第7章线性定常离散时间状态空间设计法7.1引言7.2状态反馈配置极点7.3状态估值和状态观测器7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点7.5扰动调节7.6无差调节7.1引言一个被控对象：(1)()()()()():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n+=+⎧⎨=⎩⨯⨯⨯⨯⨯ 7.1当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。
给d L (k )扰动图7.1 控制系统示意图根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。
调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。
包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。
但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。
伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。
本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。
7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。
7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。
7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。
7.5简单地讨论扰动调节问题。
7.6状态空间设计时的无差调节问题。
7.2 状态反馈配置极点工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈()()()u k v k Lx k =+7.2如图7.2所示。
式7.2带入式7.1，得(1)()()()()()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+⎧⎪=⎨⎪=+⎩7.3整理得()(1)()()()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++⎧⎨=⎩7.4(k )v(k )图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点闭环系统的特征方程为[]det ()0zI F GL -+=7.5问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有[]1det ()()0ni i zI F GL z λ=-+=-=∏7.6定理：状态反馈配置极点若被控对象式7.1是状态完全能达的，即（F , G ）是一个能达对（能达性矩阵-1[...]N c W F G FG G =满秩），则一定存在一个r 行n 列的状态反馈矩阵L ，使得在状态反馈()()()u k v k Kx k =+下，闭环系统式7.4具有任意给定的n 个期望的特征根λ1, λ2, ..., λn 。
证明：略在实际工程应用中，动态系统式7.1的阶数n 不会太高。
在式7.6中L 是一个r 行n 列的矩阵，有nr 个待定参数，分别令式中等号左右的n 阶首一多项式的n 个系数对应相等，可得n 个线性方程。
当单输入单输出情况时，l 是一个n 元行向量，此时l 是唯一确定的。
当多输入多输出情况时，L 是一个r 行n 列的矩阵，此时L 不是唯一的。
有限拍闭环控制器当选择闭环系统的n 个特征根均为零，即λi =0，i =1，2，…，n ，则式7.6成为[]det ()0n zI F GL z -+==7.7根据矩阵代数中的Cayley-Hamilton 定理，此时有0n F =7.8上式表明，由任何扰动引起的状态偏差，系统都会在最多n 拍以内使之衰减为零。
关于有限拍控制器，有两点需要注意： ①n 拍意味着过度过程不大于nT ，T 为采样周期。
这一点似乎意味减小采样周期就可以提高系统的动态速度。
但是，减小采样周期同时意味着控制信号的幅值急剧增大。
如果控制信号的幅值超出了系统允许的范围，实际上达不到预期的控制效果。
因此，谨慎地选取采样周期非常重要。
②就动态性能而言，离散时间系统中的零特征值（同时采样T 周期趋于零）等价于连续时间系统中的特征值为 “-∞”，二者都是无法实现的。
7.3 状态估值和状态观测器用一组代数运算器（无动态运算）通过状态反馈实现被控对象的动态特性任意配置，似乎是一种很完美的控制方法。
但是尚有几个非理想的因素需要解决。
比如，● 状态是否可以直接测得？ ● 是否可以实现无差调节？ ● 对扰动的调节能力如何？工程控制中，状态反馈的实现需要被控对象的n 个状态可以实时测得。
这一点对于一般的系统大多是不现实的。
而在经典控制理论的输出反馈中，系统的输出总是可以检测的。
因此，能否实现通过状态反馈实现任意配置极点，首先需要设法实时获得n 个状态的值 7.3.1全维观测器假设被控对象式7.1的状态x 无法直接测得，一个合理的办法是人为地对x 进行重构，如图7.3所示。
重构系统具有和式7.1完全相同的结构、参数、和输入量，其状态记为ˆx，输出记为ˆy。
理论上讲，由于重构的系统和原系统结构和参数均完全相同，如果x 和ˆx 的初始状态也相同，则有ˆ()()xk x k =；由ˆx 取代x 进行状态反馈即可。
实际上却存在三个问题： ● 一是对象中的扰动会改变其状态；● 二是原系统可能存在稳定性问题，因而重构系统也会不稳定； ● 三是原系统参数可能并不太准确。
