二次规划问题

二次规划问题二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：sub.to其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。

MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。

函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数[x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值[x,fval,exitfla g] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同例5-8 求解下面二次规划问题sub.to解：则，，在MA TLAB中实现如下：>>H = [1 -1; -1 2] ;>>f = [-2; -6];>>A = [1 1; -1 2; 2 1];>>b = [2; 2; 3];>>lb = zeros(2,1);>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)结果为：x = %最优解0.66671.3333fval = %最优值-8.2222exitflag = %收敛1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: [ ]cgiterations: [ ]lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]ineqlin: [3x1 double]>> lambda.ineqlinans =3.11110.4444>> lambda.lowerans =说明第1、2个约束条件有效，其余无效。

二次规划的标准形式为：min (1/2)X’HX+f’X约束条件：Ax≤b Aeqx=beq，lb≤x≤ub，其中：f、b、beq、lb、ub、x是矢量，H、 A、Aeq为矩阵。

在MATLAB中可以使用quadprog函数来求最小值。

调用格式:x=quadprog (H,f,A,b)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,P1,P2,…) [x,fval]= quadprog (…)[x,fval,exitflag]= quadprog (…)[x,fval,exitflag,output]= quadprog (…)[x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog (…) fval为目标函数的最优值；其中：H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值；x0为初值；Aeq,beq 满足等式约束Aeq.x=beq；lb,ub满足lb lambda是Lagrange乘数，它体现有效约束的个数；output输出优化信息；exitflag为终止迭代的条件：若exitflag>0，表示函数收敛于解x；若exitflag=0,表示超过函数估值或迭代的最大次数；exitflag<0表示函数不收敛于解x；output为优化信息：若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。

例0-6 计算下面二次规划问题minf（x）= (1/2)x1^2+x2^2- x1x2-2x1-6x2约束条件： x1+x2≤2-x1+x2≤2，2x1+x2≤3；x1≤0； x2≤0解：把二次规划问题写成标准形式：(1/2)XTHX+fTX 这里：H= 1 -1 f= -2 X= x1-1 2 -6 x2在命令窗口键入命令：>>H=[1 –1;-1 2];>>f=[-2;-6];>>A=[1 1;-1 2;2 1];>>b=[2;2;3];>>lb=[zeros(2,1)];>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)运行以上命令得到的显示结果如下：x= %最优值点 §3 二次规划模型 数学模型： ub x lb beq x Aeqbx A x f Hx x T T x ≤≤=⋅≤⋅+21min其中H 为二次型矩阵，A 、Aeq 分别为不等式约束与等式约束系数矩阵，f,b,beq,lb,ub,x 为向量。

