一道数学例题引发的思考

一道选择题引发的数学课堂教学思考【摘要】数学新课程标准的核心理念是“以人为本”，数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。

本文结合自己在课堂教学实践中的一些体会，谈了四点做法。

【关键词】课堂教学问题情境合作交流兴趣能力北师大版初三（上）数学第一章过关测试卷中，有一道选择题：等腰三角形的底角为15°，腰长为20，此三角形的面积为（）a、200b、400c、100d、当时，这道题的正确率在我所教的两个班中仅有5%，结果出乎我的意料之外。

其实，类似的题型在教科书第13页例2已出现，只不过教科书上是求一条腰上的高，这里是求三角形的面积。

为了更好地找出原因，我找来几位学生要他们写出解答的过程。

我归纳总结了一下，大致有三种解法：第一种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，∠bac=150°，ab=ac=20，∠cad=30°，，在中，，因只有选项d中含有，故选d。

第二种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，ab=ac=20，∠cad=30°，，，，故选d。

第三种解法：与第一种方法类似地求得cd和ad，然后由求得，而不是直接利用公式求得，故选c。

由以上学生的几种解答过程看：第一种解法的同学是钝角三角形的面积公式中的底边理解错误；第二种解法是对所学知识“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，30°的对边找错；第三种解法虽然正确，但钝角三角形的面积公式不会运用，而是间接求得，所花时间较长。

以上三种情况不得不引起我们教育工作者的反思：数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己悟出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。

初中数学例题教学的几点思考作者：杨颖来源：《现代交际》2012年第02期［摘要］数学例题是说明数学概念、数学命题及应用时用来做例子的问题。

而对例题恰当有效地处理是上好一堂数学课的关键。

此过程中教会学生迁移地研究具有重要的现实意义。

在教学中怎样教会学生学习？我以为在数学教学中，只有充分发挥例题的功能，才能很好地教会学生学习。

对“上好一节数学课”将起到促进作用。

［关键词］数学例题教学思考［中图分类号］G623.5 ［文献标识码］A ［文章编号］1009-5349（2012）02－0171－02一、认识数学例题的作用与功能（一）引导过程教学例：如图直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，求证直线AB是⊙O的切线。

此题是切线判定后配的一道题，目的是在说明直线AB是⊙O切线的过程中，理解判定的应用，在过程中学生获得了解决同类问题的方法：连过直线与圆交点的半径，说明此半径与直线垂直。

例：观察下表：1，2，3，4，3，4，5，6，7，4，5，6，7，8，9，10，……（1）求第ｎ行各个数之和。

（2）数2010在表中出现了多少次？1.首先读懂这个数表，搞清它的规律。

（1）让学生观察数表，它的每一行数的个数有什么规律？（2）它的每一行的第一个数字有什么规律？每一行数字又有什么规律？2.由找到的规律，猜想一般规律。

（1）第ｎ行的第一个数字是几？有何规律？它的最后一个数字是几？（2）如何求前1、2、3、…ｎ的和呢？怎样求第ｎ行各个数之和呢？3.应用一般规律逆向找数。

这题比较难，是多解的，而且不容易找。

必须先找到每一行的最后一个数有什么规律，利用找到的规律求出2010第一次出现的行数、最后出现的行数，最后求出数2010在表中出现了的次数。

（二）引导知识的网络化例：∠ABC＝300，O是BA上一点，以O为圆心作圆与BC切于点D，交BO于E，连ED，F是OA上一点，过F点作FG⊥AB，交BC于G，BD＝3，OF＝x，四边形EDGF的面积为y。

的距离相等． 我们用符号语言写出如下 ：
中’ ？ 中 擞－初版
２１年７ ０２ 月
课 程 解 读
通过“ 图团回豳” 引导学生发现＼ 创新
◎北 京 教 育 学 院 朝 阳 分 院 吴江 媛 （ 级教 师 ） 特
◎北京 市朝 阳 区教 育研 究 中心 郭 璋
学生的发现 、 创新能力是在做数学 中形成和发展 的． 我们 发 现， 在平面几何图形中通 过分裂点 、 分裂 角平分线 、 裂线段 、 分 分 题） 求证 ： 三角形一条边的两端 点到这边上的 中线或 中线延长线
Ｚ ２
根据 同圆或等 圆中 ， 同弧或等弧所对的圆周角相等 ， 得到 ￣Ｂ Ｃ Ｄ ＝ Ｄ， 根据外角性质可得 出／Ｄ Ｉ ＿ Ｉ 所 以有Ｂ ＝Ｄ ＿ Ｂ＝／ＢＤ， Ｄ Ｉ． 学生能力 的培养是一个 渐进 的过程 ，在课堂教学中可以创 设有探究价值 的例题 ，通过对例题 的剖析 与讨论来锻炼学生对 问题 的分析能力 、 思考 能力 ， 培养 良好 的数学学 习素养．
的示 范与导 向作用 ， 讲细 、 讲透例题让学生在听 、 、 的过程 中 思 做
进 行 有 效 的学 习． ２展 示 知 识 运 用 功 能 ．
交点， 所以有／ Ａ ＝ Ｃ Ｄ ÷ ／ Ａ ， Ａ Ｉ Ｂ＝＝Ａ Ｂ ． Ｂ Ｄ ／ Ａ ＝ ＿ Ｃ ／ Ｂ＝ Ｉ＿ ． Ｃ Ｂ ＿ Ｃ １ Ａ 一
例题是数学知识与实际问题相结合的有力体 现 ，通过对例 题 的分析 、 考 ， 思 感受知识的实际运用作用．
三角 函数 的实际应用主要是构造直角 ，借助解直角三角形
来 解 决 实 际问 题 ． 例 ２ 已知 水 坝 的横截 面是 梯形 ４ Ｃ 迎水 坡 曰 的坡 角 ｄ Ｂ Ｄ， Ｃ 为

