§2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点．2．直线与平面平行的判定定理：______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为____________________________．一、选择题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．其中正确说法的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条二、填空题7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是________；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在P A、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．§2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2．1直线与平面平行的判定答案知识梳理1．无2．平面外此平面内a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作业设计1．A[①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b 还有可能异面．]2．D3．C4．A5．D6．D[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]7．无数8．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C19．平行解析 设BD 的中点为F ，则EF ∥BD 1． 10．证明 取D 1B 1的中点O ， 连接OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF ∥BO ． ∵EF ⊄平面BDD 1B 1， BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1．11．证明 连接AF 延长交BC 于G ，连接PG ．在▱ABCD 中， 易证△BFG ∽△DFA ． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF ∥PG ． 而EF ⊄平面PBC ， PG ⊂平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． 12．①③13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN ．∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE ＝BD ．又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ．又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQBD ．∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN ．又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE ．方法二 如图(2)所示，连接AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连接EK ．∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK ．∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ ∥EK ． 又PQ ⊄面BCE ，EK ⊂面BCE ，∴PQ ∥面BCE ．。
3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算必备知识基础练1.在半径为5 cm 的扇形中,圆心角为2,则扇形的面积为( ) A.25 cm 2B.10 cm 2C.15 cm 2D.5 cm 22.角α=-2,则α所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.已知扇形AOB 的周长为10,面积为6,则该扇形的圆心角为( ) A.3B.43或3C.34D.34或34.在半径为3 cm 的圆中,π7的圆心角所对的弧长为( ) A .3π7 cmB .π21 cmC .37 cmD .9π7 cm5.如果一个圆的半径变为原来的一半,弧长变为原来的32倍,则该弧所对的圆心角是原来的 倍.关键能力提升练6.若集合P={α|2k π≤α≤(2k+1)π,k ∈Z },Q={α|-4≤α≤4},则P ∩Q=( ) A.⌀B.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}C.{α|-4≤α≤4}D.{α|0≤α≤π}7.若角α的终边在直线y=-x 上,则角α的集合为( ) A.αα=2k π-π4,k ∈Z B.αα=2k π+3π4,k ∈Z C.αα=k π-3π4,k ∈ZD.αα=k π-π4,k ∈Z8.如图,一把折扇完全打开后,扇面的两条弧AB⏜,CD ⏜的弧长分别是10π和10π3,且AD=10,则图中阴影部分的面积是( )A.200π3B.100πC.400π3D.500π39.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在圆的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是 弧度,扇形的面积是 .学科素养创新练10.已知扇形的圆心角为α,半径为r.(1)若扇形的周长是定值C (C>0),求扇形的最大面积及此时α的值; (2)若扇形的面积是定值S (S>0),求扇形的最小周长及此时α的值. 答案1.A 扇形面积为S=12×2×52=25(cm 2).故选A. 2.C 角α=-2,-2∈(-π,-π2),所以α在第三象限,故选C . 3.B 设扇形AOB 的半径为r ,弧长为l ,由题意可得{2r +l =10,12lr =6,解得{l =6,r =2或{l =4,r =3,则该扇形的圆心角为43或3.故选B .4.A 由题意可得圆心角α=π7,半径r=3 cm,弧长l=αr=π7×3=3π7(cm).故选A .5.3 设圆的半径为r ,弧长为l ,则该弧所对的圆心角为lr .