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八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教案新版北师大版一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握二次根式的加减乘除运算，以及能够熟练运用二次根式进行实际问题的解决。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的运算方法，并能够灵活运用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但是，对于二次根式的混合运算，部分学生可能会感到困难，需要通过实例和练习来进一步巩固。
三. 教学目标1.使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法。
2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。
2.二次根式的乘除运算。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲练结合的方法，通过实例和练习，引导学生掌握二次根式的运算方法。
同时，注重培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个圆的半径为根号2，求这个圆的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算方法，并通过PPT课件展示实例。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些二次根式的运算练习题，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，巩固学生对二次根式运算的掌握。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，让学生能够运用二次根式解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，使学生对二次根式的运算有一个清晰的认识。
7.家庭作业（5分钟）布置一些二次根式的运算练习题，让学生进行巩固。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和公式，方便学生复习。
教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
本节主要讲解的内容包括两大部分，第一是最简二次根式和同类二次根式的区分与化简，难点在化简二次根式与利用同类二次根式的性质进行求解综合题目上；第二是二次根式的四则运算，难点是合并同类项及乘除运算的时候符号问题.这节内容是二次根式的重点与难点.1最简二次根式的概念：(1 )被开方数中各因式的指数都为 1 ; ( 2)被开方数不含分母被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式2、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.模块一：最简二次根式与同类二次根式【例1】判断下列二次根式是不是最简二次根式：(1) 1.5a ； (2) 8a2 + b2；(3) (a- b)3b2；(4) 【难度】★【答案】(1)不是； (2)是；(3)不是；(4)不是.【解析】(1)被开方数中各因式的指数都为 1 ; (2)被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，所以(2)是最简二次根式. 【总结】本题考查了最简二次根式的概念.【例2】将下列二次根式化成最简二次根式：(1 ；(2) J*x3y4(x3 0);(3)广4x3y2(y> 0) ；(4) 4x2- 4xy+ y2(2x? y)【难度】★2【答案】(1) ；( 2) ^^V2x ；2【解析】(1) 12a= 2 3a ；(2)J^x3y4 =牛亦；(3). - 4x3y2 = - 2xy - x ；【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.2 / 218a2 2 .a + b(3) 2xy . x ；(4) 2x y .(4) .4x2 - 4xy + y2 22x- y) = 2x- y .【例3】化简:【难度】【答案】a 4 x(1)肓；(2) x 4；(3) VV【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.【例4】判断下列二次根式是否为同类二次根式.(1) 1、8和5 1；3V3(3)「2a和・2a2；【难度】★【答案】(1)不是；(2)不是；(3)不是；(4)是.【解析】(1)T -V8 - 2^2 -42 , 5、卩迟,3 3 3 V3 3•••1 .8和5 1不是同类二次根式；3 3(2)T J2 ；.•.掐和不是同类二次根式；(3)T、. 2a22a ；•2a和•. 