【数学】2016-2017年黑龙江省鸡西十九中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2015-2016学年黑龙江省鸡西十九中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个2．（5分）已知（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为A，二项式系数之和为B，若A﹣B=56，则展开式中常数项为（）A．10B．﹣10C．﹣15D．1 53．（5分）已知P（B|A）=，P（A）=，则P（AB）等于（）A．B．C．D．4．（5分）某次考试期间，甲独立解出某题的概率为，乙和丙二人独立解出某题的概率分别为、，假定他们三人的解答过程相互不受影响，考试期间至少有1人解出该题的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）设随机变量ξ～B（4，），则P（ξ=2）的值为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．7．（5分）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（）A．4x﹣y﹣3=0B．x﹣4y﹣3=0C．x+4y﹣3=0D．4x+y﹣3=0 8．（5分）设y=8x2﹣lnx，则此函数在区间（0，）和（，1）内分别（）A．单调递增，单调递减B．单调递增，单调递增C．单调递减，单调递增D．单调递减，单调递减9．（5分）由y=﹣x2与直线y=2x﹣3围成的图形的面积是（）A．B．C．D．910．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”D．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”11．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．B．C．﹣D．212．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n ∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1B．2k+3C．2（2k+1）D．2（2k+3）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，若甲乙必须相邻，且乙必须在甲的左边，那么不同的站排方法共有种．14．（5分）设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为．15．（5分）已知某工厂某批次的10件产品中，错装入3件次品，现在采用不放回方式抽取3次，已知第一次抽到是次品，则第三次抽次品的概率是．16．（5分）如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）用数学归纳法证明（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（n﹣）=（n ≥2，n∈N*）．18．（12分）已知复数z=log3（x2﹣3x）+ilog2（x﹣4），当x为何值时，（1）z∈R；（2）z为虚数；（3）z所对应的复平面上的点在第四象限．19．（12分）求（2﹣x）3（2x+3）5的展开式中x4的系数．20．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽子3个，肉粽子2个，白粽子5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设ξ表示取到的豆沙粽子个数，求ξ的分布列．21．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，1），且在点M（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣5=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间．22．（12分）已知函数y=ax﹣ln（x﹣1）．（1）若曲线y在x=2处的切线方程为y=3x+2，求a的值；（2）求函数y=f（x）的极值．2015-2016学年黑龙江省鸡西十九中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类：①两个偶数一个奇数：有C31A33=18个；②三个都是奇数：有A33=6个．∴根据分类计数原理知共有18+6=24个．故选：B．2．（5分）已知（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为A，二项式系数之和为B，若A﹣B=56，则展开式中常数项为（）A．10B．﹣10C．﹣15D．1 5【解答】解：令x=1，可得（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为A=4n，二项式系数之和为B=2n，∵A﹣B=4n﹣2n=56，∴2n=8，∴n=3．则展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•53﹣r•，令3﹣=0，求得r=2，可得展开式中常数项为•5=15，故选：D．3．（5分）已知P（B|A）=，P（A）=，则P（AB）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵P（B|A）=，P（A）=，∴P（AB）=P（B|A）P（A）=．故选：A．4．（5分）某次考试期间，甲独立解出某题的概率为，乙和丙二人独立解出某题的概率分别为、，假定他们三人的解答过程相互不受影响，考试期间至少有1人解出该题的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设事件A表示“甲独立解出某题”，事件B表示“乙独立解出某题”，事件C表示“丙独立解出某题”，则P（A）=，P（B）=，P（C）=，∴考试期间至少有1人解出该题的概率为：p=1﹣P（）=1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．故选：C．5．（5分）设随机变量ξ～B（4，），则P（ξ=2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：随机变量ξ～B（4，），则P（ξ=2）=••=，故选：D．6．（5分）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件故选：A．7．（5分）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（）A．4x﹣y﹣3=0B．x﹣4y﹣3=0C．x+4y﹣3=0D．4x+y﹣3=0【解答】解：∵曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直∴曲线y=x4的一条切线l的斜率为4设切点为（m，m4）则4m3=4，解得m=1∴切点为（1，1）斜率为4则切线方程为4x﹣y﹣3=0故选：A．8．（5分）设y=8x2﹣lnx，则此函数在区间（0，）和（，1）内分别（）A．单调递增，单调递减B．单调递增，单调递增C．单调递减，单调递增D．单调递减，单调递减【解答】解：y′=16x﹣．当x∈（0，）时，y′＜0，y=8x2﹣lnx为减函数；当x∈（，1）时，y′＞0，y=8x2﹣lnx为增函数．故选：C．9．（5分）由y=﹣x2与直线y=2x﹣3围成的图形的面积是（）A．B．C．D．9【解答】解：由y=﹣x2与直线y=2x﹣3联立，解得y=﹣x2与直线y=2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x2与直线y=2x﹣3围成的图形的面积是S=（﹣x2﹣2x+3）dx=（﹣x3﹣x2+3x）=．故选：B．10．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”D．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”【解答】解：对于A：“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于C：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12对于D：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”是正确的，故选：D．11．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．B．C．﹣D．2【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选：C．12．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n ∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1B．2k+3C．2（2k+1）D．2（2k+3）【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，若甲乙必须相邻，且乙必须在甲的左边，那么不同的站排方法共有24种．【解答】解：由题意，相邻问题捆绑法，由于乙必须在甲的左边，∴不同的站排方法共有=24种，故答案为：24．14．（5分）设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（7，+∞）．【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0解得：x=1或﹣当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0，当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，∴f（x）max={f（﹣），f（2）}max=7由f（x）＜m恒成立，所以m＞f max（x）=7．故答案为：（7，+∞）15．（5分）已知某工厂某批次的10件产品中，错装入3件次品，现在采用不放回方式抽取3次，已知第一次抽到是次品，则第三次抽次品的概率是．【解答】解：∵某工厂某批次的10件产品中，错装入3件次品，现在采用不放回方式抽取3次，已知第一次抽到是次品，第二次可以正品也可以是次品，第三次一定是次品，故第三次抽次品的概率：p==．故答案为：．16．（5分）如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是．【解答】解：依题意a n+1=a n+n（n≥2），a2=2所以a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…，a n﹣a n﹣1=n累加得a n﹣a2=2+3+…+（n﹣1）=∴故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）用数学归纳法证明（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（n﹣）=（n ≥2，n∈N*）．【解答】证明：（1）当n=2时，左边=1﹣=，右边==，∴左边=右边；（2）假设当n=k时成立，即（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，则当n=k+1时（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=（1﹣）=•=，因此当n=k+1时，等式成立．综上可得：等式对∀n∈N*（n≥2）成立．18．（12分）已知复数z=log3（x2﹣3x）+ilog2（x﹣4），当x为何值时，（1）z∈R；（2）z为虚数；（3）z所对应的复平面上的点在第四象限．【解答】解：z=log3（x2﹣3x）+ilog2（x﹣4），（1）当log2（x﹣4）=0，即x﹣4=1，x=5时，z∈R；（2）当log2（x﹣4）≠0，即x﹣4≠1，x≠5时，z为虚数；（3）当时，解得4＜x＜5，z所对应的复平面上的点在第四象限．19．（12分）求（2﹣x）3（2x+3）5的展开式中x4的系数．【解答】解：（2﹣x）3（2x+3）5=（•8﹣•4x+•2•x2﹣•x3）•（•32x5+•48x4+•72•x3+•108x2+•162x+•243），故展开式中x4的系数为8••48﹣4•72•+2••108﹣•162=1920﹣8640+6480﹣810=﹣1050．20．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽子3个，肉粽子2个，白粽子5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设ξ表示取到的豆沙粽子个数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽子3个，肉粽子2个，白粽子5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，基本事件总数n==120，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m==30，∴三种粽子各取到1个的概率p===．（2）设ξ表示取到的豆沙粽子个数，由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：21．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，1），且在点M（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣5=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间．【解答】解：（1）把P（0，1）代入f（x）解得：d=1，∴f（x）=x3+bx2+cx+1，f′（x）=3x2+2bx+c，f（1）=b+c+2，f′（1）=2b+c+3，∴切线方程是：y﹣（b+c+2）=（2b+c+3）（x﹣1），即（2b+c+3）x﹣y﹣（b+1）=0，而切线方程为2x﹣y﹣5=0，∴，解得：，∴f（x）=x3+4x2﹣9x+1；（2）f′（x）=3x2+8x﹣9，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增．22．（12分）已知函数y=ax﹣ln（x﹣1）．（1）若曲线y在x=2处的切线方程为y=3x+2，求a的值；（2）求函数y=f（x）的极值．【解答】解：（1）由y=ax﹣ln（x﹣1），y′=a﹣．由曲线y在x=2处的切线方程为y=3x+2，．即y′丨x=2=3，即a﹣=3，∴a=4，（2）函数y=ax﹣ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），y′=a﹣．①当a=0时，y′=﹣．∴y=﹣ln（x﹣1）．在（1，+∞）上单调递减；②当a≠0时，y′=a﹣=．当a＞0时，令y′=0，解得x=，∴函数y=ax﹣ln（x﹣1），在x∈（1，）时，y′＜0，函数y=ax﹣ln（x﹣1），在x∈（，+∞）时，y′＞0，∴函数y=ax﹣ln（x﹣1）的单调减区间为（1，），单调递增区间为（，+∞）；∴当x=时，函数取极小值，极小值为a+1，当a＜0时，y′=a﹣＜0，在（1，+∞）上恒成立，所以函数在（1，+∞）上单调递减，函数无极值，综上可知：函数的单调减区间为（1，），单调递增区间为（，+∞），函数有极小值，极小值为a+1；当a≤0时，函数的单调递减（1，+∞），函数无极值，。

