求向量组的极大无关组(精选)

极大线性无关组
等价向量组 极大线性无关组性质 向量空间的基与维数
3.2.1. 极大线性无关组
定义 对向量组A，如果在A中有r个向量 1 , 2 , , r 满足：（1）A0 :1,2 , ,r 线性无关。
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）
那么称部分组 A0为向量组A 的一个最大（极大）线性
显
然
1
,
2
,
的
s
极
大
无
关
组
一
定
是
1 , 2 , s，1 , 2 , t
的
极
大
无
关
组
，
所
以
向量
组
1
,
2
,
可
t
由
它线性表示
即
1
,
2
,
t
可由
1
,
2
,
线性表示
s
定理咋还这 么多？烦人!
例 2 设1,2 , n 与 1, 2 , n 为两向量组，且
1 a111 a122 a1nn
2
a211
小结
１．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性．
２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩
３． 关于向量组秩的一些结论：
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
思考题
总结证明向量组等价的方法
如零向量组等价，但D=0.
例 4 设 1,2 , ,n是n个n维向量，证明：1,2 , ,n 线性无关 的充分必要条件是任意一个n维向量都可由它线性表示。

１ 求解 向量 组极大 无 关组 的相 关定 义
如果在 数域 Ｆ 中的数 ｋ ，２… ， 只有 ｋ ｌ Ｉ ， ｋ ， ‘ ，＝【 ２
＝ … ＝
１ 定义 １ 设 １ ｏ ，ｒ … 是 向量 空 间 Ｖ 的 ） ３ ｔ ｏ， ，１ ２ ｎ＋１ 向量 ， 。ｋ ， ， 是 数域 Ｆ中 的任 意 ｎ个 个 ｋ ， … ｋ 数， 如果 有 Ｂ＝ｋ ＋ｋ ＋ｋ％ 成 立 ， Ｂ可 以 由 。 ： 称 向量 组 ， ， ， 线性 表示 。 … ％ 例如 ， 在 里 ， Ｏ ＝（ ， ，）ｏ ＝（ ，，） 取 ｔ １ 一１０ ，２ ０２１ ， ｌ ｒ
Ｂ＝（ 一 ，） 贝 ＝ ０ 一 ＋３ｘ ５， ７ ５ ． ９３ ２ｔ １ １ ［． ３ 所 以 ， 可 由向量组 ， ， 线性 表示 。 １ ３ ２ 定义 ２ 设 ， … ， 是 向量 空 间 Ｖ 的 ｎ ） 个 向量 ， 如果 在数 域 Ｆ中数 ｋ ，： … ， 至 少 有 一 。ｋ ， ｋ
Ｗ ＡＮＧ ， Ｙａ ＲＥＮ ａ ． ｎ Ｘｉｎｇ ｍｉｇ
（ ．Ｅｅ ｎａｙＤ ｐ ｒ ｅ ｔ ｎ ， ｈ ａ ｘ Ｅ ｅｇ ｎｔｕｅ Ｘ ａｙ ｎ １０ ０， ｈｎ ； １ ｌ ｍｅｔｒ ｅａｔ ｎ ｅ Ｓ ａｎ ｉ ｎｒｙＩｓ ｔｔ， ｉ ａ ｇ７ ２ ０ Ｃ ｉａ ｍ Ｏ ｉ ｎ
２ ａ ｙＣ ｍｉｅ ｆｃ ， ｈａ ｘ Ｅ ｅｇ ｓ ｔｔ， ｉｎａ ｇ７ ２ ０ Ｃ ｉａ ．Ｐ ｒ ｏ ｔ ｅＯｆ ｅ Ｓ ａｎ ｉ ｎｒ Ｉ ｔｕｅ Ｘ ａｙ ｎ １０ ０， ｈｎ ） ｔ ｔ ｉ ｙ ｎｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ａ ｅ ｉｌ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ ｔ ｅ ｄ ｆｎ ｔｏ ｆｌｎ ｒｒ ｌｔｏ ｓ ｐ ｉ ｅ ｔｒｇ ｏ ｕ ｈ ａ ｉ ｅ ｒｒ ｐ ｅ ｅ ｔ— ｅ ｐ ｐ ｒｍａｎ ｙ ｉ ｔｏ ｕ ｅ ｈ ｅ ｉｉｎ ｏ ｉｅ ｅ ａｉｎ ｈｉ ｎ ｖ ｃｏ ｒ ｕｐ ｓ ｃ ｓｌｎ ａ ｅ ｒ ｓ ｎ ａ ｉ

第二节 向量组的极大无关组与秩
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
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三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
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推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3

非齐次线性方程组解向量组的极大无关组
非齐次线性方程组解向量组的极大无关组是互联网领域的一个重要概念。

它是
由一组线性方程组的无关组构成的，这组线性方程组可以表示为 ax=b，其中
a 是一个矩阵，
b 是一个向量，x 是该方程组的解向量组。

非齐次线性方程组解向量组的极大无关组有多种可能，它们最常见的使用情况
是来求解特定的问题。

例如，如果要求出一组解向量组，使得线性方程组的解最大，可以通过极大无关组来达到这一目的。

此外，在优化问题中，也有时需要使用极大无关组来最大化或最小化特定问题的计算结果。

在互联网行业中，非齐次线性方程组解向量组的极大无关组也是一项很重要的
技术。

它可以用于多个实际应用，其中包括复杂物联网网络的优化、移动互联网访问速度的增加、搜索引擎的优化等等。

同时，非齐次线性方程组解向量组的极大无关组也在很多其他领域得到了应用，例如数值计算、机器学习以及动画制作等等。

总的来说，通过极大无关组可以更高效地求解线性方程组解向量组，使得求解问题的负担大大减轻。