一道数学题引发的思考

一道数学题引发的思考假设有一个数列：1，11，21，1211，111221，312211，13112221，1113213211......请问下一个数是什么？这是一个著名的数学题目，也被称为“外观数列”。

这道题目引发了人们对于数学中模式和规律的思考，同时也涉及到了计算机科学中的一些概念，如字符串的处理和递归等。

首先让我们来分析这个数列。

观察数列中的每一个元素，我们可以发现，它是通过描述前一个元素的一种方式来生成的。

第二个元素（11）可以这样描述：1个1（11），第三个元素（21）可以这样描述：2个1（21）。

所以，我们可以得出一个结论：数列中的每一个元素都是通过描述前一个元素中的数字个数来生成的。

换句话说，如果前一个元素中有n个x（x为任意数字），那么当前的元素就是n个x。

以第三个元素为例，可以看到第二个元素是1个1，所以第三个元素就是2个1（21）；同理，第四个元素就是1个2和1个1（1211）。

按照这样的思路，我们来推导一下下一个元素：第五个元素应该是：1个1，1个2，2个1（111221）根据以上推导，我们成功地找到了下一个元素。

这个数列的规律其实非常简单，但是它的描述和生成过程非常复杂，给了我们很多思考。

通过这个题目，我们可以看到，数学中的模式和规律真的是无处不在，而我们只需要观察和思考，就能发现其中的奥妙。

这道题目也给了我们思考问题的一种思路，即从已知条件出发，通过观察和推导找到规律，并利用这个规律解决问题。

这道数学题目通过引发我们对于数学中模式和规律的思考，让我们体会到了在所谓的“数学游戏”中的乐趣和挑战。

这个数列虽然表面上看起来很复杂，但是其实隐藏的规律很简单，只需要观察和推导就能找到。

这样的题目不仅培养了我们的观察力和推理能力，也增强了我们对于数学的兴趣和热爱。

也让我们对于数学这门学科有了更深入的认识，明白了数学的魅力所在。

我的教学故事
——一道数学题引发的思考在今天的数学练习课上，当我讲解完关于行程的例题后，鼓励学生结合生活实际，自己编一道关于行程的数学题。

同学们都很认真，不一会儿，有一半的同学都编出来了，我叫莉莉同学上来向大家展示她的作品，“一辆汽车0.5时行驶300千米，照这样的速度，5小时可以行使多少千米？”我同时还要求莉莉同学口述解题的思路，“先算出汽车的速度，然后再乘时间求出5小时行走的路程。

”她一边说一边在黑板上写出相对应的算式。

同学们都给予她鼓励的掌声，当我准备叫另外一个学生发言时，张明忽然站起来说：“老师，莉莉的题目出得不符合实际！”我愣了一下，“她的不对吗？”“不是她没有算对，而是她的题目出得不符合实际，在生活中还没有那么快的汽车，一小时能跑600千米的。

”同学们听了后，都会心一笑，我在表扬了张明同学爱动脑筋的同时，对同学们说：“是呀，今后我们做什么事都要结合生活实际，从实际出发，才能把事情做得更好。

”
课后，我把这道数学题引发的思考，写进了我的教学日记里。

【日记】一道数学实践题引发的思考_800字今天在数学课上，老师给我们出了一道数学实践题，题目是这样的：设某公司有100个员工，其中10%的员工是技术人员，20%的员工是销售人员，30%的员工是行政人员，剩下的员工是管理人员。

而在这100个员工中，有60%是男性，40%是女性。

现在要求我们计算：1. 这个公司中有多少名技术人员？2. 这个公司中有多少名女性销售人员？3. 这个公司中有多少名男性行政人员？4. 这个公司中有多少名女性管理人员？这道题目看起来似乎不难，但是仔细一算却发现并没有给出具体的员工人数。

于是我就思考了一下，如何利用已知条件来解决这个问题。

我们可以假设这个公司的总员工人数为x人。

那么根据题意，技术人员的数量为0.1x 人，销售人员的数量为0.2x人，行政人员的数量为0.3x人，管理人员的数量为0.4x人。

接下来，根据给出的性别比例，我们可以计算出男性员工的数量为0.6x人，女性员工的数量为0.4x人。

我们可以根据性别和岗位的对应关系来计算出各个具体的人数。

女性销售人员的数量为0.4x * 0.08 = 0.032x人，男性行政人员的数量为0.6x * 0.12 = 0.072x人，女性管理人员的数量为0.4x * 0.16 = 0.064x人。