2a2不是同类二次根式;【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断.°)；(2)x2- x- 12\ x+ 3(x 3 4)；(3)x+ 3x2厂x-—(x< 4).x2- x- 12x+ 3(x- 4)(x+ 3)i x 4 - x 4=4 x(a? 0, b(3)x+34 x【例5】将下列二次根式化成最简二次根式:3X27.( X <0，a <0)； 16a 4+ 32a 2b 2;a b / c 、 ab,b 2+a2(ab >0).【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.【例6］将下列根号外的因式移到根号里面:【例7】若 4 2x + y 和’J7+X 是冋类二 一次根式，求 x 和 y 的值【难度】 ★★【答案】x 5, y2 .x y 12x 54 (a 1^0^^ 血 1 .【总结］本题主要考查利用二次根式的性质进行变形，注意移入的数必须是非负数.【答案】x 23b ；3ab 2，(2) 4a . a 2 2b 2L L 4a. a 22b 2L L(3) ab. a b .【解析】 (1)原式=3x 31 X 23b X 23ba b .. 3b = ab 3b = 3ab 2(2)原式=J6a2a 2 2b 24a a 22b 2L L a 4a a 22b 2L L a(3) (1)1J (n <0);(2) 24；n ；( 2).3b x y .--------- .x y(3) a 1 ； (4) . a 1 .【解析】(J 原式=./n ；(2)原式= 32b x y2 2(3)Ta 1 0 a 2a 1 a2aa 2b 2a 迟幕【答案］(1)n <24m(x< y< 0);(x(a-【解由题意得：解得：2x y 7 x ' y 2【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列出方程组并求解.【例8】已知x+ x2- 1=2，求x- x2 - 1的值.【难度】★★【答案】-.2【解析】•••x21 2 x， - x 1 4 4x x , 即卩4x 5, 5• . x一…、5 1 5 21••原式 =- . 14 V 4 2【总结】本题主要考查二一次根式的化简求值.【例9】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式..3a与-.8是同类二次根式；(2)若二次根式3a与-.8是同类二次根式.【难度】★★2 2 2【答案】(1) a ；(2) a n .3 3_ _ 2【解析】(1)：8 2 .一2 , ••• 3a 2 , ••• a -；3(2)T 8 2 2 , •3a 2n2 n为正整数,•- a ? n2.3【总结】本题考查了二次根式的化简以及最简二次根式的概念.【例10】将下列式子化成最简二次根式:八年级秋季班1)2+ 4+(x+ 1)2- 4(1 < x< 4)xx---- 21- =x x1=2x ; x(2)原式=•% 1 2x 4 2 3，二 x【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.【例11】 将下列式子化成最简二次根式:丄，求.x+2+y -「-2+y的值.2 , y x . y x【难度】★★★ 【答案】2.1 1【解析】由题意得：x - ； y - •4 2・ 2 2 :2 2x 2 y _ x 2xy y x 2xy y y x = , xy ' xy【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.(2) x= 4- 23，求，-—2的值. 2x+ x 【答案】（1） 2x ; (2)3 .3 3 d) . (x- 【解析】（1）原式=x•••原式=」1 x2丽 31 2.3 2.3 323 33若X 、y 为实数，且y3 1x yxy【例12】已知等式.x2 - 6x+ 9+x- 3(x- 3)2 = 0成立，求x的值.6 / 21【难度】★★★【答案】x 2 .【解析】由题意得：x 3 0,当2【x 3 0 时，1 x 30，不存在，应舍去当x 3 0时，21 x 3 0 ,•x 3 1 或x 3 1 ,•x 4 或x 2又•••x3 ,•••x 2 .综上得x 2 .【总结】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.【例13】化简：5+ 2 6 - 4- .12 .【难度】★★★【答案】2 1 .【解析】原式=3 2 .4 2 3 3 2 3 1 2 1 .【总结】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质化简复合二次根式, 的归纳总结.师生总结1、满足最简二次根式的条件是什么?2、满足同类二次根式的条件是什么？注意相应方法1、二次根式的加减运算：把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）2、二次根式的乘除运算：（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变;（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.