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）已知向量=（2，3），，若⊥，则实数x的值是（）A．B．C．D．3．（5分）设A，B是两个集合，则“A∪B=A”是“A⊇B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tana7=（）A．B．C．D．5．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．B．C．D．6．（5分）在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•=（）A．4 B．8 C．﹣6 D．﹣47．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2bcosC，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形8．（5分）设P为△ABC所在平面内一点，且2+2+=，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于（）A．B．C．D．不确定9．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（5分）已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α，β∈（0，），则cos（α﹣β）的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．11．（5分）在△ABC中，（）⊥，则角A的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若+=2m，则m=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知向量=（1，2），=（1，1），则在方向上的投影为．14．（5分）已知tan（+θ）=3，则sin2θ﹣2cos2θ的值为．15．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为．16．（5分）设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2sinA=sinB+sinC，a=2，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=（2a，1），=（2b﹣c，cosC），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求b+c的取值范围．18．（12分）若向量=，=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（+）•﹣．若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．（Ⅰ）求f（x）的表达式及m的值；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在上的值域．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（Ⅰ）求b和c；（Ⅱ）求sin（A﹣B）的值．20．（12分）已知函数f（x）=log3（9x+1）+mx为偶函数，g（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m﹣n的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）与的图象有且只有一个交点，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a为实数．（Ⅰ）讨论并求出f（x）的极值；（Ⅱ）在a＜1时，是否存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，并说明理由；（Ⅲ）确定a的可能取值，使得存在n＞1，对任意的x∈（1，n），恒有|f（x）|＜（x﹣1）2．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．23．已知a，b，c均为正数．（Ⅰ）求证：a2+b2+（）2≥4；（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证：≥100．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin15°+cos15°的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin（15°+45°）=sin60°=×=．故选：C．2．（5分）已知向量=（2，3），，若⊥，则实数x的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵向量=（2，3），，由⊥，得2x+3=0，解得：．故选：B．3．（5分）设A，B是两个集合，则“A∪B=A”是“A⊇B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若A∪B=A，则B⊆A，反之若B⊆A，则A∪B=A成立，即A∪B=A”是“B⊆A”的充要条件，故选：C．4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tana7=（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a13=2a7，又a1+a7+a13=4π，∴3a7=4π，即a7=，则tana7=tan=tan（π+）=tan=．故选：A．5．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=cos（2x﹣）图象向右平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣），令2x﹣=kπ，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，当x=0时，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=．故选：A．6．（5分）在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•=（）A．4 B．8 C．﹣6 D．﹣4【解答】解：如图，根据条件：∠ADC=120°，；且，；∴==16﹣4﹣8=4．故选：A．7．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2bcosC，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【解答】解：因为在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bcosC，由余弦定理可知：a=2b，可得b2﹣c2=0，∴b=c．所以三角形是等腰三角形．故选：D．8．（5分）设P为△ABC所在平面内一点，且2+2+=，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于（）A．B．C．D．不确定【解答】解：∵2+2+=，∴﹣=+=，则D在AC上，且AD：CD=1：2，故PD：BD=2：5，即以AC为底时，△PAC的高是△ABC的，即△PAC的面积与△ABC的面积之比等于，故选：B．9．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：方程|lgx|=1，（x＞0）有两个根10、；方程x2﹣2|x|+=0 （x＜0）⇒x2+2x+=0 （x＜0）⇒x=＜0，故有4个根，所以函数有4个零点，故选：D．10．（5分）已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α，β∈（0，），则cos（α﹣β）的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（0，），∴2α∈（0，π）．∵cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴sin2α==，而α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==，∴cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=（﹣）×（﹣）+×=．故选：D．11．（5分）在△ABC中，（）⊥，则角A的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，由于（）⊥，则（）•=（）•（）=0，即﹣4+3=0，即c2﹣4bc•cosA+3b2=0．解得cosA==（）≥，当且仅当时，即c= b 时，等号成立．故cosA的最小值为，故A的最大值为，故选：A．12．（5分）已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若+=2m，则m=（）A．B．C．D．【解答】解：取AB中点D，则有=+，代入已知式子可得+=2m（+），由⊥，可得•=0，∴两边同乘，化简得：2+•=2m（+）•=2m•=m2，即c2+bc•cosA=mc2，由正弦定理化简可得sin2C+sinBsinC•cosA=sin2C，由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，∴m===sinA=sin =故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知向量=（1，2），=（1，1），则在方向上的投影为．【解答】解：向量=（1，2），=（1，1），∴•=1×1+2×1=3，||==；∴在方向上的投影为：||cos＜，＞===．故答案为：．14．（5分）已知tan（+θ）=3，则sin2θ﹣2cos2θ的值为．【解答】解：由，得，解得．所以=．故答案为：﹣15．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为4．【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y 时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时即x=2，y=1时取等号）则x+2y的最小值是4．故答案为：4．16．（5分）设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2sinA=sinB+sinC，a=2，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：∵2sinA=sinB+sinC，a=2，∴由正弦定理可得：2a=b+c=4，可得：bc≤4．∴两边平方可得：b2+c2+2bc=16，解得：b2+c2=16﹣2bc，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：22=b2+c2﹣2bccosA=16﹣2bc﹣2bccosA，∴解得：bc=≤4，可得：cosA≥，解得：A∈（0，]，∴sinA∈（0，]=bcsinA≤=．∴S△ABC故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=（2a，1），=（2b﹣c，cosC），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求b+c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）向量=（2a，1），=（2b﹣c，cosC），且∥；∴2acosC﹣（2b﹣c）=0，即2acosC=2b﹣c；由正弦定理得，2sinAcosC=2sinB﹣sinC，即2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，化简得2cosAsinC=sinC，即cosA=；又A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）△ABC中，A=，a=，设△ABC外接圆的直径为2r，由正弦定理得2r===2，∴b+c=2sinB+2sinC=2[sin（120°﹣C）+sinC]=4sin60°cos（60°﹣C）=2cos（60°﹣C）；∵﹣60°＜60°﹣C＜60°，∴1≥cos（60°﹣C）＞，∴2≥2cos（60°﹣C）＞，即b+c的取值范围是（，2]．