浅谈高中数学知识点之间的关联学习——由一道不等式证明题引发的思考摘要：在高中数学教学中，教师要引导学生加强对数学各知识点之间的关联学习。

本文以一道不等式证明题为例，运用相关的几类知识点来进行解答，以期能提供参考。

关键词：高中数学不等式证明题函数方程关联学习在高中数学学习中, 高中数学知识涉及很多方面, 如:函数不等式等。

所以在数学学习中加强对知识点的关联学习极其重要，通过加强对知识点的关联性了解，才能更好的应用于解题过程中。

并在此基础上获得新的思路与方法。

然而大多数学生在解题的过程中往往不能很好的运用这些知识点之间的关联性，不能融会贯通的去解决实际遇到的问题。

那么如何才能教会学生运用数学知识点之间的联系来进行解题呢？下列举例来解决这一问题。

例:设变量x、y、z在区间 (0, 1) 中取值, 试证:x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) <1。

一、利用不等式的性质证:由题知 (1-x) (1-y) (1-z) >0可得:x+y+z-xy-yz-zx<1-xyz<1, 得证。

二、利用变量替换三、利用函数的性质证:首先设 f (x) =x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) -1= (1-y-z) x+y (1-z) +z-1, 其中x∈ (0, 1) , 从而有: (1) 当1-y-z=0时, f (x) =-yz<0; (2) 当1-y-z≠0时, ∵f (0) =- (1-y) (1-z) <0, f (1) =-yz<0,所以对x∈ (0, 1) 都有f (x) <0, 证明完毕。

四、利用几何图象性质即x (1-y) + (1-z) +z (1-x) <1五、利用三角函数性质证:不妨设x=sin2A, y=sin2B, z=sin2C, 则原式=sin2Acos2B+sin2Bcos2C+sin2Ccos2A=sin2Acos2B+sin2Bcos2C+ (1-cos2C) (1-sin2A) <1-sin2Asin2B+cos2C (sin2Asin2B) <1, 得证。

