第九章(2) 正弦稳态电路的功率

例：电路如图，已知 U＝100V，求 该单口网络 吸收的总功率P及PR1、 PR2 。
+ U
I
-j5
R1 10 j30
解：
R2 15
Z = (10 + 15 ) + j ( 30 5 ) = 25 ×
2 45 o ( )
I =U
Z = 100 ( 25 ×
2) = 2×
2 ( A)
P = UI cos = 100 × 2 × 2 × cos 45 = 200 (W )
R L C 、、
& & & I12 + I13 + + I1n = 0 （第1节点）
…………………
& & & I n1,1 + I n1, 2 + + I n1,n = 0 (第 n 1个节点)
由此可得
& & & I12 + I13 + + I1n = 0
…………………
（第1节点）
p ( t ) =U I [cos + cos ( 2ω t + )] = U I cos (1 + cos 2ω t ) U I sin sin 2ω t
上式第一项符号不变，反映网络 N 与外电路之间的 单向能量传送速率，其平均值即有功功率。上式第 二项是正负半周对称的时间函数，它反映网络 N 与 外电路之间能量往返交换的速率，是在平均意义上 不能作功的无功分量，其最大值 UIsin 定义为网络 N 的无功功率。
~ 有 S = U I = S = U I cos + jU I sin = P + jQ
复功率只是一个计算用的 复数，定义复功率的目的 是为了能直接用电压电流 相量来求解功率问题。
复功率守恒： 用网络理论可以证明，网络 N 所吸收的总的复功率 等于该网络内各元件吸收的复功率之和。这就是复 功率守恒。复功率守恒包含着有功功率守恒和无功 功率守恒。 特勒根定理1： 1 对于一个具有 n 个节点和 b 条支路的电路，假设个 支路电流和电压取关联参考方向，并令 (i1 , i2 , , ib ) 和 (u1 , u2 , , ub )分别为 b 条支路的电流和电压，则 对任何时间 t ，有
& & & & & & U12 I12 + U13 I13 + + U n1,n I n1,n = 0 & & & 这一方程中共有b项。如果改用 U1、U 2、 U b 表示 & I & & 支路电压，1、I 2、 I b 表示支路电流，则
这两个公式与电阻电路中计算电阻消耗功率的式子形式 上完全相同。因此，如使用有效值，电阻元件所消耗的 平均功率可以按直流电阻电流电路中所用的公式来计算。 在正弦激励时，电 PL = U I cos = 0 感、电容所吸收的 平均功率均为零。 电容 C： = －π/2 ， 电感 L： = π/2 ，
PC =U I cos =0
…………………
& & & & + U n1,n ( I n1,1 + I n1, 2 + + I n1,n ) = 0
由KLC可知支路电压与节点电压的关系为 ………………… 又
& & & U12 = U1n U 2 n
& & I12 = I 21
………………… 因此，可得到用支路电压、支路电流表示的方程
2 2
QC = I UC = I 2 (1 ωC ) = (2 × 2 )2 × 5 = 40 (var)
显然有 P = QR1+ QR2+ QL+ QC = QL+ QC 无功功率守恒。单口网络从外电路吸收的总无功功 率等于该网络内部各元件吸收的无功功率之和。 由R、L、C 组成的单口网络，网络吸收的总无功功 率等于网络内各电抗元件吸收的无功功率之和。
流出元件或网络。
单口网络的瞬时功率
+ u -
i N
正弦稳态电路中，电流和电压是同频率的正弦量。 不妨设 u = 2 U cos ( ω t + ) ,
i = 2 I cos ω t
其中 是电压与电流的相位差。
网络 N 吸收的瞬时功率为：
p (t ) = u i =
2U cos (ω t + ) 2 I cos ω t
+
U I感 IL
性 负 载
IC C
U I IL IC
-
9(2).5 无功功率
单口网络的无功功率
u = 2 U cos (ω t + )
瞬时功率可改写为：
+ N u i = 2 I cos ω t
i
p ( t ) =U I [cos + cos ( 2ω t + )] = U I cos (1 + cos 2ω t ) U I sin sin 2ω t
+
U
I感
性 负 载
IL
IC C
-
9(2).6 复功率
~ 单口网络的复功率 S
+ u -
i N
定义：
i = 2 I cos (ω t + θ i ) u = 2 U cos (ω t + θ u )
~ & &* S = U I = U θ u I θi = U I
&*是电流相量的共轭复数，即复功率等于电压相 其中 I 量与电流相量之共轭复数的乘积， 是 u 与 i 的相位 差。
定义网络 N 的无功功率 Q 为：
Q = U I sin
Q 的单位：无功伏安，简称为：乏 (பைடு நூலகம்ar)、千乏(kvar) 当
>0
（感性电路），
Q > 0;
当 <0
（容性电路）， Q < 0 .
