一道数学练习题引发的思考.doc

一道数学题引发的思考假设有一个数列：1，11，21，1211，111221，312211，13112221，1113213211......请问下一个数是什么？这是一个著名的数学题目，也被称为“外观数列”。

这道题目引发了人们对于数学中模式和规律的思考，同时也涉及到了计算机科学中的一些概念，如字符串的处理和递归等。

首先让我们来分析这个数列。

观察数列中的每一个元素，我们可以发现，它是通过描述前一个元素的一种方式来生成的。

第二个元素（11）可以这样描述：1个1（11），第三个元素（21）可以这样描述：2个1（21）。

所以，我们可以得出一个结论：数列中的每一个元素都是通过描述前一个元素中的数字个数来生成的。

换句话说，如果前一个元素中有n个x（x为任意数字），那么当前的元素就是n个x。

以第三个元素为例，可以看到第二个元素是1个1，所以第三个元素就是2个1（21）；同理，第四个元素就是1个2和1个1（1211）。

按照这样的思路，我们来推导一下下一个元素：第五个元素应该是：1个1，1个2，2个1（111221）根据以上推导，我们成功地找到了下一个元素。

这个数列的规律其实非常简单，但是它的描述和生成过程非常复杂，给了我们很多思考。

通过这个题目，我们可以看到，数学中的模式和规律真的是无处不在，而我们只需要观察和思考，就能发现其中的奥妙。

这道题目也给了我们思考问题的一种思路，即从已知条件出发，通过观察和推导找到规律，并利用这个规律解决问题。

这道数学题目通过引发我们对于数学中模式和规律的思考，让我们体会到了在所谓的“数学游戏”中的乐趣和挑战。

这个数列虽然表面上看起来很复杂，但是其实隐藏的规律很简单，只需要观察和推导就能找到。

这样的题目不仅培养了我们的观察力和推理能力，也增强了我们对于数学的兴趣和热爱。

也让我们对于数学这门学科有了更深入的认识，明白了数学的魅力所在。

一道题引发的思考——浅谈重心在初中数学几何中的作用在八年级上册第一章《三角形的初步认识》第一节《认识三角形》的教学中，我发现了一个有趣的问题。

同学们在学习了三角形的三边关系，三角形内各边中线，高线，内角角平分线，简单了解三角形各心之后，在一次课堂上，有学生对一个数学问题提出了自己的想法。

1.问题呈现在作业中有这么一个拓展探究题：学校有一块菜地，如图所示，现计划从点D表示的位置（BD:DC=2:1）开始挖一条笔直的小水沟，希望小水沟两边的菜地面积相等。

有人说：如果D是BC的中点，那么从点D笔直地挖至点A就可以了，现在D不是BC的重点，问题就无法解决了。

有人对此表示怀疑，说认真研究，一定能办到，你认为上面两种意见中的哪种对呢？简述你的理由。

答案解析：过点D的直线分ABC面积成两块,记面积为S1和S2,在直线顺时针旋转的过程中，S1和S2在不断地变化，S1在增大，S2在减小，因此必然存在S1=S2,且唯一存在.因此后一种意见对.如图所示，可取AB的中点E，再取AE的中点F，则由点D笔直地挖至点F就可以，点F为线段AB的四等分点，且AF:BF=1:3.理由如下：连结AD,DE.∴沿着DF挖小水沟，两边的菜地面积相等.当我把本题的正确答案公布之后，王同学举手发表了他的想法，他觉得：过三角形重心的直线可以平分三角形的面积。

在科学中，重心是通过悬挂物体得到的，所以如果将三角形看成是一种均匀的介质，拿一根绳子进行悬挂，那么竖直向下的绳子进行延长一定是经过三角形的重心的，这样本题只需要先画出三角形的重心O，然后过点D和点O做一条直线，这条直线就能将三角形的面积平分。

一开始听到该学生的解释，好像并未觉得有什么不妥，但是是否有过三角形重心的直线平分三角形面积这一定理我表示很疑惑，因此到课后我对这一问题就行了探究。

1.问题探究在物理学中，地球上的任何物体都要受到地球的引力，若把物体假想地分割成无数部分，则所有这些微小部分受到的地球引力将组成一个空间汇交力系(汇交点在地球中心)。

一道选择题引发的数学课堂教学思考【摘要】数学新课程标准的核心理念是“以人为本”，数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。

本文结合自己在课堂教学实践中的一些体会，谈了四点做法。

【关键词】课堂教学问题情境合作交流兴趣能力北师大版初三（上）数学第一章过关测试卷中，有一道选择题：等腰三角形的底角为15°，腰长为20，此三角形的面积为（）a、200b、400c、100d、当时，这道题的正确率在我所教的两个班中仅有5%，结果出乎我的意料之外。

其实，类似的题型在教科书第13页例2已出现，只不过教科书上是求一条腰上的高，这里是求三角形的面积。

为了更好地找出原因，我找来几位学生要他们写出解答的过程。

我归纳总结了一下，大致有三种解法：第一种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，∠bac=150°，ab=ac=20，∠cad=30°，，在中，，因只有选项d中含有，故选d。