《义务教育数学课程标准（2011年版》）（以下简称《标准》）中指出，自学能力对每个人都是终身有用的，阅读是提高自身能力的重要途径.数学阅读是理解数学语言的过程，是学生用特定的数学符号及符号之间的关系对自身原有认知结构进行改造、调整和建构；数学阅读也是心理活动的过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等；数学阅读还是一个不断假设、证明、想象、推理的思维认知过程.可见，数学阅读对提升学生的数学学习能力有着极大的价值，是促进学生数学思维和数学素养发展的重要途径.沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“沪教版教材”）中编排了许多阅读材料，按功能大致可以分为以下几类：介绍知识，开阔视野；激发兴趣，发展思维；培养爱国主义思想，增强民族自豪感；加强知识和技能的实际应用，培养学生的应用意识，提高解决问题的能力.值得一提的是，沪教版教材将平面向量的部分基础内容纳入初中数学课程中.一方面，为学生的几何学习提供了“新观点”和“新手段”；另一方面，有助于让学生逐步体会数学与物理等其他学科的联系.我们知道，一些平面几何问题经过转化，可以通过向量运算来解决.这样的学习经验可以促进学生数学思维的灵活性和创新性，有利于学生数学素养的培育.同时，教材对初中平面向量主要采用直观描述，控制了难度（仅限于认识向量、表示向量；用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减法、向量分解的作图操作；至于向量的数量积与坐标运算，仍然是高中的学习内容）.为此，作为一个良好的内容载体，本文谨以阅读材料“用向量方法证明几何问题”为例，谈谈对数学阅读课的教学实践与思考.一、教学实践“用向量方法证明几何问题”是沪教版教材八年级第二学期第二十二章“四边形”章末的一篇阅读材料，安排在第四节“平面向量及其加减运算”的学习之后，用举例说明的方式介绍了用向量方法证明一些简单平面几何问题的基本思路，是对向量知识的进一步拓展.希望学生通过阅读、讨论与交流，初步了解平面向量及其加减运算在平面几何中的运用，感受几何证明的新方法，开阔眼界；同时，在数学问题解决初中数学阅读课教学的实践与思考——以“用向量方法证明几何问题”一课为例罗佳骏收稿日期：2020-08-15作者简介：罗佳骏（1984—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.摘要：数学阅读是学生数学素养发展的重要方法之一.沪教版初中数学教材中编排了较多阅读材料，这些材料紧扣教材中的相关知识，丰富了教学内容，是拓展学生数学知识、提升学生数学阅读能力、激发学生数学学习兴趣、培养学生创新意识的有效载体.这些内容的教学成为上海市数学素质教育综合体现的重要组成部分.文章以“用向量方法证明几何问题”一课为例，给出关于初中数学阅读课教学的一些思考.关键词：数学阅读；数学交流；实践与思考··21过程中，增进对平面向量的理解，初步体会平面向量的工具价值，领略用向量方法证明一些几何问题的过程和优越性，激发学生学习向量知识的兴趣和运用向量知识的积极性.对于本节阅读课，笔者设计了“泛读—通读—精读—解读—延读”五个环节.1.泛读——初步感知泛读是本节课的准备阶段.通过观看微视频，梳理“四边形”这一章的主要内容，引起学生思考：将平面向量这一内容安排在“四边形”一章的原因，初步认识平面向量与四边形内容之间的联系；同时，梳理演绎证明的一般过程，为后面的学习做好铺垫. 2.通读——问题展示通读是整体感知阶段.通过通读初步了解阅读材料的主要内容和知识点.为了让学生的阅读有更明确的指向性，从而提高阅读效率，教师可以布置一些阅读任务，通常包含学习目标、导读问题、阅读检测、阅读体会等，带着任务阅读能使学生的阅读更有针对性，更能启发学生去思考、探究.这无疑对提高学生的阅读能力是很有帮助的.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者布置的阅读任务如下：①圏划你认为重要的部分；②记录你在阅读过程中的困惑或不理解的地方；③比较用向量方法证明几何问题与演绎证明的区别与联系.学生通过通读阅读材料，初步了解向量知识在平面几何中的运用，感受用向量方法证明几何问题的新方法.通过比较阅读材料中给出的两道例题的不同解法，初步感受两种解法的区别与联系.由于学生的个体差异性，不同层次的学生在阅读后对新知会有不同程度的理解，形成自己尚不完善的认识，也会产生许多疑问.例如，下面是一些学生的疑问.生1：如何用向量方法证明几何问题？生2：如何选取合适的向量？生3：向量关系与几何关系如何转化？生4：已经学习了演绎证明的方法，阅读材料中给出的两道例题都可以通过演绎证明来解决，为什么还要学习向量方法？向量方法似乎并没有简单很多. 3.精读——问题解决精读是本节数学阅读课的核心环节.数学阅读的目的在于理解，每个数学概念、符号、术语都有其精确性和逻辑性.当一名学生试图阅读、理解一段阅读材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义.这就要求学生必须在通读材料、提出问题的基础上，运用分析、联想、类比、归纳、猜想、反思等思维方法，对疑难点各个击破.这里，活动的设计尤为关键，以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了讨论和交流两个活动，放手让学生自己解决问题，大胆地让学生展示自己的阅读与思考成果.以下为节选的部分小组交流片断.第一组：演绎证明是运用相关定义、定理、公理，按照逻辑规则进行推导，也就是从几何问题的已知条件出发得到结论.向量证明的方法是适当选取向量，进行正确的向量运算得到结论.第二组：我们分析比较了例1中的解法.例1是根据已知条件引出向量，给出的条件是“如图1，四边形ABCD，AC与BD交于点O，AO=OC，DO=OB”，求证“四边形ABCD是平行四边形”.首先，这个条件给出的意义是线段相等，还有AC和BD各自是一条直线，向量需要两个条件，一个是大小，一个是方向.已知条件已经给出了向量的大小，我们只要判断它的方向就可以从条件中选取向量，然后通过向量的加法，能得出AO+OB=AB，DO+OC=DC.相等向量所在的有向线段DC=AB，这是数量关系.还有平行关系，得出线段AB∥DC，且AB=DC，然后再回到几何证明.图1第三组：用向量方法证明几何问题是因为向量既具有代数的特征，又具有几何的形态.由于向量有运算系统，并且与几何图形有密切联系，所以它才可以用来证明几何问题.第四组：向量的证明方法比演绎推理的证明方法更加简洁.用几何方法要证明线段平行且相等，用向量方法只需要说明“向量相等”就能说明“两条线段平行且相等”.可以看到，整个活动过程中，学生的思维是无限··22的，在师生、生生合作交流中梳理形成用向量方法证明几何问题的基本步骤、要点和依据，提高了对“用平面向量的运算来作为推理方法”的认识，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解.期间，笔者仅对学生分析过程中存在的不足做必要的补充和调整，让学生获得了准确、完整和深刻的认识，最终得到如图2所示的知识框架图.演绎推理方法证明几何题图24.解读——巩固练习解读是检验与完善的阶段.在学生对阅读内容有了比较清晰的认识以后，通过适当的练习加以巩固，进一步理解和内化知识.以“用向量方法证明几何问题”为例，笔者设计了如下一道练习题.已知：如图3，四边形ABCD 是平行四边形，CN =AM ，AE =CF.求证：四边形NEMF 是平行四边形.AB CD E FM N图3考虑到沪教版教材定位“在初中的向量教学中，不要求学生会用向量方法证明几何问题”，故而采用让学生独立思考与相互交流相结合的方式研究.以下是学生的交流片断.生1：根据已知条件，作 EA ， AM ， EM ，CF ， NC ，NF .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB 平行且等于CD.因为CN =AM ，所以 AM =NC .因为AE和CF 在同一直线上，且AE =CF ，所以 EA =CF .所以 EA + AM = CF + NC ，即 EM =NF .所以EM ∥NF ，且EM =NF.所以四边形NEMF 是平行四边形.5.延读——拓展延伸阅读型作业的思路来源是数学阅读教学和分层作业理念的结合.一方面，数学阅读课的目标之一是学生数学阅读能力的发展和自学能力的提升；另一方面，课堂教学的时间是有限的，教师可以根据相关知识点设计一些与阅读材料有关的问题，或者收集、编制一些阅读材料，让学生带着这些问题继续阅读、思考，并做出解答，以此来优化教学效果.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了如下阅读作业.阅读下列材料，并完成证明.我们知道，两个相同的实数a 相加，结果为2a ，即a +a =2a .那么两个相同的向量a 相加，是否也有类似的结果呢？即a +a =2a 吗？如图4，已知向量a ，在平面内取一点O ，作向量OA =a ， AB =a ，由向量加法运算法则，得OB =a +a .aOA B图4同时，我们不难看到：向量OB 的方向与向量a 的方向相同，向量OB 的长度是向量a 的长度的2倍，即|| OB =2||a .我们把这样的向量OB 记为向量2a ，即OB =2a .由上可知，2a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的2倍.类似地，3a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的3倍.那么，32a 表示为；12()a +b 表示为.反过来，如果 MN =2PQ ，则意味着MN 和PQ 平行（或共线），且MN =2PQ .上述结论可用于研究几何中有关两直线平行及线段长度的问题，如三角形中位线定理.请同学们小组合作，用向量方法证明该定理.求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.已知：如图5，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点.求证：EF ∥BC ，EF =12BC .··23ACE F图5该作业的主要任务是开展“拓展阅读”.学生需要在完成阅读后，理解实数和向量的乘法的基本概念及其表示方法，然后用所学的向量方法尝试证明三角形中位线定理.其目的在于通过对阅读材料的学习，进一步让学生体会材料中用向量方法证明一些简单的平面几何问题的基本思路，了解平面向量及其运算在解决一些平面几何问题中的作用，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解，体会平面向量的学习价值，发展自主学习和数学阅读的能力.在布置作业时，要求学生先独立阅读材料并尝试完成材料中提出的学习任务，然后撰写简单的学习体会并与其他学生交流.二、几点思考1.阅读课的目标定位读有所得、读有所疑、读有所悟、读有所用是一切阅读活动的共同目标.数学学科还有自己的特点，即高度的抽象、严密的逻辑和广泛的应用.这决定了数学阅读不同于一般的阅读，不仅要理解文本、获取知识，还要了解知识产生的背景和内在的逻辑关系，经历知识的形成过程，并能合理运用到实际生活中.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学过程中，笔者布置了阅读任务，目的是让学生有充裕的阅读和思考的时间，使学生不仅仅了解用向量方法证明几何问题这个方法；还能在阅读和思考过程中不断产生疑问.例如，向量关系与几何关系如何转化？两种方法孰优孰劣？学生在交流合作中经历用向量方法证明几何问题的过程，梳理了知识框架图，从中获得数学阅读和思考的一般方法，引发对数学阅读和思考的兴趣.2.阅读课的主体定位数学阅读课的整个教学过程是教师协助学生主动建构知识的过程，这极大地凸显了学生的主体地位.在“用向量方法证明几何问题”这节课阅读课的教学过程中，笔者的任务首先是倾听，其次是捕捉、梳理和完善学生思维中零散、不完全准确的结论.学生在阅读中产生疑问，在交流中解决疑问，再围绕笔者提出的较深层次的问题阅读、思考、交流.这些做法使得学生获得了更多的自主阅读与思考的时间和空间.3.阅读课的方式定位数学阅读课的学习方式通常是开放式的.数学阅读过程是不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程，在向知识的广度和深度进军的过程中遇到问题或者困惑是在所难免的.开放的阅读方式能让学生在阅读与思考活动中分享信息结论和疑问，通过交流合作解决疑问，达到阅读和思考的最优效果.另外，在当今的信息时代，学生阅读的渠道不仅仅是教材和教师给予的阅读材料，还可以借助网络资源搜索相关资料进行深入学习.4.阅读素材的选择各地现行的初中数学教材普遍编排了许多阅读材料，主要包括：透过数学历史故事，学生可以感受到数学知识在研究过程中的曲折、艰辛，以及获得成功后的快乐，感悟理性精神；通过知识拓展或运用数学知识解决生活中的问题，可以增进数学与生活的联系，理解数学的学习价值等.随着数学学习的深入，笔者认为阅读不能仅仅局限于教材的阅读，应该给学生提供更多的课内外阅读资料.以平面向量为例，该部分知识虽然没有纳入《标准》，但是从上海市的经验来看，平面向量的初步知识在初中阶段的讲授还是具有较好的可操作性的.即使其他地区的数学教材中没有向量知识，教师也可以通过阅读材料的方式呈现给学生，让其自主学习.通过学习，学生有机会从运算的视角看待几何证明，丰富学生解决平面几何问题的手段，以更好地促进学生思考，挖掘学生的思维潜力，发展数学素养.5.阅读课的评价方式不同于重结果轻过程的传统数学评价，数学阅读课更侧重于学习过程，应采用多样化的评价方式.笔者认为可以从课堂评价和作业评价的转变开始.（1）课堂评价.学生的能力是多方面的，每名学生都有各自的优势.在阅读活动中，学生表现出来的能力不是单一维度的··24数值反映，而是多维度、综合能力的体现，因此对学生的学习评价应该是多方面的.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学中，笔者采用了学生自评、小组互评和教师评价相结合的方式，从阅读表现、合作表现、交流表现、理答表现四个方面进行评价.（2）作业评价.传统的作业评价大多数基于知识与技能，更侧重于学生对知识的掌握情况、解题表现等，评价的维度比较单一.如何才能更好地发挥评价的导向、调控和激励功能？以“用向量方法证明几何问题”的阅读型作业为例，对于该作业的批改，笔者采用等第制评价的方法，学生互评和教师评价相结合，从阅读表现、解题表现和交流表现等方面重点开展评价，以下是评价标准.优秀：能圈划阅读材料中的关键词和重要信息，准确理解材料的内容；在解决问题的过程中，表现出对阅读材料介绍的方法的正确运用；解题过程完整，能用规范、简洁的语句进行交流；能清晰地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.良好：能圈划阅读材料，材料分析基本准确；解题过程基本正确；能用较为规范、简洁的语句进行交流；能较清楚地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.合格：基本理解阅读材料，材料分析不够准确；有解题过程，但解答存在一定错误；能与他人进行一定交流，但解题思路和阅读体会介绍较为简单. 6.阅读课的局限性（1）不同学生的差异.不同层次的学生受益效果不同，无法带动所有学生.笔者执教的班级学生水平差异较大，通过多次实践发现：原本学习能力强的学生在这样的课堂上学习方法能有提高，学习能力能有进步，对相关知识点的迁移，学习效率很高，他们学习的自信和主动性都会有飞跃；但是对于学困生却不一定有帮助.虽然笔者教学中一直关注个体差异，一有机会就会对学困生进行个别辅导，但是在自主阅读环节，学困生的学习效率非常低.没有了教师的教，学生不知道阅读和思考的方向，寸步难行.（2）阅读时间的把握.确定阅读时间是数学阅读课的重点和难点.阅读时间长了，留给学生对话交流的时间就少了，有些问题得不到解决，能力的发展受到限制，也就失去了阅读课的价值；阅读时间少了，学生对材料的理解不充分，思考的深度不够，也达不到效果.这就对教师提出了很高的要求，既要研读材料，把握教学的学习内容，又要研究学生，把握学生的学习水平，在此基础上，做出规划和预设.另外，数学阅读教学是学生、教师、文本之间对话的过程.学生作为读者，是富有巨大认知潜力和主观能动性的，尤其是经历交流对话后会生成新的学习需求，需要二次阅读甚至三次阅读，这就需要教师对预设的教学做出及时调整，朝着有利于加深对数学阅读文本的理解和感悟、有利于学生数学素养发展的方向转化.参考文献：［1］倪湘丽.初中数学阅读教学的实践研究：以苏科版教材七上、八上的教学实践为例［D］.苏州：苏州大学，2014.［2］朱丽霞.数学阅读为学生的思维进阶插上翅膀：以“三角形内接正方形的作法”阅读课为例［J］.上海中学数学，2020（1/2）：42-44，64.［3］谷荷莲.高中数学“阅读与思考”栏目的教学实践与思考：以《圆锥曲线的光学性质及其应用》阅读与思考教学为例［J］.数学教学通讯，2020（9）：3-4，10.［4］朱纪英.初中数学阅读教学有效性研究与实践［D］.上海：上海师范大学，2012.··25。

