二次规划问题

具有二次非线性约束的凸二次规划问题的算法研究一、引言在实际应用中，凸二次规划问题的求解是一类非常重要的问题。

经典的二次规划问题的目标函数是一个二次函数，并且约束条件是线性的，这类问题的求解已经得到了广泛的研究。

但是，在实际生产与维护中，往往还需要考虑更多因素的约束，例如涉及到非线性因素、离散因素等。

本文将着重探讨具有二次非线性约束的凸二次规划问题，并给出相应的算法。

二、凸二次规划问题凸二次规划问题被定义为：求解一个二次目标函数的最小值，其约束条件是一些线性不等式和线性等式。

这类问题是一个非常重要的建模工具，广泛应用于生产与维护等领域。

对于凸二次规划问题，在具有一定的限制条件下，可以通过各种方法来求解。

该问题最常见的求解方法是使用内点法，该方法具有渐进Theory收敛性，并且在理论上具有多项式时间复杂度。

其他常用方法还包括牛顿法、拆分算法等。

三、具有二次非线性约束的凸二次规划问题凸二次规划问题的约束条件通常是线性的，而在实践中还经常遇到需要考虑更多因素的情况。

其中最重要的因素之一就是具有二次非线性约束的问题。

这种类型的问题在实际应用中是非常常见的。

对于具有二次非线性约束的凸二次规划问题，数学模型表示可以被写成如下形式：$$ \begin{aligned} \min_{x\in \mathbb{R}^n}\qquad &\dfrac{1}{2}x^TQx + c^Tx\\ & \text{s.t. }\quad Ax = b\\ &\quad\quad\quad f_i(x) \geq 0\quad i\in I_1\\ & \quad\quad\quad f_j(x) = 0 \quad j\in I_2 \end{aligned} $$其中，$x$ 是优化变量， $Q$ 是一个半正定的 $n\times n$ 实矩阵， $A$ 和 $b$ 分别是 $m\times n$ 实矩阵和 $m$ 维向量，$f_i(x)$ 和 $f_j(x)$ 分别是凸可微非线性函数。

解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题中。

在SVM的训练过程中，二次规划问题是关键步骤之一，它的解决方法对于SVM的性能和效率具有重要影响。

本文将解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法。

一、SVM的基本原理SVM的目标是找到一个超平面，将不同类别的样本分开。

超平面的选择是基于最大间隔原则，即使得样本点到超平面的距离最大化。

为了实现这一目标，SVM将问题转化为一个二次规划问题。

二、二次规划问题的定义给定一组线性约束条件和一个二次目标函数，二次规划问题的目标是找到一组变量的取值，使得目标函数最小化或最大化，同时满足线性约束条件。

在SVM中，二次规划问题的目标是最小化一个二次函数，同时满足一组线性不等式约束。

三、二次规划问题的形式在SVM中，二次规划问题的形式如下：minimize 1/2 * x^T * Q * x + p^T * xsubject to G * x <= hA * x = b其中，x是待求解的变量，Q是一个正定矩阵，p是一个向量，G是一个矩阵，h是一个向量，A是一个矩阵，b是一个向量。

四、求解二次规划问题的方法针对SVM中的二次规划问题，有多种求解方法。

常用的方法包括序列最小最优化（Sequential Minimal Optimization，简称SMO）、内点法等。

1. 序列最小最优化（SMO）SMO是一种迭代的优化算法，通过每次选择两个变量进行优化，并固定其他变量，来求解二次规划问题。

SMO算法的核心思想是将原问题分解为一系列子问题，并通过求解子问题的最优解来逐步逼近原问题的最优解。

SMO算法具有较好的收敛性和高效性，因此在SVM中得到了广泛应用。

2. 内点法内点法是一种基于迭代的优化算法，通过在可行域内搜索最优解来求解二次规划问题。

内点法的核心思想是通过引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，从而将原问题转化为一个无约束的优化问题。