第二种解法：如图，作的高cd，因为是等腰三角形，所以∠b=∠acb=15°，ab=ac=20，∠cad=30°，，，，故选d。

第三种解法：与第一种方法类似地求得cd和ad，然后由求得，而不是直接利用公式求得，故选c。

由以上学生的几种解答过程看：第一种解法的同学是钝角三角形的面积公式中的底边理解错误；第二种解法是对所学知识“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，30°的对边找错；第三种解法虽然正确，但钝角三角形的面积公式不会运用，而是间接求得，所花时间较长。

以上三种情况不得不引起我们教育工作者的反思：数学的应用价值在于运用数学知识解决实际问题，不是学生听懂了，记住了，就能解决问题，形成能力，而只有学生自己悟出了道理、规律和思考方法才能够运用自如，而“悟”是在教学活动中进行的。

一道数学题引发的思考在生活中，时不时会遇到一些看似简单却让人深思的数学问题。

近日我遇到了这么一道题目，让我对数学有了更深层次的认识。

这个问题是这样的：设有3个数a、b、c，已知它们的和是9，而a的平方加上b的平方加上c的平方等于29。

那么请问a、b、c分别是多少？一开始看到这个问题，我想到了直接解方程的方法。

设a=x，b=y，c=z，那么我们可以将问题转化成如下的方程组：x + y + z = 9x^2 + y^2 + z^2 = 29我在解这个方程组的过程中却陷入了困境。

无论是运用消元法还是代入法，都无法求出唯一解。

我开始怀疑是否有哪里出错了，于是我尝试了各种方法，但始终没有进展。

在经过一番思考后，我突然意识到这个问题可能并没有唯一解。

虽然这个问题看起来简单，但由于方程的个数比未知数的个数少，导致可能有多个解存在。

于是，我决定把这个问题从不同的角度去看待。

我发现，题目中并没有限定a、b、c都是实数，它们也可以是虚数。

这样一来，问题就可以进一步推广，不再局限于实数范围。

我重新审视了这个问题，考虑了虚数解的情况。

经过一番计算，我发现当a=1，b=2+√3i，c=2-√3i时，可以满足题目中的条件。

而且，这个答案也符合我们对方程组的解个数的推测。

这个问题给了我很大的启发。

它让我看到了数学中的未知数的多样性和灵活性。

有时候，方程组并没有唯一解，而是存在着多个解，甚至是无数个解。

在解题的时候，我们要善于审视问题，不能仅仅停留在一种思路上，还要考虑到其他可能性。

这个问题还让我思考到数学与现实生活之间的联系。

数学并不仅仅是一种抽象的概念，它贯穿了我们的日常生活。

数学问题的解答思路和方法，有时可以给我们提供解决问题的启示。

这道看似简单的数学题引发了我对数学的思考。

它让我认识到数学中的未知数是可以有多种解的，同时也提醒我在解题中要善用不同的思路和方法。

通过解答这个问题，我对数学的认识得到了一定的深化，也对数学如何联系到现实生活有了更深刻的理解。

助已有的长度测量经验和决定角的大小的三要素，初步形成角的测量方法，让学生“知其然”，又“知其所以然”。

之后，让学生测量开口方向向左的∠3，此时，学生在摆动中发现已有的0°刻度线在测量∠3时，就不太方便，通过交流，让学生体会到，需要有方向相反的另一条0°刻度线。

学生经历这样的过程，就会明白量角器上之所以有两个0°刻度线是为了便于量开口不同角而产生的，从而让学生体会到量角器制作方法的合理性。

片段三：在量角器图上描角，感知量角的方法和本质师：拿出你的作业纸，请在这些量角器图（图略）上分别描出20°、35°、90°和135°的角。

（教师请学生展示，说说描角的方法。

然后引导学生比较用不同方向的0°刻度线描角的方法）师：你还能在量角器上找出哪些角？（教师组织学生交流，突出描角的方法）师：你知道右边量角器上描出的角（图略）是多少度吗？生：90°减去20°是70°。

师：角的两条边都没有与0°刻度线对齐，怎么也能知道它的度数呢？生：就像用直尺量长度一样，可以不从刻度0开始，但要减一下。

师：也就是说，只要能反映出这个角中包含几个度量单位就可以了。

思考：常规教学，老师往往过于重视如何让学生掌握用量角器量角的方法，过于关注“二合一看”和“里外圈”的使用。

本节课，设置让学生在量角器图上描出指定大小的角，并通过交流描角的不同方法（如，使用不同的0°刻度线，描出角的位置也不同），使学生自觉沟通了角的测量与长度和面积测量的本质，即只看要度量的角中包含几个1°角即可，可以不关注内外刻度线。

