一道数学题引发的思考

我的教学故事
——一道数学题引发的思考在今天的数学练习课上，当我讲解完关于行程的例题后，鼓励学生结合生活实际，自己编一道关于行程的数学题。

同学们都很认真，不一会儿，有一半的同学都编出来了，我叫莉莉同学上来向大家展示她的作品，“一辆汽车0.5时行驶300千米，照这样的速度，5小时可以行使多少千米？”我同时还要求莉莉同学口述解题的思路，“先算出汽车的速度，然后再乘时间求出5小时行走的路程。

”她一边说一边在黑板上写出相对应的算式。

同学们都给予她鼓励的掌声，当我准备叫另外一个学生发言时，张明忽然站起来说：“老师，莉莉的题目出得不符合实际！”我愣了一下，“她的不对吗？”“不是她没有算对，而是她的题目出得不符合实际，在生活中还没有那么快的汽车，一小时能跑600千米的。

”同学们听了后，都会心一笑，我在表扬了张明同学爱动脑筋的同时，对同学们说：“是呀，今后我们做什么事都要结合生活实际，从实际出发，才能把事情做得更好。

”
课后，我把这道数学题引发的思考，写进了我的教学日记里。

空瓶换酒——由一道“生活中的数学题”引发的思考·邓忠洪摘要：既注重生活经验，又具有数学头脑的人，他不仅学会生活，而且能享受生活——用所有的空瓶，换最多的酒来畅饮！生活为我们数学提供了素材，创设了情景，只要我们学会用数学思维方法来解决中生活的数学问题，那么我们的学习和生活质量就会好，幸福指数就会高，生活就一定甜甜美美。

关键词：生活数学问题思考生活中有许多客观事物的存在，很多人都熟视无睹觉得理所当然没有必要进行深入的思考，更没有必要运用数学思维来思考，就像当年大家没有发现苹果为什么只往地上掉一样。

所以，我们教师尤其是数学教师必须有意引导，转变学生思考问题的观念——有意识地运用数学思维来思考解决生活中的问题。

生活为我们数学思维提供了丰富的素材，创设了情景，所以，我们非常有必要用数学思维方法来解决中生活的很多问题。

一、【现象】小学有这样一道“生活中的数学”题：“某商店出售啤酒，为了回收空瓶，规定每3个空瓶可以换一瓶啤酒。

爸爸买了11瓶啤酒，他最多可以喝多少瓶啤酒？（思路点睛：第一次喝完后的空瓶可再换啤酒。

）”笔者发现两种现象——收集到两种解答方案，一种是“商家”用他的生活经验设计的，这种现象（方案）还比较普遍，被大多数人所理解和接受；另一种是“消费者”结合生活，用我们的数学思想和方法来设计的，这种现象（方案）极其少见，多数人认为只是理论而已，不切实际，生活中根本行不通。

商家（生活经验）【思路点睛——第一次喝完后的空瓶可再换啤酒】：解：11－2＝9（瓶） 9÷3＝3（瓶） 3÷3＝1（瓶）1＋2＝3（瓶） 3÷3＝1（瓶） 11＋3＋1＋1＝16（瓶）答：他最多可以喝16瓶啤酒。

消费者（数学方法）【思路点睛——每（ ）个空瓶可以换一瓶啤酒喝】：买 第一次换第二次换第三次换酒喝了瓶子被换走 酒喝了瓶子还剩下“空瓶换酒”（生活经验）示意图每（2）个空瓶可以换一瓶啤酒（喝） “空瓶换酒”（数学方法）示意图 = =每3个空瓶可以换一瓶啤酒（走）解：11÷（3－1）＋11＝16.5（瓶）答：他最多可以喝16瓶半啤酒。

一道选择题引发的数学课堂教学思考【摘要】数学新课程标准的核心理念是“以人为本”，数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。

