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向量组的极大无关组与秩的求法

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§3 向量组的秩与极大线性无关组

§3 向量组的秩与极大线性无关组

同的线性相关性。
A 1 , 2 ,
初等行变换 , n B 1 , 2 ,
, n
AX 0 与 BX 0 同解
定理
矩阵A的秩等于A的行(列)向量组的秩。
矩阵的秩的定义：存在 K 阶子式不为 0，对任意 K+1 阶子式均为 0， 则 k 即为矩阵的秩。
km 0 时，k11 k2 2
km m 0 才
成立，或者说， k1 , k2 , , km 不全为零，那么 k11 k22 kmm 必不 为零.）
定理 向量组 1 , 2 , , m 线性相关
齐次线性方程组 1 , 2 ,
x1 x2 , m 0 有非零解 xm
线性无关组等价。
性质 如果多数向量能用少数向量线性表示出， 那么多数向量一定线性相关。
性质
1 , 2 , 如果向量组 A：
R(1 , 2 ,
, m 可由向量组 B： 1 , 2 ,
, n
线性表示，则向量组A的秩不超过向量组B的秩，即
, m ) R( 1 , 2 , , n )
例：设矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极
大线性组的列向量用极大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 r 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ~ A 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步找B的一个3阶非零子式．可取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列． 2 1 1 1 1 1 r 1 1 1 0 1 1 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ B0 4 6 2 0 0 1 3 6 7 0 0 0

3.3 向量组的极大无关组与秩

3.3 向量组的极大无关组与秩

矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt

求向量组的秩与极大无关组

求向量组的秩与极大无关组

求向量组的秩与极大无关组对于具体给出的向量组,求秩与极大无关组的常用方法如下。

方法1 将向量组排成矩阵：（列向量组时）或(行向量组时) （*）并求的秩，则即是该向量组的秩；再在原矩阵中找非零的阶子式，则包含的个列（或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组.方法2 将列(或行)向量组排成矩阵如（＊)式，并用初等行（或列）变换化为行（或列）阶梯形矩阵(或），则(或）中非零行（或列)的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的一个极大无关组，其中是(或）中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列（或行）.方法3 当向量组中向量个数较少时，也可采用逐个选录法:即在向量组中任取一个非零向量作为，再取一个与的对应分量不成比例的向量作为，又取一个不能由和线性表出的向量作为,继续进行下去便可求得向量组的极大无关组。

对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论,如“若向量组(Ⅰ)可由向量组（Ⅱ)线性表示，则（Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ）的秩"，“等价向量组有相同的秩”，“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组"等.例1 求向量组，，,，的秩与一个极大无关组。

解法1，所以向量组的秩为3；又中位于1，2，4行及1,2,4列的3阶子式故是向量组的一个极大无关组(可知；均可作为极大无关组）。

法2由于的第1,2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个极大无关组.例2 求向量组，,，的秩和一个极大无关组。

解（1）当且时，，故向量组的秩为3,且是一个极大无关组；（2）当时，，故向量组的秩为3，且是一个极大无关组；(3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2,且是一个极大无关组。

若，则，此时向量组的秩为3，且是一个极大无关组.例3 设向量组的秩为.又设，，求向量组的秩.解法1 由于，且所以故向量组与等价，从而的秩为.法2 将看做列向量,则有其中可求得，即可逆,从而可由线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩。

4.3 向量组的秩和最大无关组

4.3 向量组的秩和最大无关组

设1, 2, …, n为Rn的一组基，则
Rn = L(1, 2, …, n)
返回
又，
Rn = L(ε1, ε2, …, εn)
Rn 的标准基
Rn, 1, 2, …, n为一组基， = x11+ x22+ …+ xnn 在基1, 2, …, n下的坐标 一个向量在确定基下的坐标是唯一的(坐标的唯一性).
矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；
矩阵A的行秩：A的行向量组的秩.
返回
定理2 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩.
证 设 R(A) = r,
A 行初等变换 B(行阶梯形矩阵),
B有 r 个非零行，B的r 个非零行的非零首元素所在 的r 个列向量线性无关， 为什么？ 为B的列向量组的最大无关组. 为什么？
1, 2, …, r 可由1, 2 , …, s线性表出,有
R(B)=R(B, A) 则R( A) ≤ R(B) ≤ s
1, 2, …, r 线性无关，则 R(A)=r
r≤ s
返回
两向量组秩的关系： 若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2. 证 设 1 ,..., r1 为(Ⅰ) 的最大无关组， 1 ,..., r2 为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以
4.3
向量组的秩与最大无关组
一、向量组的秩与最大无关组的概念
二、Rn 的基、维数与坐标
返回
一、向量组的秩与最大无关组的概念
例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。
1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，