这种生成的资源，更好地诠释了角的大小本质与长度和面积一样，就是相同计量单位累加的过程，也回应了课中让学生经历量角器的形成过程和量角器的结构原理。

（作者单位：安徽蚌埠市禹会区教育体育局教研室）L一、缘起在学习了“多边形的面积计算”后，我补充了这样一道练习题：画一画、算一算、比一比。

一道数学题引发的思考一道数学题引发的思考1昨天妈妈去监考，给我带回来三道数学题，都是初一的。

我一看，妈妈带这个回来不会是让我做吧，这可是初一的题目呀！妈妈走过来说：“这三道题目你来试试看，妈妈相信你一定可以做的。

”我便开始了思考，第一第二道题目我做得还比较顺利，可是第三道题目就没有想象中那么简单了，题目是这样的：小明和小莉都是1999年10月份生的，而且都是星期三，小明比小莉早出生，他们俩出生日期的天数加起来等于22，请问小莉的生日是几号？这道选择题的答案有四个：A、15 B、16 C、17 D、18，我想：他们都是星期三出生的，那么他们生日要么相差7天，要么相差14天，我把思路和妈妈说了，妈妈鼓励我再想想，我又看到了另一个条件：他们俩出生日期的天数加起来等于22，我就用这个条件在答案上一个一个试，试到最后一个时，我发现18-14=4，18=4=22，这个答案不就是小莉的生日吗？我运用了排除法把这道题解决了。

后来妈妈告诉我，还可以用设小明为A，小莉为B，通过运算：A+B=22，14+A=B，这样算出来A=4，B=18，答案也算出来了。

通过这次解题，我发现有的题目不止一种算法，甚至不止一种答案，只要开动脑筋，就一定会一个不漏地找出来的，我对数学更加感兴趣了。

一道数学题引发的思考2在七年级“数学报”第一期上，刊登了这样一道怪题：以前，美国举行了一次“全美数学能力测验”，有83万中学生参加，其中有这样一道题：有个三棱锥和一个正四棱锥，他们的棱长都相得，问他们重叠一个侧面后，还露出几个面？标准答案是七个面，因为两锥分开时有4+5=9（个）面。