18．（12分）若向量=，=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（+）•﹣．若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．（Ⅰ）求f（x）的表达式及m的值；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=，=（sinωx，0），∴函数f（x）=（+）•﹣=+﹣=+sin2ωx﹣= sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx），∵函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切时，切点的横坐标依次成公差是π的等差数列．故T=π，m=±1，即2ω=2，ω=1，∴，m=±1（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移个单位，可得的图象，再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到y=g（x）=的图象，当x∈时，∈，故当=即x=时，函数最最大值2，当=即x=时，函数最最小值﹣1，故y=g（x）在上的值域为：[﹣1，2]19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（Ⅰ）求b和c；（Ⅱ）求sin（A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，cos2A=1﹣2sin2A=﹣，解得：sinA=，∵，可得：bccosA=﹣1＜0，可得：cosA=﹣=﹣，解得：bc=3，①又∵，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得8=b2+c2+2，∴解得：b2+c2=6，可得：（b+c）2﹣2bc=（b+c）2﹣6=6，解得：b+c=2，②∴联立①②解得：b=c=．（Ⅱ）∵，b=c=，sinA=，∴sinB==，cosB==，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣（﹣）×=．20．（12分）已知函数f（x）=log3（9x+1）+mx为偶函数，g（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m﹣n的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）与的图象有且只有一个交点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log3（9x+1）+mx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），则log3（9﹣x+1）﹣mx=log3（9x+1）+mx，即2mx=log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）又右边=log3﹣log3（9x+1）=log39﹣x=log33﹣2x=﹣2x，∴2mx=﹣2x，解得m=﹣1，∵g（x）=为奇函数．∴g（0）=0，则g（0）==0，解得n=﹣1，∴m﹣n=0，即m﹣n的值0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=log3（9x+1）﹣x，g（x）=，则=log3（+﹣4）+log3a=log3（3x﹣4）+log3a=log3（3x﹣4）a，∴y=log3（3x﹣4）a，且（a＞0，3x＞4）即f（x）=log3（9x+1）﹣x与y=log3（3x﹣4）a的图象有且只有一个交点，∴log3（9x+1）﹣x=log3（3x﹣4）a有且仅有一个解，∵log3（9x+1）﹣x=log3（9x+1）﹣log33x=，∴3x+=（3x﹣4）a有且仅有一解，设t=3x，t＞4，代入上式得，，则a==，令y=，则y′==，∵函数y=﹣2t2﹣t+2在（4，+∞）上递减，且y＜0，∴y′＜0，则函数y=在（4，+∞）上递减，∴函数y=在（4，+∞）上的值域是（1，+∞），故实数a的取值范围是a＞0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a为实数．（Ⅰ）讨论并求出f（x）的极值；（Ⅱ）在a＜1时，是否存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，并说明理由；（Ⅲ）确定a的可能取值，使得存在n＞1，对任意的x∈（1，n），恒有|f（x）|＜（x﹣1）2．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f'（x）=﹣a，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，函数在定义域（0，+∞）递增，没有极值；当a＞0时，令f'（x）=0，则x=，当x∈（0，）时，f'（x）＞0，函数为增函数，当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数有极大值，没有极小值．（Ⅱ）在a＜1时，存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，理由如下：当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，函数在（1，m）递增，此时f（x）＞f（1）=0，当0＜a＜1时，＞1，当x∈（1，m）⊂（1，）时，f（x）＞f（1）=0，综上可得：在a＜1时，存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）＞0，（Ⅲ）当a＞1时，由（I）知，对于任意x∈（1，+∞），|f（x）|=a（x﹣1）﹣lnx，令M（x）=a（x﹣1）﹣lnx﹣（x﹣1）2，x∈（1，+∞），则有M′（x）=，故当x∈（1，）时，M′（x）＞0，M（x）在[1，）上单调递增，故M（x）＞M（1）=0，即|f（x）|＞（x﹣1）2，∴满足题意的t不存在．当a＜1时，由（Ⅱ）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），|f（x）|=lnx ﹣a（x﹣1），令N（x）=lnx﹣a（x﹣1）﹣（x﹣1）2，x∈[1，+∞），则有N′（x）=，故当x∈（1，）时，N′（x）＞0，M（x）在[1，）上单调递增，故N（x）＞N（1）=0，即f（x）＞（x﹣1）2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（1，x1）时，恒有|f（x）|＞（x﹣1）2，故满足题意的t不存在．当a=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）|=x﹣1﹣lnx，令H（x）=x﹣1﹣lnx﹣（x﹣1）2，x∈[1，+∞），则有H′（x）=，当x＞1，H′（x）＜0，∴H（x）在[1，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（1）=0，故当x＞1时，恒有|f（x）|＜（x﹣1）2，此时，任意实数t满足题意．综上，a=1．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2，即ρcosθ+ρsinθ=4，化为直角坐标方程为x+y﹣4=0．（Ⅱ）设点P（2cosα，sinα），点P到直线l距离d==，其中，sinβ=，cosβ=．故当sin（α+β）=﹣1时，d取得最大值为=+2．23．已知a，b，c均为正数．（Ⅰ）求证：a2+b2+（）2≥4；（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求证：≥100．【解答】证明：（Ⅰ）∵a，b均为正数，∴a2+b2≥2ab，≥，∴a2+b2+≥2ab+，∴a2+b2+（）2≥2ab+≥4，当且仅当a=b=时，等号成立．（Ⅱ）∵a+4b+9c=1，∴=（a+4b+9c）（）=9+16+9+++≥34+24+18+24=100，当且仅当a=3b=9c时等号成立．。

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．[0，1]3．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．6．（5分）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）二项式（x2﹣）11的展开式中，系数最大的项为（）A．第五项B．第六项C．第七项D．第六和第七项8．（5分）根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．129．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+110．（5分）若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．11．（5分）身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．24种B．48种C．36种D．28种12．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{a n}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3， (36)若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是．14．（5分）已知，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=．15．（5分）袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为．16．（5分）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（a，c），=（1﹣2cosA，2cosC﹣1），（Ⅰ）若b=5，求a+c值；（Ⅱ）若，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．18．（12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A与非种子选手B1，B2，B3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A至少获胜两场的概率大于，则A入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A获胜场数X的分布列和数学期望．19．（12分）已知各项为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足（Ⅰ）求证：{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）在上的最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证；f（x1）+f（x2）＜e．[选作题]22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．[选作题]23．（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【解答】解：复数==1﹣i的虚部为﹣1．故选：D．2．（5分）已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．[0，1]【解答】解：∵集合，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．3．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．4．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵0≤x≤π，，∴≤x≤π，区间长度为，则对应的概率P==，故选：B．5．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．∵|+|=|﹣|=2||，∴四边形OACB为矩形，∴==，∴向量+与的夹角为．故选：A．6．（5分）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：[x]=[y]⇒﹣1＜x﹣y＜1即|x﹣y|＜1而取x=1.9，y=2.1，此时|x﹣y|=0.2＜1，而[x]=1，[y]=2，[x]≠[y]∴“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的充分而不必要条件故选：A．7．（5分）二项式（x2﹣）11的展开式中，系数最大的项为（）A．第五项B．第六项C．第七项D．第六和第七项【解答】解：二项式（x2﹣）11的展式的通项公式为T r=•x22﹣2r•（﹣1）r•x+1﹣r =•x22﹣3r，故当r=6时，展开式的系数=最大，故选：C．8．（5分）根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C．9．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【解答】解：由a n=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，两式相减得：a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，则a n+1得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选：A．