这个公司中有0.1x名技术人员，0.032x名女性销售人员，0.072x名男性行政人员，0.064x名女性管理人员。

虽然这个实践题只是一个简单的数学计算问题，但是它引发了我对应用数学的思考。

通过这道题目，我认识到在实际生活中，数学不仅仅是一种学科，更是一种思维方式。

通过数学的分析和计算，我们可以解决现实生活中的各种问题。

而且，在解决问题的过程中，我们还会思考问题的本质，提高自己的逻辑思维能力。

这道数学实践题让我深刻体会到了数学的应用和思维方式，也增强了我对数学的兴趣和学习的动力。

我相信，在将来的学习和工作中，数学思维将会给我带来更多的帮助和启发。

引发一场思考的事情作文
“哎呀，这道题好难啊！”我愁眉苦脸地对着作业本抱怨着。

那是一个周末的下午，阳光透过窗户洒在我的书桌上，可我却一点儿也开心不起来。

我正为一道数学题绞尽脑汁，怎么想也想不出来。

妈妈在一旁看着我，笑着说：“别着急，慢慢想。

”我无奈地看了妈妈一眼，说：“这题也太难了吧！”
就在这时，爸爸走了进来，他看了看题目，说：“这题不难呀，你看，这样这样不就出来了嘛。

”爸爸开始给我讲解起来，我似懂非懂地点点头。

妈妈也在旁边说：“就是呀，你要多动脑。

”我心里有点不服气，哼，说得轻巧。

我继续研究那道题，突然，我好像有点明白了。

我兴奋地对爸爸说：“爸爸，我好像懂了！”爸爸笑着说：“哈哈，那就好，我就知道我女儿聪明。

”我得意地笑了笑。

可是，当我真正开始做的时候，又遇到了困难。

我着急地抓耳挠腮，嘴里嘟囔着：“哎呀，怎么又不行了。

”妈妈走过来，轻轻地拍了拍我的肩膀，说：“别着急，再仔细想想。

”我深吸一口气，让自己冷静下来。

经过一番思考，我终于把那道题做出来了。

我高兴地跳了起来，大喊：“我做出来了！我做出来了！”爸爸妈妈都为我鼓掌，爸爸说：“看，只要不放弃，就一定能成功。

”
这一刻，我突然明白了，学习就像爬山，会遇到很多困难，但只要坚持，就一定能爬到山顶。

学习如此，生活不也是这样吗？遇到困难不能退缩，要勇敢地去面对，去挑战。

我相信，只要我有毅力，有决心，就没有什么事情能难倒我！。

明立意㊀提素养由一道２０２２年高考数学试题引发的思考李㊀彦(江苏省姜堰中学ꎬ江苏泰州２２５５００)摘㊀要:高考承载着为高校选拔人才的重要任务ꎬ新课改背景下高考试题充分体现出考查学生核心素养的重要特征ꎬ高考试题的探究与分析是高中数学课程教学的重要任务之一.本文以２０２２年一道高考数学试题为探究载体ꎬ重点从试题分析㊁变式拓展㊁教学启示三个角度进行阐释.关键词:高中数学ꎻ高考试题ꎻ素养ꎻ能力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００４０－０３收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:李彦(１９７８.９－)ꎬ江苏姜堰人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教育教学研究.基金项目:泰州市教育学会十四五规划重点立项课题 新课程背景下高中数学高效课堂的建构研究 阶段性研究成果(项目编号:ＴＺ２０２２０１５)㊀㊀高考试题一直是高中教师关注的焦点ꎬ对高考试题形式和考查意图的探究是提升 备考 效率的重要途径.近年来ꎬ高考数学试题中导数问题一直是考查重点内容之一ꎬ多数以初等函数为载体ꎬ以压轴题的形式呈现ꎬ侧重于考查学生的数学学科核心素养.命题专家一直十分青睐导数问题的考查ꎬ给不少学生带来一些困难ꎬ对于高中数学高考复习教学而言ꎬ整体把握导数问题是提升学生解题能力的关键[１].１真题回顾ꎬ多元剖析题目㊀(２０２２年全国高考理科数学第１６题)已知ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２分别是函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)的极小值点和极大值点.若ｘ１<ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围[２]解法１㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ存在两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令函数ｇ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘꎬ当ａ>１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕ(不合题意ꎬ舍去).当０<ａ<１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕ(符合题意)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝２ａｘ(ｌｎａ)２－２ｅ.令ｇᶄ(ｘ０)＝０可得ｘ０＝ｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].由于函数ｇ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)内单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ＋ɕ)内单调递减ꎬ根据题意可令ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ(ｘ０)>０ꎬ即２ａｘ０ｌｎａ－２ｅｘ０>０.即２ａｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２] ｌｎａ>２ｅｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].即１ｌｎａ>ｌｏｇａｅｌｎ２ａ＝ｌｎ(ｅ/ｌｎ２ａ)ｌｎａ.由于ｌｎａ<０则ｌｎｅｌｎ２ａ>１.即１(ｌｎａ)２>１.即０<(ｌｎａ)２<１.则ａ的取值范围为１ｅ<ａ<１.解法２㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬ０４ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即２ａｘｌｎａ＝２ｅｘ.该方程有两个实数根分别为ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ令函数ｙ＝ａｘｌｎａ与函数ｙ＝ｅｘ图象在ｘ０处相切ꎬ可知ａｘ０ｌｎａ＝ｅｘ０ꎬ且ａｘ０(ｌｎａ)２＝ｅ.则ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０.则ａｘ０１ｘ０＝ｅｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅｘ２０.则(ｅ１ｘ０)ｘ０＝ｅｘ２０ꎬ即ｘ０＝ʃ１.