当他重叠一个面后，有两个面被遮住了，所以标答案是七个面。

可是一位十七岁的中学生丹尼尔的回答却是五个面，阅卷者当然判他错。

丹尼尔为了证明自己的结论是对的，回家后做了个模型，当他把这个模型交给老师时，老师不得不承认丹尼尔的结论也是对的。

从上面似乎可以得知，有两个标准答案：一是原来的标准答案七个。

明立意㊀提素养由一道２０２２年高考数学试题引发的思考李㊀彦(江苏省姜堰中学ꎬ江苏泰州２２５５００)摘㊀要:高考承载着为高校选拔人才的重要任务ꎬ新课改背景下高考试题充分体现出考查学生核心素养的重要特征ꎬ高考试题的探究与分析是高中数学课程教学的重要任务之一.本文以２０２２年一道高考数学试题为探究载体ꎬ重点从试题分析㊁变式拓展㊁教学启示三个角度进行阐释.关键词:高中数学ꎻ高考试题ꎻ素养ꎻ能力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００４０－０３收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:李彦(１９７８.９－)ꎬ江苏姜堰人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教育教学研究.基金项目:泰州市教育学会十四五规划重点立项课题 新课程背景下高中数学高效课堂的建构研究 阶段性研究成果(项目编号:ＴＺ２０２２０１５)㊀㊀高考试题一直是高中教师关注的焦点ꎬ对高考试题形式和考查意图的探究是提升 备考 效率的重要途径.近年来ꎬ高考数学试题中导数问题一直是考查重点内容之一ꎬ多数以初等函数为载体ꎬ以压轴题的形式呈现ꎬ侧重于考查学生的数学学科核心素养.命题专家一直十分青睐导数问题的考查ꎬ给不少学生带来一些困难ꎬ对于高中数学高考复习教学而言ꎬ整体把握导数问题是提升学生解题能力的关键[１].１真题回顾ꎬ多元剖析题目㊀(２０２２年全国高考理科数学第１６题)已知ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２分别是函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)的极小值点和极大值点.若ｘ１<ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围[２]解法１㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ存在两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令函数ｇ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘꎬ当ａ>１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕ(不合题意ꎬ舍去).当０<ａ<１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕ(符合题意)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝２ａｘ(ｌｎａ)２－２ｅ.令ｇᶄ(ｘ０)＝０可得ｘ０＝ｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].由于函数ｇ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)内单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ＋ɕ)内单调递减ꎬ根据题意可令ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ(ｘ０)>０ꎬ即２ａｘ０ｌｎａ－２ｅｘ０>０.即２ａｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２] ｌｎａ>２ｅｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].即１ｌｎａ>ｌｏｇａｅｌｎ２ａ＝ｌｎ(ｅ/ｌｎ２ａ)ｌｎａ.由于ｌｎａ<０则ｌｎｅｌｎ２ａ>１.即１(ｌｎａ)２>１.即０<(ｌｎａ)２<１.则ａ的取值范围为１ｅ<ａ<１.解法２㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬ０４ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即２ａｘｌｎａ＝２ｅｘ.该方程有两个实数根分别为ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ令函数ｙ＝ａｘｌｎａ与函数ｙ＝ｅｘ图象在ｘ０处相切ꎬ可知ａｘ０ｌｎａ＝ｅｘ０ꎬ且ａｘ０(ｌｎａ)２＝ｅ.则ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０.则ａｘ０１ｘ０＝ｅｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅｘ２０.则(ｅ１ｘ０)ｘ０＝ｅｘ２０ꎬ即ｘ０＝ʃ１.(１)在ａ>１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝ｅꎬ若ａ减小ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图１所示).函数ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ的图象如图２所示ꎬ根据前面的分析可知ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去)图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２(２)在０<ａ<１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝１ｅꎬ若ａ变大ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图３所示)ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递减ң递增ң递减ꎬ且极小值ｘ１小于极大值ｘ２ꎬ则１ｅ<ａ<１.图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４解法３㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即ａｘｘ＝ｅｌｎａ.该方程有两个实根ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ如图４所示ꎬ在ａ>１的情况下ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去).在０<ａ<１的情况下ꎬ令ｈ(ｘ)＝ａｘｘꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ａｘ(ｘｌｎａ－１)ｘ２.令ｈᶄ(ｘ０)＝０ꎬ即ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ｌｎａ＝１ｘ０ꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅ.根据０<ａ<１ꎬｌｎａ<０ꎬ则ｘ０<０ꎬ显然函数ｈ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)上单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ０)上单调递减ꎬ则ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｘ０)＝ａｘ０ｘ０＝ｅｘ０.结合题意可得ꎬｅｘ０>ｅｌｎａ.即ｌｎａ>ｘ０.即１ｘ０>ｘ０.则ｘ０<－１.即１ｌｎａ<－１.即ｌｎａ>－１.则１ｅ<ａ<１.点评㊀解法１是直接从函数的性质视角进行探究ꎬ解题思路比较清晰但计算繁琐ꎬ需要学生具有一定的逻辑思维和数学运算能力ꎻ解法２是采取转化思想ꎬ借助于数形结合的方法进行求解ꎬ需要学生具备一定直观想象素养能力ꎻ解法３是采取分离函数㊁等价代换的手段进行求解ꎬ该方法过程简洁运算量不大ꎬ是多数学生优先选择的方法.２洞悉本质ꎬ变式拓展大量实践表明ꎬ机械刷题难以提升学生数学解题能力ꎬ直接影响数学素养的培养与提升.数学教师可以引导学生洞悉数学典型试题的内在本质规律ꎬ呈现多元变式ꎬ在师生共同探究中提升学生数学学１４科核心素养[３].变式１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２且ｘ２<ｘ１ꎬ试求ａ的取值范围?变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围?变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)无极值点ꎬ试求ａ的取值范围?点评㊀变式训练是提升学生数学解题能力的重要方式ꎬ上述三个变式拓展试题是从函数的内在本质出发ꎬ通过对函数的 极值点 进行探讨ꎬ关注学生数学转化思想在数学解题中的实际运用.三道变式试题随着题设条件的变化ꎬ问题由浅入深ꎬ重点考查学生分析数学综合问题的能力ꎬ有助于学生核心素养的提升.３教学启示ꎬ落实素养第一ꎬ重视数学基本知识与技能训练ꎬ灵活运用数学思想方法.函数是高中数学教学中的重点和难点ꎬ每年高考离不开数学函数的考查ꎬ以函数为背景的命题受到命题专家的特殊青睐.导数引入高中数学函数的探究ꎬ已经成为探究函数问题的重要工具.高中数学函数问题注重考查 函数与方程㊁数形结合㊁分类讨论㊁转化与化归㊁函数构造 等数学思想方法.对于高中数学中的导数问题ꎬ应该关注 分离㊁换元㊁构造 等方法.在高考备考复习教学中ꎬ数学教师可以引导学生从基本的解题方法出发ꎬ积极探究解决众多问题中共同的㊁基本的解题方法ꎬ让学生感受通性通法合理应用于解题的实用性ꎬ尽量较少进行特殊解题技巧和方法的熏陶.第二ꎬ重视一题多解的探究与分析ꎬ从变式训练中提升创新思维能力.数学解题教学是高中数学课程教学的重要内容之一ꎬ学生解题能力的提升离不开典型数学试题的剖析.大量实践表明ꎬ 一题多解 是从多个角度探讨同一问题ꎬ有效采取此教学思路有助于拓宽学生的解题思路ꎬ有助于培养学生的发散思维能力和解题能力.在高中数学教学实践中ꎬ学生的数学思维能力存在着一定的差异性ꎬ将 一题多解 和 变式训练 有机融合ꎬ能够有效激发不同层次学生数学探究的好奇心ꎬ引导学生从不同视角㊁不同维度探究问题ꎬ从多 变 的问题中探寻 不变 的性质与特征ꎬ不断强化学生的应变能力ꎬ发展学生的创新思维能力.第三ꎬ融合信息技术教学手段ꎬ充分呈现数学本质规律.数学图象是帮助学生理解和解决问题的重要手段ꎬ函数图象具有较高的直观性ꎬ有利于学生理解函数的内在本质规律.高中数学函数问题教学中ꎬ可以借助于ＧｅｏＧｅｂｒａ图象软件展示变化中的函数图象ꎬ特别是对函数单调性的增减问题ꎬ能够直观地显现出来ꎬ学生能够直接获得数学结论ꎬ激发学生深入探究的欲望ꎬ强化学生直观想象素养的形成与发展.作为高中数学教师ꎬ一定要给予学生动手操作实践的空间与时间ꎬ让学生在实践中体悟数学的本质魅力.高考试题是高中数学课程教学的重要资源与素材ꎬ对高考典型试题的探究是高考备考的必备动作.作为高中数学教师在平时的教学中ꎬ应该强化对高考试题的剖析与思考ꎬ充分挖掘高考试题中 不变 的本质规律ꎬ灵活运用数学思想方法进行教学方式的优化ꎬ不断促进学生创新思维能力的提升ꎬ尽可能实现高中数学核心素养的真正落地.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]杜斌.一道２０２２年联考导数题的多视角探究[Ｊ].中学数学教学ꎬ２０２２(０３):４２－４４.[３]季峰.低起点多层次高落差:２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷试卷点评[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(１５):３０－３１.[责任编辑:李㊀璟]２４。

