二次规划问题

可行方向法二次规划求解算法改进一、传统可行方向法求解：本文基于可行性方向法的SVM 算法步骤如下：1. 求解二次规划问题12,111minK(,)..00,1,2,......,lli ji j i j ii j i l iii i y y x x s tyC i lαααααα===-=≥≥=∑∑∑2. 将上式转化成能用可行性方向法进行求解的二次规划标准形式121min ()..0,1,..0,1,..T T li ii i i f G e s tyC i li lαααααααα==-=≥=≥=∑其中**G=(g )=(K(,)),e(11,,1)ij l l i j i j l l y y x x = ,；3. 取满足约束条件的初始可行点1(0,0,....0)α=; 4. 确定kα处的有效约束指标集k 1i k 2i (){|C}(){|0}I k i I k i αα====5. 求解线性规划子问题121min ()..00,()0,(),1,..k T dlkii i k i k i k i f ds tdy d i I k d i I k C d C i lα=∇=≥∈≤∈≥≥-=∑其中1()11,2,3....jlk kiij j f g i l αα=∇=-=∑求得12(,,...)kk kk T l dd d d =；说明:在该步骤中()k T f d α∇为函数k f α在点的方向导数。

若该值小于0,说明f 沿着d 方向值下降;若该值等于0,说明k f α在点为极值;若该值大于0,说明f 沿着d 方向值上升。

min ()k Tdf d α∇就是要求下降最快的方向。

10lk i i i d y ==∑为等式约束,为保证沿着d 方向上的点为可行点。

210,();0,()k k i i d i I k d i I k ≥∈≤∈为不等式约束,为保证沿着d 方向上的点为可行点。

,1,..k i C d C i l ≥≥-=是为了获取一个有限解增加的约束条件。

二次规划算法在实现最优控制中的应用分析随着科技的不断发展，最优控制问题已成为控制和优化领域中的热门话题。

在实际应用中，最优控制可以被用于调节自动控制器、实现运动规划、优化电力等多种控制问题中。

而其中的二次规划算法则成为了最常用的实现方式之一。

本文将对于二次规划算法在实现最优控制中的研究进展和应用进行分析。

1. 什么是二次规划算法首先，我们需要了解二次规划算法。

二次规划是指求解如下形式的最优化问题：$\min_{x}{\frac{1}{2}x^TQx + c^Tx}$$Ax\ \leq b$其中Q是正半定矩阵，c是列向量，A是矩阵，b是列向量。

这个问题可以被称为二次规划问题。

它的解通常被称为问题的最优解，即$x^*$。

其中，$\min$代表最小值，再加上$Ax\ \leq b$的限制条件，即可得到二次规划问题。

2. 二次规划在最优控制中的应用二次规划算法在最优控制中是一个非常重要的问题，因为很多最优控制问题都可以被抽象为一个二次规划问题。

比如在运动规划问题中，我们需要寻找机器人的最优轨迹来实现控制的效果。

而这个问题可以被转化为一个二次规划问题，通过求解该问题来得到最优解。

因此，二次规划算法在机器人控制中有着广泛的应用。

此外，在电力控制领域中，二次规划算法也有很大的作用。

比如，在电网中，我们需要寻找最优的发电计划和消耗计划来保证系统安全和经济效益。

这个问题同样是一个优化问题，可以被抽象为一个二次规划问题。

通过求解二次规划问题，我们可以得到系统的最优解，从而实现电力控制的目的。

3. 基于二次规划算法实现最优控制的实例为了更好地理解二次规划在最优控制中的应用，我们可以看一下以下实例：假设有一个双轮差分式机器人，需要在一条平面上从起点到终点。

我们可以把这个运动规划问题抽象为一个最优化问题。

通过使用二次规划算法，我们可以求解出最优的轨迹，以实现机器人在最短时间内到达终点。

在这个实例中，我们将机器人的运动轨迹表示为一个函数f(x)，其中x是机器人的状态。

凸优化问题的二次规划算法研究一、引言凸优化问题是数学领域的一个重要研究方向，广泛应用于工程、经济学、运筹学等领域。

其中，二次规划是一类特殊的凸优化问题，其目标函数为二次函数，约束条件为线性等式或不等式。

本文将对凸优化问题的二次规划算法进行研究，并探讨其在实际应用中的意义和挑战。

二、背景和意义在实际生活和工程领域中，我们经常面临各种决策问题。

这些决策问题通常可以被抽象为一个数学模型，并通过求解该模型来得到最佳决策方案。

而凸优化问题作为一种重要的数学工具，可以帮助我们解决这些决策问题。

其中，二次规划作为凸优化问题中的一个重要子类，在实际应用中具有广泛的意义和应用价值。

例如，在经济学中，我们可以通过求解一个二次规划模型来得到最佳投资组合；在运输领域中，我们可以通过求解一个带有线性约束条件和二次目标函数的二次规划模型来得到最佳的运输方案。