极大无关组与向量组的秩

极大无关组与向量组的秩

提示: 极大无关组不唯一，但是所含向量的个数都相等
线性代数
16
例3 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个极大 无关组， 并把不属于极大无关组 的列向量用极大 无关组线性表示 .
0 1 0
即得
a 3 a1 a 2 , a5 4a1 3a 2 3a4
线性代数
20
练习：义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间．
说明 1．集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
知R(a1 , a2 , a4 ) 3，故a1 , a2 , a4线性无关
要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示，必须将 A再变 成行最简形矩阵.
线性代数
19
A
初等行变换
~
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
验证a1 , a 2 , a 3 , 是R 3的一个基，并把 b1 , b2用这个基 线性表示.
线性代数
27
解 要证a1 , a2 , a3是R 的一个基，只要证 a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证 A ~ E.
设
即 x11 (b1 , b2 ) (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B AX .
k1 k n 0时, 才有 k1 1 k 2 2 k n n 0 成立 .
线性代数
8
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .

矩阵的秩及向量组的极大无关组求法

矩阵的秩及向量组的极大无关组求法

位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列
式，称为A的k阶子式. 如矩阵
1 A 1
1 1
0 2
2 1
0 0 3 2
第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为
12
三阶子式共有4个
02
1 10
1 12
102 1 02
1 1 2 1 1 1
1 2 1 1 2 1
0 4 4
0 4 4
3 0 6
0 3 3
3 21 2 3 2 1 2
《线性代数》
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结束
矩阵A2
矩阵A3
矩阵B
1 0
1 4
1 (1/ 4)r2 1
4
0
1 1
1 1
r3 3r2
1 0
1 1
1 1
r1 r2 1
0
0 1
2 1
0 3 3
0 3 3
0 0 0
0 0 0
二、单选题
１．设A是n阶方阵且|A|＝0，则（ ） ． 1) A中必有两行（列）元素对应成比例． 2) A中至少有一行（列）的元素全为0 ． 3) A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合． 4) A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合．
《线性代数》
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结束
2．设n阶矩阵A的秩为r，则结论（ ）成立. ①|A| ≠0; ② |A| ＝0; ③ r>n; ④ r≤n.
00
c1n
c2n
crn
0
0
结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.
《线性代数》
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3.3 向量组的秩与极大线性无关组

3.3 向量组的秩与极大线性无关组

2014年9月23日7时13分
11
解：令A=（a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5）
对其施行初等行变换变为行阶梯形矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
1 初等行变换 0 ~ 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
A
初等行变换
~
即得
a 3 a1 a 2 a 5 4a1 3a 2 3a 4
2014年9月23日7时13分 13
例4: 证明：R( A, B) R( A) R( B)
证：设a1, a2, …,ar是矩阵A的列向量组的极大线性无 关组，β1, β2, …, βt是矩阵B的列向量组的极大线 性无关组 则 (A,B)的列向量组可由a1, a2, …,ar,β1, β2, …, βt
2014年9月23日7时13分 10
例3: 求向量组a 1 =(2,1, 4, 3)T , a 2 =(-1,1,-6,6)T , a 3 =
(-1,-2,2,-9) , a 4 =(1,1,-2,7) , a 5 =(2,4,4,9) 的秩
T T T
和一个极大线性无关组，并把不属极大线 性无关组的列向量用极大线性无关组线性 表示.
2014年9月23日7时13分
9
注： 求极大线性无关组和秩的方法： ⑴先将所给向量写成矩阵A的列向量
⑵再对矩阵A作初等行变换化为行阶梯形
则在行阶梯形中：
①非零行的行数即为向量组的秩
②在每个非零行取一个非零元素所在的列即构成向量组
的一个极大线性无关组（通常取第一个非零元所在的列） ⑶继续将矩阵作初等行变换化为行最简形，则利用行 最简形，可将其余向量由极大线性无关组线性表示

4[1].3向量组的秩和极大线性无关组

4[1].3向量组的秩和极大线性无关组
第二节 向量组的极大无关组与秩
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3