将半径变为原来的一半,弧长变为原来的32倍,则该弧所对的圆心角变为32l 12r =3·lr ,即该弧所对的圆心角变为原来的3倍.6.B 当k=-1,0时,集合P 和Q 的公共元素满足-4≤α≤-π,或0≤α≤π,当k 取其他值时,集合P 和Q 无公共元素,故P ∩Q={α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}.7.D 由图知,角α的取值集合为αα=2k π+3π4,k ∈Z ∪αα=2k π-π4,k ∈Z =αα=(2k+1)π-π4,k ∈Z ∪αα=2k π-π4,k ∈Z =αα=k π-π4,k ∈Z ,故选D.8.A 设OA=R ,OD=r ,圆心角是θ,则r θ=10π3,(r+10)θ=10π,R-r=10,解得R=15,r=5,θ=2π3,所以阴影部分的面积为12(10π×15-10π3×5)=200π3,故选A .9.π-2 2(π-2) 设扇形的弧长为l ,圆心角为α, 故由题得2α+2×2=2π,所以α=π-2, 扇形的面积S=12l ·r=12·(2π-4)·2=2(π-2). 10.解(1)由题意可得2r+αr=C ,则αr=C-2r ,得扇形面积S=12αr 2=12(C-2r )r=-r 2+12Cr=-(r -C 4)2+C 216, 故当r=C4时,S 取得最大值C 216, 此时α=C -2r r =2.(2)由题意可得S=12αr 2,则αr=2Sr , 得扇形周长C=2r+αr=2r+2Sr ≥4√S , 当且仅当2r=2Sr ,即r=√S 时取等号,。
新教材高中数学湘教版必修第二册：第2课时和差化积与积化和差公式教材要点要点状元随笔(1)这两组公式均可由和差角公式推导得到，而这两组公式亦可以互推．(2)和差化积公式可由以下口诀记忆“正弦和正弦在前；正弦差余弦在前；余弦和只见余弦；余弦差负不见余弦”．(3)两组公式中的倍数关系可通过值域(最值)的对比发现，y＝sinα±sinβ与cos α±cosβ的值域应为[－2，2]而y＝sinαsinβ等的值域应为[－1，1]，所以应给积乘2或者和(差)乘1.2基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)sin (A＋B)＋sin (A－B)＝2sin A cos B．( )(2)sin (A＋B)－sin (A－B)＝2cos A sin B．( )(3)cos (A＋B)＋cos (A－B)＝2cos A cos B．( )(4)cos (A＋B)－cos (A－B)＝2sin A cos B．( )2．把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为( )A．sin 18°－sin 2° B．sin 18°＋cos 2°C．sin 18°＋sin 2° D．cos 18°＋cos 2°3．把sin 15°＋sin 5°化成积的形式为( )A．sin 5°sin 15° B．2cos 10°cos 5°C．2sin 10°sin 5° D．2sin 10°cos 5°4．cos 37.5°cos 22.5°＝______.题型 1 和差化积公式的应用例1 把下列各式化成积的形式．(1)cos 3x＋cos x；(2)cos 40°－cos 52°；(3)sin 15°＋sin 35°；(4)sin 6x－sin 2x.方法归纳套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．跟踪训练1 把下列各式化成积的形式．(1)cos 8＋cos 2；(2)cos 100°－cos 20°；(3)sin 40°＋sin 150°；(4)sin (x＋2)－sin x．题型 2 积化和差的应用例2 把下列各式化成和或差的形式．(1)2sin 64°cos 10°；(2)sin 80°cos 132°；(3)cos π6cos π4；(4)sin 2sin 1.方法归纳积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式．需要注意三角函数名称的变化规律．跟踪训练2 (1)sin 15°cos 165°的值是( )A ．14B ．12C ．－14D ．－12(2)sin (π4+α)cos (π4+β)化成和差的形式为( )A ．12sin (α＋β)＋12cos (α－β)B ．12cos (α＋β)＋12sin (α－β) C ．12sin (α＋β)＋12sin (α－β)D ．12cos (α＋β)＋12cos (α－β)题型 3 和差化积与积化和差公式的综合应用 角度1 化简与求值 例31sin 40°+cos 80°sin 80°＝________．方法归纳当条件或结论式比较复杂时，往往先将它们化为最简形式，再求解．角度2 证明恒等式例4 求证：sin αsin (60°＋α)sin (60°－α)＝14sin 3α.方法归纳当要证明的不等式一边复杂，另一边非常简单时，我们往往从复杂的一边入手证明，类似于化简．跟踪训练3 (1)计算：sin 70°+sin 50°sin 80°＝________．(2)求证：2cos 20°+2sin 20°−12cos 20°−2sin 20°−1·tan 25°＝cos 15°sin 15°.课堂十分钟1．sin 75°－sin 15°的值为( ) A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．－122．cos 72°－cos 36°的值为( ) A ．3－2√3 B ．12 C ．－12D ．3＋2√33．sin 37.5° cos 7.5°等于( ) A ．√22 B ．√24 C ．√2+14 D ．√2+244．求证：sin 15°sin 30°sin 75°＝18.第2课时 和差化积与积化和差公式新知初探·课前预习[基础自测]1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．解析：2sin10°cos 8°＝sin (10°＋8°)＋sin (10°－8°)＝sin 18°＋sin 2°. 答案：C3．解析：sin 15°＋sin 5°＝2sin 15°+5°2cos15°−5°2＝2sin 10°cos 5°答案：D4．解析：cos 37.5°cos 22.5°＝12(cos 60°＋cos 15°) ＝14+12cos 15°＝2+√6+√28.答案：2+√6+√28题型探究·课堂解透例1 解析：(1)cos 3x ＋cos x ＝2cos 3x+x 2cos3x−x 2＝2cos 2x cos x .