(完整版)极点配置与状态观测器
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现代控制理论---状态反馈和状态观测器
第五章 系统的状态反馈及观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
第六章状态反馈与状态观测器
7
6.1 状态反馈和输出反馈
二、输出反馈
1、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反 馈到输入端与参考输入相加，其和 作为受控系统的控制输入。
2、基本结构
（控制输入不直接作用到输出，即D=0）
用输出 信号
输出反馈矩阵
r× m 输出反馈控制 输出反馈系统 律为: u v Hy
8
6.1 状态反馈和输出反馈 u v Hy 输出反馈系统的状态空间表达式为 ：
– 极点位置（系统矩阵的特征值）
通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
16
6.2 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获 得所希望的动态性能。
极点配置的方法：
一、采用状态反馈
(Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈 任意地配置其全部极点的充要条件 是：此被控系统状态完全能控。
Ax Bu Ax Bv Hy x
y Cx
Ax Bv BHCx A BHCx Bv
对应的传递函数矩阵为：
∴ 输出反馈中的 HC 与状态反馈中的 K 相当；
但 H可供选择的自由度远比 K 小（因m小于n）； ∴ 输出反馈一般只能相当于部分状态反馈。 只有当 HC=K时，输出反应的传递函数矩阵为：
1 Gk s C sI A BK B
对应特征方程：a()
I A BK 0
比较开环系统和闭环系统，可见：
状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但 通过K的选择，可以改变闭环系统的特征值，从 而使系统达到所要求的性能.
3
第六章 状态反馈和状态观测器
状态反馈实验报告总结(3篇)
第1篇一、实验背景在现代控制理论中，状态反馈是控制系统设计中的重要方法之一。
它通过将系统的状态信息反馈到控制输入，实现对系统动态特性的调节和优化。
本实验旨在通过MATLAB软件，验证状态反馈在控制系统设计中的应用，并分析其效果。
二、实验目的1. 理解状态反馈的原理和设计方法；2. 掌握状态反馈在控制系统中的应用；3. 分析状态反馈对系统性能的影响；4. 比较不同状态反馈策略的优劣。
三、实验内容1. 系统模型建立：根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型。
2. 状态反馈设计：采用极点配置法，将闭环系统的极点配置在期望的位置上，实现状态反馈。
3. 仿真分析：通过MATLAB软件进行仿真实验，分析不同状态反馈策略对系统性能的影响。
4. 结果比较：比较不同状态反馈策略的优劣，总结实验结论。
四、实验步骤1. 系统模型建立：根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型。
2. 状态反馈设计：根据极点配置法，确定闭环系统的极点位置，设计状态反馈控制器。
3. 仿真分析：在MATLAB软件中，搭建仿真模型，设置不同状态反馈策略，进行仿真实验。
4. 结果比较：分析仿真结果，比较不同状态反馈策略的优劣。
五、实验结果与分析1. 系统模型建立根据实验要求，建立被控对象的传递函数模型如下：G(s) = 1 / (s^2 + 2s + 2)2. 状态反馈设计采用极点配置法，将闭环系统的极点配置在期望的位置上，设计状态反馈控制器如下：K = [k1, k2]其中，k1和k2为待定系数。
通过求解以下方程组，确定k1和k2的值：(sI - A - BK)^-1B = C其中，A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，I为单位矩阵。
3. 仿真分析在MATLAB软件中，搭建仿真模型，设置不同状态反馈策略，进行仿真实验。
（1）无状态反馈将K置为零，观察系统响应。
（2）状态反馈根据上述设计的控制器，设置不同的k1和k2值，观察系统响应。
4. 结果比较通过仿真实验，比较不同状态反馈策略的优劣。
6.2 反馈控制和极点配置 共64页
x x1 2 A 11 0 B 1K 1 A 12 A 2 B 21K 2 x x1 2 B 0 1 v
其中
[K1 K2]KPc
状态反馈极点配置定理(9/11)
由上式可知,状态完全不能控子系统的系统矩阵 A~22的特征 值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。 虽然状态完全能控子系统的 A~11的特征值可以任意配 置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 A 的特
2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
p2 p1
p3
反馈控制与极点配置(4/5)
基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统 x AxBu
确定反馈控制律 uKxv
使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为
被控系统(A,B,C)状态完全能控。
□
证明 (1) 先证充分性(条件结论)。
即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。
由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范II形。
由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不
改变系统的状态能观性。
SISO系统状态反馈极点配置方法(1/10)
6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点。 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的 结论和方法。
其中
[K1 K2]KPc
状态反馈极点配置定理(9/11)
由上式可知,状态完全不能控子系统的系统矩阵 A~22的特征 值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。 虽然状态完全能控子系统的 A~11的特征值可以任意配 置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 A 的特