3-2 向量组的秩和最大无关组

3-2 向量组的秩和最大无关组
R( A, B ) r R( A)
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),

向量组的极大无关组与秩的定义

向量组的极大无关组与秩的定义

复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组 定义1：设 向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。 则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个 数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的 个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表

1-3 向量组的极大无关组及向量组的秩

1-3 向量组的极大无关组及向量组的秩

11
α1 = (1, 2,0, 1) α2 = (3,1, 5, 7) 例4 求向量组 α3 = (5, 3,7,9) α = (2,1, 3, 3) 4 α5 = (1, 4, 2, 7)
的秩及向量组的一极大无关组, 的秩及向量组的一极大无关组,并求其余向量由这极大无关 组的线性表达式. 组的线性表达式. 极大无关组为: 极大无关组为: α1 ,α2 ,α4 或者 α1 ,α3 ,α4
4 7 α3 = 5α1 5 α2 为极大无关组为例: 以α1 ,α2 ,α4 为极大无关组为例: α = 9α + 8α 2α 4 5 5 1 5 2 12
或者 α1 ,α2 ,α5 或者 α1 ,α3 ,α5
小结
1.介绍基本概念:极大无关组,秩. 介绍基本概念:极大无关组, 介绍基本概念 2. 向量组的初等变换,行阶梯形矩阵. 向量组的初等变换,行阶梯形矩阵. 3. 重点:定理1.3.3. 重点:定理1 4 .必须会求向量组的秩,极大无关组. 必须会求向量组的秩, 必须会求向量组的秩 极大无关组.
§1.3 向量组的极大无关组及向量组的秩 一,极大无关组,秩 极大无关组, 二,向量组的初等变换
1
一,极大无关组,秩 极大无关组, 定义1.3.1 定义1.3.1
α1 ,α2 ,,αr 是向量组 的一部分向量组,如果满足 是向量组T 的一部分向量组,
线性无关; (1)α1 ,α2 ,,αr 线性无关; (2)α ∈T, 总有 α1 ,α2 ,,αr,α 线性相关. 线性相关. 则称 α1 ,α2 ,,αr 是向量组 的一个极大线性无关组, 是向量组T 简称极大无关组.
若写成矩阵形式 ,可以看到有阶梯出现
α1 1 α2 = 0 α3 0 α 0 4

线性代数解题技巧及典型题解析01-向量组的秩及极大线性无关组的求法_12

线性代数解题技巧及典型题解析01-向量组的秩及极大线性无关组的求法_12

行变换
0
0
10
4
2
,
0 0 0 3 9 3
0 0 0 1 3 1
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
2 = 1 ,5 71 43 34 ,6 1 23 4 .
3.利用向量组解决有关矩阵的问题
例5 设 A为 m s 矩阵，B 为 s n 矩阵. 证明 r(AB) min{r(A), r(B)}.
此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来解决向量组的 问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来解决矩阵的问题.
r(AB)min{r(A) , r(B)}是一个很有用的公式.
极大无关组. 由题设 j1,, js 可由i1,,is 线性表示，设表示式为
j1
a11
a1s
i1
,
js
a s1
a ss
is
1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一定的 条件后可以等价. 因此，一定要注意：向量组的等价仅由秩相 等是不够的，这一点与矩阵等价不一样.
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故 取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证 出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨 论对象.
极大无关组表示出来。
1
A
1
2
3
4
5
6
=
2 3
1 2 3
1 1 1
0 2 4
3 4 5
21
行变换
1 B= 0
3
0
1 0 0
1 1 0
0 2 3

§3.4 向量组的最大无关组与秩

§3.4 向量组的最大无关组与秩

2 1 1 1 2
A
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
,
a5
)
1 4
1 6
2 2
1 2
4
4
3
6 9
7 9
思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？
思路1：利用P.83 定理1 的结论
向量 b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3
注: 1. 只含零向量的向量组没有最大无关组. 规定它的秩为0.
2. 向量组{1,,m } 线性无关 R(1,,m ) = m . 3. 向量组{1,,m } 线性相关 R(1,,m ) < m .
例： 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一 个最大无关组及 Rn 的秩．
1 0 L
列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵 A 用
初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出 B 的最 高阶非零子式所在的列, 其对应于A 所在的列向量 就是A的列向量组的一个最大无关组.
三、向量组秩的一些结论
§3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩.
定理3.14 向量组 1, 2, , s 能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s) .
0
00
0
于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0