KETANGJIAOXUE 课堂教学 19
例谈“几何与代数主题教学”中数学思维的培养
———以双曲线离心率问题教学为例
福建省永安市第一中学 易银娟 徐来艳
摘要：发展学生的数学思维是数学学
科的核心任务；让数学核心素养更好地落
地课堂，值得每一位教师不断探索与思
考。在 《普通高中数学课程标准》（2017
版）中明确指出，“几何与代数”是高中数
30毅，则双曲线的离心率为 ______。
首先将本题条件转译成如下图形，通
过图形进一步可得以下转译：
y
M
QO
Px
N
① 直 线 MO 交 双 曲 线 左 支 于 点 Q 转译
M、Q 关于原点对称。 转译
②∠MPO=60毅 ，∠MNQ=30毅 直线 QN 的倾斜角为 150毅。
解 ：依 题 意 ，M、Q 关 于 原 点 对 称 ，
且 kMN=tan120毅 =- 姨 3 ，kQN=tan150毅 =
-
姨3 3
。
又
∵k MNk QN
=
b2 a2
，∴
b2 a2
=1，e=
c a
=
姨1+
b2 a2
=姨2 。
在以核心素养为基础的数学主题教
学中，教材是教师进行教学设计的“方向
盘”，教师要通过阅读教科书，立足“课
标”，深入钻研教材，琢磨编写意图，尽可
C 的离心率。
数 学 问 题 的 解 决 过 程 通 常 分 为 ：审
题— ——析题—— —解题———反思总结。读完
本题后，都是首先引导学生将条件中的符
号、文字语言准确转化为图形语言。而图
形的关键是圆 A 与渐近线的位置关系。