本文结合自己在课堂教学实践中的一些体会，谈了四点做法。

【关键词】课堂教学问题情境合作交流兴趣能力北师大版初三（上）数学第一章过关测试卷中，有一道选择题：等腰三角形的底角为15°，腰长为20，此三角形的面积为（）a、200b、400c、100d、当时，这道题的正确率在我所教的两个班中仅有5%，结果出乎我的意料之外。

其实，类似的题型在教科书第13页例2已出现，只不过教科书上是求一条腰上的高，这里是求三角形的面积。

为了更好地找出原因，我找来几位学生要他们写出解答的过程。

我归纳总结了一下，大致有三种解法：第一种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，∠bac=150°，ab=ac=20，∠cad=30°，，在中，，因只有选项d中含有，故选d。

第二种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，ab=ac=20，∠cad=30°，，，，故选d。

第三种解法：与第一种方法类似地求得cd和ad，然后由求得，而不是直接利用公式求得，故选c。

由以上学生的几种解答过程看：第一种解法的同学是钝角三角形的面积公式中的底边理解错误；第二种解法是对所学知识“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，30°的对边找错；第三种解法虽然正确，但钝角三角形的面积公式不会运用，而是间接求得，所花时间较长。

以上三种情况不得不引起我们教育工作者的反思：数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己悟出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。

数学课堂——一道习题引发的思考在一堂数学课中我安排了几道习题，进行校对时，出现了“意外”。

习题：如图1，四边形ABCD和EFGC是两个边长分别为a、b的正方形，用a、b表示△AGE的面积。

这道习题课前已经布置，很多学生已经完成，我便想简单地校对一下，以便抓紧时间校对下面的题目．我叫学生A回答．学生A很高兴第一个被叫到，眼睛放出光芒，兴奋地说：“延长BA和FE，延长线交于点H．”(我根据学生A的描述画出示意图，如图2)学生A接着说：“这样我把图构成了矩形BGFH，则△AGE的面积可以看成是矩形BGFH和三个直角三角形(即Rt△ABG、Rt△AHE、Rt△EFG)的面积差．各个面积很容易求得．”我心里暗自叫道：“嘿，真有大局观!”并带头给学生A鼓掌．这时我本打算校对下一题，突然，学生B站起来，叫道：“老师，我认为Rt△EFG的面积可以不用求．”我说：“真的?”学生B：“是的，直接求梯BGEH与Rt△ABG、Rt△AHE 的面积差．”真好，省去多余的步骤，使解题过程简洁化．一波未平，一波又起．学生C：“我有一种解法根本不需要添加辅助线．”师：“继续说．”(赞叹学生的空间思维的敏锐性)学生C：“△AGE的面积可以看成是正方形ABCD、正方形EFGC、Rt △ADE面积的和与Rt△ABG、Rt△EFG的面积的差．”这时，全班开始变得活跃起来，很多学生开始尝试寻找其他的方法．学生D：“我来，我的方法更简单(如图3)．延长BA，与EF的反向延长线交于点H，与GE的延长线交于点K，易证△HEK是等腰直角三角形．HK＝HE＝AB＝α，AK＝BH＝b，所以根据△AGK与△AEK的面积的差求得△AGE的面积．”真棒!此时时间已经过去了半节课，可这只是这节课要讲的第一道题呀，突然，我想：这不正是学生自主探索的一个良好的契机吗，放手让学生想吧，后面可能还有更精彩的解法呢！于是，我说：“还有其他的方法吗？”果然，学生E又给出了另一种方法。

教学篇•教学反思由一道超几何分布题目引发的思考王运行（甘肃省兰州新区舟曲中学）超几何分布是人教A版选修2-3中的内容，也是概率统计中学生理解起来比较困难的一部分内容。

教材中对于超几何分布是以数学模型的定义形式给出，定义形式与二项式分布极为近似，很容易混淆。

那么超几何分布与二项式分布之间到底有没有联系呢？接下来笔者将引用2017年甘肃省第二次诊断考试18题对此问题进行探究。

这道题的内容是：甘肃省瓜州县自古就以盛产“美瓜”而名扬中外，生产的“瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，糖含量达14%~19%，是消暑止渴的佳品，有诗赞曰：冰泉浸玉露，霸刀破黄金：凉冷消晚暑，清甘洗渴心。