为了保证ˆ()xk 动态跟踪()x k ，引入输出误差ˆ()()y k y k -的反馈 ()ˆˆˆ(1)()()()()ˆˆ()()xk Fx k Gu k K y k y k y k Cx k +=++-⎧⎪⎨=⎪⎩7.9图7.3 全维观测器结构化简后后得到()ˆˆ(1)()()()ˆˆ()()xk F KC x k Gu k Ky k y k Cx k +=-++⎧⎪⎨=⎪⎩7.10现在考虑（定义）估值误差ˆˆˆ()()()xk x k x k =- 7.11将式7.1和式7.10带入上式，得()ˆˆˆˆ(1)()xk F KC x k +=- 7.12显然，如果可以选择矩阵K 使得矩阵（F-KC ）具有稳定且足够小的特征值，ˆˆ()xk 就会足够快地趋于零；就是说，ˆ()xk 会足够快地趋于()x k 。
这就是渐进状态观测器，简称观测器。
定理：观测器的动态特性若被控对象式7.1是状态完全能观的，即（F , C ）是一个能观对（能观性矩阵1O ...()TTT T T N TW CF C F C -=⎡⎤⎣⎦满秩），则一定存在一个n 行m 列的输出反馈矩阵K ，使得状态观测器式7.10或式7.12具有任意给定的n 个期望的特征根γ, γ2, ..., γn 。
即有[]1det ()()0ni i zI F KC z γ=--=-=∏7.13就是说，总可以通过选取适当的矩阵K 使得观测器具有期望的稳定性 无论原来的系统式7.1是否稳定！在上式中K 是一个n 行m 列的矩阵，有nm 个待定参数，分别令式中等号左右的n 阶首一多项式的n 个系数对应相等，可得n 个线性方程。
当单输入单输出情况时，K 是一个n 元行向量，此时K 是唯一确定的。
当多输入多输出情况时，K 是一个n 行m 列的矩阵，此时K 不是唯一的。
式7.9的观测器与原系统式7.1具有相同的维数，因而称为全维观测器。
7.3.2降维观测器（Luenberger 观测器）观测器实际上是控制器的一部分。
降低观测器的维数可以简化控制器的设计和实现。
降维观测器的思路是，式7.1中的输出y (k )中已经“直接”包含了部分状态x (k )的信息，这些对应的状态就可直接测得，只需对剩余无法测得的状态进行观测，观测器的维数就可降低，称为降维观测器。
假设输出矩阵C 是满秩的，则一定存在一个相似变换12()()()()x k x k Px k x k ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦7.14其中，1()x k 和2()x k 分别为n-m 维和m 维。
于是，式7.1成为11111212221122122(1)()()(1)()()()[0]()()x k x k F F G u k x k x k F F G x k y k I x k x k ⎧+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪==⎢⎥⎪⎣⎦⎩7.15展开得11111221221112222(1)()()()(1)()()()()()x k F x k F x k G u k x k F x k F x k G u k y k x k ⎧+=++⎪+=++⎨⎪=⎩ 7.16对应有111122112112[0]F F F P FP F F C CP I B G P G B --⎧⎡⎤==⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪==⎨⎪⎡⎤⎪==⎢⎥⎪⎣⎦⎩7.17注意到2()()y k x k =，已经直接得到了2()x k 的估值，即2ˆ()()xk y k = 7.18为了对1()x k 设计观测器，令1()x k 子系统的输出为()()121122222222()()(1)()()(1)()()y k F x k x k F x k G u k y k F y k G u k ==+-+=+-+ 7.19则待观测的1()x k 子系统成为()111112211211222(1)()()()()()(1)()()x k F x k F x k G u k y k F x k y k F y k G u k ⎧+=++⎪⎨==+-+⎪⎩ 7.20仿照式7.10对上式中的1()x k 设计n-m 维降维观测器，得()1111122111112112ˆˆˆˆ(1)()()()()()ˆˆ()()ˆ()()x k F x k F x k G u k K y k y k y k F x k x k y k ⎧+=+++-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩7.21将式7.20带入上式，得()()()11112111121212212ˆˆ(1)()()()(1)ˆ()()x k F K F x k G K G u k F K F y k K y k x k y k ⎧+=-+-⎪⎪+-++⎨⎪=⎪⎩ 7.22将上式用结构图表示如下图7.4。
图中有一个增序算子z ，将该支路移到减序支路之后（必须在反馈分支之前，为什么？）二者相互抵消；相应的状态改记为1ˆ()wk ；再考虑线性变换式7.14，最后得到x (k )的状态估值ˆ()xk ；如图7.5所示。
)图7.4 降维观测器式7.23的结构u图7.5 降维观测器式7.23的等效简化再对上图进行简化，将K 1输入支路移到反馈分支之后，最后得降维状态观测器动态方程如下式，亦如下图7.6所示。
()()()1111211112121221112111111ˆˆ(1)()()()ˆˆ()()()ˆ()ˆ()()w k F K F w k G K G u k F K F F K F K y k x k w k K y k x k x k P y k ⎧+=-+-⎪⎪⎡⎤+-+-⎣⎦⎪⎨=+⎪⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩7.23得到x (k )的状态估值ˆ()x k 后，即可实现7.2节中由式7.2定义的状态反馈以实现极点配置，示于图7.8。