由一道练习题引发的对学生数学思维品质的思考作者：代秀红来源：《速读·中旬》2018年第03期什么是数学思维品质？如何在小学数学教学中培养学生的数学思维品质？我想大部分数学教师在教学过程中会紧紧围绕如何解决问题来锻炼学生的思维能力，但对数学思维品质的培养就知之甚少了，下面我就结合人教版《小学数学五年级上》第三单元《小数除法》——《商的近似数》一课中的一道练习题来谈谈我对数学思维品质的理解和思考。

《小学数学五年级上》第41页11题：一种瓶装橙子粉重450g，，每冲一杯需要16g橙子粉和9g方糖。

冲完这瓶橙子粉，大约需要多少克方糖？这道题出现在学生已学习了用“四舍五入法”、“进一法”和“去尾法”解决问题后的练习九中，在求“可以冲多少杯？”这一问题时用450÷16=28.125（杯），计算出的结果是小数，而冲出的杯数必须是整数，因此要取计算结果的近似值。

在取近似值时，不能机械地使用“四舍五入法”，要根据具体情况确定“舍”还是“入”。

人教版《小学数学五年级上教师用书》中指出：一般方法是先求可以冲多少杯，450÷16≈28（杯），再求28杯需要多少克方糖，但也可能会有学生提出用“进一法”，450÷16≈29（杯），再求29杯需要多少克方糖，理由是可以将橙子粉冲淡一些，从解决实际问题的角度也是可以的。