2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
p2 p1
p3
反馈控制与极点配置(4/5)
基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统 x AxBu
确定反馈控制律 uKxv
使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为
被控系统(A,B,C)状态完全能控。
□
证明 (1) 先证充分性(条件结论)。
即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。
由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范II形。
由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不
改变系统的状态能观性。
SISO系统状态反馈极点配置方法(1/10)
6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点。 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的 结论和方法。
连续控制部分第五章状态反馈与观测
有关系数 的选择
从收敛性的观点出发，特征值实部绝对值希望取得大一点。 但是，实部变大的时候，输入也要变大等问题也就出现了。 并且，当系统发生变化的时候，稳定性的保持问题也会出现。(鲁棒、稳定性)
收敛性
输入的大小
最优控制 鲁棒控制
鲁棒稳定性 其他需要考虑的特性
更加一般的鲁棒 Advanced control 。。。。。。。
输出反馈: u = Ky + Gv
闭环系统： x ( A BKC)x BGv y Cx
x Ax Bv y Cx Du ( A A BKC, B BG)
因为静态输出反馈很难实现极点的自由配置，提出了动态输出反馈的概念 → 「状态反馈」 + 「状态观测」
观测器（概念）
状态观测器(状态估计)：状态x不能被直接地观测或者测量的时候，通过系统 输出y 和系统输入 u 对系统状态x 进行估计或者推测所构建的模型。
设计坐标变换矩阵T：
p
T
pA
pAn1
坐标变换后的能控性 矩阵
0 0 1
可以得到、 rank{T b
Ab
An1b } rank0
1 *
* *
n
1
* *
因此T是一个正则矩阵。
得到闭环系统：
x ( A BF)x BGv
0 0 0
1 12
0
0 0
1
0 1000
6 1
~x 是x 的估计値 该拷贝模型不能保证初期推测误差收敛到0。所以引入系统输出差：
~y y C~x y
可以修正控制对象的直接拷贝模型的运动。
全维状态观测器：
~x A~x Bu K(C~x y) ~y C~x
状态空间分析_6
•
极点可配置条件 假设控制输入u的幅值是无约束的。 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规
律为
u = v − Kx
K为线性状态反馈矩阵。 为线性状态反馈矩阵。
定理（极点配置定理） 定理（ 极点配置定理） 线性定常系统可通过线性状态反 馈任意配置其全部极点的充要条件是， 馈任意配置其全部极点的充要条件是，被控系统状态完全 可控（该条件对单输入－单输出、多输入－ 可控（该条件对单输入－单输出、多输入－多输出系统都 适合）。 适合） 证明： 以单输入单输出系统为例证明) 证明：(以单输入单输出系统为例证明)
（输出方程没变化） 输出方程没变化）
传递函数矩阵为
GK (s) = C ( sI − A + BK ) −1 B
2 输出反馈
系统的状态常常不能全部测量得到， 系统的状态常常不能全部测量得到，或状态不可 故状态反馈的应用受到限制。 控，故状态反馈的应用受到限制。另一反馈形式是输 出反馈，输出反馈的目的首先是使系统稳定，在此基 出反馈，输出反馈的目的首先是使系统稳定， 础上进一步改善系统的性能。 础上进一步改善系统的性能。 输出反馈有以下两种形式： 输出反馈有以下两种形式： • 输出量反馈至状态微 u 分 ɺ x B －
* * * k = [an − an an −1 − an −1 ⋯ a1 − a1 ]
K = [ 200 − 1 ⋮ 60 − 5 ⋮ 14 − 6 ]P −1 = [199 55 8]
（此题P为单位阵） 此题P为单位阵）
方法二
设期望的状态反馈增益矩阵为
K = [k1 k2 k3 ]
0 s 0 0 0 0 − 0 s −1 1 0 −5 0 0 1 + 0 [k1 −6 1 k2 k3 ]
状态空间分析法教程文件
第9章 线性系统的状态空间分析与综合重点与难点一、基本概念1．线性系统的状态空间描述（1）状态空间概念状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。
系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。
系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。
描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。
某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。
状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。
利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。
满秩线性变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。
（4）线性定常系统状态方程解。
状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数Ate ）及其性质：(9.8)i ． I =)0(φii ．A t t A t )()()(φφφ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+iv. )()(1t t -=-φφv. )()]([kt t k φφ=vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At PAPt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法：拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2）级数展开法ΛΛ+++++=k k At t A k t A At I e !12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4）非齐次状态方程式（9.1）求解⎰-+=tBu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。
