已知三角函数值求角[典例 已知锐角α，β满足sin α＝5，cos β＝310，求α＋β的值． [解] 因为α，β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， 所以cos α＝1－sin 2α＝255， sin β＝1－cos 2β＝1010， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4.[一题多变]1．[变条件]本例中条件cos β＝31010，变为sin β＝1010，α，β均为锐角变为α和β均为钝角，其他条件不变，求α＋β的值．解：因为α和β均为钝角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，cos β＝－1－sin 2β＝－31010. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4.2．[变条件，变设问]若本例中cos β＝31010改为cos β＝1010，其他条件不变，求α－β的值．解：因为α，β为锐角， 所以由sin α＝55，cos β＝1010， 得到cos α＝255，sin β＝31010，且α＜β，即－π2＜α－β＜0.于是cos(α－β)＝255×1010＋55×31010＝22， 故α－β＝－π4.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．层级一 学业水平达标1．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为________．解析：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.★答案★：122．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.★答案★：2 23．若a为锐角且cos α＝255，则cos⎝⎛⎭⎫π4－α＝________.解析：由α为锐角且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos⎝⎛⎭⎫π4－α＝cosπ4cos α＋sinπ4sinα＝22×255＋22×55＝31010.★答案★：310104．cos 105°＝________.解析：cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝12×22－32×22＝2－64.★答案★：2－645．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，则cos(α－β)＝________.解析：因为(sin α＋sin β)2＝925，(cos α＋cos β)2＝1625，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.★答案★：－126．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．解析：∵α<β，cos(α－β)＝55，且α，β均为锐角，∴sin(α－β)＝－255.又∵cos 2α＝1010，∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22. ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π. ∴α＋β＝3π4. ★答案★：3π47．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. 解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.★答案★：π38．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________. 解析：cos α＋3sin α＝2⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2×14＝12. ★答案★：129．求值： (1)sin 285°；(2)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)．解：(1)sin 285°＝sin(270°＋15°)＝－cos 15°＝－cos(60°－45°) ＝－(cos 60°·cos 45°＋sin 60°·sin 45°)＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°·sin 160°＋cos 200°·cos 280° ＝－sin 100°·sin 20°－cos 20°·cos 80° ＝－(cos 80°·cos 20°＋sin 80°·sin 20°)＝－cos 60°＝－12.10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值． 解：因为5π4<α<7π4，所以3π2<α＋π4<2π，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210. 层级二 应试能力达标1．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)＝________.解析：因为α为锐角，且cos α＝1213，所以sin α＝1－cos 2α＝513. 又因为β为第三象限角，且sin β＝－35，所以cos β＝－1－sin 2β＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365. ★答案★：－63652．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________. 解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.★答案★：123．已知锐角α，β满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β＝______.解析：因为α为锐角，且cos α＝45，得sin α＝35.又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13<0，所以cos(α－β)＝310.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110. 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×310＋35×⎝⎛⎭⎫－110＝91050.★答案★：910504.2cos 10°－sin 20°sin 70°＝________.解析：原式＝2cos (30°－ 20°)－sin 20°sin 70°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.★答案★： 35．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝________. 解析：由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝ cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. ★答案★：72106．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，① －cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β， 化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.★答案★：－127．已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x 的值域． 解：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －22sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤cos π4cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin π4sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎣⎡⎦⎤π4＋⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x .因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π6≤π3－x ≤π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以函数y 的值域是⎣⎡⎦⎤22，2.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，所以ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617， 所以2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