对此，引发了我对培养学生数学思维品质的思考。

思维是人的理性认识过程。

所谓数学思维，是指人关于数学对象的理性认识过程。

思维能力的高低，直接影响到数学学习的效果，因此，培养学生的数学思维能力是提高数学教学效率的关键。

良好的数学思维品质主要包括思维的严谨性、广阔性、深刻性、灵活性和批判性，下面就结合本题对培养学生的数学思维品质进行讨论。

一、培养数学思维的严谨性思维的严谨性是指考虑问题的严密、有据。

首先要求学生要按步思维，思路清晰，就是要培养学生按照一定的逻辑顺序进行思考问题。

其次要求学生要全面、周密地思考问题，做到推理论证要有充分的理由作根据。

数 的 不 均 衡 而 产 生 ｓ ｏ （ ｉ ｓ 一次） ｎ
１ 问题 的产 生
调查题 目： ￣ （Ｏｘ １（ｉｘ １ 的值 求 ＣＳ ＋ ）ｓ ＋ ） ｎ 域． 调 查对 象 ： 高一 刚学过必 修 ４中三 角 函数 的学生
５ Ｏ人 ；
的， 整个思想过程的
／＼
函 ｙ 数＝
＋ ｓ ）＿ ｉ ｎ ＋ 手 １
掣
＋
一
维普资讯
・
２ ・ ６
中学数学月刊
２０ 年第 ９ ０８ 期
回顾一下 ， 上述三种想法 ， 实际上都是源
Ｚ
＋
ｓ 、 叶／ ｌ ｉ ） ： ｎ ＋
于数学 中应予渗透 的最基本的化归意识 ， 更 体现了对 同一事物 的不同视角．
畸
学． 在平时教学 中，我们教师是不是讲得太 多 ，学生参与体验 的机会太少 了？教师是如 何发挥 自身引导者 的角色去组织教学的？学 生的主体性地位是如何突出的？学生是通过 亲身经历数学的生成过程 ，还是教师全程包
办硬塞 给 他们 的？
实际上 ， 有很多学生是这样去想的 ， 为什么一 定要 学 生按 照 自己设 计 的思 路 去教学 呢 ？这
思 维走 向．
由上分析 ， 只要抓住问题的主要矛盾 ， 令
ｓ ＋Ｏ Ｘ ￡从 而表示 出 ｓ ｃｓ ｉ ＣＳ ￣， ｎ ｉ ｏ ＝ ｎ 样 函数 （ 就 变 成 了一 个 二 次 函数 ｙ ） ＝ ， 这 ＋
ｔ１ 当然 ｔ ＋． 的范围也是一个小小的坎 ，只要 越 过这 个坎 解决 问题 就 不在话 下 ． （） ２ 从变量（ ） 角 的关 系去思考 在 函数（ 中， ） 如果我们没有上述的换元 意识 ，而直接想到的是将 ｓ ＩＯ ｉＸ－ Ｓ ｎ － 用辅助 Ｃ

本期话题·习题研究加强习题研究提升命题能力——一道习题的教学实践与思考□王雪飞戴银杏【摘要】针对一线教师处理习题过于简单化、分析习题更多地注重结果而忽视对学习策略的指导以及命题能力日渐弱化的现状，教师在教学实践中应努力研读教材选“好题”、研磨析题寻策略、自主命题促发展。

通过深入研究每一道习题，不断“磨”出有思维价值的好题，使学生的思维在问题不断推进的过程中得到尽可能多的锻炼，也使教师的命题能力得到不断的提升。

【关键词】选题；析题；命题习题不仅承载着巩固与练习、拓展与应用的基本教学功能，还具有启迪思维、激励创新、发展素养等多重价值，它是学生有效学习的主要载体，是教师教学的根本，也是命题者命题的立足点。

综观现行的人教版小学数学教材，习题的编制体现了基础性、探究性、实践性和开放性，如果能用活这些习题，充分发挥习题的潜在功能，就能让学生在获得知识的同时发展思维能力，体会数学思想和方法。

加强对课本习题的研究，是每一位数学教师不容忽视的责任。

然而，一线教师在选择习题、分析习题以及自主命题方面都存在误区，导致数学教学效率低下，学生学业负担沉重。

误区主要有以下三点：一是处理习题过于简单化。

许多教师总是习惯照本宣科，先让学生独立做一做，然后核对一下答案进行简单讲评，忽视了习题本身所具有的拓展和延伸的功能；二是分析习题更多地关注结果，忽视对学生思维过程的剖析以及学习策略的指导；三是命题能力日渐弱化。

大量的教辅材料、简单的“拿来主义”，导致许多教师不愿研究命题，不会命题者比比皆是。

近几年来，高考数学中的一些试题“源于课本，而又高于课本”，小学数学学业评价的命题直接改编自教材的题目不少于60%，这对数学教师的命题能力提出了新的要求。

同时，对我们的教学也起到了良好的导向作用，那就是立足教材、深入研究教材，对教材中的例题和习题进行再加工、再创造，顺应教材的知识体系，既能有效训练学生的思维能力，提高数学课堂教学的效率，还能让一线教师在不断研究习题的过程中提高自身的命题能力。

新课程背景下数学例题教学的几点思考单位：天津市北辰区教研室学科：初中数学姓名：张义民新课程背景下数学例题教学的几点思考提要：例题教学是课堂教学中的一个重要环节，例题教学受到更多的关注。