(１)在ａ>１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝ｅꎬ若ａ减小ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图１所示).函数ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ的图象如图２所示ꎬ根据前面的分析可知ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去)图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２(２)在０<ａ<１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝１ｅꎬ若ａ变大ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图３所示)ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递减ң递增ң递减ꎬ且极小值ｘ１小于极大值ｘ２ꎬ则１ｅ<ａ<１.图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４解法３㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即ａｘｘ＝ｅｌｎａ.该方程有两个实根ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ如图４所示ꎬ在ａ>１的情况下ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去).在０<ａ<１的情况下ꎬ令ｈ(ｘ)＝ａｘｘꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ａｘ(ｘｌｎａ－１)ｘ２.令ｈᶄ(ｘ０)＝０ꎬ即ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ｌｎａ＝１ｘ０ꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅ.根据０<ａ<１ꎬｌｎａ<０ꎬ则ｘ０<０ꎬ显然函数ｈ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)上单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ０)上单调递减ꎬ则ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｘ０)＝ａｘ０ｘ０＝ｅｘ０.结合题意可得ꎬｅｘ０>ｅｌｎａ.即ｌｎａ>ｘ０.即１ｘ０>ｘ０.则ｘ０<－１.即１ｌｎａ<－１.即ｌｎａ>－１.则１ｅ<ａ<１.点评㊀解法１是直接从函数的性质视角进行探究ꎬ解题思路比较清晰但计算繁琐ꎬ需要学生具有一定的逻辑思维和数学运算能力ꎻ解法２是采取转化思想ꎬ借助于数形结合的方法进行求解ꎬ需要学生具备一定直观想象素养能力ꎻ解法３是采取分离函数㊁等价代换的手段进行求解ꎬ该方法过程简洁运算量不大ꎬ是多数学生优先选择的方法.２洞悉本质ꎬ变式拓展大量实践表明ꎬ机械刷题难以提升学生数学解题能力ꎬ直接影响数学素养的培养与提升.数学教师可以引导学生洞悉数学典型试题的内在本质规律ꎬ呈现多元变式ꎬ在师生共同探究中提升学生数学学１４科核心素养[３].变式１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２且ｘ２<ｘ１ꎬ试求ａ的取值范围?变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围?变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)无极值点ꎬ试求ａ的取值范围?点评㊀变式训练是提升学生数学解题能力的重要方式ꎬ上述三个变式拓展试题是从函数的内在本质出发ꎬ通过对函数的 极值点 进行探讨ꎬ关注学生数学转化思想在数学解题中的实际运用.三道变式试题随着题设条件的变化ꎬ问题由浅入深ꎬ重点考查学生分析数学综合问题的能力ꎬ有助于学生核心素养的提升.３教学启示ꎬ落实素养第一ꎬ重视数学基本知识与技能训练ꎬ灵活运用数学思想方法.函数是高中数学教学中的重点和难点ꎬ每年高考离不开数学函数的考查ꎬ以函数为背景的命题受到命题专家的特殊青睐.导数引入高中数学函数的探究ꎬ已经成为探究函数问题的重要工具.高中数学函数问题注重考查 函数与方程㊁数形结合㊁分类讨论㊁转化与化归㊁函数构造 等数学思想方法.对于高中数学中的导数问题ꎬ应该关注 分离㊁换元㊁构造 等方法.在高考备考复习教学中ꎬ数学教师可以引导学生从基本的解题方法出发ꎬ积极探究解决众多问题中共同的㊁基本的解题方法ꎬ让学生感受通性通法合理应用于解题的实用性ꎬ尽量较少进行特殊解题技巧和方法的熏陶.第二ꎬ重视一题多解的探究与分析ꎬ从变式训练中提升创新思维能力.数学解题教学是高中数学课程教学的重要内容之一ꎬ学生解题能力的提升离不开典型数学试题的剖析.大量实践表明ꎬ 一题多解 是从多个角度探讨同一问题ꎬ有效采取此教学思路有助于拓宽学生的解题思路ꎬ有助于培养学生的发散思维能力和解题能力.在高中数学教学实践中ꎬ学生的数学思维能力存在着一定的差异性ꎬ将 一题多解 和 变式训练 有机融合ꎬ能够有效激发不同层次学生数学探究的好奇心ꎬ引导学生从不同视角㊁不同维度探究问题ꎬ从多 变 的问题中探寻 不变 的性质与特征ꎬ不断强化学生的应变能力ꎬ发展学生的创新思维能力.第三ꎬ融合信息技术教学手段ꎬ充分呈现数学本质规律.数学图象是帮助学生理解和解决问题的重要手段ꎬ函数图象具有较高的直观性ꎬ有利于学生理解函数的内在本质规律.高中数学函数问题教学中ꎬ可以借助于ＧｅｏＧｅｂｒａ图象软件展示变化中的函数图象ꎬ特别是对函数单调性的增减问题ꎬ能够直观地显现出来ꎬ学生能够直接获得数学结论ꎬ激发学生深入探究的欲望ꎬ强化学生直观想象素养的形成与发展.作为高中数学教师ꎬ一定要给予学生动手操作实践的空间与时间ꎬ让学生在实践中体悟数学的本质魅力.高考试题是高中数学课程教学的重要资源与素材ꎬ对高考典型试题的探究是高考备考的必备动作.作为高中数学教师在平时的教学中ꎬ应该强化对高考试题的剖析与思考ꎬ充分挖掘高考试题中 不变 的本质规律ꎬ灵活运用数学思想方法进行教学方式的优化ꎬ不断促进学生创新思维能力的提升ꎬ尽可能实现高中数学核心素养的真正落地.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]杜斌.一道２０２２年联考导数题的多视角探究[Ｊ].中学数学教学ꎬ２０２２(０３):４２－４４.[３]季峰.低起点多层次高落差:２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷试卷点评[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(１５):３０－３１.[责任编辑:李㊀璟]２４。