9.2.4 二次规划问题9.2.4.1 基本数学原理如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。

其数学模型为：其中，H, A,和Aeq为矩阵,f, b, beq, lb, ub,和x为向量。

9.2.4.2 相关函数介绍quadprog函数功能：求解二次规划问题。

语法：x = quadprog(H,f,A,b)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval] = quadprog(...)[x,fval,exitflag] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...)描述：x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函数1/2*x'*H*x + f'*x ，其约束条件为A*x <= b。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x = beq。

x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub)定义设计变量的下界lb和上界ub，使得lb <= x <= ub。

x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)同上，并设置初值x0。

x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。

[x,fval] = quadprog(...)返回解x处的目标函数值fval = 0.5*x'*H*x + f'*x。

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：阮小娥同组人：钱东东求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。

由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。

二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。

关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。

- 1 -《最优化方法》课程实验报告- 2 - 【目录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 -1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 -1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 -1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 -2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 -2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 -2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 -2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 -2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 -3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -4 附录..................................................................................................................... - 11 -4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 -4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法- 3 -1 等式约束凸二次规划的解法1.1 问题描述我们考虑如下的二次规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩，n R x c,∈，m R b ∈。

MATLABquadprog函数求解⼆次规划问题【例】求如下⼆次规划问题。

【分析】⾸先应该把⽬标函数表⽰成如下矩阵形式：这⾥要细说⼀下如何写成矩阵形式。

⾸先，向量x是很容易写出的，因为f(x)包含两个变量x1和x2，因此其次，向量f只与两个变量x1和x2的⼀次项有关，所以f T x=-2x1-6x2，因此最后，矩阵H只与两个变量x1和x2的⼆次项有关，所以，这⾥要注意的是不同于⼆次型，这⾥有个系数1/2，所以矩阵H的元素是⼆次型中的矩阵元素⼤⼩的两倍。

给出⼀个规律：设矩阵H第i⾏第j列的元素⼤⼩为H(i,j)，⼆次项x i x j的系数为a(i,j)，则本例中，，这是由于x1的平⽅项（即x1x1）系数为1/2，所以第1⾏第1列的元素为1=2*(1/2)，x2的平⽅项（即x2x2）系数为1，所以第2⾏第2列的元素为2=2*1，x1x2项（即x2x1）的系数为-1，所以第1⾏第2列和第2⾏第1列的元素均为-1。

⽬标函数搞定之后，下⾯来看约束条件部分，约束条件应该写成如下形式：本例中约束条件只有不等式约束，因此A eq和b eq为空，对于A和b很容易就可以得出来：⽽约束条件中对变量x1和x2只给出下限，没有给上限，因此ub为空，得到了所有的参数，将参数输⼊MATLAB，编程如下：（代码是直接在Command Window中⼀⾏⼀⾏录⼊的，所以每⾏前⾯有符号“>>”）>> H = [1 -1; -12];>> f = [-2; -6];>> A = [11; -12; 21];>> b = [2; 2; 3];>> lb = [0; 0];>> [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)输出以下结果：Warning: Large-scale algorithm does not currently solve this problem formulation,using medium-scale algorithm instead.> In quadprog at 291Optimization terminated.x =0.66671.3333fval =-8.2222exitflag =1output =iterations: 3constrviolation: 0algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: []cgiterations: []message: 'Optimization terminated.'lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1double]ineqlin: [3x1 double]参考⽂献：【1】孙⽂瑜, 徐成贤,朱德通.最优化⽅法(第⼆版)[M]. 北京:⾼等教育出版社, 2010.【2】龚纯，王正林. 精通MATLAB最优化计算[M].北京: 电⼦⼯业出版社,2009.【3】lnsunqingshen, 464518439., 百度知道，2011-06-20.【4】李明强.⼏类特殊凸⼆次规划问题的求解算法研究[D].⼭东科技⼤学,2013 .【5】于绍慧.边界约束凸⼆次规划的求解[D].南京航空航天⼤学,2005.。