极点配置
极点配置极点配置问题就归结为对于指定的 n个期望极点s1，s2，…,sn（n是系统的维数）确定一个适当的 反馈增益矩阵K，使下式成立：
只要原系统(A，B，C)是能控(见 能控性)的,则这样的反馈增益矩阵K就一定可以找到。反馈 增益矩阵K的 求解，对于单输入单输出情况，已有较为简单的计算公式；对于一般的多输入多输出情况，计算步骤要复杂得多， 往往需要采用计算机来处理。
极点配置
数学术语0103 定Fra bibliotek 05 配置方法
目录
02 意义 04 状态反馈
通过比例环节的反馈把定常线性系统的极点移置到预定位置的一种综合原理。 极点配置的实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计规定的性能要求。
pole assignment
极点配置定常线性系统的动态特性在很大程度上取决于它的传递函数矩阵（见传递函数）的极点在复数平面 （表示复数 s=x+jy的直角坐标平面）上的位置。
谢谢观看
首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。
配置方法
如果已知系统的模型或传递函数，通过引入某种控制器，使得闭环系统的极点可以移动到指定的位置，从而 使系统的动态性能得到改善，这种方法称为极点配置法。
有一控制系统其中a>b>0，要求设计一个控制器，使系统稳定， 解：（1）校正前，闭环系统的极点： s-a+s+b=0 s= > 0 因而控制系统不稳定。 （2）在控制对象前串联一个一阶惯性环节， c>0，则闭环系统极点： 显然，当 c-a+1>0,b-ac>0时，系统可以稳定。但此对参数 c的选择依赖于 a、 b。因而，可 选择控制器， c、 d，则有特征方程： 当b+d+c>a，时，系统稳定。 本例由于原开环系统不稳定，因而不能通过简单的零极点相消方式进行控制器的设计，其原因在于控制器的 参数在具体实现中无法那么准确，从而可能导致校正后的系统仍不稳定。
只要原系统(A，B，C)是能控(见 能控性)的,则这样的反馈增益矩阵K就一定可以找到。反馈 增益矩阵K的 求解，对于单输入单输出情况，已有较为简单的计算公式；对于一般的多输入多输出情况，计算步骤要复杂得多， 往往需要采用计算机来处理。
极点配置
数学术语0103 定Fra bibliotek 05 配置方法
目录
02 意义 04 状态反馈
通过比例环节的反馈把定常线性系统的极点移置到预定位置的一种综合原理。 极点配置的实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计规定的性能要求。
pole assignment
极点配置定常线性系统的动态特性在很大程度上取决于它的传递函数矩阵（见传递函数）的极点在复数平面 （表示复数 s=x+jy的直角坐标平面）上的位置。
谢谢观看
首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。
配置方法
如果已知系统的模型或传递函数，通过引入某种控制器，使得闭环系统的极点可以移动到指定的位置，从而 使系统的动态性能得到改善，这种方法称为极点配置法。
有一控制系统其中a>b>0，要求设计一个控制器，使系统稳定， 解：（1）校正前，闭环系统的极点： s-a+s+b=0 s= > 0 因而控制系统不稳定。 （2）在控制对象前串联一个一阶惯性环节， c>0，则闭环系统极点： 显然，当 c-a+1>0,b-ac>0时，系统可以稳定。但此对参数 c的选择依赖于 a、 b。因而，可 选择控制器， c、 d，则有特征方程： 当b+d+c>a，时，系统稳定。 本例由于原开环系统不稳定，因而不能通过简单的零极点相消方式进行控制器的设计，其原因在于控制器的 参数在具体实现中无法那么准确，从而可能导致校正后的系统仍不稳定。
北京科技大学《自动控制原理》课件-状态反馈 (1)
1 1
11 et
3
e3t
3 2
et
1 2
e3t
1 2
et
1 2
e3t
e At
1(t)I
2
(t
)
A
1
(t
) 22 2 (t)
(t)
2 (t) 1(t) 22
(t)
1
,
1
1 7 1 1 1
阵[A-λiI,B]对A的所有特征根都行满秩。 定理8.4：在状态线性变换下，系统的能控性不变。
1 4 2 4 6
A2 B
0
6
1
1
7
1 7 1 1 12
T eAt B 0
T e At B 0
控制工程基础-第八章状态反馈与极点配置
8 of 58
例2
设系统的状态方程如下，试判断系统 的能控性。 1 4 2 2
x
0
6
1
x
0
u
1 7 1 1
2 4
U c
• 如果有这样的系统，如何描述？
(A,B) 不能控。
• 如果有这样的系统，如何判断？ • 不能任意控制的系统是否部分能控？
一、线性定常系统能控性
定理8.1：系统(A,B)能控的充要条件是如下
定义的矩阵Wc(t)(Gram矩阵)，存在tf>0使 得Wc(t f)是非奇异的。
现代控制理论第六章
5)
P Q 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0
1
0 0 1
0 1 2
1 1 1
6)
1 0 0 ~ k k p 8 7 2 0 1 1 2 3 3 1 2 1 算法2：直接配臵
。
K HC ，则 Kx Hy ，状态反馈就等价于输
出反馈 H 。
(2) D=0时，可以求得闭环系统 K 的传递函数阵
G(s；K，L) C[sI ( A BK )]1 BL
①利用矩阵运算直接可推出（见书）
G(s；K，L) G(s)[I K (sI A)1 B]1 L
1) 由
0 0 s det( sI A) det 1 s 1 0 s 3 2s 2 s 0 1 s 1
a1 2, a2 1, a3 0.
* (s 1 ) (s *2 ) ( s * ) 3
得 2) 由 得
* 1 2 * ,3 1 j 3 2
给定系统的状态空间表达式为
1 1x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1 0 0 A 2 b rank 0 1 1 3 0 0 1
解：因为
rank b
Ab
系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能 任意 配臵闭环特征值。
(s 2)( s 1 j 3 )( s 1 j 3 ) s 3 4 s 2 8s 8
* a1 4, a2 8, a3 8.
k a3 a3 , a2 a2 , a1 a1 8,7,2
3)