10．（5分）若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故选：C．11．（5分）身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．24种B．48种C．36种D．28种【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{a n}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013【解答】解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵数列{a n}是以为公差的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）×，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，∴6a2﹣=．令g（x）=6x﹣cos﹣，则g′（x）=6+sin在R上单调递增，又=0．∴a2=．则==2015．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3， (36)若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是15．【解答】解：样本间距为36÷4=9，则另外一个编号为6+9=15，故答案为：15．14．（5分）已知，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|= 512．【解答】解：已知，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|，即（1+x）9展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+x）9展开式的各项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=29=512，故答案为：512．15．（5分）袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为．【解答】解：∵袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，∴每次摸到红球的概率都是，摸到白球的概率都是，∴至少有2次摸出白球的概率为：p=（）（）2+（）3=，故选答案为：．16．（5分）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为[4，12] ．【解答】解：x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈[0，2π）．∴y=sinθ，x=，∴z=x2+4y2==+6=2×（1﹣cos2θ）﹣+6=，∵∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故答案为：[4，12]．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（a，c），=（1﹣2cosA，2cosC﹣1），（Ⅰ）若b=5，求a+c值；（Ⅱ）若，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．【解答】（本大题满分12分）解：（Ⅰ）因为：，所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得2b=a+c=10．….6分（Ⅱ），又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（π﹣A﹣B），则，2sinA+cosA=2，又sin2A+cos2A=1，所以，解得，由于A是最大角，所以，．….12分18．（12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A与非种子选手B1，B2，B3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A至少获胜两场的概率大于，则A入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A是否会入选最终的名单？（Ⅱ）求A获胜场数X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）记“种子A与非种子B1、B2、B3比赛获胜”分别为事件A1、A2、A3=所以，A入选最终名单 (6)（Ⅱ）X的可能值为0、1、2、3所以，X的分布列为所以，数学期望： (12)19．（12分）已知各项为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足（Ⅰ）求证：{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【解答】证明：（1）∵满足，当n=1时，a1=2．当n≥2时，由（1）﹣（2）得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣4）=0（a n＞0）则a n﹣a n﹣1=4，∴{a n}是以4为公差的等差数列．a n=4n﹣2．（2）证明：设，则f（n+1）﹣f（n）＜0所以，{f（n）}递减，即：…12．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）在上的最值；（Ⅱ）若存在，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．【解答】（本大题满分12分）（1）f'（x）=1﹣2cosx，…（2分）…（6分）（2）f（x）＜ax，∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0设g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，则g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）…（7分）由①1﹣a≥2即a≤﹣1，此时g'（x）＜0得出g（x）在单调递减，g（x）＜g（0）=0不成立…（8分）②1﹣a≤0即a≥1，此时g'（x）＞0得出g（x）在单调递增，g（x）＞g（0）=0成立…（9分）③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令，存在唯一，使得．当x∈（0，x0）时，g'（x）＞0得出g（x）＞g（0）=0，∴存在，有g（x）＞0成立…（11分）综上可知：a＞﹣1…（12分）21．（12分）已知函数，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证；f（x1）+f（x2）＜e．【解答】解：（Ⅰ），f'（x）＞0⇒x＞1或x＜0，f'（x）＜0⇒0＜x＜1，∴f（x）增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），减区间为（0，1）．…（4分）（Ⅱ）在[0，+∞）恒成立⇒b≥0…（5分）当b≥0时，f（x）≥1⇔e x﹣bx﹣1≥0．设g（x）=e x﹣bx﹣1，g'（x）=e x﹣b①当0≤b≤1时，g'（x）≥0⇒g（x）在[0，+∞）单调递增，⇒g（x）≥g（0）=0成立②当b＞1时，g'（x）=0⇔x=lnb，当x∈（0，lnb）时，g'（x）＜0⇒g（x）在（0，lnb）单调递减，⇒g（x）＜g（0）=0，不成立综上，0≤b≤1…（8分）（Ⅲ）有条件知x1，x2为ax2﹣2ax+1=0两根，，且，由成立，作差得：，得∴f（x1）+f（x2）＜e (12)或由x1+x2=2，，（可不妨设0＜x1＜1）设（0＜x＜1），在（0，1）单调递增，h（x）＜h（1）=e，∴f（x1）+f（x2）＜e成立．[选作题]22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本大题满分10分）解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．当x≥时，3x＞6．解得x＞2，当x∈（1，）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x．不等式的解集为： (5)（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，所以，f（x）max=|a﹣3|即：|a﹣3|＜2所以，a的取值范围为（1，5） (10)[选作题]23．（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．【解答】（Ⅰ）解：由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，则|2x+3y|，∴﹣≤2x+3y≤．（Ⅱ）证明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2得证：18≥（2a﹣b﹣c）2，所以．。

黑龙江省鸡西市高三上学期期末数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高二上·宾阳期中) 已知A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|ax2﹣x+b≥0}，若A∩B=∅，A∪B=R，则a+b等于（）A . 1B . ﹣1C . 2D . 42. （2分） (2016高一上·银川期中) 下列函数中表示相同函数的是（）A . y=2log2x与B . 与C . y=x与D . 与3. （2分）如图直角三角形ABC中，，，点E，F分别在CA，CB上，且，，则（）A . 3B . -3C . 0D . -74. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 如果方程x2+y2+4x+2y+4k+1=0表示圆，那么k的取值范围是（）A . （﹣∞，+∞）B . （﹣∞，1）C . （﹣∞，1]D . [1，+∞）5. （2分）等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，则数列{an2}的前4项和为S4 =（）A . 85B . 225C . 15D . 72256. （2分） (2018高三上·湖南月考) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度7. （2分） (2016高二上·天心期中) 如果方程 =1表示双曲线，则m的取值范围是（）A . （3，4）B . （﹣∞，3）∪（4，+∞）C . （4，+∞）D . （﹣∞，3）8. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐进线，则双曲线C的方程为________10. （1分） (2016高二上·灌云期中) 已知lgx+lgy=1，则2x+5y的最小值为________．11. （1分）关于α的方程cos2α+（1﹣m）si nα﹣2=0在[﹣， ]上有解，则实数m的取值范围是________．12. （1分） (2016高一下·浦东期末) 则f（f（2））的值为________．13. （2分）(2017·绍兴模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．14. （1分）(2017·湖北模拟) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1 ， k2 ，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为________．15. （1分） (2018·山东模拟) 若向量满足 ,且 ,则向量与的夹角为________.三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分）(2017·榆林模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若b= ，a+c=3，求△ABC的面积．17. （10分） (2016高二上·秀山期中) 如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．（1）求证：EF⊥PB；（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P﹣EFCB的体积及直线PC 与平面EFCB所成角的正切值．18. （10分） (2016高一下·安徽期中) 已知数列{an}满足a1=9，an+1=an+2n+5；数列{bn}满足b1= ，bn+1= bn（n≥1）．（1）求an，bn；（2）记数列{ }的前n项和为Sn，证明：≤Sn＜．19. （10分） (2016高三上·虎林期中) 已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．20. （5分）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。

2016—2017年度第二学期期中考试高二学年期中数学试题 （试题总分：150分 答题时间：120分钟）温馨提示：认真审题，沉着应战，相信你是最棒的！一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