课时分层作业(二十四) 两角和与差的余弦(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于( ) A ．0 B .12 C .22 D .32 C [原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22.]2．若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是( ) A .π6 B .π4 C .π3 D .π2D [∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x3＝0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2.]3．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( ) A ．0 B .12 C .22 D .32A [cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45， ∴2cos αcos β＝0. ∴cos αcos β＝0.]4．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝( ) A .12 B .22 C .32 D ．1D [|a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1.]5．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝( ) A .12 B ．－12 C .32 D ．－32 B [由题意，知sin α＋sin β＝－sin γ，① cos α＋cos β＝－cos γ.②①2＋②2，得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.] 二、填空题6．已知cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.1＋6210 [因为cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝265， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210.]7．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形． 钝角 [由sin A sin B ＜cos A cos B 得 cos(A ＋B )＞0， ∴cos C ＜0.∴C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形．]8．已知a ＝(cos α，sin β)，b ＝(cos β，sin α)，0<β<α<π2，且a ·b ＝12，则α－β＝________.π3 [a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝12， 又0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，故α－β＝π3.] 三、解答题9．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．[解] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.10．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．[解] ∵α＜β，cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－255.∵α为锐角，cos 2α＝1010，∴sin 2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝－22. ∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝3π4.[等级过关练]1．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )且a·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形B [因为a·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形．]2．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则cos(α－β)＝( )A .1665B ．－1665C .5665D ．－5665C [易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝45，sin β＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665.]3．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________. 3＋66[由已知sin α＝63，cos α＝33， cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋66.] 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________.12 [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14， ∴cos α＋3sin α＝12.]5．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．[解] (1)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617， ∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

第3章 三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数3.1.1 两角和与差的余弦一、填空题1．cos 15°的值是________．2．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 3．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________． 4．已知点A (cos 80°，sin 80°)，B (cos 20°，sin 20°)，则|AB →|＝________.5．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________． 6．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．7．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是________．8.2cos 50°－3sin 10cos 10°＝________. 二、解答题9．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)． 10．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值． 11．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值． 三、探究与拓展12．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．答案 1.2＋64 2.83 3．－π4 4．1 5.3π4 6．－12 7.558．1 9．解 由cos α－cos β＝12两边平方得 (cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得 (sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.② ①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336. ∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972， ∴cos(α－β)＝5972. 10．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.11．解 ∵π2<α－β<π， cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35. ∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2. 12．解 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两等式平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12， ∵α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴β－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴β－α＝±π3. ∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝π3.。

[学业水平训练]1.sin 75°＝________．解析：sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12·22＋32·22 ＝2＋64. 答案：2＋642.已知cos α＝35，α∈(3π2，2π)，则cos(α－π3)＝________． 解析：∵α∈(3π2，2π)， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45， ∴cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝35×12＋(－45)×32＝3－4310. 答案：3－43103.sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为__________． 解析：sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )＝sin(65°－x )sin [90°－(x －20°)]＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝sin(65°－x )sin(110°－x )＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝cos(110°－x －65°＋x )＝cos 45°＝22. 答案：224.2cos 15°＋6sin 15°的值是__________．解析：2cos 15°＋6sin 15°＝22(32sin 15°＋12cos 15°)＝22cos(60°－15°)＝22cos 45°＝2.答案：25.已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于__________． 解析：由已知知cos [(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45. 又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34. 答案：346.若三角形两内角α，β满足tan α·tan β＞1，则这个三角形是__________．解析：因为tan α·tan β＞1，所以α，β均为锐角，sin αsin βcos αcos β＞1，所以cos αcos β－sin αsin β＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形7.求下列各式的值：(1)sin 61°sin 16°＋cos 61°cos 16°；(2)cos 80°cos 20°＋cos 10°cos 70°.解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12. 8.已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010. (1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．解：(1)∵sin α＝55，α为锐角． ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255； ∵cos β＝31010，β为锐角． ∴sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255·31010＋55·1010＝7210. (2)cos(α＋β)＝cos [α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝255·31010＋55·(－1010)＝22. ∵α、β均为锐角，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. [高考水平训练]1．1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________． 解析：根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63， 所以cos(α＋β2)＝cos [(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2) ＝13×33＋223×63＝539. 答案：5392.设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：b ＝cos 5°－3sin 5°＝2(12cos 5°－32sin 5°)＝2cos 65°， c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°.因为函数y ＝cos x 在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos 67°<cos 66°<cos 65°，所以b >a >c .答案：b >a >c3.已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π3)＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π6)＝2， 即A ·cos π4＝2，∴A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π6)． 由⎩⎨⎧f （4α＋43π）＝－3017，f （4β－23π）＝85，得⎩⎨⎧2cos （α＋π3＋π6）＝－3017，2cos （β －π6＋π6）＝85， 解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 4．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0＜α＜β＜π)．若k a ＋b 与a －k b 长度相等(其中k 为非零实数)，求β－α的值．解：∵k a ＋b ＝(k cos α，k sin α)＋(cos β，sin β)＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，∴|k a ＋b |2＝(k cos α＋cos β)2＋(k sin α＋sin β)2＝k 2cos 2α＋2k cos αcos β＋cos 2β＋k 2sin 2α＋2k sin αsin β＋sin 2β＝k 2＋2k cos(α－β)＋1. |a －k b |2＝(cos α－k cos β)2＋(sin α－k sin β)2＝cos 2α－2k cos αcos β＋k 2cos 2β＋sin 2α－2k sin αsin β＋k 2sin 2β＝k 2－2k cos(α－β)＋1.又|k a ＋b |＝|a －k b |，∴|k a ＋b |2＝|a －k b |2.∴2k cos(α－β)＝－2k cos(α－β)．又k ≠0，∴cos(α－β)＝0，即cos(β－α)＝0.又0＜α＜β＜π，∴0＜β－α＜π，∴β－α＝π2.。