具有二次非线性约束的凸二次规划问题的算法研究一、引言在实际应用中，凸二次规划问题的求解是一类非常重要的问题。

经典的二次规划问题的目标函数是一个二次函数，并且约束条件是线性的，这类问题的求解已经得到了广泛的研究。

但是，在实际生产与维护中，往往还需要考虑更多因素的约束，例如涉及到非线性因素、离散因素等。

本文将着重探讨具有二次非线性约束的凸二次规划问题，并给出相应的算法。

二、凸二次规划问题凸二次规划问题被定义为：求解一个二次目标函数的最小值，其约束条件是一些线性不等式和线性等式。

这类问题是一个非常重要的建模工具，广泛应用于生产与维护等领域。

对于凸二次规划问题，在具有一定的限制条件下，可以通过各种方法来求解。

该问题最常见的求解方法是使用内点法，该方法具有渐进Theory收敛性，并且在理论上具有多项式时间复杂度。

其他常用方法还包括牛顿法、拆分算法等。

三、具有二次非线性约束的凸二次规划问题凸二次规划问题的约束条件通常是线性的，而在实践中还经常遇到需要考虑更多因素的情况。

其中最重要的因素之一就是具有二次非线性约束的问题。

这种类型的问题在实际应用中是非常常见的。

对于具有二次非线性约束的凸二次规划问题，数学模型表示可以被写成如下形式：$$ \begin{aligned} \min_{x\in \mathbb{R}^n}\qquad &\dfrac{1}{2}x^TQx + c^Tx\\ & \text{s.t. }\quad Ax = b\\ &\quad\quad\quad f_i(x) \geq 0\quad i\in I_1\\ & \quad\quad\quad f_j(x) = 0 \quad j\in I_2 \end{aligned} $$其中，$x$ 是优化变量， $Q$ 是一个半正定的 $n\times n$ 实矩阵， $A$ 和 $b$ 分别是 $m\times n$ 实矩阵和 $m$ 维向量，$f_i(x)$ 和 $f_j(x)$ 分别是凸可微非线性函数。

解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题中。

在SVM的训练过程中，二次规划问题是关键步骤之一，它的解决方法对于SVM的性能和效率具有重要影响。

本文将解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法。

一、SVM的基本原理SVM的目标是找到一个超平面，将不同类别的样本分开。

超平面的选择是基于最大间隔原则，即使得样本点到超平面的距离最大化。

为了实现这一目标，SVM将问题转化为一个二次规划问题。

二、二次规划问题的定义给定一组线性约束条件和一个二次目标函数，二次规划问题的目标是找到一组变量的取值，使得目标函数最小化或最大化，同时满足线性约束条件。

在SVM中，二次规划问题的目标是最小化一个二次函数，同时满足一组线性不等式约束。

三、二次规划问题的形式在SVM中，二次规划问题的形式如下：minimize 1/2 * x^T * Q * x + p^T * xsubject to G * x <= hA * x = b其中，x是待求解的变量，Q是一个正定矩阵，p是一个向量，G是一个矩阵，h是一个向量，A是一个矩阵，b是一个向量。

四、求解二次规划问题的方法针对SVM中的二次规划问题，有多种求解方法。

常用的方法包括序列最小最优化（Sequential Minimal Optimization，简称SMO）、内点法等。

1. 序列最小最优化（SMO）SMO是一种迭代的优化算法，通过每次选择两个变量进行优化，并固定其他变量，来求解二次规划问题。

SMO算法的核心思想是将原问题分解为一系列子问题，并通过求解子问题的最优解来逐步逼近原问题的最优解。

SMO算法具有较好的收敛性和高效性，因此在SVM中得到了广泛应用。

2. 内点法内点法是一种基于迭代的优化算法，通过在可行域内搜索最优解来求解二次规划问题。

内点法的核心思想是通过引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，从而将原问题转化为一个无约束的优化问题。

求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：阮小娥同组人：钱东东求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。

由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。

二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。

关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。

- 1 -《最优化方法》课程实验报告- 2 - 【目录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 -1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 -1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 -1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 -2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 -2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 -2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 -2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 -2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 -3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -4 附录..................................................................................................................... - 11 -4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 -4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法- 3 -1 等式约束凸二次规划的解法1.1 问题描述我们考虑如下的二次规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩，n R x c,∈，m R b ∈。

求解⼆次规划问题——外点罚函数法内点罚函数法
外点罚函数法
做法就是在可⾏域之外设置障碍，可解决等式和不等式约束问题，但求出的最优解往往不在可⾏域内。

将约束条件转化成函数表达式的⼀部分，使新的函数式变为⽆约束的⼆次规划问题：
约束条件转换：
将等式和不等式转换后的式⼦融合：
算法步骤：
1 确定初始点x0，初始罚银⼦Mk（可取M1=1），设置精确度
2 ⽤解析法或者其他⽅法求解驻点，得到x
3 当Mk*p（x）<精确度将此x作为最优解，若不满⾜将持续增⼤Mk
（很多算例上直接在算出驻点表达式后，将Mk趋近⽆穷来求解）
内点罚函数法
做法就是在可⾏域内部设限制，靠近边缘的域设置较⼤的障碍，边缘的障碍⽆穷⼤，⽤来解决不等式约束问题，算出的解必在可⾏域内部同外点法⼀样将约束条件转化为函数的⼀部分，使之成为⽆约束⼆次规划问题：
约束条件转化：
倒数障碍函数和对数障碍函数（使⽤其中的⼀种就可以）
算法步骤：和外点法类似，但当前解不满⾜精度要求时，rk会缩⼩，甚多算例将rk趋近0来求解函数最⼩值。

