求向量组的极大无关组-向量组极大无关组例题19页PPT

称为这个向量组的秩, 记作 r(1,2 , , s )
2 4 2
例如：
向量组
1
-1 3
,
2
-2 5
,
3
-1 4
的
1
4
-1
秩为2。
2. 矩阵的秩
2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
（2）用非零常数k乘以A的第i行
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列）
（行）
证：设矩阵A经过初等行变换变为B，
即存在有限个初等矩阵 P1, P2 , , PS 使得 P1P2 PS A B 令 P P1P2 PS 则 PA B
把 Amn 按列分块，设 Amn (1, 2 , , n ) 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1,2 , ,r ,
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1m xm b1 a2m xm b2 有解,
anm xm bn
或者，令
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1m
a2m
(1
,
2
,
anm
,m )
得方程组 Ax 有解.
x1
x
等价向量组的基本性质
定理：设 1,2 , , s 与 1, 2 , , t 是两个向量组，如果 (1) 向量组1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示；
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。

3.若向量组B能由向量组A线性表示，则
.
极大线性无关组 定义
• 定义：向量组T中如果有一部分组α1，α2，···，αr满足： 1.α1，α2，···，αr线性无关； 2.任取向量组T中β，有α1，α2，···，αr，β线性相关。 则称α1，α2，···，αr为向量组T的一个极大线性无关向量组， 简称为极大无关组
3
6
9
7
9
0
0
0
0
0
得到R（A）=3，故最大无关组含有3个向量，取1,2,4列，故 a1, a2, a4
为列向量最大无关组。
•注意：只要分别取不在同一阶梯上的列向量即可，可以125列，134列
都是最大无关组，这里为了方便去只取124列
•剩下3，5列用线性表式：3，5列单独写出来
1 4
•例题：设矩阵
2 1 1 2
4
求矩阵A的列向量组的一个最大无关
4
3
6
9
7
9
组，并把不是组最大无关组的列向量用最大无关线性表示
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
•解： A
1
1
2
1
4
r
0
1
1
0
3
(先化为行最简)
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
• 定理： 1.设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果 （1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出（2）r>s；
那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。 2.只含零向量的向量组没有极大无关组； 3.一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身
.
极大线性无关组 例题
1

矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt

11
第 三 章 n 维 向 量 空 间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 个数相等。 个数相等。 证明 向量组 α1 , α 2 , L , α m
等价 极大线性无关组 等价 等价
向量组 β 1 , β 2 ,L , β n
等价 极大线性无关组
α i 1 , α i 2 ,L , α i r
β i 1 , β i 2 ,L , β i s
12
第 三 章 n 维 向 量 空 间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 个数相等。 个数相等。 证明 即 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 可由 β i 1 , β i 2 ,L , β i s 线性表示， 线性表示， 线性无关， 且 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 线性无关，因此 r ≤ s . 同理 r ≥ s . 即得 r = s .
化为标准形
I 即 C Q = P −1 t 0 0 0
It 0 , 其中 t ≤ s . 0 0 I t 0 = P1 I t 0 , = ( P1 P2 ) 0 0 0 0
下面利用反证法证明 t = s . 18
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 3. 向量组的秩 4. 向量组的秩与矩阵秩的关系
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第 三 章 n 维 向 量 空 间

2 ' ) A 中每一个 i 可由 j , j ,, j 表出 即 1)+2) 1)+ 2 ')
1 2 r
定义: A : 1 ,,s , A0 : j ,, j 是 A 部分组 若 1) j , j ,, j 线性无关 2 ' ) A 中每一个i 可由 j , j ,, j 表出 (说明 A 与 A0 等价 ) 称 A0 为 A 的极大组, r 为向量组的秩, 记为 r (1 ,2 ,, s ) r (上界,个数超过 r 的 向量相关） 注1 1 ,, s 相关 r(1,2 ,, s ) r s
i j i j
A : 1 ,, s
的极大组满足
1) A 的部分组 2)线性无关组 3)含向量最多
r ( s ) 个
部分组, A0 是 满足 1) j , j ,, j 无关
A0 : j1 ,, jr
是
A
A
极大组
1
2
r
2)任意 r 1(若 )个向量相关
在条件1)之下，2)可等价地换为
( 1 ,2 ,3 ,4 相关 r( A) 4, A (1,2 ,3 ,4 ) ) 2)求 1 ,2 ,3 ,4 极大组,并将其它向量 用极大组表示
解：
1 1 0 4 A (1 ,2 ,3 ,4 ) 1 2 2 1
1 2 3 4
T 1
的列向量组 的行向量组
T m
定理3.4.4
r ( A) r(1 ,, s ) r( ,, )
A 的列秩
A 的行秩
定理3.4.3 初等行(列)变换不改变矩阵 A 的列(行)向量组的线性关系 A 1 ,, s 行 B 1 ,, s