一道数学题引发的思考数学题是用来考查学生对数学知识的掌握程度和思维能力的一种方式。

一道看似简单的数学题，却往往能引发人们对数学、逻辑、思维等方面的深刻思考。

下面我们就来分享一道数学题引发的思考。

问题：有一个宽度为20米的长方形田地，需要在田地周围挖一条宽度为1米的水沟，问这条水沟需要多长？初看这个问题，似乎很简单，但如果我们稍微仔细思考一下，就会发现其中蕴含着不少有趣的数学思考。

我们可以思考一下问题的直接解法。

由于长方形田地的周长为2*(长+宽)，那么如果挖一条宽度为1米的水沟，田地的新周长为2*(长+2+宽+2)，所以水沟的长度为原周长与新周长的差值，即2*(长+2+宽+2) - 2*(长+宽) = 4。

所以这条水沟的长度为84米。

这其中隐藏着一些数学思考，比如如何通过图形的方式来解决这个问题，从而更好地理解这个问题，进一步拓展问题的解决方式。

我们可以通过绘制一个长方形图形，并在其周围画上一条宽度为1米的水沟，从而更直观地理解问题和解决问题。

我们还可以通过代数的方式来解决这个问题，比如假设长方形田地的长为x米，宽为y米，那么原周长为2*(x+y)米，新周长为2*(x+2+y+2)米。

然后通过对新旧周长的差值进行代数运算，也能得到水沟的长度为84米的结果。

我们还可以通过变形的方式来解决这个问题，比如将长方形田地的周长和新周长看做是一个函数，然后通过对函数的变形和求导，来进一步深入解决这个问题。

这道数学题虽然看似简单，但是通过对这个问题的深入思考和多种方式的解决，我们不仅可以更好地理解和掌握数学知识，还可以提高我们的逻辑推理能力和解决问题的能力。

这也说明了数学题在引发思考、训练思维等方面的重要作用。

所以，我们在学习数学的过程中要多多尝试通过不同的方式来解决数学问题，从而更好地理解和掌握数学知识，提高我们的数学思维能力。

一道数学中考题引发的思考与感悟作文“哎呀，这道数学中考题也太难了吧！”我忍不住抱怨起来。

那是一个周末的午后，我正在房间里做着数学练习题。

阳光透过窗户洒在桌子上，可我却完全没有心思享受这温暖。

“姐姐，陪我玩嘛！”弟弟跑过来缠着我。

“哎呀，等会儿啦，我这题还没做完呢！”我头也不抬地说道。

弟弟却不依不饶，“就玩一会儿嘛，一会儿就好。

”我无奈地放下笔，“好吧好吧，那玩什么呀？”弟弟兴奋地说：“我们玩过家家吧！”我哭笑不得，“你都多大了，还玩过家家呀。

”“就要玩就要玩！”弟弟开始撒娇。

没办法，我只好陪着他玩起了过家家。

我当妈妈，他当宝宝。

弟弟假装哇哇大哭，“妈妈，我饿了。

”我学着妈妈的样子说：“宝宝乖，妈妈给你做饭去。

”我拿起一些玩具假装做饭，弟弟在旁边看着，还时不时地捣乱。

玩了一会儿，我又想起了那道没做完的数学题，“哎呀，不行，我还是得去做题。

”弟弟不乐意了，“姐姐，再玩一会儿嘛。

”我哄着他说：“弟弟乖，姐姐把题做完再陪你玩好不好？”弟弟虽然不情愿，但还是点了点头。

我赶紧回到桌子前，继续研究那道数学题。

这道题就像一座大山一样横在我面前，怎么也过不去。

我抓耳挠腮，急得不行。

“怎么这么难呀！”我自言自语道。

这时，妈妈走了进来，“怎么啦，宝贝？”我指了指那道题，“妈妈，这道题我不会做。

”妈妈看了看题，笑着说：“这道题呀，你要换个思路想想。

”说着，妈妈给我讲了起来。

在妈妈的帮助下，我终于找到了解题的方法。

我不禁感慨，就像这道数学中考题一样，生活中也会遇到很多难题。

有时候我们自己怎么也想不明白，但是只要有人稍微指点一下，就会豁然开朗。

这不就像我和弟弟玩过家家一样吗？一个人玩可能会觉得无聊，但是两个人一起玩就会变得有趣多了。

学习也是这样，遇到困难不要只想着自己一个人去解决，可以多和同学、老师、家长交流交流，说不定就能找到新的思路呢。

所以呀，以后遇到难题我可不能再抱怨了，要多想想办法，多和别人交流。

我相信，只要我努力，就没有什么难题是解决不了的！。

一道数学题引发的思考数学，是一门极具逻辑性和抽象性的学科，它不仅是一种工具，更是一种思维方式。

数学题在引发我们思考的也促使我们发现问题的本质，培养逻辑推理和解决问题的能力。

下面，我们来谈一谈数学题引发的思考过程。