(2)cos 40°－cos 52°＝－2sin 40°+52°2sin40°−52°2＝－2sin 46°sin (－6°)＝2sin 46°sin 6°.(3)sin 15°＋sin 35°＝2sin15°+35°2cos15°−35°2＝2sin 25°cos (－10°)＝2sin 25°cos 10°. (4)sin 6x －sin 2x ＝2cos 6x+2x 2sin6x−2x 2＝2cos 4x sin 2x .跟踪训练1 解析：(1)cos 8＋cos 2＝2cos 8+22cos8−22＝2cos 5cos 3.(2)cos 100°－cos 20°＝－2sin 100°+20°2sin100°−20°2＝－2sin 60°sin 40°＝－√3sin 40°.(3)sin 40°＋sin 150°＝2sin40°+150°2cos40°−150°2＝2sin 95°cos (－55°)＝2cos 5°cos 55°. (4)sin (x ＋2)－sin x ＝2cosx+2+x 2sinx+2−x 2＝2cos (x ＋1)sin 1.例2 解析：(1)2sin 64°cos 10°＝sin (64°＋10°)＋sin (64°－10°) ＝sin 74°＋sin 54°.(2)si n 80°cos 132°＝cos 132°sin 80°＝12[sin (132°＋80°)－sin (132°－80°)]＝12(sin 212°－sin 52°) ＝－12(sin 32°＋sin 52°)．(3)cos π6cos π4＝12[cos (π6+π4)+cos (π6−π4)] ＝12[cos 5π12+cos (−π12)]＝12(cos 5π12+cos π12).(4)sin 2sin 1＝－12[cos (2＋1)－cos (2－1)]＝－12(cos 3－cos 1)．跟踪训练2 解析：(1)sin 15°cos 165°＝12[sin (15°＋165°)＋sin (15°－165°)]＝12sin 180°－12sin 150°＝－14.(2)sin (π4+α)cos (π4+β) ＝12[sin (π4+α+π4+β)+sin (π4+α−π4−β)]＝12[sin (π2+α+β)+sin(α−β)] ＝12cos (α＋β)＋12sin (α－β)．答案：(1)C (2)B 例3 解析：原式＝2cos 40°+cos 80°sin 80°＝cos 40°+2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°+cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝√3.答案：√3例4 证明：左边＝sin α·(−12)(cos 120°－cos 2α) ＝14sin α＋12sin αcos 2α＝14sin α＋14[sin 3α＋sin (－α)]＝14sin α＋14sin 3α－14sin α＝14sin 3α＝右边． 跟踪训练3 解析：(1)sin 70°+sin 50°sin 80°＝sin (60°+10°)+sin (60°−10°)sin 80°＝2sin 60°cos 10°cos 10°＝2sin 60°＝√3. (2)证明：左边＝2cos 20°sin 25°+2sin 20°sin 25°−sin 25°2cos 20°cos 25°−2sin 20°cos 25°−cos 25° ＝sin 45°−sin (−5°)−cos 45°+cos (−5°)−sin 25°cos 45°+cos (−5°)−sin 45°−sin (−5°)−cos 25° ＝sin 5°+cos 5°−sin 25°sin 5°+cos 5°−cos 25° ＝sin 5°+sin 85°−sin 25°cos 85°+cos 5°−cos 25° ＝sin 5°+2cos 55°sin 30°−2sin 55°sin 30°+cos 5°＝sin 5°+cos 55°cos 5°−sin 55°＝sin 5°+sin 35°cos 5°−cos 35° ＝sin 20°cos (−15°)−sin 20°sin (−15°) ＝cos 15°sin 15°＝右边所以原等式成立． [课堂十分钟]1．解析：sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2×√22×12＝√22.答案：B2．解析：原式＝－2sin72°+36°2sin72°−36°2＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72° ＝－2·sin 36°cos 36°cos 72°sin 36°＝－sin 72°cos 72°sin 36°＝－sin 144°2sin 36°＝－12. 答案：C3．解析：sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(√22+12)＝√2+14. 答案：C4．证明： sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°sin 75°＝－14[cos (15°＋75°)－cos (15°－75°)]＝－14(cos 90°－cos 60°)＝－14×(−12)＝18.。
1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．答案：D2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作()A．Q∈b∈β B．Q∈bβC．Q bβ D．Q b∈β解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b β，∴Q∈bβ.答案：B3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.答案：C4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．答案：(1)4(2)75．如下图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．(1)作直线AB与平面α的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线．解：(1)延长AB交平面α于点P，如下图所示．题图答图(2)证明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点共线．课堂小结——本课须掌握的两大问题1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.。