第一课时 两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：余弦的差角公式及简单应用教学难点：余弦的差角公式的推导教学过程：Ⅰ.课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?Ⅱ.讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos （α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.在直角坐标系x O y 中，以O x 轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P 1（cos α，sin α）、P 2（cos β，sin β），则∠P 1OP 2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.设向量a ＝OP 1→＝（cos α，sin α），b ＝OP 2→＝（cos β，sin β），则：a ·b ＝︱a ︱︱b ︱cos （α－β）＝cos （α－β）另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β所以：cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β （C （α－β））两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?cos ［α－（－β）］＝cos αcos （－β）－sin αsin （－β）＝cos αcos β－sin αsin β即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β （C （α＋β））请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如：求cos 15°可化为求cos （45°－30°)或cos （60°－45°）利用这一式子而求得其值. 即：cos 15°＝cos （45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30° ＝22·32＋22·12 ＝6＋24或：cos 15°＝cos （60°－45°）＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45° ＝12 ·22＋32·22＝6＋24请同学们将此公式中的α用π2 代替，看可得到什么新的结果?cos （π2 －α）＝cos π2 cos α＋sin π2 sin α＝sin α即：cos （π2 －α）＝sin α再将此式中的α用π2 －α代替，看可得到什么新的结果.cos ［π2 －（π2 －α）］＝cos α＝sin （π2 －α）即：sin （π2 －α）＝cos αⅢ.课堂练习1.求下列三角函数值①cos （45°＋30°）②cos 105°解：①cos （45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°＝22·32－22·12 ＝6－22②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45°＝12 ·22－32·22＝2－622.若cos αcos β＝－34 ，cos （α＋β）＝－1，求sin αsin β.解：由cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β得：sin αsin β＝cos αcos β－cos （α＋β）将cos αcos β＝－34 ，cos （α＋β）＝－1代入上式可得：sin αsin β＝143.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值.解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos （23°＋22°）＝cos 45°＝224.若点P (－3，4)在角α终边上，点Q （－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值.解：由点P （－3，4）为角α终边上一点；点Q （－1，－2)为角β终边上一点，得：cos α＝－35 ，sin α＝45 ；cos β＝－255，sin β＝－55.∴cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝（－35 ）×（－255）－45 ×（－55）＝2555.已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113 ，求：tan α·tan β的值.解：由已知cos （α－β）＝1213 ，cos （α＋β）＝－113可得：cos （α－β）＋cos （α＋β）＝1213 －113 ＝1113即：2cos αcos β＝1113 ①cos （α－β）－cos （α＋β）＝1即：2sin αsin β＝1 ②由②÷①得2sin αsin β2cos αcos β ＝tan α·tan β＝1311∴tan α·tan β的值为1311 .6.已知cos α－cos β＝12 ，sin α－sin β＝－13 ，求：cos （α－β）的值.解：由已知cos α－cos β＝12得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14①由sin α－sin β＝－13得：sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝19 ② 由①＋②得：2－2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1336即：2－2cos （α－β）＝1336∴cos （α－β）＝5972Ⅳ.课时小结两公式的推导及应用.Ⅴ.课后作业课本P 96习题 1，2，3两角和与差的余弦1．下列命题中的假命题．．．是 （ ）A.存在这样的α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βB.不存在无穷多个α和β的值，使得cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin βC.对于任意的α和β，都有cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin βD.不存在这样的α和β值，使得cos （α＋β）≠cos αcos β－sin αsin β2．在△ABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则△AB Ｃ一定是钝角三角形吗？3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值.4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4 ＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.5．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665 ，求cos β的值.6．在△ABC 中，已知sin A ＝35 ，cos B ＝513 ，求cos C 的值.两角和与差的余弦答案1．B2．在△ABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sinΒ，则△AB Ｃ一定是钝角三角形吗？ 解：∵在△ABC 中，∴0＜C ＜π，且A ＋B ＋C ＝π即：A ＋B ＝π－C由已知得cos A ·cos B －sin A ·sin B ＞0，即：cos （A ＋B ）＞0∴cos （π－C ）＝－cos C ＞0，即cos C ＜0∴C 一定为钝角∴△ABC 一定为钝角三角形.3．已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的最大值和最小值.分析：令cos α＋cos β＝x ，然后利用函数思想.解：令cos α＋cos β＝x ，则得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝x ①sin α＋sin β＝22 ②①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x 2＋12∴cos (α－β)＝2x 2－34∵|cos (α－β)|≤1， ∴| 2x 2－34 |≤1 解之得：－142≤x ≤142∴cos α＋cos β的最大值是142，最小值是－142.4．已知：α∈（π4 ，3π4 ），β∈（0，π4 ），且cos （π4 －α）＝35 ，sin （5π4 ＋β）＝－1213求：cos （α＋β）.解：由已知：α∈（π4 ，3π4 ） ⇒－α∈（－3π4 ，－π4 ）⇒π4 －α∈（－π2 ，0）又∵cos （π4 －α）＝35 ， ∴sin （π4 －α）＝－45由β∈（0，π4 ）⇒π4 ＋β∈（π4 ，π2 ）又∵sin （5π4 ＋β）＝sin ［π＋（π4 ＋β）］＝－sin （π4 ＋β）＝－1213即sin （π4 ＋β）＝1213 ， ∴cos （π4 ＋β）＝513 又（π4 ＋β）－（π4 －α）＝α＋β∴cos （α＋β）＝cos ［（π4 ＋β）－（π4 －α）］＝cos （π4 ＋β）cos （π4 －α）＋sin （π4 ＋β）sin （π4 －α） ＝513 ×35 ＋1213 ×（－45 ）＝－33655．已知：α、β为锐角，且cos α＝45 ，cos （α＋β）＝－1665 ，求cos β的值.解：∵0＜α·β＜π2 ，∴0＜α＋β＜π由cos （α＋β）＝－1665 ，得sin （α＋β）＝6365又∵cos α＝45 ，∴sin α＝35∴cos β＝cos ［（α＋β）－α］＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝（－1665 ）×45 ＋6365 ×35 ＝513评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.6．在△ABC 中，已知sin A ＝35 ，cos B ＝513 ，求cos C 的值.分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.解：由sin A ＝35 ＜22知0°＜A ＜45°或135°＜A ＜180°，又cos B ＝513 ＜12 ，∴60°＜B ＜90°，∴sin B ＝1213若135°＜A ＜180°则A ＋B ＞180°不可能.∴0°＜A ＜45°，即cos A ＝45 .∴cos C ＝－cos （A ＋B ）＝1665 .。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(63)必修4_03 两角和与差的余弦班级 姓名目标要求：掌握两角和与差的余弦公式的推导，能利用两角和与差公式解决某些求值问题.重点难点：重点：两角和与差的余弦公式的运用.难点：两角和与差的余弦公式的的推导.典例剖析：例1、（1）计算cos75︒； （2）化简cos(A-B)cosB － sin(A-B)sinB ；（3）求值︒︒+︒︒55cos 10cos 35cos 80cos例2、已知2sin 3α=，33(,),cos ,(,)252ππαπββπ∈=-∈，求cos()αβ+的值.变题：ABC ∆中，35cos ,sin ,513A B ==求cos C .例3、已知54cos(),cos ,,135αββαβ+==均为锐角，求cos α的值.例4、 () sin sin sin cos cos cos 0,cos .αβγαβγαβ++=++=-若求的值学习反思1.cos()αβ+= cos()αβ-=2.注意公式的逆用。

