高三学案：二次函数与幂函数

第7讲二次函数与幂函数1.二次函数的图像和性质解析式y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)图像定义域R R值域单调性在上单调递减，在，上单调递增在上单调递增，在，上单调递减顶点坐标奇偶性当时为偶函数对称轴方程x=-b2b2.幂函数(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较函数y=x y=x2y=x3y=x12y=x-1图像性质定义域R R R值域R R奇偶性函数函数函数函数函数单调在R上单在上在R上单调递增在上单调在和性调递增单调递减;在上单调递增递增上单调递减公共点常用结论1.二次函数解析式的三种形式:(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.一元二次不等式恒成立的条件:(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是“a>0且Δ<0”;(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是“a<0且Δ<0”.题组一常识题1.[教材改编]若函数f(x)=4x2-kx-8在[5，20]上是单调函数，则实数k的取值范围是.2.[教材改编]已知幂函数y=f(x)的图像过点(2，√2)，则函数f(x)= .3.[教材改编]函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，3]上的最大值为，最小值为.4.[教材改编]若函数y=x2+(a+2)x+3，x∈[a，b]的图像关于直线x=1对称，则b= . 题组二常错题◆索引:图像特征把握不准出错;不会利用二次函数图像解决问题;二次函数的单调性理解不到位;忽略幂函数的定义域;幂函数的图像掌握不到位出错.5.如图2-7-1，若a<0，b>0，则函数y=ax2+bx的大致图像是(填序号).①②③④图2-7-16.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0)，若f(m)<0，则f(m-1)0.(填“>”“<”或“=”)7.若函数y=mx2+x+2在[3，+∞)上是减函数，则m的取值范围是.8.已知幂函数f(x)=b-12，若f(a+1)<f(10-2a)，则a的取值范围为.9.当x∈(0，1)时，函数y=x m的图像在直线y=x的上方，则m的取值范围是.探究点一幂函数的图像和性质例1 (1)已知幂函数y=x n，y=x m，y=x p的图像如图2-7-2所示，则()图2-7-2A.m>n>pB.m>p>nC.n>p>mD.p>n>m)，b=f(ln (2)[2018·乌鲁木齐二模]已知点(m，8)在幂函数f(x)=(m-1)x n的图像上，设a=f(√33)，则a，b，c的大小关系为()π)，c=f(√22A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c[总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.变式题 [2018·湖北重点中学联考]已知幂函数f(x)=b b2-4b(m∈Z)的图像关于y轴对称，且在区间(0，+∞)上为减函数，则m的值为.探究点二二次函数的解析式例2 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，则f(x)= .(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R，都有f(2-x)=f(2+x)，则f(x)= .[总结反思] 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式;(3)已知图像与x轴两交点的坐标，宜选用零点式.变式题 (1)已知函数f(x)=x2+bx+c的图像的对称轴是直线x=1，并且经过点A(3，0)，则f(-1)=()A.6B.2C.0D.-4图2-7-3(2)[2018·烟台一模]图2-7-3是二次函数y=f(x)的图像，若|OC|=|OB|=3|OA|，且△ABC 的面积S=6，则这个二次函数的解析式为.探究点三二次函数的图像与性质问题微点1通过图像识别二次函数例3 图2-7-4是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分，已知图像过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.图2-7-4其中正确的是()A.②④B.①④C.②③D.①③[总结反思] 一般地，给定了二次函数的图像，我们可以从图像中得到下列信息:(1)开口方向;(2)判别式的正负;(3)对称轴;(4)特殊点的函数值的正负.微点2二次函数的单调性问题)，f(√3)的大小例4 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的最小值为f(1)，则f(√2)，f(-32关系是())<f(√3)A.f(√2)<f(-32)<f(√2)<f(√3)B.f(-32)C.f(√3)<f(√2)<f(-32)D.f(√2)<f(√3)<f(-32(2)已知二次函数f(x)=2kx2-2x-3k-2在区间[-5，5]上是单调函数，则实数k的取值范围为.[总结反思] 对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解;(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较，或通过与对称轴之间的距离大小进行比较.微点3二次函数的最值问题例5 已知函数f(x)=x2+ax+3，当函数f(x)在区间[-1，1]上的最小值为-3时，求实数a的值.[总结反思] 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.微点4二次函数的恒成立问题，若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围;例6 (1)设函数f(x)=mx2-x-32(2)已知函数f(x)=-2x2+4x+m，若f(x)≤2m-2在区间[m，m+2]上恒成立，求m的取值范围.[总结反思] (1)判别式转化法:如f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立，即转化为，(2)对于轴定区间不定的一元二次不等式恒成立问题，可结合对称轴的情况，对不定区间进行讨论，最后得参数的范围.