调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度、日照时长、温差有极强的相关性，分别用x，y，z表示蜜瓜甜度与海拔高度、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优。

再用综合指标W=x+y+z的值评定蜜瓜的等级，若W≥4，则为一级；若2≤W≤3，则为二级；若0≤W≤1，则为三级。

近年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：种植地编号A B C D E（x，y，z）（1，0，0）（2，2，1）（0，1，1）（2，0，2）（1，1，1）种植地编号F G H I J（x，y，z）（1，1，2）（2，2，2）（0，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为一级的蜜瓜种植地的数量；（2）在所取样本的二级和三级蜜瓜种植地中任取两块，X表示取到三级蜜瓜种植地的数量，求随机变量X的分布列及数学期望。

这道题的第（2）问考查内容很简单，分析题目条件就可以发现，这道题是“无放回”抽取，是超几何分布，分布如下：X012P C23C25C13·C12C25C22C25可得E（X）=1×610+2×110=45但是很多学生没有读懂题意，将“无放回”抽取当做了“有放回”抽取，于是把这道题当做一道二项分布去做，分布列如下式：X012P C02·（35）2·（25）0C12·（35）1·（25）1C22·（35）0·（25）2得到此时。

四年级写考试反思的作文数学测试题所引发的思考你看，一下课便拿着数学书开始复习，没有任何一个人出了班级这道门，往日的鸡鸣狗吠也顿时鸦雀无声。

见同学们秩序井然的样子，我便叫齐四位课代表，一起来分配卷子，生怕少了一份。

众人齐心，泰山可移，我和课代表们不慌不忙，把试卷整理得平平展展，规规整整。

因为彭老师外出学习了，新来的数学代课老师把考试卷有条不紊地发给每个学生。

上课铃一打响，人人都像离了弦的箭风风火火的写起试卷，谁也管不着谁了。

发完卷子，老师交给我的任务终于完成了，我便拿起笔，笔不停挥地写开了。

不超过半个小时，我便把卷子写了一大半，这下我可放心了。

我就像行驶在海洋里的一叶小舟，一帆风顺。

结果还没到自己洋洋得意的那一刻，问题又一次上演——果不其然，试卷中正如我爸所料，不仅仅只有第二单元的知识，还有三年级下学期骇人听闻的面积问题。

真没想到还遇到了“拦路虎”，现在只好将计就计。

这下可犯着了难。

昨日没听老爸的话，，如今两面为难，是错是对孰不知，真想有神力助我。

大略一看，早已大惊失色，仔细一看更是惊人，这题目竟然不一般，既有单位换算，又有整块性多方面考虑，还有迷魂药——进率问题。

虽然不是很难，但是要想做对那可要大下功夫；如果仍然龙飞凤舞的轻略一写，那便与让各个学子都梦寐以求的一百分擦肩而过。

一百分很重要，但是过程更重要！如果不信你可以来看看这道奇葩的题：“建一个办公室宽6m长8m，有一种6平方分米的砖，要把办公室的地铺满，需要多少块？”虽然这道题做完了，但我的心仍然很悬，忐忑的不成样子。

晚上上完美术社团回到家后立刻跑到老爸身边，把我的解题过程给老爸说：“第一条思路:6m＝60dm，8m＝80dm，60x80＝4800d㎡，4800÷6＝800（块）;第二条思路:每块砖6d㎡，可以是:6＝6×1，或者6＝2×3，如果:6×1，那么6m＝60dm，8m＝80dm，60/6＝10，80/1＝80，故:10×80＝800（块）;如果:2x3，那么6m＝60dm，8m＝80dm，60/3＝20，80/2＝40，故:20x40＝800（块）;综上所述:答案为需要800块。