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2020年人教版数学八年级下册第16章二次根式课件全套PPT(完美版)

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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因

2019-2020人教版八年级数学下册第十六章二次根式章末复习课件(共59张)

2019-2020人教版八年级数学下册第十六章二次根式章末复习课件(共59张)

相关题 4 当 t 取何值时,
35t-3-5 的值最小？最小值是多少？
3
3
解：∵ 5t－3≥0，∴当5t－3＝0，即 t＝5 时，
最小值是－5.
3 5t－3－5 的值最小，
第十六章 二次根式
专题三 二次根式的混合运算
【要点指导】 进行二次根式的混合运算时, (1)先将二次根式进行适当的化简；(2)二次
第十六章 二次根式
专题五 二次根式的化简
【要点指导】
灵活应用二次根式的性质和公式：( a)2=a(a≥0), a2 =|a|, a·b =
a· b (a≥0, b≥0),
ab=
a b
(a≥0, b>0), 可以将复杂的二次根式进
行化简, 从而帮助我们解决问题.
第十六章 二次根式
例 7 实数 a, b 在数轴上对应点的位置如图 16-Z-1 所示, 则
第十六章 二次根式
(2)比较 5+ 13与 7+ 11的大小
分析 先求出两个式子的平方, 再比较这两个式子的平方的大小.
解：( 5+ 13)2=18+2 65, ( 7+ 11)2=18+2 77. ∵65<77,∴ 65< 77,∴18+2 65<18+2 77, 即( 5+ 13)2<( 7+ 11)2. 又∵ 5+ 13>0, 7+ 11>0, ∴ 5+ 13< 7+ 11.
a ≥0（ a≥0 ）
a =a（ a≥0 ）
a2
=|a|=
a(a≥0)， －a(a＜0)
当a≥0时，( a)2= a2

人教版八年级数学下册第十六章二次根式.二次根式-ppt下载

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D.2a﹣5
随堂检测
（教学提纲）人教版八年级数学下册 第十六 章二次 根式.二 次根式 -ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
4.若 x 12 1 x，则x的取值范围是（ D ）
A.x＞1
B.x≥1
C.x＜1
D.x≤1
5.在函数y= x 2 中，自变量x的取值范围是（ A ）
A.x≥﹣2且x≠30x
情境引入
（教学提纲）人教版八年级数学下册 第十六 章二次 根式.二 次根式 -ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
S
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____ ___.
（教学提纲）人教版八年级数学下册 第十六 章二次 根式.二 次根式 -ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
活动探究
（教学提纲）人教版八年级数学下册 第十六 章二次 根式.二 次根式 -ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
（教学提纲）人教版八年级数学下册 第十六 章二次 根式.二 次根式 -ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
再见
（教学提纲）人教版八年级数学下册 第十六 章二次 根式.二 次根式 -ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
x 4 3
x 3
x2
（教学提纲）人教版八年级数学下册 第十六 章二次 根式.二 次根式 -ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
活动探究
（教学提纲）人教版八年级数学下册 第十六 章二次 根式.二 次根式 -ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
探究点三、小组活动、讨论、典型例题
1.已知y= 2 x + x 2 +5，求 x 的值
理解要点： 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ a ” ②内在特征：被开数a ≥0

人教版八年级下册数学课件：16.1二次根式(2)(共15张PPT)

人教版八年级下册数学课件：16.1二次根式(2)(共15张PPT)

辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
(1) 22 2
2
(2) 2 2
（ ×） （ ×）
2
(3) 2 2 （ √ ）
(4) 22 2 （ √ ）
能力提升： 4.(1)已知a为实数，求代数式 a 2 4 2a 的a值2 .
解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0， ∴a=-2，
∴ a 2 4 2a a2 22 . 2
(2)已知a为实数，求代数式 a 4 9 a 的a2值. 解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0， ∴a2=0，∴a=0， ∴ a 4 9 a a2 4 9 2 3 1.
1:从运算顺序来看,
2 a
先开方,后平方
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣=
-a (a＜0)
代数式:用基本符号把数和表示数的 字母连结起来的式子.如5,a,a+b,ab,
s , x3, 3, a(a 0) t
计算：(1) ( )2源自(2) 102练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
化简下列各式:
(1)(3 2)2 (2 3)2 (2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
的两边,你能得
到什么启示?
2
a a (a≥0)
例2：计算
(1)( 1.5)2 (2)(2 5)2 (3)(3 3)2

