下载文档原格式
具有二次非线性约束的凸二次规划问题的算法研究一、引言在实际应用中，凸二次规划问题的求解是一类非常重要的问题。
经典的二次规划问题的目标函数是一个二次函数，并且约束条件是线性的，这类问题的求解已经得到了广泛的研究。
但是，在实际生产与维护中，往往还需要考虑更多因素的约束，例如涉及到非线性因素、离散因素等。
本文将着重探讨具有二次非线性约束的凸二次规划问题，并给出相应的算法。
二、凸二次规划问题凸二次规划问题被定义为：求解一个二次目标函数的最小值，其约束条件是一些线性不等式和线性等式。
这类问题是一个非常重要的建模工具，广泛应用于生产与维护等领域。
对于凸二次规划问题，在具有一定的限制条件下，可以通过各种方法来求解。
该问题最常见的求解方法是使用内点法，该方法具有渐进Theory收敛性，并且在理论上具有多项式时间复杂度。
其他常用方法还包括牛顿法、拆分算法等。
三、具有二次非线性约束的凸二次规划问题凸二次规划问题的约束条件通常是线性的，而在实践中还经常遇到需要考虑更多因素的情况。
其中最重要的因素之一就是具有二次非线性约束的问题。
这种类型的问题在实际应用中是非常常见的。
对于具有二次非线性约束的凸二次规划问题，数学模型表示可以被写成如下形式：$$ \begin{aligned} \min_{x\in \mathbb{R}^n}\qquad &\dfrac{1}{2}x^TQx + c^Tx\\ & \text{s.t. }\quad Ax = b\\ &\quad\quad\quad f_i(x) \geq 0\quad i\in I_1\\ & \quad\quad\quad f_j(x) = 0 \quad j\in I_2 \end{aligned} $$其中，$x$ 是优化变量， $Q$ 是一个半正定的 $n\times n$ 实矩阵， $A$ 和 $b$ 分别是 $m\times n$ 实矩阵和 $m$ 维向量，$f_i(x)$ 和 $f_j(x)$ 分别是凸可微非线性函数。
D．C．集（凸集的差）约束的非凸二次规划的最优解集第24卷第5期工程数学V o1.24No.52007年10月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMA THEMA TICSOct.2007 文章编~:1005—3085(2007)05—0801—12D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集木林惠玲,张圣贵(福建师范大学数学与计算机科学学院,福州350007)摘要:本文研究D.C.集f凸集的差1上极小化非凸二次规划问题的最优解.我们首先证明了该问题的Lagrange对偶的稳定性,即不存在对偶间隙:接着利用该性质得到问题的全局最优性条件和最优解集,它可以像凸规划那样,借助它的对偶问题的解集精确地描述出来.最后,通过一个例子来说明这些结论.关键词:D.C.规划:非凸二次规划:Lagrange对偶性;全局最优性条件分类号:AMS(2000)49M29;90C46中图分类号:O221.2文献标识码:A1引言与记号本文中,我们考虑如下的非凸二次规划问题=min{,()=丢Ax+6:r≤llIIr;)(P)其中A∈Rn×n,A=A,b∈Rn,r1,r2∈R++,r1<r2.问题(P)是一个D.C.规划问题.对于D.C.规划,文【1]中给出求解典范D.C.规划(定义见文【1])的多种算法;文【2]中给出在欧氏空间R"上极小化两个闭凸函数之差的规划的全局最优性条件与D.C.算法.若记E={:1r}1lIxllj122),E1={:~jjxll112),E2={:1lIxll122),并引入指示函数,,f0,x∈E,x蛆则5E(X)=5E()+5E.(),于是可以把(P)转化为在欧氏空间R"上极小化两个凸函数之差的规划.但注意到问题(P)的特殊结构,本文采用Langrange对偶理论来刻画问题(P)的最优性条件.同时,问题(P)又是…个在多个二次约束上极小化不定二次函数的问题,记为(F) XTQ0一2XTQ{一26+C{0(P)其中QT=Q∈R",b∈R",i=0,1,…,m.关于问题(F),文【3]主要利用矩阵束的技巧得到解的存在性定理及最优性条件;文【4]运用半定规划松弛的方法得到这类问题的多项式时收稿日期:2005-12-16.作者简介:林惠玲(t98t年9月生),女,硕士.研究方向:最优化理论与算法.基金项目:福建省自然科学~(S06500082006J0202);福建省教育厅资助项目(JA050210);福建省教育厅资助项目fJB06095).802工程数学第24卷间可解条件,同时给出单一等式约束的非线性规划的多项式时间算法.但它们都没有给出问题(P)的最优解集的具体描述.本文研究D.C.集上的极小化非凸二次规划问题.