最近，我在解题时遇到了这样一道题目：已知 a + b = 10，a - b = 6，求 a 和 b 的值。

一般情况下，我们可能会采用代数方法来解这道题，即通过联立方程来求解。

在我解题的过程中，我突然想到了另外一种方法，那就是直接归纳和推理。

我们不妨假设 a 和 b 都是整数。

那么根据题目条件可知 a 和 b 的关系，我们可以通过列举可能的整数对来求解。

当 a = 8, b = 2 时满足条件，因为 8 + 2 = 10，8 - 2 = 6；当 a = 7, b = 3 时也满足条件，因为 7 + 3 = 10，7 - 3 = 4；当 a = 6, b = 4 时满足条件，因为 6 + 4 = 10，6 - 4 = 2。

通过以上列举，我们可以发现，对于 a 和 b 来说，只有一组整数满足条件。

所以，我们得出结论：a = 8，b = 2。

通过这道数学题，我深深地思考到了数学问题解决的多种思路，更加深刻地理解到了数学问题的本质。

数学题并不仅仅是为了考验我们的计算能力，更是考验我们的逻辑思维和解决问题的能力。

在这个过程中，我还意识到了数学的自然美和逻辑美。

每一个数学问题都是一个独立的思维世界，我们可以通过不同的途径来发现和解决问题。

这种美妙的思维方式，远不止局限于数学领域，它更是一种全面的思维能力的培养。

数学题还能引发我们对抽象思维的锤炼。

在解题的过程中，我们需要将问题抽象成符号和方程式，并通过逻辑推理来解决问题。

这种抽象思维的过程，可以帮助我们更好地理解问题的本质，培养我们在解决实际问题时的抽象能力。

数学题还能激发我们对新领域的探索和思考。

在解决数学题的过程中，我们可能会涉及到其他学科的知识，比如物理、化学、计算机等，这些跨学科的思维过程，可以引发我们对新领域的兴趣和探索，帮助我们更好地拓展自己的思维空间。

一道数学中考题引发的思考与感悟作文《一道数学中考题引发的思考与感悟》
哎呀呀，提起那道数学中考题，可真是让我印象深刻极了呀！那是在我中考的时候，考场上我可紧张啦。

当我看到那道数学题时，我的大脑瞬间就有点懵了。

那道题就像是一个调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住它的解题思路。

我一边咬着笔头，一边在心里嘀咕：“这题咋这么难呢，这出题老师也太狠了吧！”我着急得就像热锅上的蚂蚁，汗水都快冒出来了。

我使劲回想老师讲过的知识点，又在草稿纸上不停地写写画画，可还是没啥头绪。

就在我快要绝望的时候，突然，我好像看到了一点曙光。

我发现这道题好像和我们之前做过的一道练习题有点类似，我赶紧抓住这个线索，一点点地推导。

嘿，你还别说，慢慢地，解题的思路就清晰起来啦。

最后，我终于算出了答案，那一刻，我心里那个高兴呀，就别提了。

这场考试结束后，我就一直在想啊，这道题让我明白了好多。

遇到难题不能慌张，得冷静去思考，要善于发现那些细微的线索，而且呀，平时的学习真得好好下功夫，把知识掌握扎实了，不然在关键时刻就抓瞎啦。

同时呢，
我也体会到了坚持的重要性，要是我当时轻易就放弃了，那可就真答不出来了。

现在回想起来，那道数学中考题就像是我人生路上的一个小挑战，虽然有点难，但也让我收获了好多。

我相信，以后遇到其他的难题，我也一定能像这次一样，勇敢地去面对，去找到解决的办法。

哈哈，这就是那道数学中考题带给我的思考和感悟哟！。

由一道练习题引发的对学生数学思维品质的思考作者：代秀红来源：《速读·中旬》2018年第03期什么是数学思维品质？如何在小学数学教学中培养学生的数学思维品质？我想大部分数学教师在教学过程中会紧紧围绕如何解决问题来锻炼学生的思维能力，但对数学思维品质的培养就知之甚少了，下面我就结合人教版《小学数学五年级上》第三单元《小数除法》——《商的近似数》一课中的一道练习题来谈谈我对数学思维品质的理解和思考。

《小学数学五年级上》第41页11题：一种瓶装橙子粉重450g，，每冲一杯需要16g橙子粉和9g方糖。

冲完这瓶橙子粉，大约需要多少克方糖？这道题出现在学生已学习了用“四舍五入法”、“进一法”和“去尾法”解决问题后的练习九中，在求“可以冲多少杯？”这一问题时用450÷16=28.125（杯），计算出的结果是小数，而冲出的杯数必须是整数，因此要取计算结果的近似值。