然而，由于二次规划问题的复杂性，其求解过程往往较为困难。

因此，研究二次规划算法具有重要的理论和实际意义。

通过研究和改进二次规划算法，我们可以提高求解效率，降低计算复杂度，并得到更加准确和可靠的结果。

三、常用的二次规划算法在研究凸优化问题的二次规划算法时，我们常用到以下几种方法：1. 内点法内点法是一种常用的求解凸优化问题的方法，在求解二次规划问题时也得到了广泛应用。

其基本思想是通过将约束条件引入目标函数，并通过迭代过程逐步逼近可行域内部。

内点法具有较好的收敛性和全局收敛性，在实际应用中取得了很好的效果。

2. 洗牌算法洗牌算法是一种基于随机优化思想的方法，在求解大规模二次规划问题时具有较好的效果。

其基本思想是通过引入随机因素来加速收敛过程，并在迭代过程中动态调整步长和方向。

洗牌算法具有较好的鲁棒性和快速收敛性，在处理大规模问题时具有一定的优势。

3. 分解法分解法是一种将原问题分解为若干子问题进行求解的方法，在求解二次规划问题时也得到了广泛应用。

其基本思想是将原问题分解为几个子问题，并通过迭代过程逐步逼近最优解。

最优化算法实验指导书2.二次规划求解例1 求解下面二次规划问题21212221x 6x 2x x x x 21)x (f min---+= sub.to 2x x 21≤+2x 2x 21≤+-3x x 221≤+21x 0,x 0≤≤ 解：x f x H x 21)x (f '+'= 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111H ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=62f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x x 在MA TLAB 中实现如下：>> H = [1 -1; -1 2] ;>> f = [-2,-6];>> A = [1 1; -1 2; 2 1];>> b = [2; 2; 3];>> lb = zeros(2,1);>> [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, switching to medium-scale method.> In C:\MATLAB6p5\toolbox\optim\quadprog.m at line 213Optimization terminated successfully.x =0.66671.3333fval =-8.2222exitflag =1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: []cgiterations: []lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]ineqlin: [3x1 double]例 1123 2212123min 246y x x x x x =+---..s t 123213123234,,0x x x x x x x x x +≤+≤+≤≥（1）标准形式：由 2212123246y x x x x x =+---22121231(22)2462x x x x x =+--- 知 200020000H ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为半正定矩阵，约束不必改动。

二次规划基本介绍二次规划（Quadratic Programming，简称QP）是数学规划的一种特殊形式，它的目标函数是二次函数，约束条件是线性函数。

在实际应用中，二次规划被广泛应用于经济学、运筹学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。

二次规划的一般形式可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\\text{s.t.} \quad & Ax \ge b \\&Cx=d\end{aligned}$$其中，$x$是优化变量，$Q$是一个对称正定的矩阵，$c$、$b$、$d$都是列向量，$A$、$C$是约束矩阵。

在约束条件中，$Ax \ge b$表示一组不等式约束，$Cx = d$表示一组等式约束。

二次规划的优化目标是寻找满足约束条件的$x$，使得目标函数最小。

目标函数由两部分组成，一部分是二次项，一部分是线性项，其中$Q$是二次项的系数矩阵，$c$是线性项的系数向量。

由于$Q$是一个对称正定矩阵，所以二次项是凸的，使得问题具有良好的性质。

二次规划的解法有多种方法，以下介绍其中两种常用的方法：内点法和激活集方法。

内点法是一种迭代求解二次规划问题的方法。

它通过将二次规划问题转化为一系列等价的线性规划问题来求解。

在每一次迭代中，内点法通过将问题的方向限制在可行域的内部，逐渐逼近最优解。

使用内点法求解二次规划问题的一个优点是，可以在多项式时间内找到最优解，尤其适用于大规模的问题。

激活集方法是一种基于约束的求解方法。

它通过不断修改约束条件，从而求解二次规划问题。

在每一次迭代中，激活集方法选取一个子集，称为“激活集”，包含满足等式约束、不等式约束等的约束条件。

然后通过解析方法或数值方法求解这个子问题，得到对应的最优解。

该方法的优点是，可以很好地处理不等式约束和等式约束，并且收敛性良好。

除了内点法和激活集方法，还有其他的求解方法，如：序列二次规划、信赖域算法、光滑方法等。

第17讲凸二次规划的有效集方法凸二次规划问题（Convex Quadratic Programming）是一类重要的优化问题，在很多实际应用中都有广泛的应用。

其中，凸表示问题的目标函数和约束函数均为凸函数，二次表示问题的目标函数和约束函数均为二次函数，规划表示问题以最小化或最大化目标进行求解。

有效集方法（Active Set Method）是一种常用于求解凸二次规划问题的有效优化算法，其核心思想是通过选择合适的约束集来求解问题，并通过不断调整约束集来逐步逼近最优解。