在接下来的一节中,我们利用La- grange对偶理论,得到问题(P)的Lagrange对偶的稳定性,即不存在对偶间隙,而且问题(P)的解集可以像凸规划那样,借助它的对偶问题的解集精确地描述出来.这些结论对探索问题(P)的求解方法起到关键性作用.在本文中,运用如下记号:R++:全体正实数;t厂:t厂的梯度;intS,riS,OS:分别是集合S的内部,相对内部和边界:A+:A的Moore-penrose广义逆;AT:A的转置;l1.11:欧氏范数:L上:子空间L的正交补;ker(A):A的零空间;domg:函数口的有效域.2全局最优性条件定义(P)的Lagrange函数L(,￡):{1TA+6T+(r}～IIx11)+(1111一r22),tl,t0,I一∞,t=(tl,t2)0.首先考虑线性方程组(A—tlI+t2I)x=一b(1)的解.设A的特征值为A1A2…≤A,对应的n个标准正交特征向量为u1,u2,…,u.若A1～t1+t2>0,则(1)的唯一解是x(t)=一(A—tlI+t2)一b.由于A=AT,故存在, 使得A=Udiag(A1,A2,…,)T,其中U=[Ul,U2,…,】,于是川=i=11,.—.若A1一t1+t2=0,b∈[ker(A—AII)]上,则当b=0时,x(t)=一(A—tlI+t2)+b=0;当b≠0时,记J={1in:Ai=A1),则{1,…,礼)\J≠O,+(￡)是(1)的解,满足+(t)ll=∑tJ注下文中,如果没有特别说明,则有(bTu)(九一￡1+￡2)x(t)=x(tl,t2)=-(A—tlI+t2I)一6,+(￡)=+(tl,t2)=-(A一￡1+t2I)+b.对任意的t0,t∈R,定义)=inf{T(A啦++t2lr2一和:∈R"),则-9(￡)是t0上的凹函数.定义(P)的对偶问题为=sup{g(t):t0}.(Pt)(D)第5期!玲,张圣贵:D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集803命题1(domg:R.:￡0,1一tl+20,b∈[ker(一tiI+t~SK};(g(t)bT+夸r}一等r;=一6T(A-t1+2)+6+每r}一圭22"22,V∈,￡∈dom9证明()doing:{0:夕()>一∞),若1一t1+2<0,则对于v∈ker(～】,),有AX=1,贝UlI1.i.ra(一1一T(A-t~I+t2I)x+bTx+≥r}一.t2r;)=lI()11~112+bTx+一t2r22)------00_f(一.O.若t0,1一tl+t20,则(P)是一个凸规划,由可微无约束问题的最优性条件[5]知,∈Pt营(1)有解,即b∈[ker(A—1+2删上.(i)由()证得,当∈Pt,t0时,(一1+2)=一b.故9(t)=三bTx+tlr}一t2_r22=～T(一￡1+￡2)+6+tl}一t2_22.令(t)=～9(t)=16T(—t+t.)+6一≥r}+t2r;,则是凸的,且dom=domg.命题2(i)若t0,A1～t1+t2>0,则t∈dom,目=三一t2此时,在t>0,A1～t1+t2>0上可微,且(扰)当b=0()若b[ker(A一时,(t)re(e)式确定.c,=(1.:._+)贝Udom当b≠0∈R.:t0,1一t1+t20),此时,=三～A1驯上,则d.崎={t∈R.:t0,1一t1+t2>0),此证明由题1容易得到()和().下面证明().关于doI的特征由命题1即得.若6∈[ker(A—1驯上,则vj∈bT=0:于是,若b:0,由命题1的()知, (t)=～16T一≥r}+t2r;=一tl2+t2r;.若b≠0,当A1一tl+t2=0时,:一(—t1+t2)+6,则=三～=时上,幢譬+一嵋A血0一:r【,J∈6若时804工程数学第24卷当1一tl+2>0时,由()得,对于问题有如下结论:=一12=2tl+2tl2r2+2r;乏孑i一+2.乏i一+2.:∑一tlr2122+2喀t一1+2.min{T+6T:llII.r;)(Q)定理3【.】37是(Q)的最优解当且仅当存在0,使得fi1A+I是半正定的;(ii)(A+I)x:-6;()(11xll一1"2)=0,lIxll7"2.这样的是唯一的.记Q的解集为Q,且ll(+)+bll=7"2.(3)命题4【7】若6≠0,则()当1>0时,女口果lIa一bll7"2,贝0Q={一A一6);女口果lIa一bll>7"2,贝0Q=卜(+)6),其中>0是方程(3)的唯一解;(ii)当1=0时,如果lIA+bll7"2且6∈【ker(a)]上,贝0Q={:++u:u∈ker(A),s.t.1Ixll.=lIx+ll.+llull.r;)其中+=一+6,如果6【ker(a)]上或6∈【ker(a)]上,lIA+bll>7"2,则Q={一(+)6,其中>0是方程(3)的唯一解.因此,由定理3和命题4知,在以下两种情况下:1)l=0;2)6≠0,(i)1>0,lIabll7"2;(ii)1:0,6∈【ker(a)]上,lIa一bll>7"2;()1=0,6【ker(A)]上.Q的最优解均满足lIxll=7"2.