在取近似值时，不能机械地使用“四舍五入法”，要根据具体情况确定“舍”还是“入”。

人教版《小学数学五年级上教师用书》中指出：一般方法是先求可以冲多少杯，450÷16≈28（杯），再求28杯需要多少克方糖，但也可能会有学生提出用“进一法”，450÷16≈29（杯），再求29杯需要多少克方糖，理由是可以将橙子粉冲淡一些，从解决实际问题的角度也是可以的。

对此，引发了我对培养学生数学思维品质的思考。

思维是人的理性认识过程。

所谓数学思维，是指人关于数学对象的理性认识过程。

思维能力的高低，直接影响到数学学习的效果，因此，培养学生的数学思维能力是提高数学教学效率的关键。

良好的数学思维品质主要包括思维的严谨性、广阔性、深刻性、灵活性和批判性，下面就结合本题对培养学生的数学思维品质进行讨论。

一、培养数学思维的严谨性思维的严谨性是指考虑问题的严密、有据。

首先要求学生要按步思维，思路清晰，就是要培养学生按照一定的逻辑顺序进行思考问题。

其次要求学生要全面、周密地思考问题，做到推理论证要有充分的理由作根据。

从一道数学题引发的思考张场小学李应国义务教育课程标准实验教科书(人教版)《数学练习册》三年级下册，湖北省教学研究室编写，湖北少年儿童出版社，期中测试卷(p27)第28页有这样一道数学题（应用题第4题）：实验小学5位老师和30个同学去公园，怎样头买票最合算？习惯想法，多数学生认为买团体票合算，这道题表面上看我也以为买团体票合算。

结果真的和我们想的一致吗？下面我们来算一算：（1）分开买：5×8=40（元）3×30=90（元）40＋90=130（元）（2）买团体：5＋30=35（人）35×5=175（元）而事实上并非如此，我们可以看出分开买反而合算。

问题到这里是不是可以结束了呢？其实不然，有没有更合算的买法呢？你不要认为分开买是最合算的买法！这是一个值得思考的问题，这种错误给我们留下了哪些值得探讨的问题呢！针对上面出现的这种问题，结合我在教学中的一些感受，谈谈我的一点心得体会。

一、克服定势思维，寻求最佳方案习惯是人们在长期的生活实践中形成的一种定势的方式和方法。

请看下面的故事，从中我们也许可以学点什么。

哥伦布竖鸡蛋。

为了庆祝哥伦布发现美洲新大陆，西班牙女王在王宫里举行了盛大宴会。

许多达官贵人纷纷前往，向哥伦布祝贺。

一位来宾看到大家如此看重哥伦布，很不服气。

就对哥伦布说：“这有什么了不起的，大陆本来就在那里，不正过被你碰上罢了。

”哥伦布笑了笑，随后从茶盘里拿起一个鸡蛋，让这个人把鸡蛋竖起来。

他拿着鸡蛋左摆弄，右摆弄，急得满头大汗也立不起来。

哥伦布把鸡蛋往桌子上一磕，鸡蛋底部砸碎了，鸡蛋竖了起来。

哥伦布说道：“许多事情看起来很简单，问题在于有人发现了，想到了，有人却发现或没想到，就差这么一点儿。

”（摘自义务教育课程标准实验教科书三年级下册《数学》第68页）司马光砸缸。

大约一千年前，司马光跟小伙伴们在后院里玩耍。

院子里有一口大水缸，有个小孩爬到缸沿上玩，一不小心，掉到缸里。

缸大水深，眼看那孩子快要没顶了。

由一道初中数学填空题引发的思考作者：胡力文来源：《教育教学论坛》2020年第22期摘要：通过一道初中数学的基础填空题，引发了对数学本质的思考，进而用近世代数的观点解答了这道题;然后回到实际课堂当中，指出问题对初中数学教学的启示;最后把问题引向深入，通过近世代数的视角探索了一个因式分解的例子。

关键词：初中数学;近世代数;多项式环;未定元;未知数;因式分解中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2020）22-0354-02一、符号说明本文用正体粗体的表示实数集，用斜体细体的表示一个一般的环。

二、问题的提出、思考和解答在初中数学整式一章的基础练习中，常常出现这样的填空题：例1 ________。

在通常情况下，学生无外乎有两种答案。

答案1 。

答案2如果你是一位初中数学教师，你会认为答案2是正确答案。

但作为一道填空题，做到答案1就可以了。

在此，我们不禁要问：答案2真的比答案1更好吗？如果你觉得答案2是正确答案，那依据是什么呢？为什么按照中考要求，答案1也正确呢？事实上，答案1和答案2都可能是正确答案，但都有其局限性，关键看你用什么观点来理解。