二次规划问题的一个解法及几点注记二次规划问题是指在线性规划模型中，目标函数和约束条件均为二次函数的问题。

常见的解法有坐标下降法和半正定性法。

下面是关于二次规划问题的一个解法（坐标下降法）及几点注记。

解法：坐标下降法是一种求解二次规划问题的迭代算法。

基本思路是不断地求解当前点的搜索方向，然后在这个方向上移动，直到找到最优解为止。

具体步骤如下：1.设定初始点 x0，并求出当前点的目标函数值 f(x0)。

2.求解当前点 x0 的搜索方向 d0。

3.设定步长 t，求出下一个点 x1 = x0 + t * d0。

4.求出下一个点 x1 的目标函数值 f(x1)，并与当前点 x0的目标函数值 f(x0) 进行比较。

5.若 f(x1) < f(x0)，则接下来以 x1 为当前点，重复步骤 2-5；若 f(x1) ≥ f(x0)，则退出迭代。

注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。

一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯二次规划问题的一个解法及几点注记：继续上文：注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。

一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯度的负方向，即 d0 = -∇2f(x0)。

2.坐标下降法的收敛速度取决于步长 t的取值。

常用的方法有常数步长法和自适应步长法。

常数步长法是指固定步长t，而自适应步长法是指根据当前点的目标函数值变化情况来调整步长 t。

3.坐标下降法的收敛性是指随着迭代次数的增加，目标函数的值会逐渐降低。

但是，坐标下降法并不能保证收敛到全局最优解，只能保证收敛到局部最优解。

4.坐标下降法的迭代次数一般较多，但是每次迭代的计算量较小，因此坐标下降法适用于线性规划问题规模较大的情况。

希望这些内容能为你的学习提供帮助！。

等式约束的⼆次规划问题等式约束的⼆次规划问题⼀般形式是其中应⽤直接消去法求解：将A分块，使其包含⼀个m×m⾮奇异矩阵A B，x，g做对应的分块带⼊到等式约束条件中，可解得x B，再带⼊q(x)，于是⼆次规划问题转化为⽆约束规划问题这个⼆次规划问题有解析解⼴义消去法是消去法的⼀个推⼴，将R n划分成两个空间：⼀个A的列的像空间V，⼀个A T的零空间K 设Y是V的⼀组基构成的n×m矩阵，Z是K的⼀组基构成的n×（n-m）矩阵，并且[Y Z]是正交矩阵选取Y，Z满⾜令根据约束条件，有因此有带⼊⼀般形式，原问题转化为⽆约束优化问题可得到该⽆约束优化问题的解，从⽽得到原问题的解下⾯给出代码实现：直接消去法1from numpy import *23def equation_constraint(G,g,A,b):4 m=min(A.shape)5 n=max(A.shape)6 M = range(0, n)7 E = range(0, m)8 A_B = A[E,:]9 I = setdiff1d(M, E)10 A_N = A[I,:]11 i=012 x = arange(0, n).astype(float)13while True:14if linalg.matrix_rank(A_B)==m:15break16else:17 i+=118 E[m-i]+=119 I = setdiff1d(M, E)20 A_B = A[E, :]21 A_N = A[I, :]22 G_BB=G[E,:][:,E]23 G_AA=G[I,:][:,I]24 G_AB=G[I,:][:,E]25 G_BA=G[E,:][:,I]26 g_B=g[E]27 g_A=g[I]28 invABAN=dot(A_N,linalg.inv(A_B))29 invABb=dot(linalg.inv(A_B).T,b)30 G_hat=G_AA-dot(G_AB,invABAN.T)-dot(invABAN,G_BA)+dot(invABAN,dot(G_BB,invABAN.T))31 g_hat=g_A-dot(invABAN,g_B)+dot(G_AB-dot(invABAN,G_BB),-invABb)32 x[E]=invABb+dot(dot(invABAN.T,linalg.inv(G_hat)),g_hat)33 x[I]=-dot(linalg.inv(G_hat),g_hat)34return x。