即：_______sin sin cos cos =⋅±⋅βαβα3.进行三角求值时，需特别注意角的范围的限制.课堂练习1、化简______sin 3sin cos 3cos =⋅+⋅αααα2、计算：cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)αααα+︒︒--+︒︒-=_____________.3、设15cos ,(0,),172παα=∈则cos()6πα+的值是_____________. 4、设βα,均为锐角，且52cos ,101sin ==βα，则βα+等于_____________. 5、在ABC ∆中,如果cos cos sin sin A B A B >,则ABC ∆为_____________三角形.6、已知cos()3πθ- =35,(,),2πθπ∈求cos θ的值.江苏省泰兴中学高一数学作业(63)班级 姓名 得分1、化简sin()sin()cos()cos()x y x y x y x y +--+-的结果是_____________.2、在ABC ∆中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值是_____________. 3、化简cos58sin37sin122sin53︒︒+︒︒＝_________________4、化简cos()cos()33ππθθ+--＝_______________ 5、已知23sin ,cos ,34αβ==-且,αβ都是第二象限角，求cos()αβ+ 的值.6、已知1cos()3αβ+=，1cos()5αβ-=，求tan tan αβ的值.7、 已知,42ππαβ<<<且412sin(),cos()513αβαβ+=-= 求cos2,sin 2,tan 2ααα的值.8、在ABC ∆中，已知C B A cos 1sin sin 2+=⋅，试判断ABC ∆的形状.9、若11sin sin ,cos cos 23αβαβ+=-=，求()cos αβ+的值.10、设O 为坐标原点，111222(,)(,)P x y P x y 和为单位圆上两点，且12POP θ∠=,求证：1212cos x x y y θ+=.。