4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩

4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩

1 1 2 一次行 B = 2 A= ① r r ③ kr ② k r i j i m m
则显然有
1, 2 ,, m 1 , 2 ,, m
行秩(A)=行秩(B)。
所以，初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩。 类似有： 定理2.12 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理5 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理6
① 将向量组以列向量构成矩阵
② 对矩阵A 施以初等行变换化为行最简形矩阵;
A = (1, 2 ,, s ) ;
行

A = (1, 2 ,, s ) B = ( 1, 2 ,, s )
③ 所得矩阵的列向量组中基本单位向量对应 位置的向量即为所求 极大无关组，即
1, 2 ,, s 的极大无关组对应
2 n ) 则称向量组 1, 2 ,, m 为矩阵A的行向量组；
则称向量组 1, 2 ,, n 为矩阵A的列向量组。
1．矩阵的行秩与列秩 定义2 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行 秩，记为行秩A); 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩，记 为列秩A)。 例如，矩阵
r ( A) = 2 ,
推论3 向量组中任两个极大无关组等价。 【由等价的传递性】 推论4 向量组的极大线性无关组所含向量的 个数唯一。 【上节定理5？】 【称这个唯一的数为向量组的秩】
【称这个唯一的数为向量组的秩】 3. 向量组的秩 （1）秩的概念 定义2 向量组 1, 2 ,, s 的极大无关组 所含向量的个数称为该向量组的秩, 记为
1 0 1 1 A= 0 1 3 2
行秩A)＝2， 列秩A)＝2

向量组的最大无关组与秩

向量组的最大无关组与秩
Dr 0. 由 Dr 0 知其所在的 r 列线性无关； 又由A中所有r 1阶子式均为零, 知A中任意r 1 个列向量都线性相关. 因此Dr 所在的r列是A的列 向量的一个最大无关组, 故列向量组的秩等于r .
类似可证A的行向量组的秩也等于R( A).
即: 利用矩阵的秩可以求向量组的秩.
故向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.
定理3.16 向量组 A和它的最大无关组 A0 是等价的. 证明 因为向量组 A0 是组A的一个部分组 ,
故 A0组总能由A组 线性表示, 由最大无关组定义可知: 对于A 中任一向量 , r+1个向量 , 1, 2, , r 线性相关, 而 1, 2, , r 线性无关, 可知 能由1, 2, , r 线性表示,
则向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.
证明 设 1, 2, , r+1 是组A中任意r+1个向量, 由(2)可知这r+1个向量能由向量组 A0线性表示, 从而有: R( 1, 2, , r+1) R(1, 2, , r ) =r 所以 r+1个向量1, 2, , r+1 线性相关,
且 1,2,3 为向量组的一个最大无关组. 说明: 向量组的最大无关组一般不是唯一的.
3 3 1 1 1 1 3 7 1 3 , 例2 设矩阵 A 3 1 1 15 3 1 5 9 12 1 求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组, 并把不属
则RB RA .
推论 若向量组 B 与向量组 A 等价, 则RA=RB . 例3 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示, 且RA =RB , 证明向量组A 与向量组 B 等价.
m 线性表示的充分必要条件是

向量组的极大无关组与向量组的秩

向量组的极大无关组与向量组的秩
一个向量。
若
k 11 2 2 r r
0 ( k 1 1 ) 1 ( k 2 2 ) 2 ( k r r ) r
因 a1,a2,,ar线性无关，
3

k1 k2 k3
1 0 1
所以
4 13
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同理可求得
5123
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题.
命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
证 设 a1,a2, ,ar是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意
则必有
k 1 1 k 2 2 k r r 0
即
k 11 ,k 22 , ,k rr
所以，由 a1,a2, ,ar线性表示的表达式唯一.
am1x1 am2x2 amnn 0
上面的齐次线性方程组可写成 1 ,2 , ,n X 0 , ( 这 X x 1 , x 2 里 , x n ')
现设
1 , 2 , , n 经 过 初 1 ,等 2 , 行 , n变换
由命题12.1知
1 ,2 , ,n X 0 与 1 ,2 ,n X 0
同解.所以向量组 a 1 ,a 2 , ,a n 与 1 , 2 , , n的线性相关性相同.
□
由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.
又会命题11.11显然下面的命题成立.
11234
00 0 0 0
由命题12.11知,向量组的秩等于3,且 1,2,3 就是一个极大无关组.下面球4 ,5