二次规划问题二次规划（Quadratic Programming，QP）是指在一定约束条件下，优化一个二次目标函数的数学问题。

它是数学规划（Mathematical Programming）中的一种重要分支，广泛应用于工程、经济、金融等领域。

二次规划问题的一般形式如下：minimize f(x) = (1/2)*x^T*Q*x + c^T*xsubject to: Ax ≤ bAx = blx ≤ x ≤ ux其中，x 是一个 n 维向量，Q 是一个 n×n 矩阵，c 是一个 n 维向量，A 是一个 m×n 矩阵，b 是一个 m 维向量，lx 和 ux 分别是 x 的下界和上界。

二次规划问题具有以下特点：1. 目标函数是一个二次函数，有一个二次项、一个一次项和一个常数项。

2. 约束条件是线性的，可以是等式约束或者不等式约束。

3. 决策变量是一个向量，需要满足一定的边界条件。

解决二次规划问题有多种方法，常用的有凸优化、KKT 条件和梯度法等。

在工程领域，二次规划问题经常出现在优化设计、控制系统和信号处理等方面。

例如，在机械设计中，可以使用二次规划问题来优化零件的尺寸和形状，以实现最小体积和质量。

在控制系统中，可以使用二次规划问题来设计最优控制器的参数，以实现系统的最佳响应和稳定性。

在信号处理中，可以使用二次规划问题来估计信号的频率、幅度和相位，以实现最佳的信号采样和重构。

总之，二次规划问题是一种重要的数学工具，能够解决许多实际问题。

通过优化目标函数，可以得到满足约束条件的最优解，提高系统的性能和效益。

随着计算机技术的发展和数学优化算法的改进，二次规划问题的求解越来越高效和可靠，为工程、经济和金融领域的决策提供了有力支持。

使⽤python求解⼆次规划的问题Python中⽀持Convex Optimization（凸规划）的模块为CVXOPT,其安装⽅式为：pip install cvxopt⼀、数学基础⼆次型⼆次型（quadratic form）：n个变量的⼆次多项式称为⼆次型，即在⼀个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每⼀项的次数都为2的多项式。

其基本形式如下亦可写作，，称作⼆次型的矩阵表⽰，其中A是对称矩阵。

仿照如下的定义，我们可以直接在其基本形式和矩阵表⽰之间相互转化。

2.正定矩阵设A是n阶实对称矩阵，如果对任意⼀⾮零实向量X，都使⼆次型成⽴，则称f(X)为正定⼆次型，矩阵A称为正定矩阵(Positive Definite)，A为正定矩阵。

相应的，如果对任意⼀⾮零实向量X，都使⼆次型成⽴，则称f(X)为半正定⼆次型，A为半正定矩阵。

3.⼆次规划问题⼆次规划是指，带有⼆次型⽬标函数和约束条件的最优化问题。

其标准形式如下：即在Gx<h 和Ax=b的约束下，最⼩化⽬标函数。

其中，当P是正定矩阵时，⽬标函数存在全局唯⼀最优解；P是半正定矩阵时，⽬标函数是凸函数，存在全局最优解（不唯⼀）;P是不定矩阵时，⽬标函数⾮凸，存在多个局部最⼩值和稳定点，为np 难问题。

（本篇博客中我们不考虑⾮正定情况）。

⼆、python程序求解⼯具包：Cvxopt python 凸优化包函数原型：Cvxopt.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)P,q,G,h,A,b的含义参见上⾯的⼆次规划问题标准形式。