最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)

最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)

A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3

(
x

2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1

八年级数学下第16章二次根式全单元(6)精选优质PPT课件

八年级数学下第16章二次根式全单元(6)精选优质PPT课件

二次根式：
1 4x3 y2 ( y 0) 2 m n (m n 0) mn
3 (a2 b2 )(a b)(a b 0)
4 a b5 a b4
练习 1. 化简：
1 x 1
x
3
2
2a a2
2 12x x 0 4 a a2 4a 4 0 a 2
练习 化简下列二次根式：
1 18 3 2
2
a
3a
33
3
b2 (b 0)
9a
b a 3a
4 12x x 0
y 2 3xy
y
观察
观察化简前后被开方数发生了
哪些变化？
18 3 2
a 3a 33
b2 b a
9a 3a
12x 2 3xy
y
y
概念
教学反思：
在此输入您的封面副标题
16、2最简二次根式及比较大小
大顾店中学数学备课组 主备人：邹军
教学目标
1、掌握什么事最简二次根式。 2、在化简得过程中了解化简时应注意什么。 3、会利用不同的方法比较两个二次根式的大
小。
预学检测
1本节学习什么内容？ 2、你认为本节课的重难点是什么？ 3、你在预学是有何疑问?
(1)被开方数中的因式是整数，因式 是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的 因数或因式.
3ab
1 x2 y
6m(a2 b2 )
3
例1 1.判断下列各式2a
3 24x3
4 3(a2 2a 1)(a 1)
例2
2.将下列各式化简成最简
y
a2
a

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件

36
6
（2）
=(
7
49
),
4
16
(
);
5
25
6
36
(
);
49
7
a
a

b
b
活动探究
二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例1 计算：
（2） 3
（1） 24 ；
3
解： (1)
24
2
24
3
3
3
(2)

2
1
．
18
8 2 2
1 ＝ 3 1 ＝ 3 18
＝ 27 ＝3 3
2
18
2
18
活动探究
探究二：二次根式除法法则的逆运用
把
a
b

aห้องสมุดไป่ตู้
( a 0，b＞0) 反过来，就得到
b
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例2 化简：
(1)
3
100
解：（1）
75
27
(2)
3
=
100
75
（2） =
27
3
100
=
a
a

( a 0，b＞0)
解：原式=
− × −
= ×
解：原式= − × −
= ×××
=
× ×
=
4、计算： ∙ −
原式= ∙

人教版八年级下册数学课件：16.1二次根式(1)(共19张PPT)

人教版八年级下册数学课件：16.1二次根式(1)(共19张PPT)
16.1二次根式（1）
数的数
学四统
家则治
的运着
全算整
部则个
装可量
备以的
。看世
作界
麦 克 斯 韦
是
， 而 算 数
获一数 得组学 结公是 论设一 －，门 －经演 －过绎 －逻的 陈辑学 省的问 身推，
理从
—-
麦克斯韦，英国物理学家、数 学家。经典电动力学的创始人， 与牛顿齐名。普遍认为是对二十 世纪最有影响力物理学家。
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3- 4 x
；（2） x
x -1
；
（3） - x 2 ； （4） x-2- 2-x ．
练习3 若 16-4n 是整数，则自然数n 的值为 ___________.
畅谈收获 发表感言
通过这节课的学习，你收获了什么？
当堂测验我不怕
学案纸第2页——达标测试
陈苏省步身青，，美中籍国华科裔学数学大师， 2院0 世院纪士，伟中大国的杰数出学家，继 欧的几数里学德家、，高被斯誉、为黎曼之后 几数何学学王又. 一曾获里1程97碑8式的人物。 年全国科学大会奖.
回忆：
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数．
双重非负性
大显身手 都能行
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） - 1 6
× （ 3） a 2 + 1 √
（2） a+10（ a ＞ 0）√ （4） -x（x≤ 0）√

人教版八年级数学下册第十六章 二次根式16.2二次根式的乘除课件(2课时66张)