故A是极大线性无关组为 1 , 2 , 4 .
n 例6 设R 中的向量组1 , 2 ,, n 线性无关,证明
向量组
1 =1 + 2 ,2 = 2 +3 ,, n1 = n1 + n , n = n +1,
当n为奇数时线性无关;当n为偶数时线性相关. 向量组1 , 2 ,, n 可以由向量组 证明： 1 0 0 0 1 具体为 1 , 2 ,, n 线性表示. 1 1 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 0 1 2 1 3 0 3 0 0 0 0 0 7 3 1
13
1 0 0 0
故B的列向量极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 且
0 1 2 n = 1 2 n 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 nn
20
当向量组1 , 2 ,, n 线性无关时,
矩阵1 2 n 可逆,则
i T1 ,
k1i k s 2i , i 1, 2,, r. ksi
i 1 2
2
即
1
2 r
1
2
k11 k 21 s ks1
k12 k1r k22 k2 r , ks 2 k sr
r 1 2 m r r B ;
r 1 2 m r A r
由 r A r AT , 可证明A的秩等于行向量组的秩.
15

r A r. 则有 推论 设A为 m n 矩阵，

（1）当P为何值时，该向量组线性无关？
（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时 ，求出它的秩， 和一个极大线性无关组.
解：作矩阵 ， 1 1 3 2
，
1
3
2
6
1 5 1 10
3
1
p2
p
对矩阵A作初等行变换化阶梯形
1 1 3 2 1 1 3 2
A
0
2
1
0 6 4
4
0
1,2线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故
1,2是1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组
1
,
3和
3
,
4等也是1
,
2
,
3
,
的极大无关组.
4
( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同
二、向量组的秩
定义 向量组1,2 ,L ,s 的极大无关组所含向量个
数称为这个向量组的秩. R1,2,L ,s r
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
(任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.1,2,L ,s线性无关， ,1,2 ,L ,s 线性相关
可由 1,2,L ,s 唯一线性表示.
§4. 1 n维向量概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 极大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
§4. 3 极大无关组
一、极大线性无关组
定义 设 1,2 ,L ,s 为 Pn 中的一个向量组，它的 一个部分组 i1,i2 ,L ,ir 若满足
i) i1,i2 ,L ,ir线性无关； ii) 对任意的 j (1 j s) , j 可经 i1,i2 ,L ,ir
线性表出；
则称 i1,i2 ,L ,ir 为向量组 1,2 ,L ,s 的一个

第二节 向量组的极大无关组与秩
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3

因此3=21-2, 4=-1+22
• 同理 , 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵 , 通过做初向量组
1=(2,1,3,-1)T, 2=(3,-1,2,0)T, 3=(1,3,4,-2)T, 4=(4,-3,1,1)T,
的秩和一个极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量 用极大无关组线性表示。
方法3 初等变换法
初等行变换保持了列向量间的线性无关性 和线性表出性
可以证明，若对矩阵A仅施以初等行变换 得矩阵B, 则B的列向量组与A的列向量组间有 相同的线性关系。（行变换对列没有影响）
1 2 4 2 4 0 如Ａ 2 4 0 ，有 2 =21 对于B1 = 1 2 4 ，有 2 =2 1 3 6 1 3 6 1
即初等行变换保持了列向量间的线性无关性和 线性表出性。
由此提供了求向量组的极大无关组的方法：
(1)以向量组中各向量为列向量构成矩阵A; (2)对A做初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则 可求出r(A)=r(向量组的秩为r，说明向量组中线性无 关的向量最多有r个，任何r+1个线性相关). (3)在A中找出r个线性无关的向量即是所求向量组的 极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形。
求极大无关组方法,找阶梯型矩 阵非零行的非零首元所在的列
知r(1,2)=2, 故1,2 线性无关
• 为把3,4用1,2线性表示, 把A变成行最简形矩阵
1 0 A 0 0 0 2 -1 将A化为一个行最简形矩阵B, 1 -1 2 B 是因为较容易看出B 的列向 0 0 0 量组各向量之间的线性关系 0 0 0
记矩阵B=(1, 2, 3, 4),因为初等行变换保持了列向 量间的线性表出性，因此向量1,2,3,4与向量1, 2, 3, 4之间有相同的线性关系。

反证法，若 盾。
s
t
则由定理1知
1
,
2
,
, t 线性相关，矛
推论2 若 r(1,2 , ,s ) r 则 1,2 , , s 中任何r+1个
向量都是线性相关的。
证明：设 1,2 , ,r 是 1,2 , , s 的一个极大线性无 关组 1,2 , ,r ,r1是 1,2 , , s 的部分组， 则 1,2 , ,r ,r1 可由1,2 , ,r 线性表示， 又r+1>r，由定理1知，1,2 , ,r ,r1 线性相关。
a222
a2nn
(1)
n an11 an22 annn
证明：若 D | aij |，0 则向量组1, 2 , n 与 1 ,2 ,
n 等价。
反之如何？
证: 由于D 0 ，则根据（1），可按克莱姆法则把
i (i 1, 2, , n) 解出，用 Aij 表示D中元素 aij 的
代数余子式，于是用 A11 , A21 , , An依1 次乘（1）中 第（1），（2），… ，（n）个等式两端，再相加，
的一个极大线性无关组，A中任何一个向量都可由A0 线性表出， 即A中任意r+1个向量必线性相关，另外，A0,是A的部分组，故 A0中的任一向量都可由A线性表出。所以，A0与A可互为线性表 出。一般来说有：
3.2.2 向量组的等价
定义：如果向量组
A :1,2, ,m
中的每一个向量 i (i 1,2,m)
思考题解答
证法一根据向量组等价的定义，寻找两向量 组相互线性表示的系数矩阵；
证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量 组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价” 这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；