此时,问题(P)中的反向凸约束1lIxll.1r}不起作用,问题(P)就等价于问题(Q),这样,P的解集已由定理3给出.此外,当6≠0时,若1> 0,r1lIa一bllr2,则P=卜一6);若1:0,6∈【ker(a)]上,7"1lIA+bll7"2,由于PQ,由命题4的(ii)知,P={=++u:u∈ker(A),s.t.Ilxll.=lIx+ll.+llull.,r1lIxllr2),其中+=-A+b.综上所述,下面就以下两种情况描述问题(P)的解集:(a)b≠0,10,lIA+bll<7"1;(b)6:0,10.接下来,先给出一些对偶问题的解集的特征.第5期林惠玲,张圣贵:D.c.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集805情况11>0,b∈[ker(A—1)]上问题(D)等价于其中Q(1)令于是Q(1)记及7=inf{~(t):t∈Q(),{t∈R:t0,1～t1+t20).并记1的最优解集为Qi)Q5){亡∈R2:t1=0,t20),Q!)={亡∈R2:0t11,t2{t.∈R:tl1,t20,t2=t1一1).QiuQ5uoal¨.7i=inf{():t∈Q),i=1,2,3inf{~(t):hi(t)=ti>0,i1,2,h3(t)=l—tl+t2>0)命题5问题(D1)的最优解集CQ(1).证明反证法.假设存在∈1,且∈intQ(),则是(】)的最优解.由文献f8]中的定理28.3知,存在8l,s2,83,使得(a1)8i0,一hi(t)<0,8ihi(t)=0,i=1,2,3;(a2)0∈6()+810hl()+82Oh2()+83Oh3().由命题2的()知,上述的(a1)和(a2)等价于如下系统J1IIx(~)ll=,I~11x(~)ll=手.由于T1<T2,故上述系统无解,这与假设矛盾.NCg,1Q(1).命题6对于情形(a),()在Q{¨,oal上分别关于2,l单调增加;如果IIx+(al,o)11 r1,则()在Q5上关于tl单调减少;如果IIx+(1,O)ll>rl,则()在Q5上有极小值点.证明在情形fa)下,(亡)f暑㈣Qi={暑奇【+一r}卜狮∈oal当t∈ri0f~时,令G(2):=()卜+害i硭J,由于IlA+bll<即暑<r},故<r一∑<～2i∑工程数学第24卷又r1<r2,故2)>0,因此,(t)在aQi上关于t2单调增加.显然,(t)在aQ上关于t1单调增加.当tEriaQ!时,令∽,讯)=一又膏(t1)在0<t1<1上单调增加,且∑i_三安一譬=llx+22(,.)II一叠2.,(九一1)2川'一于是,膏1)<0,故(t)在aQ!)上关于ti单调减少.若ll+(1,0)lI>r1,由于一知一.,故存在tE(0,Ai),使得H):0,即(三!:叠f4)2(九一1)2'.必有解t,于是,t就是(t)在aQ!上有极小值点.命题7对于情形(a),(i)若ll+(1,0)llr1,贝0={(1,0));(i)若lI+(1,O)ll>r1,则={(t,0)),其中0<t<Ai是方程(4)的唯一解.证明对于情形(a),(i)由命题6,1=(0,0)(1,0)="72=虿(1,0)="73,由命题5,:min{'~i:i=1,2,3).因此,由(D)与(Di)的等价性知,={(1,0)).()由于矣于t的函数∑三辱一譬在(0,入)内是严格单调的,故方程(4)的解是唯一的.因此,同理可证得:={(t,0)).命题8对于情形(b),={(1,0)).证明在情形(b)下,f(t)={【ri,t∈aQi一t21.~r1j2t∈aQ!(r;一r})一2r;,t∈aQ因此,,1=(0,0)=0(1,0)=一A1r="72=(1,0)="73,于是,=1:{(1,0)).情况21>0,b【ker(A一1)】上.问题(D)等价于inf{~(t):tEQ(),(D2)第5期林惠玲,张圣贵:D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集807 其中Q(.)={t∈R:t0,l—tl+t2>0).令aQi={t∈R:tl:0,t20),aQ:{t∈R2:0tl<l,t2:0).关于tl的方程去i=1r}命题9对于情形(n),:{(t,0)),其中0<t<l是方程(5)的唯一解.证明由于b[ker(A—AII)J上,则存在J∈J,使得bTuj≠0.因此,limt1—A川2=…limi=1=+∞又1一譬=去譬:去IIA-Xbllzr<0(5)故由单调连续函数的零点存在定理知,方程(5)在tl∈(0,1)内存在唯一解t. 类似于命题6可得:(t)在aQ;上关于t2单调增加,(t)在aQ'上有极小值点.再由命题5知:={(tj,0)),其中0<t<l是方程(5)的唯一解.