3-2 向量组的秩和最大无关组

3-2 向量组的秩和最大无关组
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例3 设 ξ1,…, ξn−r [r = R(A)]为 n 元齐次线性方程组 … − 为 Ax = 0 的一个基础解系 S 为方程组 Ax = 0 的解集 的一个基础解系 基础解系, 解集, 则有
S = {x = k1ξ1 +⋯+ kn−rξn−r | k1,⋯ kn−r ∈R} ,
等价. 证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价 证明 记 A = (a1, a2), B = (b1, b2, b3),
1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 r ( A, B ) = −1 1 0 1 −1 0 2 1 1 1 → 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0
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1 3 2 1 3 例2 设 a1 = −1 , a2 = 1 , b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = −1 1 1 1 0 2
定理4 定理 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 线性关系. 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 • 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩. 定理5 定理 矩阵的秩等于它的(行 列向量组的秩 列向量组的秩. 矩阵的秩等于它的 行)列向量组的秩 证明 由定理 知, 矩阵的列向量组的秩等于它的行最 由定理4 简形的列向量组的秩, 从而等于它的行最简形的秩. 简形的列向量组的秩 从而等于它的行最简形的秩 而 矩阵的秩等于它的行最简形的秩. 因此, 矩阵的秩等于它的行最简形的秩 因此 矩阵的秩等于 它的列向量组的秩. 它的列向量组的秩 考虑转置即知, 矩阵的秩等于它的行向量组的秩. 考虑转置即知 矩阵的秩等于它的行向量组的秩