编程求解思路：1.对于⼀个给定的⼆次规划问题，先转换为标准形式（参见数学基础中所讲的⼆次型⼆中形式转换）2.对照标准形势，构建出矩阵P,q,G,h,A,b3.调⽤result=Cvxopt.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)求解4.print（result）查看结果，其中result是⼀个字典，我们可直接获得其某个属性，e.g. print(result['x'])下⾯我们来看⼀个例⼦import pprintfrom cvxopt import matrix, solversP = matrix([[4.0,1.0],[1.0,2.0]])q = matrix([1.0,1.0])G = matrix([[-1.0,0.0],[0.0,-1.0]])h = matrix([0.0,0.0])A = matrix([1.0,1.0],(1,2))#原型为cvxopt.matrix(array,dims)，等价于A = matrix([[1.0],[1.0]]）b = matrix([1.0])result = solvers.qp(P,q,G,h,A,b)print('x\n',result['x'])运⾏结果：注意事项：cvxopt.matrix与numpy.matrix的排列顺序不同，其中cvxopt.matrix是列优先，numpy.matrix是⾏优先。

实验2求解二次规划问题LINDO 可以求解二次规划（QP ）问题。

例如：⎪⎩⎪⎨⎧<=+>++-+=7.011.19.02.1..4.03min 22y y x y x t s yxy y x f由LAGRANGE 乘子法，得()()()7.011.19.02.14.0322-+-++-+-+-+y C y x B y x A y xy y x ，分别对x 、y 求偏导，得到两个约束条件：4.09.0202.16->++-->+--C B A x y B A y x在LINDO 中输入下列命令： MIN X+Y+A+B+C ST6X-Y-1.2A+B>02Y-X-0.9A+B+C>-0.4 1.2X+0.9Y>1.1 X+Y=1 Y<0.7 END QCP 4注释：MIN X+Y+A+B+C 一句只代表变量的出场顺序；QCP 4 一句代表前4行不是原问题真正的约束，原问题真正的约束从第5行开始。

LINDO 运行后输出以下结果：STATUS OPTIMALQP OPTIMUM FOUND AT STEP 7OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 1.355556V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X 0.666667 0.000000 Y 0.333333 0.000000A 10.888889 0.000000B 9.400000 0.000000C 0.000000 0.366667ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.6666673) 0.000000 -0.3333334) 0.000000 -10.8888895) 0.000000 9.4000006) 0.366667 0.000000NO. ITERATIONS= 7这个结果说明：LINDO求解此二次规划问题（QP）共用7步迭代得到最优解fmin = 1.355556，X = 0.666667，Y = 0.333333。

错误!未定义书签。

序列二次规划法求解一般线性优化问题:12min (x)h (x)0,i E {1,...,m }s.t.(x)0,i {1,...,m }i i f g I =∈=⎧⎨≥∈=⎩ \＊ MERGEFORMAT （错误!未定义书签。

.错误!未定义书签。

）基本思想：在每次迭代中通过求解一个二次规划子问题来确定一个下降方向，通过减少价值函数来获取当前迭代点的移动步长，重复这些步骤直到得到原问题的解。

1。

1等式约束优化问题的Lagrange —Newton 法考虑等式约束优化问题min (x)s.t.h (x)0,E {1,...,m}j f j =∈=(错误!未定义书签。

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）其中:,n f R R →:()n i h R R i E →∈都为二阶连续可微的实函数. 记1()((),...,())T m h x h x h x =。

则(错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

)的Lagrange 函数为： 1(,)()*()()*()mT i i i L x u f x u h x f x u h x ==-=-∑（1。

3）其中12(,,...,)T m u u u u =为拉格朗日乘子向量。

约束函数()h x 的Jacobi 矩阵为：1()()((),...,())T T m A x h x h x h x =∇=∇∇.对（1.3)求导数，可以得到下列方程组:(,)()A()*(,)0(,)()T x u L x u f x x u L x u L x u h x ∇⎡⎤⎡⎤∇-∇===⎢⎥⎢⎥∇-⎣⎦⎣⎦（1.4）现在考虑用牛顿法求解非线性方程（1.4）.(,)L x u ∇的Jacobi 矩阵为:(,)()(,)()0T W x u A x N x u A x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（1。

5）其中221(,)L(,)()*()mxx iii W x u x u f x u h x ==∇=∇-∇∑是拉格朗日函数L(,)x u 关于x 的Hessen 矩阵。