加强和改进数学例题的教学，对理解和掌握基础知识、培养数学思维、发展智力都是至关重要的。

认识数学例题的基本作用，思考数学例题的教学，对“上好一节数学课”将起到促进作用。

一、认识数学例题的作用与功能1．知识与技能转化的载体2. 知识辨析、内化的手段3．经历、探索、思考的过程二、数学例题教学的思考1．摆正“教”与“学”的关系2．重视解答中的“问”与“探”3．重视“开放”与“拓展”4．重视总结、概括与分析新课程背景下数学例题教学的几点思考何谓例题？汉语词典对此作了如下的解释：说明某一定理或定律时用来做例子的问题，照此我们可以对数学例题简单地理解为：说明数学概念、数学命题及应用时用来做例子的问题。

数学例题是数学教材的重要组成部分，教师教学中要用一定的时间对数学例题进行分析讲解，学生要用一定的时间对例题进行学习，对例题恰当有效地处理是上好一堂数学课的关键。

现行课改教材中，例题数量比原教材减少，保留的题目不足原教材的三分之一，现代生产、生活为背景、为素材的题目在教材中占有一定的比例，适应教材的变化，探索数学例题教学方式的改革，将会进一步推进课堂教学方式的改革。

一、认识数学例题的作用与功能数学例题的作用和功能是多方面的，即有数学课堂教学实际的需要，也有课程改革赋予的新要求。

1．知识与技能转化的载体数学例题是数学知识转化为数学基本技能的载体，体现了教材对知识深度、广度的要求,也使数学的思想、方法在题目的解答中得以揭示.通过例题的学习, 可使学生加深对数学基础知识的理解和巩固，形成数学的基本技能。

例如：如图直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB ，求证直线AB是⊙O的切线。

这道例题是在切线判定后选配的一道例题，其目的是在探索如何说明直线AB是⊙O切线的过程中，理解判定的应用，通过连接辅助线OC，体现了教材对证明切线问题的基本要求，在解答的过程中学生获得了解决同类问题的方法：连结过直线与圆交点的半径，再说明此半径与直线垂直。