3．1.1 两角和与差的余弦思考：cos(α－β)＝？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，对不对？令α＝π3，β＝－π6，则cos(α－β)＝cos π2＝0， cos α－cos β＝cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－32. 有一个反例，就足以说明cos(α－β)≠cos α－cos β.只有在某些特殊情况下，才有cos(α－β)＝cos α－cos β.因此，切记，不能将cos(α－β)按分配律展开，那么cos(α－β)究竟等于什么？ 我们能用什么办法加以推导？基础巩固 1．下列等式中一定成立的是( )A ．cos(α＋β)＝cos α＋cos βB ．cos(α－β)＝cos α－cos βC ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos αD ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α答案：D2．cos ⎝⎛⎭⎫－2512π的值是________．答案：2＋643．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________．答案：－124．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2的值．解析：∵0<α<π2，－π2<β<0， ∴π4<π4＋α<34π，π4<π4－β2<π2， 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. 答案：539能力升级5.cos 7°－cos 8°cos 15°cos 23°－cos 8°cos 15°的值为________．解析：原式＝cos 15°－8°－cos 8°cos 15°cos 8°＋15°－cos 8°cos 15°＝ cos 8°cos 15°＋sin 8°sin 15°－cos 8°cos 15°cos 8°cos 15°－sin 8°sin 15°－cos 8°cos 15°＝－1. 答案：－16．若α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12，则 cos(α＋β)的值为________．解析：由α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α－β2∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π4，又cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12， 所以α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，解得α＝β＝π3或 α＝－π9，β＝π9，所以cos(α＋β)＝－12或cos(α＋β)＝1. 答案：－12或17．已知：sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求cos(α－β)的值．解析：由已知得：sin α＋sin β＝－sin γ，①cos α＋cos β＝－cos γ，②①2＋②2得：2cos(α－β)＋2＝1.8．已α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值知．解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.9．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°.解析：原式＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20° ＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.10．已知角A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A)，且m·n＝1，求角A.解析：∵m·n ＝1，∴(－1，3)·(cos A ，sin A)＝1， 即3sin A －cos A ＝1，2⎝⎛⎭⎫sin A·32－cos A·12＝1，∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－12.∵0＜A ＜π，∴π3＜A ＋π3＜4π3.∴A ＋π3＝2π3.∴A ＝π3.。