以下将介绍凸二次规划问题的有效集方法的基本思路及求解过程。

基本思路：1.初始化：从一个空集合开始，即没有约束条件；2.解决子问题：在当前约束集下，求解相应的凸二次规划子问题，得到当前的最优解；3.更新约束集：根据最优解的性质，判断是否需要更新约束集；4.终止条件：如果约束集不再发生变化，或者达到预设的终止条件，算法结束；否则，返回第2步。

求解过程：1.初始化：先将约束集定义为空集，即没有约束条件；2.解决子问题：求解当前约束集下的凸二次规划子问题，得到当前的最优解。

常用的求解方法是拉格朗日乘子法，通过求解一组线性方程组来得到最优解；3.更新约束集：根据最优解的性质，判断是否需要更新约束集。

如果最优解满足所有约束条件，则算法结束；否则，选择一个违反约束条件的变量，将其添加到约束集，并返回第2步；4.终止条件：当约束集不再发生变化，或者达到预设的终止条件时，算法结束。

终止条件可以是达到最大迭代次数、目标函数变化小于设定阈值等。

有效集方法的优点在于可以充分利用问题的特殊结构和凸性质，通过不断调整约束集来逼近最优解。

然而，该方法在实际应用中也存在一些问题，如对约束条件的求解可能存在数值误差、对约束集的选择可能存在困难等。

因此，对于一些复杂的凸二次规划问题，可能需要考虑其他的优化算法来求解。

总之，凸二次规划问题的有效集方法是一种常用的优化算法，它通过选择合适的约束集来求解问题，并通过不断调整约束集来逼近最优解。

关于序列二次规划（SQP）算法求解非线性规划问题研究兰州大学硕士学位论文关于序列二次规划（SQP）算法求解非线性规划问题的研究姓名：石国春申请学位级别：硕士专业：数学、运筹学与控制论指导教师：王海明20090602兰州大学2009届硕士学位论文摘要非线性约束优化问题是最一般形式的非线性规划NLP问题，近年来，人们通过对它的研究，提出了解决此类问题的许多方法，如罚函数法，可行方向法，Quadratic及序列二次规划SequentialProgramming简写为SOP方法。

本文主要研究用序列二次规划SOP算法求解不等式约束的非线性规划问题。

SOP算法求解非线性约束优化问题主要通过求解一系列二次规划子问题来实现。

本文基于对大规模约束优化问题的讨论，研究了积极约束集上的SOP 算法。

我们在约束优化问题的s一积极约束集上构造一个二次规划子问题，通过对该二次规划子问题求解，获得一个搜索方向。

利用一般的价值罚函数进行线搜索，得到改进的迭代点。

本文证明了这个算法在一定的条件下是全局收敛的。

关键字：非线性规划，序列二次规划，积极约束集Hl兰州人学2009届硕二t学位论文AbstractNonlinearconstrainedarethemostinoptimizationproblemsgenericsubjectsmathematicalnewmethodsareachievedtosolveprogramming．Recently,Manyasdirectionit，suchfunction，feasiblemethod，sequentialquadraticpenaltyprogramming??forconstrainedInthisthemethodspaper,westudysolvinginequalityabyprogrammingalgorithm．optimizationproblemssequentialquadraticmethodaofSQPgeneratesquadraticprogrammingQPsequencemotivationforthisworkisfromtheofsubproblems．OuroriginatedapplicationsinanactivesetSQPandSQPsolvinglarge-scaleproblems．wepresentstudyforconstrainedestablishontheQPalgorithminequalityoptimization．wesubproblemsactivesetofthesearchdirectionisachievedQPoriginalproblem．AbysolvingandExactfunctionsaslinesearchfunctionsubproblems．wepresentgeneralpenaltyunderobtainabetteriterate．theofourisestablishedglobalconvergencealgorithmsuitableconditions．Keywords：nonlinearprogramming，sequentialquadraticprogrammingalgorithm，activesetlv兰州大学2009届硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。