R、L、C 元件的无功功率
电阻 R： = 0，
Q R = U I sin = 0
电感 L： = π/2 ，
T
可求得
P = U I cos = U I λ
其中 λ=cos 。P的单位：瓦特 (W) 网络 N 的平均功率与其端电压和端电流的有 效值成正比，还与电压、电流相位差的余弦 函数成正比。
R、L、C 元件的平均功率
电阻 R： = 0，
PR =U I cos = U I = I 2 R = U 2 R
dw p(t ) = = u (t ) i (t ) dt 如果 u (t )和 i (t ) 的参考方向一致，则 p (t )就是流入 元件或网络的能量的变化率， (t )称为该元件或网 p p 络所吸收的功率。因此， (t ) > 0 ，就表示能量确 实流入元件或网络； (t ) < 0 ，就表示能量实际上 p
功率因数的提高
一般的用电设备是吸收电能的，即 cos > 0。 负载的功率因数太低会带来两个问题： 1. 电源设备得不到充分利用 由 P = S λ 可知，电源容量 S 一定时，负载功 率因数越小，电源可提供的有功功率也就越小。
2. 供电线路上损耗大 由 P = U I λ 可知，当 U 和 P 一定时，功率因数越 小，所需电流 I 也就越大，而线路损耗与 I2成正比。 提高功率因数可以减小电流，从而减小了输电线路 上的电能损失。 常见负载为感性负载，可用并电容法提高其功率因数。
9(2).2 2
平均功率
单口网络的平均功率 P
+ u -
i N
u = 2 U cos (ω t + )
i = 2 I cos ω t
平均功率指瞬时功率在一周期内的平均值，又称为有 功功率，简称为功率。平均功率表示电路吸收或产生 电功率的平均速率。
1 P= T
1 T ∫0 p ( t ) dt = T ∫0[UI cos + UI cos( 2ω t + )]dt
= U I [cos + cos ( 2 ω t + )]
网络 N 的瞬时功率随时间而变化。若 ≠0 且 ≠π ， 则 p(t) 的正负也随时间变化，说明网络 N 与外电 路之间有能量往返，这是由于电路中存在储能元 件的缘故。
R、L、C 元件的瞬时功率
电阻 R： = 0， p R ( t ) = U I [1 + cos 2 ω t ] ≥ 0 电阻是耗能元件，任一时刻吸收的电功率不为负值。 电感 L： = π/2 ，
o
PR1 = I 2 R1 = ( 2 × 2 ) 2 × 10 = 80 (W )
PR 2 = I 2 R2 = ( 2 × 2 ) 2 × 15 = 120 (W )
显然有 P = PR1+ PR2+ PL+ PC = PR1+ PR2 平均功率守恒。单口网络从外电路吸收的总平均功 率等于该网络内部各元件吸收的平均功率之和。 由R、L、C 组成的单口网络，网络吸收的总平均功 率等于网络内各电阻元件平均功率之和。
感性负载并电容提高功率因数的另一种解释
S P Q
由 P = U I cos , Q = U I sin 得
S =U I =
P2 + Q2
P λ = cos = = S
P P +Q
2 2
并电容前，Q＝Q L 并电容后，Q′＝Q L+ Q C 由于 Q C 为负值，故 Q′< Q ；而并电容前后的平均 功率 P 未变，因此并电容后功率因数 λ 得到提高。
& & & I n1,1 + I n1, 2 + + I n1,n = 0 (第 n 1个节点)