）1.已知集合,则（ ）{}{}01,0)1)(2(<+=<-+=x x N x x x M =N M A. B. C. D.)1,1(-)1,2(-)1,2(--)2,1(2.复数化简的结果为（ ） i-12A. B. C. D.1i +1i -+1i -1i --3.若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）a αA ．内的所有直线都与直线异面 B ．内不存在与平行的直线 C ．内的αa αa α直线都与相交 D ．直线与平面有公共点a a α4.下列命题中，真命题的是（ ）A.>0B.R ，200,x R x ∈∃x ∀∈1sin 1x -<<C.R ， D.0x ∃∈020x <2tan ,=∈∀x R x 5.一次试验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子. 经查数，落在正方形中的豆子的总数为粒，其中有（的值为N m m N <π（ ）A.B. C. D. m N 2m N 3m N 4m N6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．CD ． 1 14127．若，，成等比数列，则函数的图象与a b c c bx ax y ++=2x轴的交点个数为A. B. C. D.不能确定0128.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）A.k ＞4?B.k ＞5?C.k ＞6?D.k ＞7?9.已知向量(1,)x =a ，(1,)x =-b ，若2-a b 与b 垂直，则||=a （ ）AB．2 D ．410.已知条件p : k =，条件q ：直线y=kx +2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的( )3 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11.已知双曲线，抛物线，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线116922=-x y )0(22>=p px y 的距离为，则( )3=p A. B. C. D. 41552151012．定义域为R 的可导函数的导函数，满足<，且，则不()x f y =()x f ′()x f ()x f ′()20=f 等式>的解集为（ ） ()x f x2e Ａ．（－，０）Ｂ．（－，２）Ｃ．（０，＋）Ｄ．（２，＋）∞∞∞∞二、填空题(本题有4小题，每小题5分，共20分)13．点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值为(,)P x y 2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩z x y =-___________.14.某高中有1800名学生，其中高一、高二、高三所占的比例为7：6：5，学校五十年庆典活动特别邀请了5位校领导和学校的36名学生同台表演节目，其中学生按高一、高二、高三进行分层抽样，则参演的高二学生的人数为 .15.在中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，满足，则角等于ABC △222b c bc a +=+A ____16.若命题“”是假命题，则m 的取值范围是____ ；2,20x R x x m ∃∈-+≤三、解答题(本大题共6个大题，共70分)17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }，如果a 4＝7，a 8＝15．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2n +a n ，求{b n }的前n 项和．n S 18.(本小题满分12分)假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有如下的统计资料： 使用年限x2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y 对x 呈线性相关关系；试求：（1）线性回归方程y=x+的回归系数，； bˆa ˆa ˆb ˆ（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？19.(本小题满分12分)如图，如图，在直三棱柱中，已知，111C B A ABC -BC AC ⊥，设的中点为，.1CC BC =1AB D E BC C B =11 求证：（1）；C C AA DE 11//平面 （2）.11AB BC ⊥20. (本小题满分12分)已知中心在原点椭圆C ：,,(a>b>0)的离心率为，其中一个顶点是 12222=+b y a x 21()3-0，（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点P （-2，1）的直线与椭圆C 相切，求直线的方程。

2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R2．（5分）已知z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i（m∈R，i为虚数单位），则“m=﹣1”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4 D．124．（5分）若点P（4，2）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣10=0 B．x﹣2y=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣6=05．（5分）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直相交6．（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=﹣x|x|B．f（x）=xsinx C． D．7．（5分）在等差数列{a n}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则S13+2a7=（）A．17 B．26 C．30 D．568．（5分）已知实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，AA1，BB1均垂直于平面ABC和平面A1B1C1，∠BAC=∠A1B1C1=90°，AC=AB=A1A=B1C1=，则多面体ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．8π10．（5分）已知正数a，b满足a+b=4，则曲线f（x）=lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A．[，+∞） B．[，）C．[，）D．[，）11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位所得图象对应函数的解析式是．14．（5分）设D为不等式（x﹣1）2+y2≤1表示的平面区域，直线x+y+b=0与区域D有公共点，则b的取值范围是．15．（5分）将圆心角为，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于．16．（5分）下列说法正确的有①函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）；②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=4；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④定义min{a，b}=，已知f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的最大值为．三、解答题：17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．18．（12分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=ac，cosB=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求a+c的值．19．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是C1的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1．（2）求证：平面MAC1⊥平面ABC1．20．（12分）已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，求整数a的最小值．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．[选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）求不等式f（）＜6的解集；（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，满分60分）1．（5分）若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，故选：A．2．（5分）已知z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i（m∈R，i为虚数单位），则“m=﹣1”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i为纯虚数，则m2﹣1=0，m2﹣3m+2≠0，解得m=﹣1．∴“m=﹣1”是“z为纯虚数”的充要条件．故选：C．3．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4 D．12【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．4．（5分）若点P（4，2）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣10=0 B．x﹣2y=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣6=0【解答】解：x2+y2﹣6x=0化为标准方程为（x﹣3）2+y2=9∴圆心与点P确定的直线斜率为=2，∵P（4，2）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，∴弦MN所在直线的斜率为﹣，∴弦MN所在直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．5．（5分）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直相交【解答】解：在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，当两个平面相交时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行．当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行．故这两个平面有可能相交或平行．∴这两个平面的位置关系是相交或平行．故选：C．6．（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=﹣x|x|B．f（x）=xsinx C． D．【解答】解：A中f（x）=是奇函数且在R上是减函数．B中f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx=f（x），f（x）是偶函数；C中f（x）在（﹣∞，0）、（0，+∞）分别是减函数，但在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数；D中f（x）非奇非偶；故选：A．7．（5分）在等差数列{a n}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则S13+2a7=（）A．17 B．26 C．30 D．56【解答】解：由2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，利用等差数列的性质可得：6a4+6a10=24，∴2a7=4，解得a7=2．则S13+2a7=+2a7=15a7=30．故选：C．8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（5，﹣1），的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣2）连线的斜率，∵．∴的最小值为k=．故选：D．9．（5分）如图，AA1，BB1均垂直于平面ABC和平面A1B1C1，∠BAC=∠A1B1C1=90°，AC=AB=A1A=B1C1=，则多面体ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．8π【解答】解：由题意，多面体ABC﹣A1B1C1为棱长为的正方体，切去一个角，∴多面体ABC﹣A1B1C1的外接球的直径为=，半径为，∴多面体ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为4πR2=4=6π．故选：C．10．（5分）已知正数a，b满足a+b=4，则曲线f（x）=lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A．[，+∞） B．[，）C．[，）D．[，）【解答】解：∵f（x）=lnx+，∴f′（x）=+，∴f′（a）=+=（+）（a+b）=（2++）≥（2+2）=1，当且仅当a=b=2时取等号，∴曲线f（x）=lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为[，），故选：C．11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把三棱锥P﹣OBC截去一个三棱锥A﹣OBC，其中底面OBC为等腰直角三角形，则该几何体的体积为V=V P﹣OBC ﹣V A﹣OBC=．故选：B．12．