矩阵的秩及向量组的极大无关组求法ppt课件

矩阵的秩及向量组的极大无关组求法ppt课件

定理3 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.
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求向量组的秩的方法
①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．
例4. 求下列向量组
１=(1, 2, 3, 4)，2 =( 2, 3, 4, 5)，3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以１,２,３为列向量作成矩阵A，用初等变换将A化为
5．设向量组１，２，３，线性无关，则下列向量组中， 线性无关的是（ ） .
① １+２，２+３，３-１ ② １+２，２+３，１+2２+３ ③ １+2２，2２+3３，3３+１ ④ １+２+３，2１-3２+2３，3１+5２-5３
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作业： 77页 13
14
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0 1 2 2 3 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1
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定理2 任何一个秩为r 的矩阵A=(aij) m╳n都可以通过初等 行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r. 即
b1 * L
0
b2
L
* c1 r1 * c2 r1
M M O M M
A 初等行变换 Br
0 3
0 2
2 2
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解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵
1 1 0 0 2 r2 2r1 1 1 0 0 2
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4
2 3 5 0 0 0 0
4时，r( A) 3 4, 1,2 ,3,4线性相关。
r(1,2 ,3 ) 3,1,2,3是一个极大无关组。
但，行摆行变换不行！
反例： 1 (1,0,0),2 (1,1,0),3 (1,1,0).
A
12
1 1
3
1
0 1 1
0 0
0 0
BT sn
AT ms
=CT
,
r(C) r(CT ) r(BT AT ) r(BT ) r(B).
r( Ams Bsn ) minr(A), r(B)
设有n两个维向量组1,2,,s与 1, 2 ,, s , 若
1,2 ,,s线性无关且
1
2
a11
a21
a12
a22
a1s 1
,
1 1
B
2
,C
2
.
am1
am2
ams
s
m
1
a11 a12 a1s 1
2
C
AB
a21
a22
a2s
2
m
a m1
am2
ams
s
r(C) r(1,2,,m ) r(1, 2,, s ) r(B).
Ams Bsn=C, r(C) r(AB) r(A).
r1 r3
1 1
1 1 1
0 0
0 0
r2r 1
1 1
1 0 1
0
0
0
0 1 0 0 0 0
r3r2
1 0
0 1
0 0
r1 r3
1 0
0 1
0
0
2 ,3是一个极大无关组。
矛盾
例3：a取何值时向量组线性相关，并求秩及极大无关组。
1 (1,0,0,3),2 (1,1,1,2),3 (1,2, a 3,a),4 (0,1,a, 2).
2
1
3 0 7
1
1
2
2
r2 r1 00
03
33 11
1
1 0
4 2 14 0 0 2 2 4
1 0 3 1 1 0 3 1 1 0 3 1
0 0
1 3
1 3
0 1
0 0
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 1
0 2 2 4 0 0 0 4 0 0 0 0
s
)
b11 b21
b12
b22
b1n
b2n
,
b s1
bs 2
bsn
{1, 2,, n}可由{1,2,,s}线性表示，故有
r(C) r(1, 2,, n ) r(1,2,,s ) r( A).
Ams Bsn=C,
a11
A
a21
a12
a22
a1s
a2s
r( Ams Bsn ) minr(A), r(B)
重要的关于秩 的不等式！
Ams Bsn=C, A (1,2,,s ),C (1, 2,, n ),
b11 b12 b1n
B
b 21
b 22
b 2n
.
b s1
b s2
( , ,, )
12
n
C
b sn
AB
( , ,, 12
练 习
为何值时，向量组1 （1，1，1，1，2）,2（2，1，3，2，3） 3 （2，3，2，2，5）,4 （1，3，1，1，）线性相关？并
求秩及一个极大无关组。
1 2 2 1 1 2 2 1
1
1
3
3
0
11Biblioteka 2A(1,2
,3
,4
)
1 1
32 22
1 0
1
行变换0
0 0
1 0 .
0
1 1
1
0
1 1
1
0
A
(1,2
,3,4
)
0 0
1 1
2 a3
1 a
0 0
1 0
2 1 a 1 a 1
3 2 a 2 0 1 a 3 2
1 1 1
00
1 0
2 a 1
0 0 a 1
a
2,
A
1 0
1 1
a2 0 0
0
0
0 1 a 1
1
1 00
0
1 1 0 0
1 2 a 1 0
向量组的秩的求法
行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。 定理4 ：矩阵的行秩与列秩相等，为矩阵的秩。
推论：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩 阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。
例1：求向量组的秩。
1 (1,1,2, 4),2 (0,3,1, 2),3 (3,0, 7,14),4 (1,2, 2, 0).
a2s
2
,
a11
K
a21
a12
a22
a1s
a2
s
.
s
as1
as 2
ass
s
a s1
a s2
a ss
则1, 2 ,, s线性无关 r(K) s.
则1, 2 ,, s线性相关 r(K) s.
1, 2,, s线性无关 r(K) s :
B KA, s r(B) r(KA) r(K) s, r(K) s.
1 0
0 1
0 2 2 4 0 0 0 4 0 0 0 0
极大无关组的求法
列摆行变换法。 （记录法与逐个考察法就不介绍了。）
例2：求向量组的秩及极大无关组。
1 (1,1,2, 4),2 (0,3,1, 2),3 (3,0,7,14),4 (1,2, 2,0).
1 0
A (1,2,3,4 ) 1 3
0 1
1 0
1 a1 0
a
2
0
1 1 0 0
1 2 0 0
00 1111,,
03
1 0
r(1,2 ,3,4 ) 3,
2 3
1
1
,
r(1,2
,3
,4
)
3,
1,2 ,4为极大无关组。
0
0
1
,
2
,
为极大无关组。
3
我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组
也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是： 这是一个非常
r( Ams Bsn ) minr(A), r(B)
练 习
设AnmBmn En，证 明 ：B的 列 向 量 组 线 性 无 关
解：
A
21 34
1
0
3 1
1 3 0 2
2 1 7 2
4
124
1
0
0
0 0
1 3 3 1
2 1 1 0
4
2
2
4
1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4
0 0
3 3
1 1
2 2
0 0
1 3
0 1
24
0 0
1 0
0 1
4 10
0 1 0 4 0 3 1 2 0 0 0 0
r(1,2,3,4 ) r( A) 3
1
A
(1,2 ,3,4
)
1 2
0
3 1
3
0 7
1
2 2
1
0 0
0
3 1
3
3 1
1
1 0
4 2 14 0 0 2 2 4
1 0 3
1
1 0 3
1
1 0 3
1
0 0
1 3
1 3
01
0 0
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
r(1,2 ,3,4 ) r( A) 3, 1,2 ,4是一个极大无关组
列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在
每一高度上取一个向量，相同高度取左，即可得到极大无关组。
如上例，
1 0 3 1
A
( , , , ) 1234
0
0
1 0
1 0
0 1
0 0 0 0
1,3,4也是一个极大无关组。