序列二次规划法
序列二次规划法(Sequential Quadratic Programming，SQP)是一类用于求解非线性规划问题的迭代优化方法。

它可以用于求解含有约束的多元函数的极小值问题，而且它也可以求解只含有函数本身没有约束的无约束优化问题。

序列二次规划法在每次迭代中都会求解一个子问题，该子问题是一个二次凸优化问题，通常可以使用拉格朗日乘子法或者其他类似的技术快速求解。

然后根据求解出来的结果，采用类似牛顿法或者类牛顿法的方式更新搜索方向，不断更新搜索方向并重复求解子问题，直到满足收敛要求为止。

序列二次规划法的优点在于它仅需要少量的初始信息，而且具有较强的全局收敛性，因此在复杂的非线性优化问题中往往能够达到较好的效果。

非凸优化问题的二次规划算法研究非凸优化问题是在实际问题中经常遇到的一类优化问题，而二次规划算法是解决非凸优化问题的一种有效方法。

本文将对非凸优化问题的二次规划算法进行深入研究，探讨其原理、方法和应用。

一、引言非凸优化问题在实际应用中具有广泛的应用背景和重要意义。

然而，由于其复杂性和困难性，如何高效地求解非凸优化问题一直是研究者们关注的焦点。

二次规划算法作为求解非凸优化问题的一种常用方法，在实践中取得了显著的成果。

本文将对二次规划算法进行系统研究和分析。

二、非凸优化问题概述1.非凸性概念非凸性是指优化问题中的目标函数在某些点上的二阶导数大于零，导致函数曲线呈现出不连续的凸凹特性。

在非凸优化问题中，存在多个局部最优解，而全局最优解往往难以求解。

2.非凸优化问题分类根据问题形式，非凸优化问题可分为线性非凸优化问题、二次非凸优化问题、非线性非凸优化问题等。

此外，根据目标函数的性质，非凸优化问题还可以分为严格非凸优化问题、弱非凸优化问题等。

3.非凸优化问题解决难点非凸优化问题的解决难点主要包括：局部最优解的存在、目标函数的复杂性、求解过程的不稳定性等。

这些难点使得非凸优化问题在很多实际应用中难以求解。

三、二次规划算法原理1.二次规划模型定义二次规划（Quadratic Programming，简称QP）问题是指具有二次目标函数和线性约束条件的优化问题。

二次规划问题可以表示为：minimize f(x) = ax^2 + bx + csubject to g_i(x) <=0, i =1, ..., m2.二次规划模型转换为标准形式为了方便求解，我们将二次规划问题转化为标准形式。

首先，将二次目标函数中的x替换为新的变量y，然后将原问题中的线性约束条件转化为二次规划问题的标准形式。

3.二次规划模型特点分析二次规划问题的特点主要包括：目标函数为二次函数，具有开口向上的抛物线形状；线性约束条件表示的是超平面，将可行域划分为多个子区域；在某些子区域内，二次规划问题可能具有多个局部最优解。

实验报告11实验名称：用MATLAB 解二次型规划和一般非线性规划问题实验目的：学会如何运用MATLAB 解二次型规划和一般非线性规划问题； 实验内容：书P21111、试求解下面的二次型规划问题。

2122212136442min x x x x x x --+-⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0943..2,12121x x x x x t s x解：>> f=[-6,-3];H=[4,-4;-4,8];>> A=[1,1;4,1];B=[3,9];Aeq=[];Beq=[];xm=zeros(2,1);>> [x,f_opt]=quadprog(H,f,A,B,Aeq,Beq,xm,[],[])Warning: Your Hessian is not symmetric. Resetting H=(H+H')/2.> In quadprog at 232Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, using medium-scale method instead.> In quadprog at 263Optimization terminated.x =1.95001.0500f_opt =-11.025012、试求解下面的非线性规划问题。

()12424min 22122211++++x x x x x e x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--≥≥++-≤+10,10105.10..2121212121x x x x x x x x x x t s x 解：function [c,ceq]=cdd01(x)c=[x(1)+x(2);x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1.5;-x(1)*x(2)-10];ceq=[];>> y=@(x)exp(x(1))*(4*x(1)*x(1)+2*x(2)*x(2)+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x0=[1;1];xm=[-10;-10];xM=[10;10];A=[];B=[];Aeq=[];Beq=[];[x,f_opt,c,d]=fmincon(y,x0,A,B,Aeq,Beq,xm,xM,@cdd01)Warning: Trust-region-reflective method does not currently solve this type of problem, using active-set (line search) instead.> In fmincon at 422Maximum number of function evaluations exceeded;increase OPTIONS.MaxFunEvals.x =3.1740-7.9967f_opt =1.2351e+003c =d =iterations: 54funcCount: 201lssteplength: 1stepsize: 5.6428algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'firstorderopt: 390.0759constrviolation: 1.7857e-008message: [1x79 char]15、试求解下面的0-1线性规划问题解>> f=[5,7,10,3,1]>> A=[-1,1,-5,-1,4;2,-6,3,2,-2;0,-2,2,-1,-1] >> B=[-2;0;1]>> x_m=[0,0,0,0,0]>> x_M=[1,1,1,1,1]>> x=bintprog(f,A,B,[],[],x_m,x_M)x =11。