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2，∵M，O分别是PF2，F1F2的中点，∴MO∥PF1，且|PF1|=2|MO|=2b，OM⊥PF2，∴PF1⊥PF2，|F1F2|=2c，∴|PF2|=2，根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，∴2b+2=2a，∴a﹣b=，两边平方得：a2﹣2ab+b2=c2﹣b2，c2=a2﹣b2代入并化简得：2a=3b，∴=，∴e===，即椭圆的离心率为．故选：D．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位所得图象对应函数的解析式是y=sin2x．【解答】解：将函数=sin[2（x+）]的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x+﹣）]+2=sin2x+2的图象，再向下平移2个单位可得函数y=sin2x的图象．故答案为：y=sin2x．14．（5分）设D为不等式（x﹣1）2+y2≤1表示的平面区域，直线x+y+b=0与区域D有公共点，则b的取值范围是﹣3≤b≤1．【解答】解：由题意，圆心（1，0）到直线的距离d=≤1，∴﹣3≤b≤1，故答案为﹣3≤b≤1．15．（5分）将圆心角为，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于．【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π=πl2∴l=3，∴=×2π，∴r=1，∴圆锥的高h==2∴圆锥的体积是V=×π×12×2=．故答案为：16．（5分）下列说法正确的有①②③④①函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）；②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=4；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④定义min{a，b}=，已知f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的最大值为．【解答】解：对于①，∵，∴函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0），故正确；对于②，∵===4，故正确；对于③，在△ABC中，A＜B⇒0＜sinA＜sinB⇒1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B⇒cos2A＞cos2B，反之也成立，故正确；对于④，∵f（x）=min{sinx，cosx}=，则f（x）的最大值为，故正确．故答案为：①②③④三、解答题：17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．18．（12分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=ac，cosB=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（Ⅱ）由．由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB 得a2+c2=b2+2ac•cos B=5．（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，a+c=319．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是C1的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1．（2）求证：平面MAC1⊥平面ABC1．【解答】证明：（1）连接BC1，AC1．在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN∥BC1．又∵MN⊄平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∴MN⊥BC1，连接AM，C1M，则△AMA1≌△B1MC1，∴AM=C1M，∵N是AC1的中点，∴MN⊥AC1，∵AC1∩BC1=C1，∴MN⊥平面ABC1，∵MN⊂平面MAC1，∴平面MAC1⊥平面ABC1．20．（12分）已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．【解答】解：（1）由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）．设C（a，0），则k CM=，∴•（﹣）=﹣1，∴a=﹣1，∴C（﹣1，0），|CM|=2，即r=2，∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4．（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x﹣3=0，△=4+12（1+k2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=﹣．（i）证明：+==为定值；（ii）|PN|2+|QN|2=（x1﹣2）2+（y1﹣1）2+（x2﹣2）2+（y2﹣1）2=（x1﹣2）2+（kx1﹣1）2+（x2﹣2）2+（kx2﹣1）2=（1+k2）（x1+x2）2﹣2（1+k2）x1x2﹣（4+2k）（x1+x2）+10=+16，令3+k=t（t＞3），则k=t﹣3，上式即为+16=+16≤+16=2+22．当且仅当t=，即k=﹣3时，取得最大值2+22．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1），函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a≤0时，f'（x）＞0，则f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；当a＞0时，令f'（x）=0，则或（舍去负值），当时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，当时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．所以当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由，得2（lnx+x+1）≤a（2x+x2），因为x＞0，所以原命题等价于在区间（0，+∞）内恒成立．令，则，令h（x）=2lnx+x，则h（x）在区间（0，+∞）内单调递增，由h（1）=1＞0，，所以存在唯一，使h（x0）=0，即2lnx0+x0=0，所以当0＜x＜x0时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，当x＞x0时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，所以x=x0时，==，所以，又，则，因为a∈Z，所以a≥2，故整数a的最小值为2．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0直线C2的方程为y=，极坐标方程为tanθ=；（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴+==．[选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）求不等式f（）＜6的解集；（2）若k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，求k的取值范围．【解答】解：（1）x≤0，不等式可化为﹣x﹣x+3＜6，∴x＞﹣3，∴﹣3＜x≤0；0＜x＜6，不等式可化为x﹣x+3＜6，成立；x≥6，不等式可化为x+x﹣3＜6，∴x＜9，∴6≤x＜9；综上所述，不等式的解集为{x|﹣3＜x＜9}；（2）f（x）=|x|+|x﹣3|．由题意作图如下，k＞0且直线y=kx+5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形，由直线过（0，3）可得k=，由直线过（3，3）可得k=，∴．。

黑龙江省鸡西市高三上学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知全集U={-1,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则为（）A . {1,2,4}B . {2,3,4}C . {-1,2,4}D . {-1,2,3,4}2. （2分） (2017高三上·重庆期中) 已知a=（），b=（），c=log2 ，则a，b，c 的大小关系是（）A . b＜a＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . b＜c＜a3. （2分） (2019高三上·山西月考) 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为A . 5，B . ，5C . ，0D . 0，4. （2分）(2016·潍坊模拟) 在一次抽奖活动中，8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中抽取2张，则不同的获奖情况有（）A . 24种B . 36种C . 60种D . 96种5. （2分）给出以下命题：①若、均为第一象限角，且，且；②若函数的最小正周期是，则；③函数是奇函数；④函数的周期是；⑤函数的值域是[0,2].其中正确命题的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 06. （2分）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高二上·朝阳期末) 已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面α，β，γ，下列说法正确的是（）A . 若a∥α，b⊥a，则b∥αB . 若a∥α，a∥β，则α∥βC . 若α⊥β，a⊥α，则a∥βD . 若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β8. （2分） (2018高二下·中山期末) 若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A . [－1,3]B . (－1,3)C . (－∞，－1]∪[3，＋∞)D . (－∞，－1)∪(3，＋∞)二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2016高二上·泰州期中) 若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为________．10. （1分）(2017·崇明模拟) 复数i（2+i）的虚部为________11. （1分） (2017高一下·郑州期末) 若 =2，则tan（α﹣）=________．12. （1分） (2016高一下·仁化期中) 如图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于________．13. （1分） (2016高一上·盐城期中) 函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）= +1，则当x ＜0时，f（x）=________．14. （1分）在空间平移△ABC到△A1B1C1（使△A1B1C1与△ABC不共面），连接对应顶点，设=，=，=， M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{，，}表示向量+的结果是________15. （1分） (2019高一上·哈尔滨月考) 若函数在R上为增函数，则实数b的取值范围为________.三、解答题 (共5题；共55分)16. （15分）(2013·北京理) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An ，第n项之后各项an+1 ，an+2…的最小值记为Bn ， dn=An﹣Bn ．（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N* ， an+4=an），写出d1 ，d2 ， d3 ， d4的值；（2）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．17. （10分） (2019高二下·南宁期末) 如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．18. （10分）(2020·南通模拟) 设数列的前项和，对任意，都有（为常数）．（1）当时，求；（2）当时，（ⅰ）求证：数列是等差数列；（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式．19. （10分） (2015高二上·金台期末) 已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）求以点P（2，﹣1）为中点的弦所在的直线方程．20. （10分） (2016高二下·鹤壁期末) 已知向量 =（ex ， lnx+k）， =（1，f（x）），∥ （k 为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xexf′（x）．（1）求k的值及F（x）的单调区间；（2）已知函数g（x）=﹣x2+2ax（a为正实数），若对任意x2∈[0，1]，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共55分)答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨十九中高一（下）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确（共12题，每题5分，共60分）.1．