一道数学中考题引发的思考与感悟作文《一道数学中考题引发的思考与感悟》
哎呀呀，提起那道数学中考题，可真是让我印象深刻极了呀！那是在我中考的时候，考场上我可紧张啦。

当我看到那道数学题时，我的大脑瞬间就有点懵了。

那道题就像是一个调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住它的解题思路。

我一边咬着笔头，一边在心里嘀咕：“这题咋这么难呢，这出题老师也太狠了吧！”我着急得就像热锅上的蚂蚁，汗水都快冒出来了。

我使劲回想老师讲过的知识点，又在草稿纸上不停地写写画画，可还是没啥头绪。

就在我快要绝望的时候，突然，我好像看到了一点曙光。

我发现这道题好像和我们之前做过的一道练习题有点类似，我赶紧抓住这个线索，一点点地推导。

嘿，你还别说，慢慢地，解题的思路就清晰起来啦。

最后，我终于算出了答案，那一刻，我心里那个高兴呀，就别提了。

这场考试结束后，我就一直在想啊，这道题让我明白了好多。

遇到难题不能慌张，得冷静去思考，要善于发现那些细微的线索，而且呀，平时的学习真得好好下功夫，把知识掌握扎实了，不然在关键时刻就抓瞎啦。

同时呢，
我也体会到了坚持的重要性，要是我当时轻易就放弃了，那可就真答不出来了。

现在回想起来，那道数学中考题就像是我人生路上的一个小挑战，虽然有点难，但也让我收获了好多。

我相信，以后遇到其他的难题，我也一定能像这次一样，勇敢地去面对，去找到解决的办法。

哈哈，这就是那道数学中考题带给我的思考和感悟哟！。