定理10在情形(n)和(b)下:(i)D是单点集,且:{t=(t,0)),其中0tl;fii)=,且={∈:t~(1lxll—rx)=0,0≤Ax,t=0,rlIIxllr2}其中t∈.证明(i)由命题7,命题8,命题9即得.()设F=x∈R":;r}{Ilxllr;),定义示性函数F()::.,∈F【+∞,F于是sup{L(x,t):t0)=(f+5F)(),故n(,+)=础infsuptsup础infL(x,t):sup夕(t)=t>0接下来证明L(x,)存在鞍点,t),即存在x,t)∈Rn×R2,使得L(x,t)L(x,t)L(x,,V(x,t)∈R"×R对于Al>0,IIA+blI<rl,1)当b∈[ker(A一l驯上时,如果b≠0,Ilx+(al,o)11rl,或6:0,由命题7和命题8知,夕)=夕(O1=一inf1T(A一)x+bTx+r),故=+(l,0)+ker(A—Ax).取∈+,使得[Ix『I:rl;于是t;(1lxIl—r1)=l(ll—r1):0,t=0工程数学第24卷如果b≠0,忙+(1,o)1l>r1,由命题7,存在0<￡<1,使得)=1,0)=一inf{(A啦++和)故={+(￡,0):lIx+(￡,o)1l=r1),取=(￡,0),于是t~(1lxll—l"1)=0,芝=0.2)当b[ker(A一1驯上时,由命题9,存在0<￡<1,使得Iq(￡)=Iq(￡1,0)=i∈nRf{T(A)+和)故={(￡,0):lIx(t~,o)1l=r1),取=(￡,0),于是t~(1lxll—r1)=0,=0.综上所述,存在∈"Pt,￡∈,使得又)=T++萼(r_llII+II2--l";)=)三TA+6rz+萼(r一llII.)+筹(1lII2--l";)=(,￡).L(x,￡)=++≥(r一TA+6T+萼(r一II+II2--l";)T+II+II2ml";)=).故由鞍点定理[5],n=i1TAz+6T:Iq(￡)=,从上述的证明过程中知,L(x,￡)的鞍点全体为S:={∈:￡(IIxll—l"1)=0,0￡1,￡=0,l"1lIxllr2).因此由鞍点定理得,PS.反之,V∈P,则n={玎Az+brz,又由(i)及n=,TA+6T:Iq(≠):TA+6T+萼(r一IIx*ll.)+雩(II.一r;).冈此,∈"Pt-,t~(1lxll—l"1)=0,0≤￡1,￡=0,l"1lIxlll"2.推论11在情形(0)和(b)下:()若1>0,或1=0,b[ker(A)]上,则对于∈P,有忙ll=l"1;()若1=0,b∈fker(a)]上,贝0P={=+(0,0)+u:u∈ker(A),s.t.1Ixll.=lIx+(0,o)11.+lllI.,r1lIxllr2)证明(i)由定理10的证明及命题4的()即得.(ii)由命题6知,,y1=(0,0),因此)=,0)=蚀inf{T+6rz+r),于是-=+(0,0)+kerA,任取∈,使得l"1lIxllr2,则￡(IIxll—l"1)=O(1lxll—l"1)=0,=0,第5期林惠玲,张圣贵:D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集从而由定理10知P={X=+(0,0)+U:U∈ker(A),s.t.IJxll=lIx+(0,o)ll+ll,"ll,r1lJxlIr2)定理12在情形(a)和(b)下,X是问题(P)的最优解当且仅当存在t=(tj,t)0,使得(i)A一+是半正定的;(ii)(A一+t~I)x=一6;(iii)q(Hxll—r1)=0,0t1,t=0,rllIxllr2;这样的t是唯一的.证明必要性.由定理10及推论11知,X∈Pt,且存在t=(j,0)0,0t1使得(iii)成立.由X∈知,t∈domg,于是b∈[ker(A一j+)]上,即(A一+t~I)x=一b.由0tj1,t=0知,A一+是半正定的.由定理10的证明知,t=1或t是方程(4)或方程(5)的唯一解,t=0,故t是唯一的.充分性.由()和()知,VX∈R",有(A-t~I+)+6—(A-t~I+)一6=(A-t~I+)X--X*T(一+)+X*T(一+)=X--X*)(一+)(X--X*)0,从而由()知,VX,1r}1lJxll_lr122,有即(A-tj)+6(A-t)+6,Ax+++t7(1++t7(r=+,现在我们可以得到问题(P)的最优性条件:定理13X是问题(P)的最优解当且仅当存在(i)A一+是半正定的;(ii)(A—tj+t~I)x=_b;(iii)t=0,(r2一lIxl1)=0,或tj(IIxll_r2;这样的t是唯一的.证明若1<0,或b≠0,10,若b≠0,10,lIAⅢ1bll<r1,或b=0,2lJxt=(j,)0,j=0,使得r1)=0,0t1,=0,rlIIxlllIAⅢ1bIlr1,由命题4之后的讨论及定理3即得;10,由定理12即得.810工程数学第24卷3问题(P)的解集合关于t2的方程2t2)一2,(6)(+2'从前面第二部分的讨论及文[7J的命题 3.14,容易得到问题(P)的解集合的如下特征:命题141)入1<0,b≠0,若lI(—1)+blIr2,b∈ker(A—1)上,贝qP:{=+(0,一1)+.":."