【难度】★【答案】0.【解析】原式=211 ,2 2 2 0 .【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.【例15】化简:【难度】★【答案】(1) 3a a a 2 . ab ; ( 2) x x .【解析】（1）原式=迢3.2 6a厘b涯2 .a3 a b a=2a a 6 . ab 2 ab a . a=3a a 4 - ab ;(2)原式=-x 2 x 6x X 4x2 X2 3 x=x x 2x . x 4x . x例题解析\171 +a9a{骣®(2) 1x . 4x +64x2.X.=x j x -【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.6b ab23ab 2【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【难度】★★ 【答案】5.2【总结】本题主要考查二次根式的化简，综合性较强，要注意判断 利用整体代入的思想求值.(3) 原式=2b ab【例16】 化简：(1)18bc 3；(2)層缸3』25X 36A /67 ；(3) 2、、肩?(b3^/aE). 2【难度】★【答案】( 21) 3bc 2 ； (2) 8;(3) 3ab 2.2532诙】⑴原式=1'18bCa abC = 3T 2 ；(2) 原式=攀31 3 5x. x6x612x 6.x 45x . x 【例17】已知 x+ y= - 5 , xy= 4 求 +5 2 5 42 .x 、y 两数的符号，然后【难度】★★【例18】0 , b> 0).【答案】9a 3 4b , ab .【解析】原式=2『ab3a. ab［ —abb2 3 a=2^/ab T ab -3a= 2 T ab =3a 2b 2邑亘ab=9a b.ab .【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【例19](1)(2)【难度］★★【解析］(1)原式=2 x【总结］本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.3 ___ 1 ________【例20］已知长方形的长A= 2 32，B=3 18，(1)求该长方形的周长；(2 )若另一个正方形，其面积与该长方形面积相等，试计算该正方形的周长. 【难度］★★化简:【答案](1) 7. x ； ( 2)2n 31x(y 2n 31 -x(y 0) 0) (2)原式=nxX 、x y =2n 31x(y 0) 2n 31x(y 0)nx+ (m-2、-9x +'-£(x< 0)；【答案】(1) 6 2 ; ( 2) &. 2 【解析】(1) C 2 A B 32.18 = 4.2 2、2 = 6迁；(2) S 长2 22 4 ,•••正边形的边长为2,•••周长为8.【总结】本题主要考查二 .次根式的运算以及求值.【例21】计算：山+_脣_bV a + J b J ab - b【难度】★★ 【答案】2 ab -掐b va 寸b【解析】原式=Vb a 、b b 、a1 a b a . bb a . b、aba . bbTab yab a b . b7a \/b V a Vb b.ab ab . a . b a b 7ba bb=2 , ab .【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意先化简后合并，注意方法的选择.【例22】解下列不等式（1）12x+ 48> 27x+ 3 ； 【难度】★★【答案】（1）x 3 ；11 / 21)?a- b【解析】(1)^ 2 3x 3.3X 3 4 3，二,3x 3 3，二x 3 ；(2)解：••• 2 .5 2 5X , ••• 2 5 ^-^X , /•X -.5 5 6【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式.化简求值：(x+2^+y+—〔一)？X- y+1，其中 X4X+ yj y y/x- y[y Vx【难度】★★★【答案】【解析】原式= (X X y 匸=(仮5)(X y 1) X xy X 、.勺X y X y 1 X y X y 1 X y扌巴X= 2+ 3 , y = 2- 3代入，得：原式=3 12【总结】本题主要考查了二次根式的化简和分母有理化.【例24】若等式(3x+ 1)(2 - x) =「3x+ 1?「2—x 成立，化简：X- 4 + J9x2 + 6x+ 1 + X- 2 .【难度】★★★【答案】7 X .3X 1 0 1【解析】由题意得： c c，解得：- X 2 .2X0 3原式=X 4 3X 1 X2=4X3X12X =7X .【总结】本题主要考查二次根式的概念、化简以及求值.【例25】当X=上_1994时，求多项式(4x3 - 1997X- 1994)2001的值2 '【难度】★★★【答案】1 .【例23】2+ .3 , y= 2- . 3 .20011 1.【总结】本题综合性较强，一方面考查了二次根式的化简求值运算,次思想以及整体代入思想进行求值.