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若=，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2．（5分）在△ABC中，A=60°，a=，则等于（）A．B．C．D．23．（5分）已知||=2，||=3，且两向量夹角为60°，求（）=（）A．8B．10C．12D．144．（5分）已知向量=（cosx，sinx），=（），=，则cos（x﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知向量=（x，3），=（2，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．5B．C．2D．106．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣2，1），则a+b的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．27．（5分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（）A．akm B．akm C．akm D．2akm8．（5分）当x＞2时，不等式x+a恒成立，则实数a的（）A．最小值是8B．最小值是6C．最大值是8D．最大值是6 9．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n=2a n﹣1（n≥2），则a4=（）A．8B．10C．12D．1410．（5分）设S n是等差数列项{a n}的前n项和，已知S3=6，S6=8，S9=（）A．6B．8C．10D．1211．（5分）已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6•b8=（）A．11B．12C．14D．1612．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S10等于（）A．1B．C．D．二、填空题：请把答案填在答题卡上．（每小题5分，共20分）13．（5分）设，，是向量，在下列命题中，正确的是．①；②；③，则；④．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和满足S n=2n+1﹣1，则a n=．15．（5分）设是两个不共线向量，，，，若A、B、D三点共线，则实数P的值是．16．（5分）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，则xy的最大值是．三、解答题：请把答案写在答题卡上．（每小题14分，共70分）17．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．18．（14分）已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求与的夹角θ；（2）求|+|和|﹣|．19．（14分）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．20．（14分）已知函数f（x）=x2+bx+c，f（1）=9，f（2）=13．（1）求实数b，c的值；（2）若函数，求g（x）的最小值并指出此时x的取值．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且有a1=2，3S n=5a n﹣4a n﹣1+3S n﹣1（n ≥2）（I）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）若b n=n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨十九中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确（共12题，每题5分，共60分）.1．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若=，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解答】解：根据正弦定理：=化简已知等式得：=，即tanA=tanB，由A和B都为三角形的内角，得到A=B，则△ABC一定为等腰三角形．故选：A．2．（5分）在△ABC中，A=60°，a=，则等于（）A．B．C．D．2【解答】解：由正弦定理==∴a=sinA，b=sinB，c=sinC则==故选：B．3．（5分）已知||=2，||=3，且两向量夹角为60°，求（）=（）A．8B．10C．12D．14【解答】解：||=2，||=3，且两向量夹角为60°，（）=+=2×+32=12．故选：C．4．（5分）已知向量=（cosx，sinx），=（），=，则cos（x﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由题意可得，==∴sinx+cosx=∴cos（x﹣）=（cosx+sinx）=故选：A．5．（5分）已知向量=（x，3），=（2，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．5B．C．2D．10【解答】解：根据题意，向量=（x，3），=（2，﹣2），若⊥，则有•=2x+3×（﹣2）=0，解可得x=3，故向量=（3，3），则+=（5，1）；则|+|==；故选：B．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣2，1），则a+b的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣2，1），∴方程ax2+bx+2=0的解是﹣2和1，由根与系数的关系，得；，解得a=﹣1，b=﹣1；∴a+b=﹣2．故选：A．7．（5分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（）A．akm B．akm C．akm D．2akm【解答】解：由图可知，∠ACB=120°，由余弦定理cos∠ACB===﹣，则AB=a（km）．故选：B．8．（5分）当x＞2时，不等式x+a恒成立，则实数a的（）A．最小值是8B．最小值是6C．最大值是8D．最大值是6【解答】解：∵x＞2∴x﹣2＞0∴x+=（x﹣2）++2≥2+2=6，当且仅当x﹣2=取等号，而不等式x+≥a恒成立∴（x+）min≥a∴a的取值范围是（﹣∞，6]则实数a的最大值是6．故选：D．9．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n=2a n﹣1（n≥2），则a4=（）A．8B．10C．12D．14【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a n=2a n﹣1（n≥2），则数列{a n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1，∴a4=24﹣1=8，故选：A．10．（5分）设S n是等差数列项{a n}的前n项和，已知S3=6，S6=8，S9=（）A．6B．8C．10D．12【解答】解：S n是等差数列项{a n}的前n项和，S3=6，S6=8，由等差数列的性质得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，∴6，8﹣6，S9﹣8成等差数列，∴2（8﹣6）=6+（S9﹣8），解得S9=6．故选：A．11．（5分）已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6•b8=（）A．11B．12C．14D．16【解答】解：由等差数列的性质：2a3﹣a72+2a11=0得∵a72=2（a3+a11）=4a7∴a7=4或a7=0（舍去）∴b7=4∴b6b8=b72=16故选：D．12．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S10等于（）A．1B．C．D．【解答】解：∵a n==，所以S10=（1﹣）+（﹣）+…（﹣）=1﹣=．故选：B．二、填空题：请把答案填在答题卡上．（每小题5分，共20分）13．（5分）设，，是向量，在下列命题中，正确的是④．①；②；③，则；④．【解答】解：对于①，•=||×||×cos＜，＞，∴|•|=|||×||×cos＜，＞|≤||•||，①错误；对于②，当非零向量与不共线时，（•）•=•（）不成立，②错误；对于③，•=•，∴•（﹣）=0，与不一定相等，即消去律不成立，③错误；对于④，根据模长公式与平面向量数量积的定义知，=成立，∴④正确．综上，正确的命题序号是④．故答案为：④．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和满足S n=2n+1﹣1，则a n=．【解答】解：∵S n=2n+1﹣1，当n=1时，a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n+1﹣1）﹣（2n﹣1）=2n，显然，n=1时a1=3≠2，不符合n≥2的关系式．∴a n=．故答案为：．15．（5分）设是两个不共线向量，，，，若A、B、D三点共线，则实数P的值是﹣1．【解答】解：∵，，∴，∵A、B、D三点共线，∴，∴2=2λ，p=﹣λ∴p=﹣1，故答案为：﹣1．16．（5分）若实数x、y满足x2+y2+xy=1，则xy的最大值是．【解答】解：由1=x2+y2+xy≥2xy+xy，得xy，所以xy的最大值为，当且仅当x=y=±时等号成立．故答案为：．三、解答题：请把答案写在答题卡上．（每小题14分，共70分）17．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：由三角形面积公式，得：sinA=，故：sinA=．因为：sin2A+cos2A=1，所以：cosA=±=±=±．①当cosA=时，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣2×=8，所以：a=2．②当cosA=﹣时，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣2×1×3×（﹣）=12，所以：a=2．18．（14分）已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求与的夹角θ；（2）求|+|和|﹣|．【解答】解：（1）由（2﹣3）•（2+）=61，得4||2﹣4•﹣3||2=61；又||=4，||=3，代入上式求得•=﹣6，∴cosθ===﹣，又θ∈[0°，180°]，∴θ=120°；（2）|+|2=（+）2=||2+2•+||2=42+2×（﹣6）+32=13，∴|+|=；同理，|﹣|==．19．（14分）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101．20．（14分）已知函数f（x）=x2+bx+c，f（1）=9，f（2）=13．（1）求实数b，c的值；（2）若函数，求g（x）的最小值并指出此时x的取值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+bx+c，f（1）=9，f（2）=13．∴，解得b=1，c=7，（2）由（1）可得f（x）=x2+x+7，∴g（x）==x++1≥2+1=2+1，当且仅当时等号成立，故g（x）的最小值的为2+1，此时x=．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且有a1=2，3S n=5a n﹣4a n﹣1+3S n﹣1（n ≥2）（I）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）若b n=n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵3S n=5a n﹣4a n﹣1+3S n﹣1（n≥2），∴3S n﹣3S n=5a n﹣4a n﹣1（n≥2），﹣1∴，…（3分）又∵a1=2，∴{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，…（4分）∴．…（5分）（Ⅱ）由（I）中∴，，．…（8分）两式相减得：，∴=（1﹣n）•2n+1﹣2，…（11分）∴．…（12分）。