学业分层测评(二十四) 两角和与差的余弦(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于________． 【解析】 原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22. 【答案】 222．若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是________． 【解析】 ∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x3＝0， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0，∵x ∈[0，π]∴x ＝π2.【答案】 π23．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________． 【解析】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45 ∴2cos αcos β＝0. ∴cos αcos β＝0. 【答案】 04．(2016·苏州高一检测)已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________. 【导学号：06460071】【解析】 ∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝45.又sin β＝－1213，β是第三象限角， ∴cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513. cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45 ＝1565－4865＝－3365. 【答案】 －33655．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形．【解析】 由sin A sin B ＜cos A cos B 得 cos(A ＋B )＞0， ∴cos C ＜0.∴∠C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 钝角6．化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝________. 【解析】 |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1.【答案】 18．(2016·南京高一检测)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴cos(α－β)＝32.【答案】 32 二、解答题9．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．【解】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53.∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.10．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－255. ∵α为锐角，cos 2α＝1010， ∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255 ＝－22.∵0＜α，β＜π2，∴0＜α＋β＜π. ∴α＋β＝3π4.[能力提升]1．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________. 【解析】 由已知sin α＝63，cos α＝33，cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 【答案】3＋662. (2016·南通高一检测)如图3-1-1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则cos(α－β)＝________.图3-1-1【解析】 易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝45，sin β＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665.【答案】 56653．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________.【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14 ∴cos α＋3sin α＝12. 【答案】 124．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．【解】 (1)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

[学业水平训练]°＝．解析：°＝(°－°)＝°＝(°－°)＝° °＋° °＝·＋·＝.答案：已知α＝，α∈(，π)，则(α－)＝．解析：∵α∈(，π)，∴α＝－＝－，∴(α－)＝α＋α＝×＋(－)×＝.答案：(°－)(－°)＋(°－)(°－)的值为．解析：(°－)(－°)＋(°－)(°－)＝(°－) [°－(－°)]＋(°－)·(°－)＝(°－)(°－)＋(°－)·(°－)＝(°－－°＋)＝°＝.答案：°＋°的值是．解析：°＋°＝( °＋°)＝(°－°)＝°＝.答案：已知：(α＋β) β＋(α＋β) β＝－，且°＜α＜°，则α等于．解析：由已知知[(α＋β)－β]＝－，即α＝－.又°＜α＜°，所以α＝－，所以α＝α α)＝.答案：若三角形两内角α，β满足α·β＞，则这个三角形是．解析：因为α·β＞，所以α，β均为锐角，α β α β)＞，所以αβ－αβ＜，即(α＋β)＜，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形求下列各式的值：() ° °＋ ° °；() ° °＋ ° °.解：()原式＝(°－°)＝°＝.()原式＝° °＋° °＝(°－°)＝°＝.已知锐角α、β满足α＝，β＝.()求(α－β)的值；()求α＋β的值．解：()∵α＝，α为锐角．∴α＝α＝＝；∵β＝，β为锐角．∴β＝＝＝，∴(α－β)＝αβ＋αβ＝·＋·＝.()(α＋β)＝[α－(－β)]＝α(－β)＋α(－β)＝·＋·(－)＝.∵α、β均为锐角，∴<α＋β<π，∴α＋β＝.[高考水平训练]．.若<α<，－<β<，(＋α)＝，(－)＝，则(α＋)＝．解析：根据条件可得α＋∈(，π)，－∈(，)，所以(α＋)＝，(－)＝，所以(α＋)＝[(＋α)－(－)]＝(＋α)(－)＋(＋α)(－)＝×＋×＝.答案：设＝ °，＝ °－°，＝( ° °－ ° °)，则，，的大小关系是．解析：＝°－°＝( °－°)＝°，＝( ° °－° °)＝( ° °－° °)＝°.因为函数＝在[°，°]内是单调递减函数，且°>°>°，所以°< °< °，所以>>.答案：>>已知函数()＝(＋)，∈，且()＝.()求的值；()设α，β∈，(α＋π)＝－，(β－π)＝，求(α＋β)的值．解：()由()＝得(＋)＝，即·＝，∴＝.()由()知()＝(＋)．由得－(π)＋(π)）＝()，))解得α＝()，β＝().))∵α，β∈，∴α＝＝，β＝＝，∴(α＋β)＝αβ－αβ＝×－×＝－.．已知＝( α，α)，＝( β，β)(＜α＜β＜π)．若＋与－长度相等(其中为非零实数)，求β－α的值．解：∵＋＝( α，α)＋( β，β)＝( α＋β，α＋β)，－＝( α－β，α－β)，∴＋＝( α＋β)＋( α＋β)＝α＋αβ＋β＋α＋αβ＋β＝＋(α－β)＋.－＝( α－β)＋( α－β)＝α－αβ＋β＋α－αβ＋β＝－(α－β)＋.又＋＝－，∴＋＝－.∴(α－β)＝－(α－β)．又≠，∴(α－β)＝，即(β－α)＝.又＜α＜β＜π，∴＜β－α＜π，∴β－α＝.。