∈ker(A—1),s.t.1lll2=ll+(0,一1)It2+l1."ll2=r;).若(A一入1)+bl{>7'2,b∈ker(A一入1)上或bker(A一入1)上,贝0P={一(A+t)一b),其中￡;是方程(6)的唯一解.若A1<0,b=0,贝0P={∈ker(A—1I):llll=r2).若iIA+6cl≤r2,b∈ker(A)上,贝0P:{:+(0,0)+.":."∈ker(A),s.t.1lll2=If+(0,o)112+l1."ll2,r1llllr2).若ft(A)+btf>r2,b∈ker(A)上或bker(A)上,则P={一(+)-16),其中是方程(61的唯一解.若A1=0,b=0,贝0P={∈ker(A):r1fIxlIr2).3)1>0,b≠0,若lI+hiI>r2,则P={一(+￡)-16),其中是方程(6)的唯一解.若nIIA+blIr2,则P={-A-16).若IIA+blf<r1,b∈ker(A—1,)上,IIx+(1,0)lIr1,贝0P={=+(1,0)+.":."∈ker(A—1),s.t.IIxll.=ll+(1,o)11.+Ilull.=r)若ttA+btt<r1,b∈ker(A—1,)上,ll+(1,o)11>r1,贝0P={一(一￡)一6),其中是方程(5)的唯一解.若ftA+blI<r1,bker(A—1)上,则P={一(一)一16),其中￡是方程(5)的唯一解.若A1>0,b=0,则={=+(1,0)+.":."∈ker(A—1),s.t.1lll2=ll+(A1,0)ll2+l1."lI2=r).例子考虑下面D.C.规划问题nTA.x+b.T.;+122—212—223+31～(P)s.t.9+;+;16一=6,,●●●/002220,,,●I●___-Il,\=A意题由解第5期林惠玲,张圣贵:D.C.集(凸集的差)约束的非凸二次规划的最优解集811 的特征值为:1=一2,2=1,3=4,对应的标准正交特征向量分别为:"1 (,;,;)T,".=(;,,一;)T,".=(一;,;,)T.对于线性方程组(A—1I)x=b,rank(A—1)≠rank([A—All,hi).故b[ker(A1)]上.因此(P)的对偶问题等价于定义令inf()=(=+25+64—9tl+16t2)s.t.tl0,20,-2一1+t2>0..)=)=(9(-2-1t2)+dhdt22564.9(4+t2)+16),t2>2,2(9(-2t2)+{+{t—2)一6)=.\+0.9(1+2)0.9(4+0—/即++-144,2t2)(一+..(1+2)..(4+2).故=2.0843.由命题9知,口={(0,2.0843)}.由定理12知,所求(P)的解满足:即故且又(0,2.0843)=18.3681,参考文献:(A—t~I)z=一6,lI.=16,P={=(一1.9705,一2.5240,一2.4219)T)18.4924=g(o,2.0843)=一(0,2.0843)≈0【1]TuyHDC.Optimization:Theory,MethodsandAlgorithms[M].HorstRandPardolosP Meds.HandbookofGlobalOptimization.Kluwer.Dordrecht.1994:149—216【2]LeThiHoaiAn.TheDC(differenceofconvexfunctions)programmingandDCArevisit ewithDCmodelsofrealworldnonconvexoptimizationproblems[J].AnnalsofOperationsResearch,2005,13 3:23—46=,呓,3一一=一一卜一似似《++遽呓+24一一6+A1—2=口比因812工程数学第24卷[3][4][5][6】[7][8]SternRJ,WolkowiczH.Indefinitetrustregionsubproblemsandnonsymmetriceigenvaluep erturbations[J].SIAMJournalonOptimization,1995,5:286—313YinYuY e,ShuZhongZhang.NewresultsO11quadraticminimization[J].SIAMJournalonO ptimization,2003,14(1):245—267陈宝林.最优化理论与算法『M1.