二次规划问题的一个解法及几点注记二次规划问题是指在线性规划模型中，目标函数和约束条件均为二次函数的问题。

常见的解法有坐标下降法和半正定性法。

下面是关于二次规划问题的一个解法（坐标下降法）及几点注记。

解法：坐标下降法是一种求解二次规划问题的迭代算法。

基本思路是不断地求解当前点的搜索方向，然后在这个方向上移动，直到找到最优解为止。

具体步骤如下：1.设定初始点 x0，并求出当前点的目标函数值 f(x0)。

2.求解当前点 x0 的搜索方向 d0。

3.设定步长 t，求出下一个点 x1 = x0 + t * d0。

4.求出下一个点 x1 的目标函数值 f(x1)，并与当前点 x0的目标函数值 f(x0) 进行比较。

5.若 f(x1) < f(x0)，则接下来以 x1 为当前点，重复步骤 2-5；若 f(x1) ≥ f(x0)，则退出迭代。

注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。

一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯二次规划问题的一个解法及几点注记：继续上文：注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。

一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯度的负方向，即 d0 = -∇2f(x0)。

2.坐标下降法的收敛速度取决于步长 t的取值。

常用的方法有常数步长法和自适应步长法。

常数步长法是指固定步长t，而自适应步长法是指根据当前点的目标函数值变化情况来调整步长 t。

3.坐标下降法的收敛性是指随着迭代次数的增加，目标函数的值会逐渐降低。

但是，坐标下降法并不能保证收敛到全局最优解，只能保证收敛到局部最优解。

4.坐标下降法的迭代次数一般较多，但是每次迭代的计算量较小，因此坐标下降法适用于线性规划问题规模较大的情况。

希望这些内容能为你的学习提供帮助！。

关于无线通信中一类二次约束二次规划问题的混合算法在无线通信中，许多问题可以建模为优化问题的求解。

特别地，许多问题可以转化为一个形如式（1）的二次约束二次规划（Quadratic Constrained Quadratic Programming，QCQP）问题，或者是一系列的QCQP子问题[1-6]。