两角和与差的余弦一教学目标1．掌握公式的推导，并能用赋值法，求出公式．2．应用公式，求三角函数值．二教学过程（一）．设置情境上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系．本节开始讨论两个角的三角函数，已知任意角的三角函数值，如何求出，或的三角函数值，这一节课我们将研究、．（二）．探索研究1．公式、推导．请大家考虑，如果已知、，怎样求出？是否成立．只有通过严格的理论证明才行．下面给出证明：为了证明它，首先给出两点间的距离，图1(也可以利用多媒体课件演示)．考虑坐标平面内的任意两点，过点分别作轴的垂线，，与轴交于点，；同理，那么，，由勾股定理，由此得到平面内两点间的距离公式问题1：（可以用课件演示）如右图2，在直角坐标系内作单位圆，并作出角、与请同学们把坐标系中，，，各点的坐标用三角函数表示出来．问题2：线段与有什么关系？为什么？问题3：请同学们用两点间的距离公式把表示出来并加以整理．所以（记为）这个公式对任意的，均成立，如果我们把公式中的都换成，又会得到什么？（记为）2。

例题分析【例1】不查表，求及的值．【例2】已知，，，，求的值．【例3】不查表，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【例4】证明公式：（1）；（2）练习（投影、学生板演）（1）（2）已知，，求说明：请同学们很好体会一下，上述凑角的必然性和技巧性，并能主动尝试训练，以求熟练。

3．演练反馈（1）的值是（）A．B．C．D．（2）等于（）A．0 B．C．D．2（3）已知锐角满足，，则为（）A．B．C．或D．，参考答案：（1）B；（2）B；（3）A．4．总结提炼（1）牢记公式“”结构，不符合条件的要能通过诱导公式进行变形，使之符合公式结构，即创造条件用公式．（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系，如已知角、的值，求，应视、分别为已知角，为未知角，并实现“”与“”及“”之间的沟通：．（3）利用特值代换证明，，体会的强大功能．。

注：（1）角α 和角β均是任意角； （2）公式形式特点：①CCSS
②+-互换
三、应用
例1 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）cos


2




sin
（2）sin


2



cos
【评】1、公式的直接应用；
2、两角和为
2
，正、余弦相等；
3、正、余弦可互化.
(3)
cos


3

【评】公式的正用、逆用和灵活运用。
例3、已知：sin


2 3
，



2
，
，cos



3 5
,



,
3
2

求：cos 的值。
练习：已知锐角、满足sin 5 ，cos 3 10
3.1.1 两角和与差的余弦
两角和与差的余弦
一、问题情境：
cos 60 1
2
cos 45
2 2
问题1：cos15 cos60 45 ？
问题2：cos 能否用α 的三角函数与β 的
三角函数来表示？
两角和与差的余弦
y
(cos,sin) P1
α o
(cos ,sin )
【变式】利用两角和（差）的余弦公式求
（1）cos 75 （2）sin 75
【引申】求 tan 75 的值.
【课后思考】能否求 sin( ) 的值？
例2 化简:
（1）cos58 cos37 sin 58 sin 37