人教版八年级数学下册第十六章 二次根式16.2二次根式的乘除课件(2课时66张)

22
35
3 4
32 3 4 4
2
3
2
巩固练习
连接中考
（2019•株洲） 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
B．4
C．10
D．2 2
课堂检测
基础巩固题
1.下面计算结果正确的是 ( D )
A. 4 5 2 5 8 5
B. 5 3 4 2 20 5
C. 4 3 3 2 7 5
人教版 数学 八年级 下册
16.2二次根式的乘除
第一课时 第二课时
第一课时
二次根式的乘法
返回
导入新知
如何计算 5 3？
苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 5 cm， 宽为 3cm，则它的面积是多少呢？
素养目标
2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平 方根的性质进行简单运算. 1. 掌握二次根式乘法法则.
不成立！
- 4、- 9 没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
探究新知
二次根式的乘法法则是:
在本章中， 如果没有特 别说明，所 有的字母都 表示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法： (1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内， 当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式 都是正数时，平方大的二次根式大． (3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的 近似值，再进行比较．

人教版数学八年级下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式 课件 (共18张PPT)

人教版数学八年级下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式 课件 (共18张PPT)

抽象概念
h 3, S , a b , , 5 2
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子
叫做二次根式， 称为二次根号.
类比分式: 体会“形式+参数+定义域”
巩固概念
例1 下列各式是二次根式吗?为什么？
(1)
6, (2)
12, (3)
4,
3
(4) -m ( m 0) , (5)
2
乘方
开方
x 5 (平方)
x 5(平方根)
x 5( x 0) (平方)
x 5(算数平方根)
引入概念—代数运算
2.我们学过哪些数与字母的运算？举例说明.
运算 加 减 乘 举 例 结 果 多项式 多项式 单项式 整式或分式 整式
除 乘方 开方
a+2，2a+b，a+a a-2，2a-b， a-2a -3ab ，5a2b3 a 3 x , , 2 b y 2 2 3 5 , a , ( a)
2
则 abc =
.
课堂小结
1.你有哪些收获？（知识、思想方 法、经验） 2.你有哪些困惑？ 3.展望后面将要学习哪些内容？
谢谢！
5, a,
3
b
?
引入概念—实际例子
（1）面积为2的正方形的边长为 面积为S的正方形的边长为 面积为(a+b)的正方形的边长为 ， ,
.
（2）面积为2的圆的半径为 . （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所 用的时间t（单位：S）与开始落下时离地面的 高度h（单位：m）满足关系h=st2如果用含有 h的式子表示t，那么t =_____.
xy ,(6)
5
巩固概念

新人教版初中数学八年级下册教学PPT第16章 二次根式《16.1二次根式》

新人教版初中数学八年级下册教学PPT第16章 二次根式《16.1二次根式》
的算术平方根，因此 a ＝_0__.这就是
说，当 a ≥__0__时， a ≥ ‗0‗‗ .即 a （ a≥0）是一个非负数.
二、学习目标
结合算术平方根的意义导
a 1
出( a )2 ＝ a（ ≥0），并利
用它们进行计算和化简；
结合算术平方根的意义导
2 出 a2 ＝ a （ a≥0），并利
用它们进行计算和化简.
3、学习反思：________________________ ______________________________________ _.
五、强化训练
1、判断下列各式是否是二次根式？
√ ① a ② 0.002
③ -5
2、下列式子中，是二次根式的是（A ）
A - 7 B 37 C x D x
(4) 0.25 ； (5) 1 ； 2
(6)0 .
2
2
解：(1) 9= 9
(2)5 = 5
(3) 2.5 =(
2.5
)
2
(4)
0.25=
2
0.25
2
(5)
1 2


1 2

(6)0= 02
”称为二次根号.
根 练一练 画一个面积为18m²的长方形，使它的
式 长和宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少？
答： 长应取 3 3 cm 宽应取 2 3 cm
三、研读课文
二
次
知
根 式
识有
点意
二义
的
条
件
例1 当 x 是怎样的实数时， x - 2 在实
数范围内有意义？
解：由 x-2 ≥0，得:
x ≥___2___