2016-2017学年黑龙江省鸡西十九中高二（下）期末数学试卷（文科）一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1＜x＜2} 2．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真3．（5分）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．5．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]6．（5分）若sinθ•cosθ＞0，则θ在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限7．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．29．（5分）函数f（x）=2x+sinx的部分图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（l，2）C．（2，3） D．（3，4）11．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则（）A．f（2）＜e2f（0）B．f（2）≤e2f（0）C．f（2）=e2f（0） D．f（2）＞e2f（0）二.填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知sin（+α）=，α∈（0，），则sin（π+α）=．14．（5分）函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线方程为．15．（5分）若tanα=2，则的值为．16．（5分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．三.解答题（本大题共5个大题，共70分）17．（14分）已知sinβ+cosβ=，且0＜β＜π．（1）求sinβcosβ．（2）sinβ﹣cosβ的值．18．（14分）设函数f（x）=sinωx+sin（ωx﹣），x∈R．（1）若ω=2，求f（x）的最小正周期（2）求f（x）的单调递增区间．19．（14分）设x=1与x=3是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点．（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断x=1，x=3是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）=x3﹣x2+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．（1）求b，c的值；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（3）设已知函数g（x）=f（x）+2x，且g（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．21．（14分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（I）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（II）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．2016-2017学年黑龙江省鸡西十九中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|1＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}【分析】根据并集的定义解答即可．【解答】解：根据并集的定义知：M∪N={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．2．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是假命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．3．（5分）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．【解答】解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵，∴f（﹣2）=2﹣2=，f（f（﹣2））=f（）=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．【解答】解：根据题意：，解得：﹣3＜x≤0∴定义域为（﹣3，0]故选：A．【点评】本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．6．（5分）若sinθ•cosθ＞0，则θ在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【分析】由三角不等式，得到同解不等式组，根据三角函数的定义，容易判断θ所在象限．【解答】解：sinθ•cosθ＞0，可得显然θ在第一、三象限故选：B．【点评】本题考查象限角，考查逻辑思维能力，是基础题．7．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用函数的周期性首先将自变量变换到区间[﹣1，1）内，然后结合分段函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：由题意结合函数的解析式可得：．故选：A．【点评】本题考查了函数的周期性，函数值的求解，分段函数及其性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．8．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选D．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．9．（5分）函数f（x）=2x+sinx的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先判断出此函数是奇函数，再根据0＜x＜时，函数值为正即可找出可能的图象．【解答】解：函数f（x）=2x+sinx是奇函数，故其图象关于原点对称，故排除B；又当0＜x＜时，函数值为正，仅有A满足，故它的图象可能是A中的图．故选：A．【点评】本题考查函数的图象与性质，理解函数性质与图象几何位置特征的对应是解答的关键．10．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（l，2）C．（2，3） D．（3，4）【分析】由函数的解析式可得f（1）＜0，f（2）＞0，故有f（1）•f（2）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．【解答】解：由函数，可得f（1）=﹣1＜0，f（2）=1﹣=＞0，∴f（1）•f（2）＜0．根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间为（1，2），故选B．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．11．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则（）A．f（2）＜e2f（0）B．f（2）≤e2f（0）C．f（2）=e2f（0） D．f（2）＞e2f（0）【分析】构造函数g（x）=，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．【解答】解：令g（x）=，则，因为f′（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）=为（﹣∞，+∞）上的增函数，故，即f（2）＞e2f（0）．故答案为：D【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数g（x）=，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性．此题是中档题．二.填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知sin（+α）=，α∈（0，），则sin（π+α）=﹣．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵sin（+α）=cosα=，α∈（0，），∴sinα==，则sin（π+α）=﹣sinα=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y+1=0．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=e x cosx，∴f（0）=1，函数的导数f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，则f′（0）=1，即函数f（x）在点（0，1）处的切线斜率k=f′（0）=1，则对应的切线方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0，故答案为：x﹣y+1=0【点评】本题主要考查函数的切线的求解，根据导数的几何意义是解决本题的关键．15．（5分）若tanα=2，则的值为．【分析】把所求的式子分子、分母都除以cosα，根据同角三角函数的基本关系把弦化切后，得到关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：因为tanα=2，则原式===．故答案为：．【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系进行弦化切，是一道基础题．16．（5分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2．【分析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求α即可．【解答】解：S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．故答案为：2．【点评】本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．三.解答题（本大题共5个大题，共70分）17．（14分）已知sinβ+cosβ=，且0＜β＜π．（1）求sinβcosβ．（2）sinβ﹣cosβ的值．【分析】（1）把所给的式子两边同时平方，可得sinβcosβ的值．（2）由（1）可得β为钝角，根据sinβ﹣cosβ=，计算求得结果．【解答】解：（1）∵sinβ+cosβ=，且0＜β＜π，∴1+2sinβcosβ=，求得sinβcosβ=﹣．（2）由（1）可得β为钝角，∴sinβ﹣cosβ===．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．18．（14分）设函数f（x）=sinωx+sin（ωx﹣），x∈R．（1）若ω=2，求f（x）的最小正周期（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出f（x）的最小正周期．（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）若ω=2，函数f（x）=sinωx+sin（ωx﹣）=sin2x+sin（2x﹣）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴它的最小正周期为=π．（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．19．（14分）设x=1与x=3是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点．（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断x=1，x=3是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．【分析】（1）函数的极值点处的导数值为0，列出方程，求出a，b的值．（2）由（1）作出表示x，f′（x），f（x）的关系的表格；据极值的定义，求出极值点即可．【解答】解：（1）f′（x）=+2bx+1，由已知得：，∴（2）x变化时．f′（x），f（x）的变化情况如表：故在x=1处，函数f（x）取极小值；在x=3处，函数f（x）取得极大值，故x=1是极小值点，x=3是极大值点．【点评】本题考查函数的极值点的导数的值为0、利用导数求函数的单调性、极值．20．（14分）设函数f（x）=x3﹣x2+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．（1）求b，c的值；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（3）设已知函数g（x）=f（x）+2x，且g（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【分析】（1）由切点坐标及切点处导数值为0，列一方程组，解出即可；（2）在a＞0的条件下，解不等式f′（x）＞0及f′（x）＜0即可；（3）g（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，即g′（x）＜0在区间（﹣2，﹣1）内有解，由此可求a的范围．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣ax+b．由题意得，即．所以b=0，c=1．（2）由（1）得f′（x）=x2﹣ax=x（x﹣a）（a＞0）．当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（a，+∞）；单调减区间为（0，a）．（3）g′（x）=x2﹣ax+2，依题意，存在x∈（﹣2，﹣1），使不等式g′（x）=x2﹣ax+2≤0成立．当x∈（﹣2，﹣1）时，a≤x+≤﹣2，所以满足要求的a的取值范围是a≤﹣2．【点评】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性以及分析问题解决问题的能力，（3）问的解决关键是对问题准确转化．21．（14分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（I）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（II）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围．【分析】（I）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（II）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（I）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（II）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣，由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题．。