思维点拨：巧解三角形典型例题【例1】如图，五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解：连结DE，由以上结论可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA，又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°.即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，那么在三角形AEF和三角形DCF所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.解：连结CD，那么∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°.【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，以下四个式子中正确的选项是〔〕.【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－12BAC在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－〔∠2＋∠3〕，所以∠1＝90°－12［180°－〔∠2＋∠3〕］=12〔∠3+∠2〕.又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G.所以∠G＝∠1－∠2＝12〔∠3+∠2〕－∠2＝12〔∠3－∠2〕.所以应选C.【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A ＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为∠DEC是三角形ABE的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°.又因为∠BDC是三角形CDE的外角，所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°.【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.【例5】如图，∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，能求出∠A的度数吗？【思考与分析】要求∠A的度数，我们可以设法让∠A成为某个与角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，那么∠A、∠B即为三角形ABD的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求∠A的度数，可先求∠ODC的度数，由∠BOC＝110°，∠C＝20°即可求出∠ODC的度数.解：延长BO交AC于D.因为∠BOC是三角形ODC的外角，所以∠BOC＝∠ODC+∠C.因为∠BOC=110°，∠C＝20°，所以∠ODC＝110°－20°＝90°.因为∠ODC是三角形ABD的外角，所以∠ODC＝∠A+∠B.因为∠B＝10°，所以∠A＝90°－10°＝80°.【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明∠BDC>∠BAC.【思考与分析】∠BDC和∠BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比拟它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题.解：延长BD交AC于P，那么∠BDC>∠DPC，∠DPC>∠BAC，所以∠BDC>∠BAC.【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到一样的结论.【例7】三角形ABC的一个内角度数为40°，且∠A=∠B，你能求出∠C的外角的度数吗？【思考与分析】在三角形ABC中，∠A=∠B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40°的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答.解：〔1〕设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的顶角时，那么∠α的外角等于180°－40°＝140°，而∠C＝∠α，所以∠C的外角的度数为140°.〔2〕设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的底角时，∠A=∠B＝∠α＝40°，此时∠C的外角＝∠A＋∠B＝80°.【例8】非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出∠BHC的度数吗？【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进展讨论.解：〔1〕当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示.因为BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.〔2〕当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示.因为H是三角形的两条高所在直线的交点，∠A=45°，所以∠ABD＝90°－45°＝45°.所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.由〔1〕、〔2〕可知，∠BHC的度数为135°或45°.【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整.【例9】如图，三角形ABC中，∠B=∠C＝2∠A，你能求出∠A的度数吗？【思考与分析】我们由三角形内角和可知，∠A+∠B+∠C=180°，又因为∠B=∠C＝2∠A，可得∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即可求出∠A 的度数.我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与∠B=∠C＝2∠A 这两个条件求未知量∠A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中数量和未知数量的关系的根底上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180°，其等量关系是∠A+∠B+∠C=180°，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程.设∠A的度数为x，那么可以用2x分别表示∠B、∠C的度数，将这个等式转化为方程x＋2x＋2x＝180°，即可求出∠A的度数.解法一：因为∠B=∠C＝2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°，即∠A＝36°.解法二：设∠A的度数为x，那么∠B、∠C的度数都为2x，列方程得x＋2x ＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.【例10】判断适合以下条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.〔1〕∠A=80°，∠B=25°；〔2〕∠A－∠B=30°，∠B－∠C=36°；【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，此题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可.〔1〕题通过直接计算就可以求出∠C的度数，〔2〕〔3〕题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进展求解.解：〔1〕因为∠A＝80°，∠B=25°，所以∠C=180°-80°-25°=75°，所以三角形ABC是锐角三角形.〔2〕设∠B＝x°，那么∠A＝〔30+x〕°，∠C＝〔x-36〕°，所以x°＋〔30+x〕°+〔x-36〕°＝180°，解得x＝62，所以最大角∠A＝92°，所以三角形ABC是钝角三角形.〔3〕设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝6x°，那么x°＋2x°＋6x°＝180°，解得x ＝20，所以∠C＝120°，所以三角形ABC是钝角三角形.【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.1.利用高线与边垂直的性质求度数【例11】△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．解：〔1〕当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.〔2〕当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．所以∠BAC为90°或50°．【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.2. 利用三角形面积公式求线段的长度【例12】如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们假设设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为h a，h b，h c，那么三角形的面积S=12ah a=12bh b=12ch c.此题中三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，解决十分方便.解：S△ABC =12BC·AD=12AB·CE1 2×5×3=12AB·4，解得AB=154〔cm〕．【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．【例13】如图，AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，那么三角形ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为.【思考与解】〔1〕三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝〔AB+BD+AD〕－〔AD+CD+AC〕=AB+BD-CD-AC.而BD=CD ，所以上式＝AB-AC=5-3=2〔cm 〕.〔2〕因为S 三角形ABD ＝12BD×AE ，S 三角形ACD ＝12CD×AE ，而BD=CD ，所以S 三角形ABD ＝S 三角形ACD .【例14】如图，在三角形ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于为AB 上的一点，CF ⊥AD 于H.以下判断正确的有〔 〕.〔1〕AD 是三角形ABE 的角平分线.〔2〕BE 是三角形ABD 边AD 上的中线.〔3〕CH 为三角形ACD 边AD 上的高.个 个 个 个【思考与解】由∠1＝∠2，知AD 平分∠BAE ，但AD 不是三角形ABE 内的线段，所以〔1〕不正确；同理，BE 虽然经过三角形ABD 边AD 的中点G ，但BE 不是三角形ABD 内的线段，故〔2〕不正确；由于CH ⊥AD 于H ，故CH 是三角形ACD 边AD 上的高，〔3〕正确.应选A.【例15】如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AB ＝13cm ，BC=12cm ，AC=5cm.〔1〕求三角形ABC 的面积.〔2〕求CD 的长.【思考与分析】求直角三角形的面积，有两种方法：①S △=12ab 〔a 、b 为两条直角边的长〕；②S △=12ch 〔c 为直角三角形斜边的长，h 为斜边上的高〕.由此可知ab ＝ch ，在a 、b 、c 、h 四个量中，其中三个量，就可以求出第四个量. 解：〔1〕在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC=12cm ，AC=5cm ， 所以S △ABC ＝12AC×BC ＝30〔cm 2〕.〔2〕因为CD是AB边上的高，所以S△ABC ＝12AB×CD，即12×13×CD＝30.解得CD＝6013cm.【例16】如图1所示，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数吗？【思考与解】我们可以连结EF，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数转化为求四边形BCEF的内角和.如图2所示.因为∠A+∠D+∠AOD=∠OFE+∠EOF+∠OEF=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠OFE+∠OEF＋∠C+∠B+∠E+∠F＝360°.【例17】如图3，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？【思考与分析】要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长.由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形.同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形.分别延长FE、CD交于点H，那么三角形DHE也是等边三角形.所以∠P=∠G=∠H=60°.所以三角形GHP也是等边三角形.于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形.于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题.利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长.解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm.所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm.所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm.【反思】此题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题.方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一.用方程思想求解数学问题时，应从题中的量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决.方程思想应用非常广泛.我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题.【例18】三角形的第一个内角是第二个内角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30°，求这三个内角的度数.【思考与分析】题中的量是“第一个内角是第二个内角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30°〞，未知量是这三个角的度数.题中没有给出三角形内角的度数.但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数.要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为x，利用方程思想来解.根据三角形的内角和为180°，由此我们可以得到这样的等式关系：第一个内角＋第二个内角＋第三个内角＝180°.当我们用数学语言表示第二个内角为x，第一个内角为，第三个内角为x+1.5x+30°，利用代换法，将上述的等量关系转化为方程：＋〔x+1.5x+30°〕＝180°.通过解这个方程就能使问题得到解决.解：设这个三角形的第二个内角的度数为x，那么第一个内角的度数为，第.三个内角的度数为〔x＋＋30°〕，列方程可得＋〔x+1.5x+30°〕＝180°，解得x＝30°.所以三角形的三个内角分别为45°，30°，105°.【例19】如图，在三角形ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【思考与分析】我们欲求∠DBC的度数，因为∠DBC是直角三角形DBC 的一个内角，因此问题转化为求∠C的度数，由条件知三角形ABC的三个内角关系为∠C=∠ABC=2∠A，又根据三角形内角和定理有等量关系：∠A+∠ABC+∠C＝180°，从而我们用一个角的度数来表示另外两个角，代入这个等量关系求三个内角的度数，即用方程的方法解决问题.可设∠A＝x，那么∠C=∠ABC=2x，代入上述等量关系得方程x＋2x＋2x＝180°，可解得x的值，从而可求得∠DBC的度数.解：设∠A=x，∠C=∠ABC＝2x，在三角形ABC中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，那么∠C＝72°.因为BD是AC边上的高，所以∠BDC＝90°.在直角三角形BDC中，∠DBC＝90°－72°＝18°.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。