在初等代数意义下，如果我们把字母x看作一个数，则答案2显然要比答案1完整。

但是，在代数式当中，字母x真的表示一个数吗？如果x表示一个数，那关于多项式的理论是不是毫无缺陷呢？注：在近世代数中，“多项式”和“整式”表示同一个概念。

再举一个简单例子。

例2 将多项式进行因式分解。

例2最后的答案是还是，抑或有其他答案？这就引发我们对数学本质的思考了。

事实上，全体实系数一元多项式构成一个环（ring），它是一个欧几里得整环（Euclidean domain），它和整数环有很多相似之处。

多项式中的字母并不表示一个数，而有其特殊的含义。

在近世代数中，我们有如下的概念和结论。

定义1 设R是一个有单位元的环，是的扩环，是中的一个元素。

如果满足（1）对任意的，;（2）;（3）对R的任意一组不全为零的元素，则称为上的一个未定元（indeterminate）（参看参考文献[2]）。

由一道题的错解引发的思考河北冀州中学 何秋岭〔邮编053200〕先看下面一个单元选择题：椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，假设P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P 到x 轴的距离为〔A 〕59 〔B 〕3 〔C 〕779 〔D 〕49 解〔一〕、假设P 为直角顶点，坐标为(,)x y 。

焦点F 1、F 2的坐标分别是(。

由12PF PF ⊥1=-，即227y x =-，亦即227x y =-，将该式代入椭圆方程得y =C 〕 解〔二〕、假设1F 为直角顶点，P 的坐标为(,)x y ，因为焦点F 1的坐标为(，将x =代入椭圆方程得94y =，因此选择答案〔D 〕 思考1：以上两种解法，获得了两个不同结果，是不是选择支设置不当？不是！首先两解法实际上是解答该题时应考虑的两个方面。

另外，在解〔一〕中将y =227x y =-会发现20x <，这样的x 值不存在，也就是说P 不可能是12F PF 的直角顶点。

因此解〔一〕是错解！思考2：此题解〔一〕出现了以下现象：联立两方程得到关于y 的方程有解，但是方程组却没有解。

以前，我们经常解直线方程〔二元一次方程〕与圆锥曲线方程〔二元二次方程〕组成的方程组，从没有遇到过类似情况。

即联立两方程得到关于x 〔或y 〕的方程，把x 〔或y 〕解出来后代入一次方程，y 〔或x 〕一定存在，即方程组一定有解。

这是为什么？ 其实，解22227(1()921)16x x y y +=⎧⎪⎨⎪=-⎩时，将〔2〕式代入〔1〕得229(7)16144y y -+=〔3〕，本来227x y =-0≥，即y ≤，但在〔3〕式中这一限制被丢掉了。

从解出的结果也能看出，y =y ≤ 因此，错解的根本原因是，联立方程后所得方程中变量的取值范围发生了变化，即方程的转化不等价。

思考3：用判别式判断两圆锥曲线位置关系还行得通吗？众所周知，判断直线与圆锥曲线位置关系时，我们只要看联立后的x 〔或y 〕的一元二次方程解的情况，即判别式与零的大小关系即可。

四年级写考试反思的作文数学测试题所引发的思考你看，一下课便拿着数学书开始复习，没有任何一个人出了班级这道门，往日的鸡鸣狗吠也顿时鸦雀无声。

见同学们秩序井然的样子，我便叫齐四位课代表，一起来分配卷子，生怕少了一份。

众人齐心，泰山可移，我和课代表们不慌不忙，把试卷整理得平平展展，规规整整。

因为彭老师外出学习了，新来的数学代课老师把考试卷有条不紊地发给每个学生。

上课铃一打响，人人都像离了弦的箭风风火火的写起试卷，谁也管不着谁了。

发完卷子，老师交给我的任务终于完成了，我便拿起笔，笔不停挥地写开了。

不超过半个小时，我便把卷子写了一大半，这下我可放心了。

我就像行驶在海洋里的一叶小舟，一帆风顺。

结果还没到自己洋洋得意的那一刻，问题又一次上演——果不其然，试卷中正如我爸所料，不仅仅只有第二单元的知识，还有三年级下学期骇人听闻的面积问题。

真没想到还遇到了“拦路虎”，现在只好将计就计。

这下可犯着了难。

昨日没听老爸的话，，如今两面为难，是错是对孰不知，真想有神力助我。

大略一看，早已大惊失色，仔细一看更是惊人，这题目竟然不一般，既有单位换算，又有整块性多方面考虑，还有迷魂药——进率问题。

虽然不是很难，但是要想做对那可要大下功夫；如果仍然龙飞凤舞的轻略一写，那便与让各个学子都梦寐以求的一百分擦肩而过。

一百分很重要，但是过程更重要！如果不信你可以来看看这道奇葩的题：“建一个办公室宽6m长8m，有一种6平方分米的砖，要把办公室的地铺满，需要多少块？”虽然这道题做完了，但我的心仍然很悬，忐忑的不成样子。

晚上上完美术社团回到家后立刻跑到老爸身边，把我的解题过程给老爸说：“第一条思路:6m＝60dm，8m＝80dm，60x80＝4800d㎡，4800÷6＝800（块）;第二条思路:每块砖6d㎡，可以是:6＝6×1，或者6＝2×3，如果:6×1，那么6m＝60dm，8m＝80dm，60/6＝10，80/1＝80，故:10×80＝800（块）;如果:2x3，那么6m＝60dm，8m＝80dm，60/3＝20，80/2＝40，故:20x40＝800（块）;综上所述:答案为需要800块。