例如：多发多收干扰信道的波束成形问题等价为一个QCQP问题[2]。

在中继辅助的点对点通信模型中，考虑优化中继的波束成形系数，在满足一定信噪比的条件下极小化中继的发送功率，该问题可建模为一个非凸的QCQP问题[2，3]。

在中继辅助下的多发多收干扰信道中，运用带权重的均方差极小化模型来求解总传输速率极大化问题，相应的预编码子问题也是一个QCQP[4]。

高效求解这些QCQP问题是诸多通信问题的关键。

一些经典的方法可用于求解QCQP问题，比如：半定规划松弛算法、逐步二次规划算法等等。

半定规划松弛算法将二次约束二次规划问题松弛为一个半定规划。

当约束个数不超过3个时，可求得QCQP问题的最优解；但当约束多于3个时，需要用随机的技巧产生QCQP问题的可行解，得到的解没有理论保证[7]。

逐步二次规划算法在KKT 点的局部具有超线性收敛速度；但当初始点距离KKT点很远时，算法迭代较慢[8]。

该文针对一类特殊结构的QCQP问题，提出了可行压缩算法，迭代得到的点作为逐步二次规划算法的初始点，从而很快收敛到QCQP问题的KKT点。

该文的具体结构如下：第一节介绍要求解的一类QCQP问题的具体形式，第二节给出可行压缩算法的流程，第三节在数值实验中将本文提出的算法与其他方法做出比较。

1 二次约束二次规划该文考虑的二次约束二次规划问题如下所示：这里为不定矩阵，…为半正定矩阵。

当（1）中均为半正定矩阵；≤0，对…都成立，（1）可以等价地转化为（2），且，，，…。

问题（2）是一个非凸的二次约束二次规划问题。

在通信模型中，考虑功率约束时，常常会遇到此类问题[4，5]。

二次规划问题二次规划（Quadratic Programming，QP）是指在一定约束条件下，优化一个二次目标函数的数学问题。

它是数学规划（Mathematical Programming）中的一种重要分支，广泛应用于工程、经济、金融等领域。

二次规划问题的一般形式如下：minimize f(x) = (1/2)*x^T*Q*x + c^T*xsubject to: Ax ≤ bAx = blx ≤ x ≤ ux其中，x 是一个 n 维向量，Q 是一个 n×n 矩阵，c 是一个 n 维向量，A 是一个 m×n 矩阵，b 是一个 m 维向量，lx 和 ux 分别是 x 的下界和上界。

二次规划问题具有以下特点：1. 目标函数是一个二次函数，有一个二次项、一个一次项和一个常数项。

2. 约束条件是线性的，可以是等式约束或者不等式约束。

3. 决策变量是一个向量，需要满足一定的边界条件。

解决二次规划问题有多种方法，常用的有凸优化、KKT 条件和梯度法等。

在工程领域，二次规划问题经常出现在优化设计、控制系统和信号处理等方面。

例如，在机械设计中，可以使用二次规划问题来优化零件的尺寸和形状，以实现最小体积和质量。

在控制系统中，可以使用二次规划问题来设计最优控制器的参数，以实现系统的最佳响应和稳定性。

在信号处理中，可以使用二次规划问题来估计信号的频率、幅度和相位，以实现最佳的信号采样和重构。

总之，二次规划问题是一种重要的数学工具，能够解决许多实际问题。

通过优化目标函数，可以得到满足约束条件的最优解，提高系统的性能和效益。

随着计算机技术的发展和数学优化算法的改进，二次规划问题的求解越来越高效和可靠，为工程、经济和金融领域的决策提供了有力支持。

实验2求解二次规划问题LINDO 可以求解二次规划（QP ）问题。

例如：⎪⎩⎪⎨⎧<=+>++-+=7.011.19.02.1..4.03min 22y y x y x t s yxy y x f由LAGRANGE 乘子法，得()()()7.011.19.02.14.0322-+-++-+-+-+y C y x B y x A y xy y x ，分别对x 、y 求偏导，得到两个约束条件：4.09.0202.16->++-->+--C B A x y B A y x在LINDO 中输入下列命令： MIN X+Y+A+B+C ST6X-Y-1.2A+B>02Y-X-0.9A+B+C>-0.4 1.2X+0.9Y>1.1 X+Y=1 Y<0.7 END QCP 4注释：MIN X+Y+A+B+C 一句只代表变量的出场顺序；QCP 4 一句代表前4行不是原问题真正的约束，原问题真正的约束从第5行开始。

LINDO 运行后输出以下结果：STATUS OPTIMALQP OPTIMUM FOUND AT STEP 7OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 1.355556V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X 0.666667 0.000000 Y 0.333333 0.000000A 10.888889 0.000000B 9.400000 0.000000C 0.000000 0.366667ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.6666673) 0.000000 -0.3333334) 0.000000 -10.8888895) 0.000000 9.4000006) 0.366667 0.000000NO. ITERATIONS= 7这个结果说明：LINDO求解此二次规划问题（QP）共用7步迭代得到最优解fmin = 1.355556，X = 0.666667，Y = 0.333333。

二次规划问题二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：sub.to其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。

MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。

函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数[x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值[x,fval,exitfla g] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同例5-8 求解下面二次规划问题sub.to解：则，，在MA TLAB中实现如下：>>H = [1 -1; -1 2] ;>>f = [-2; -6];>>A = [1 1; -1 2; 2 1];>>b = [2; 2; 3];>>lb = zeros(2,1);>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)结果为：x = %最优解0.66671.3333fval = %最优值-8.2222exitflag = %收敛1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: [ ]cgiterations: [ ]lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]ineqlin: [3x1 double]>> lambda.ineqlinans =3.11110.4444>> lambda.lowerans =说明第1、2个约束条件有效，其余无效。