北京:清华大学出版社,2003 PhamDinhTao,LeThiHoaiAn.AD.C.optimizationalgorithmforsolvingthetrust—regionsubproblem[J].SIAMJournalonOptimization,1998,8(2476—505PhamDinhTao,grangianstabilityandglobaloptimalityinnonconvexqua draticminmizationovereuclideanballsandspheres[J1.JournalofConvexAnalysis,1995,2(1/2):2 63—276RockafellarRT.ConvexAnalysis『M1.NewJemeyPrinceton:PrincetonUniversityPress,1970 TheOptimalSolutionSetofNon—convexQuadratic MinimizationProblemoveraD.C.SetLINHui—ling,ZHANGSheng—gui (SchoolofMathematicsandComputerScience,FujianNormalUniversity,Fuzhou350007) Abstract:Westudythecharacterizationproblemofoptimalsolutionsetsofnon—convexquadraticminimizationproblemsoverD.C.setfdifferenceofconvexsets).Firstly,weshowthatthereiS nodualgapbetweentheprimalproblemanditsdualproblem,andthenobtainitsgloballyoptimali tyconditionsandoptimalsolutionsets.Asaconvexprogramming,wecanexactlydescribetheo ptimal solutionsetoftheprimalproblemwiththehelpoftheoptimalsolutionsetofitsdualproblem.Fi nally,wegiveanexampletoillustratetheobtainedresults.Keywords:D.C.programming;non—convexquadraticprogramming;Lagrangeduality;globalopti—malitycondition。
在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。
常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。
等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系，而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。
数学上，约束条件可以表示为：
1. 等式约束：g(x) = 0，其中g(x)是一个关于变量x的函数。
2. 不等式约束：h(x) ≤0，其中h(x)是一个关于变量x的函数。
最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的，甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。
根据问题的具体形式，可以选择适合的优化算法进行求解，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
常见的优化算法包括：
1. 梯度下降法：用于求解无约束或有约束的凸优化问题，在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。
2. KKT条件法：用于求解有约束的凸优化问题，通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。
3. 内点法：用于求解线性规划和凸优化问题，通过在可行域内寻找目标函数的最优解。
4. 遗传算法：用于求解复杂的非线性优化问题，通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。
5. 模拟退火算法：用于求解非线性优化问题，通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。
在实际应用中，约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。
通过合理地建立数学模型，并选择合适的优化算法，可以有效地解决这类问题，并得到最优解或接近最优解的结果。
二次规划及多目标规划的全局最优性条件的开题报告一、选题背景和意义在现代社会中，资源分配管理非常重要。