【习题1】下列各式中，最简二次根式的个数有（1.2 ; xy 2 ; . m 2 - n 2 ; x ; - x 2- 10x + 25 ； 6x .3【难度】★ 【答案】D .【解析】 12 ; . xy 2; x2- 10x+ 25 ；不是最简二次根式;最简二次根式.【总结】本题考查了最简二次根式的概念.【习题2】下列二次根式中，与 .5不是同类二次根式的为（【解析】••• x 原式=1 、1994222x 11994.2 24x 4x 1993 x 4x 4x20011995 1随堂检测另一方面考查了利用将A .0.5 C . 20 【难度】 【答案】 【解析】A . 20.52【总结】 本题考查同类二次根式的概念. 【习题3】下列化简错误的是（B . 0.0T 0.49 = 0.01 X . 0.49 =0.1 07=0.07B . DT ;20专，故选A .3【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.【习题4】若最简根式a+7b2a+ 5b_7和a+ 3b 是同类二次根式，求a+ b 的值的平方根.【难度】★ 【答案】±2 2 .••• a b 的平方根 .8 2 2 .【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列方程并求解.【习题5】合并下列各式中的同类二次根式并计算：(1)(4 5- 4 .3)- 2 3+ 12 ; (2)2 9- 2, 3 + 27 ;3 (3) 8仮-(丄71^+T 2X 3) ; (4)4^/5 - 71000 + 5/10 .2【难度】★【答案】(1) 4 5 4.3 ;( 2) 6+7,3 ； ( 3) & x 3x 2x ;( 4) 40 5 5、10 .3 2【解析】(1)原式=4、5 4.3 2 3 23 =45 4.3 ;(2) 原式=6 -43 3丁3 6 - 43 ；33 (3)原式=8、x 2 2xx 2x 8 x3x 2x :2(4)原式=40 510.10 5 10 40.5 5 10 .【解析】由题意得:a 7b 2 2a 5b 7a 3b ，解得:【难度】★ 【答案】 【解_ 527【习题6】比较大小：(1) - 35 与-2、石; (2) .6 + & 与5+ 3 .;(3) x+ y与石；(4) .15- 14 与14- .132【难度】★★【答案】（1） 3 5 2.11 ；（2） . 6 , 2 .5 .3 ；（3）Xy y. xy ;（4）.厉14 .13 -【解析】（1）平方法；（2 ）平方法；（3 ）作差法；（4 ）倒数法. 【总结】本题主要考查了二次根式的比较大小.【习题7】将下列二次根式化成最简二次根(1)(x 2 - y 2)(y+ x)(x 吵y 0) m- 2n (2) . (m> 2n> 0)；Y m+ 2 nx- y x 4y 3 + x 3y 4(3) \ 22(0<X<y x - 2xy + ym 4n； (3) x.x2y xy 2m 2n一 xy .x 2y xy 2 浜 苻. y y x进行化简，注意被开方数的的符号.【习题8】计算:【难度】★★【答案】（ 1) x y x y ； (2)【解析】（ 1) .x 22yy xx(2)m2n m 24n 2.m 2nm； 2n（3）原式:x y x 3 3y x yyJ x y2(3. 2- 2 3)(3 2+ 2 一3)；【难度】★★【总结】a . ab . ab b a baba b【总结】本题主要考查了二次根式的加减运算和分母有理化.【习题9】已知"卑 茫，y= £+茫，求代数式3x 2 - 5xy+ 3y 2的值3 + i ： 2 - 3 - . 2【难度】★★ 【答案】289.【解析】由已知得：x 5 2、. 6 , y 5 2.6，二x y 10, xy 1 .2 2 2 223x 5xy 3y 3 x y 5xy 3 x y 2xy 5xy 3 98 5【总结】本题主要考查了分母有理化和完全平方公式的变形.【答案】（1）x^ ；（2）（2）原不等式可化为：3x【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式. 【习题11】 把（a- b ）. - —1化成最简二次根式.\ a- b【难度】★★★ 【答案】b —a .【答案】(1)43；(2)aba b 【解析】（1）原式 =423 “1812 2 .3 624a(2)原式=.a ,a b289 .【习题10】解下列不等式：:>4x- 9 ；(1) 2x +(2) 2x+ 32 < 5x+ 2 .【解析】（1）原不等式可化为:4x -，即 2x35 5x12ba a .. b八年级秋季班【解析】T —— 0 , • a b 0 . •原式=a b f—__小_a逅―a .a b J ba '【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【答案】1.【总结】本题主要考查二次根式的概念、化简以及求值.【答案】3.【解析】••• 1 3 4 ,【总结】本题主要考查无理数的小数部分的表示以及整体思想的运用.【作业1】下列二次根式中是最简二次根式的是（【习题12】已知8x+ . 