新人教版《二次根式的乘除》课件公开课PPT

新人教版《二次根式的乘除》课件公开课PPT

n（n2－1）＋n n2－1
＝
综设上AE所的述长,符为合m,条△件AD的E点的P面只积有为一S个,求,其S关坐于标m为的(2函,-2数√(关"3系" )式). ,并写出自变量m的取值范围;
"(i∴)当△四C边DE形的C最DM大N面是积平为行" 四"8边1"形/",8∵" M,此向时下A平E=移m4=个"9单" /"位2"得"N,B,∴E=NA的B-坐A标E=为" ("39+"n/,"n2-"2).,
按团体票一次性购买16张门票需要35×60%×16＝336(元)．
示为( B ) ②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
解：由题意，得：①甲组单独施工12天完成，商店需付装修费用3 600元；乙组单独施工24天完成，商店需付装修费用3 360元，比较可 知，甲组比乙组早12天完工，商店早开业12天可盈利200×12＝2 400(元)． 知识点四 列一元一次不等式解应用题
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
8．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 3.5 ；
解：原式＝
14 2
(2)
4 15
；
解：原式＝35 5
(3)
27 3x
；
(4) 16x3＋32x2 (x＞0).
解：原式＝3x x
解：原式＝4x x＋2
∴(的2)A函点B数E=从9关9,O点系．CA式=(出9绵,.并发写阳,沿出x中轴自向变考点量Bm)运等的动取式(值点范E与围xx点; － ＋A,B31不重＝合),过点xxE作－ ＋直31线l平成行立于B的C,交xAC的于点取D.设值AE范的长围为在m,△数AD轴E的上面积可为S表,求S关于m

人教版八年级数学下册16.1二次根式课件(共20张PPT)

人教版八年级数学下册16.1二次根式课件(共20张PPT)

3 1 )2
3
? a a ( 0)2 0
2
(a≥0)
观测上述等式 的两4边2 ,你4 能得 0.012 0.01 到什么启示?
1 2
1
3 3
02 0
a2 a (a≥0)
1、（ a）2＝a （a 0）
a (a>0)
2、（ a2）＝|a| = 0 (a=0)
-a (a＜0)
6
( a)2与 a2有区别吗?
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0) 18
1、练习册16.1 2、一课一练P1-2
19
5.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 ( 5)2
（2）3.4 ( 3.4)2
（3）16
( 1 )2 6
（4）x（x≥0） ( x)2
12
在实数范围内分解因式:4 x2- 3
解: ∵ 3
2
3
∴ 4x2 - 3 (2x)2 -
2
3
(2x + 3)(2x - 3)
?
13
已知a.b为实数，且满足 a 2b -1 + 1- 2b +1 求a 的值.
-a)
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
? 16
实数p在数轴上的位置如图所示，化
简
(1- p)2 +
2
2- p
1- p + (2 - p)
p -1+ 2 - p
1
17
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
二次根式的性质: a 0, a 0（. 双重非负性）
(1) a + 2; a≥－2
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第一课时
二次根式有意义的条件和非负性
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导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 r= 2Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱh2
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
探究新知 （2） x 3
x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴x+3≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究新知
知识点 2 二次根式的双重非负性 【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3

(x

2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
2020年春季人教版八年级数学下册 第16章二次根式全套教学课件目录：
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2020年春季人教版八年级数学下册 第16章 二次根式《16.1二次根式》
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人教版 数学 八年级 下册
16.1二次根式
第一课时 第二课时
知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为S 的正方形 的边长为____S___． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它 的宽为____6_5_m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关 系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_5h____．
（5）m (m，n异号，n 0） （6）x2 4
n
；（73）15
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
次根号
否 不是非负数
否
不是二次根式
根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
巩固练习
1.下列各式是二次根式吗?
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分 母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x2 2x 1;
（2） x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为任何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
探究新知
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如 B 有意义的条件：A＞0；
A
(3)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
A≥0；
B≥0；

...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
（10） 3 是
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
km，那么它们的传播半径之比是
2Rh1 2Rh2
.
式子 2Rh1 表示什么？
2Rh2
公式中r= 2Rh中的 2Rh 表示什么意义？
素养目标
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次 根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
1. 理解二次根式的概念.
探究新知
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65，h 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
， h．
5
探究新知
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？ 我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
x3 呢？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 .
探究新知
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；