针对某些特定问题，我们需要建立数学模型寻求最优解。
在优化问题中，一次规划模型被广泛应用，但是一些问题需要考虑更多的因素。
因此，二次规划以及多目标规划得到了广泛研究和应用。
二次规划是指目标函数是一个二次函数，约束条件是线性函数的最优化问题。
这类问题的全局最优解可以通过KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件来获得。
多目标规划是一个目标函数有多个优化目标的问题，在解决这类问题时，我们需要评估各个优化目标之间的权衡和取舍。
本文旨在介绍二次规划和多目标规划的全局最优性条件，探讨这些条件的实际应用和研究方向。
二、研究内容和方法本文分为两部分，分别是二次规划和多目标规划的全局最优性条件。
二次规划的全局最优性条件：在二次规划中，我们需要通过KKT条件解决约束问题。
我们将讨论KKT条件的必要性和充分性，并介绍如何利用这些条件来求解问题。
此外，我们还将研究二次规划问题的断言。
多目标规划的全局最优性条件：多目标优化问题中，无法直接获得全局最优解，因为存在多个最优解。
因此，我们需要在多个最优解中进行权衡和取舍。
本文将讨论多目标规划中的全局最优性条件，如Pareto最优性和面对向量的最优解。
我们还将深入探讨如何应用这些条件来解决实际问题。
本文采用文献研究和实例分析相结合的方法，深入研究这两类问题及其实际应用。
我们将收集并综合描述二次规划和多目标规划的全局最优性条件，并在各个应用领域中进行实证研究。
三、预期成果通过本文研究，我们将对二次规划和多目标规划的全局最优性条件有更深刻的理解，包括必要性和充分性以及应用领域。
我们将详细描述这些条件，并且提供实例和应用案例，以便读者更好地理解和应用这些方法。
四、论文结构本文总共分为五个章节：第一章介绍选题的背景和研究意义；第二章讨论二次规划的全局最优性条件，并给出案例描述；第三章研究多目标规划的全局最优性条件，并给出应用实例；第四章结合实例探讨这些条件的应用；第五章是总结和展望。
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：阮小娥同组人：钱东东求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。
由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。
二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。
关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。
- 1 -《最优化方法》课程实验报告- 2 - 【目录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 -1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 -1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 -1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 -2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 -2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 -2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 -2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 -2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 -3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -4 附录..................................................................................................................... - 11 -4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 -4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法- 3 -1 等式约束凸二次规划的解法1.1 问题描述我们考虑如下的二次规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩，n R x c,∈，m R b ∈。