8x- 1 + 2，求代数式：x+x+2-x+y-2的值. y x【解析】由题意,1 8x8x 1-------- 2(x y)xy--------- 2(x y) 2x xy xy'得:2x—xy12 -_814【习题13】已知a是4- .3的小数部分，求代数式2 + a- 2桫2 + 4a + 4a +骣+ a2+ 2a 桫a2 4 a 1a 2a2 4课后作业八年级秋季班【难度】★【答案】D.【解析】殛5护5; 濟2辰；上—，故选D.5 V x x【总结】本题考查最简二次根式的概念.【作业2】把代数式（x- 1）J- 丄根号外的因式移入根号内，结果为_____________________V x- 1【难度】★【答案】1—X .【解析】X 1 . 1. 1 X 1 6• 1_x .Y x i Y x 1【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行变形，注意移入的数必须是非负数.【作业3】若a< 0, b> 0 ,计算正确的个数是（）C. 3个 D . 4个【难度】★【答案】B.【解析】（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）错误.【总结】本题考查二次根式的性质和有意义的条件.【作业4】二次根式-3（a< 0）化简后的结果为（）a5 . - a ? b . - ab •(3)•、- 2a? . 4b - 2.2ab ;A . 1个B. 2个A. 0.6B. 8aA . - aB . - J aC .-』-aD . a 【难度】★★【答案】C.【解析】二£=芒1Z=- ,7^ •a a【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【作业5】若a-25与.a-【难度】★★b+ 1是冋类二次根式，求a b的值.【答案】1•2a 2 2 a 4 1【解析】由题意得： 1 ，解得: b 亏 1 11 ,••• a 42—-a b 2 5 b 2 4…【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列方程并求解.【作业6】计算：(1) 2 .6( 6 3 3 2 2 8)；(2)(厂•无)2 ( 2(x y) X)2•【难度】★★【答案】(1) 12 18 2 2.3 ; (2) 6x 3y •【解析】(1)原式=12 18 2 4-3 2 6 2 212 18,2 2.3 ;4(2)原式=x y 2x 2 2x x y 2x 2y x 2 2x x y = 6x 3y •【总结】本题主要考查了二次根式的混合运算.【作业7】化简并计算:(1) 12)(y- x)(x< 0, y> 0); y? 3匸•JxJx L(2)原式=6 2x—3 x2x【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【作业8】 若x2- 5x+ 1= 0，求.x 2+ ! - 2的值.【难度】★★ 【答案】.21 .2...x【总结】本题主要考查了完全平方公式的变形.【作业9】将下列二次根式化成最简二次根式.(1) X- 4 + J x 2- 2x+ 1 ( 1 x 4 );【难度】★★ 【答案】(1) 3;( 2)ab cd .【解析】(1)原式=x 4 x 14 x x 13 ；1 21 2 1- 21 x — 5x —x 2 2，• 25 x2xxxx【解析】由已知得:【答案】(1)x . y x xy(2)【解析】y x y x ； ---------- ;xy(2)已知a 、b 、c 为正数，d 为负数,ab - c 2d2 ab + c 2d 2原式=八年级秋季班(2)v a , b, c为正数，d为负数, cd cd, 原式=___ 2ab c2d2ab . c2d2ab cd .八年级秋季班【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【作业10】已知x, y分别是8- . 11的整数部分和小数部分，求2xy- y2的平方根. 【难度】★★★【答案】± 5 .【解析】•••9 •、右 , 3•.右4, • 4 .113 , •4 8 115 .x 4, y 4 、.11 , 2xy 2y y 2x y 4 .11 8 4 11 5 , ••• 2xy y2的平方根为 5 .【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来, 只能用一种整体思想相应的表示出来.【作业11】已知43-a与•. 8是同类二次根式，解答下列问题：(1)若a是正整数，则符合条件的a有几个？试写出a的最大值和最小值；(2)若a是整数，则符合条件的a有几个，是否存在a的最大值和最小值？为什么? 【难度】★★★【答案】(1 ) a max 41 , a min 11 ；(2)有无数个；存在最大值为41,不存在最小值.【解析】(1)•••..8 2 2 ,二43 a 2n2,当n 1 时，a 41 ；当n 2时，a 35; 当n 3时，a 25;当n 4 时，a 11 ；当n 5 时，a 7 (舍)，二a max 41 ,a min 11 ；(2 )有无数个存在最大值为41,不存在最小值.【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，因此要从多个角度考虑.。