互动课堂疏导引导1.两角差的余弦公式把cos （α-β）看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究，如下图，设α,β的终边分别与单位圆交于点P 1（cosα,sinα）,P 2(cosβ,sinβ),由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只考虑0≤α-β＜π的情况.设向量a =1OP =(cosα,sinα),b =2OP =(cosβ,sinβ),则a ·b =|a ||b |·cos(α-β)=cos(α-β).另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a ·b =cosαcosβ+sinαsinβ,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是，对于任意的α、β,都有上述式子成立.2.两角和的余弦公式比较cos （α-β）与cos （α+β）,并且注意到α+β与α-β之间的关系：α+β=α-(-β),则由两角差的公式得：cos （α+β）=cos ［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosα·cosβ-sinαsinβ，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.对两角和与差的公式的理解和记忆（1）上述公式中的α、β都是任意角.（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.（3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧.如2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β,α=(α-β)+β.活学巧用【例1】 利用公式C α-β,C α+β证明下列等式.(1)cos(π-α)=-cosx;(2)cos(23π-α)=-sinα. 解析:（1）cos （π-α）=cos πcosα+sinπsinα=-cosα+0·sinα=-cosα. (2)cos(π23-α)=cos π23cosα+sin·π23sinα =0·cosα-sinα=-sinα. 【例2】 已知sinα=1312,cosβ=53-,α、β均为第二象限角，求cos （α-β）,cos(α+β). 解析:由sinα=1312,α为第二象限角,∴cosα=135)1312(1sin 122-=--=--α. 又由cosβ=-53,β为第二象限角, ∴sinβ=54)53(1cos 122=--=-β. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (-135)×(53-)+1312×54=6563. 【例3】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α-β)= 1312,sin(α+β)= 53-,求cos2α与cos2β. 解析：∵2π＜β＜α＜43π, ∴0＜α-β＜4π,π＜α+β＜π23, ∴sin(α-β)=135)1312(1)(cos 122=-=--βα, cos(α+β)=54)53(1)(sin 122-=---=+--βα, ∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-54×1312+(53-)×135=-6563. cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =6563135)53(131254-=⨯-+⨯-.。

一、学习目标：1、经历推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程；2、用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解划归思想在三角变换中的作用；3、能用余弦的和差公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明. 二、学习过程：例1、（1）证明下列诱导公式：①cos sin 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭；②()cos cos παα+=-.（2）求值：①cos75︒；②cos15︒；③tan15︒.（3）已知233sin ,,,cos ,,3252ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()cos αβ+.练习1、（1）已知3cos ,,52πθθπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，求cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）化简：()()cos 60cos 60θθ︒+-︒-； （3）化简：()()cos 60cos 60θθ︒++︒-.练习2、化简：（1）cos58cos37sin58sin37︒︒+︒︒；（2）()cos sin f x x x =-.例2、（1）已知43sin ,,4544πππαα⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值.（2）若,αβ是锐角，且()416cos ,cos 565ααβ=+=-，求cos β的值.练习：已知()()12123cos ,cos ,,,,2131322ππαβαβαβπαβπ⎛⎫⎛⎫-=-+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求角β.课堂小结：一、知识回顾：():C αβ-___________________________；():C αβ+___________________________. 注：（1）公式特点：等式两边符号_______；同名之积；复角(),αβαβ-+→单角(),αβ （2）注重公式的正用和逆用；（3）入手点：①名:切↔弦；正弦↔余弦； ②角：未知角→已知角；复角→单角二、基础训练： 1、化简（求值）：（1）cos105cos15sin105sin15︒︒-︒︒=____________； （2）cos165cos15cos75sin15︒︒+︒︒=____________；（3）sin10sin40sin50cos10︒︒+︒︒=____________； （4）sin200cos140sin70sin40︒︒-︒︒= .（5）cos(27)cos(18)sin(27)sin(18)x x x x +︒︒--+︒︒-=______________； （6）cos()cos sin()sin αβααβα---＝_________________. 2、已知锐角βα,满足10103cos ,55sin ==βα，则=+βα . 3、已知αβ，都是锐角，且35sin cos 513αβ==，，求cos()αβ+的值.4、已知15sin cos 1723ππααπα⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，,求.5、已知53sin sin 136ππααπα⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，,求2.6、已知11cos(),cos()35αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值.7、已知42sin ,,3563πππαα⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值.8、若,αβ是锐角，且()416cos ,cos ,565ααβ=+=-求cos β的值.9、已知()()12123cos ,cos ,,,,2131322ππαβαβαβπαβπ⎛⎫⎛⎫-=-+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求角β的值.10、在ABC ∆中，已知B A B A sin sin cos cos >，则ABC ∆的形状为 . 11、已知函数R x A x A x f ∈<<>+=),0,0)(sin()(πϕϕ的最大值是1，其图象经过点)21,3(πM .（1）求)(x f 的解析式；（2）已知)2,0(,πβα∈，且1312)(,53)(==βαf f ，求)(βα-f 的值.12、在三角形ABC 中，已知412cos ,cos 513A B ==，求cos C .。