应用演练1.【微点3】已知函数f(x)=-x2+4x+a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值-2，则f(x)的最大值为()A.-1B.0C.1D.22.【微点2】函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x)，且f(0)=3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.不确定3.【微点2】已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，5]上为减函数，则实数a的取值范围为.<0对一切实数x都成立，则k的取值范围4.【微点4】若一元二次不等式2kx2+kx-38为.5.【微点4】已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围为.第7讲 二次函数与幂函数考试说明 1.二次函数(1)掌握二次函数的图像与性质(单调性、对称性、顶点、最值). (2)了解二次函数的广泛应用. 2.幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y=1b ，y=b 12的图像，了解它们的变化情况.【课前双基巩固】 知识聚焦1.， ， ， ， ， b=02.{x|x ≥0} {x|x ≠0} {y|y ≥0} {y|y ≥0} {y|y ≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (-∞，0] (0，+∞) [0，+∞) (-∞，0) (0，+∞) (1，1) 对点演练1.(-∞，40]∪[160，+∞) [解析] 二次函数图像的对称轴方程是x=b 8，故只需b 8≤5或b8≥20，即k ≤40或k ≥160，故所求实数k 的取值范围是(-∞，40]∪[160，+∞). 2.b 12 [解析] 设f (x )=x α，则√2=2α，所以α=12，故函数f (x )=b 12.3.6 2 [解析] f (x )=x 2-2x+3=(x-1)2+2，x ∈[0，3]，当x=1时，函数f (x )取得最小值2;当x=3时，函数f (x )取得最大值6.4.6 [解析] 函数y=x 2+(a+2)x+3的图像在[a ，b ]上关于直线x=1对称，说明函数图像的对称轴为直线x=1，即-b +22=1且b +b 2=1，∴a=-4，b=6.5.③ [解析] 函数图像的开口向下，对称轴方程为x=-b2b >0，且过原点，故大致图像是③.6.> [解析] f (x )=x 2-x+a 图像的对称轴为直线x=12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0，1)，∴m -1<0，∴f (m-1)>0.7.m ≤-16 [解析] 当m=0时，函数在给定区间上是增函数，不合题意;当m ≠0时，函数是二次函数，其图像的对称轴为直线x=-12b，依题意知，解得m ≤，16.8.(3，5) [解析] ∵幂函数f (x )=b 12在定义域(0，+∞)内单调递减，∴由f (a+1)<f (10-2a )，得，解得3<a<，，故答案为(3，，).9.(-∞，1) [解析] 当m>0时，根据题意知m<1，所以0<m<1;当m=0时，函数为y=1(x ≠0)，符合题意;当m<0时，函数y=x m的图像过点(1，1)，在(0，+∞)上单调递减，符合题意.综上所述，m 的取值范围是(-∞，1). 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)直接根据幂函数图像的特点判断即可;(2)根据幂函数的定义及图像所经过的点确定m ，n 的值，再利用单调性比较大小.(1)C (2)A [解析] (1)根据幂函数的性质可得，在(1，+∞)上指数大的幂函数其图像在上面，结合所给函数图像可得n>p>m ，故选C .(2)函数f (x )=(m-1)x n 为幂函数，所以m=2.由题意，点(2，8)在幂函数的图像上，即8=2n，所以n=3，即f (x )=x 3，则f (x )在(0，+∞)上是增函数，又√33<√22<1<ln π，所以f (√33)<f (√22)<f (ln π)，所以a<c<b ，故选A .变式题 2 [解析] 易知m 2-4m 为偶数，且小于0，由m 2-4m<0，解得0<m<4，又m ∈Z ，所以m=2.例2 [思路点拨] (1)由已知得所求函数的顶点式，与已知解析式比较对应项系数即可求出参数;(2)找出对称轴，设函数的解析式为零点式，再利用图像过点(4，3)可求出参数. (1)x 2+2x+1 (2)x 2-4x+3 [解析] (1)由函数f (x )的最小值为f (-1)=0，得f (x )=a (x+1)2=ax 2+2ax+a ，又f (x )=ax 2+bx+1，所以a=1，故f (x )=x 2+2x+1.(2)因为f (2-x )=f (2+x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图像的对称轴为直线x=2.又因为f (x )的图像在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )=0的两根为1和3.设f (x )=a (x-1)(x-3)(a ≠0)，因为f (x )的图像过点(4，3)，所以3a=3，即a=1，所以f (x )=(x-1)(x-3)，即f (x )=x 2-4x+3. 变式题 (1)C (2)f (x )=-x 2+2x+3 [解析] (1)由题意知-b2=1，得b=-2，∴f (3)=9+3b+c=9-6+c=0，∴c=-3，∴f (x )=x 2-2x-3， ∴f (-1)=1+2-3=0.(2)因为|OB|=|OC|=3|OA|，所以|AB|=|OA|+|OB|=4|OA|，所以4|OA|×3|OA|×12=6，得|OA|=1，所以A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3). 设这个二次函数的解析式为f (x )=a (x+1)(x-3)，将点C (0，3)代入，得a=-1， 所以这个二次函数的解析式为f (x )=-x 2+2x+3.例3 [思路点拨] 根据二次函数的图像可以知判别式的正负、开口方向、对称轴、x=-1处函数值的正负，由这些信息可判断结论的正误.B [解析] 因为图像与x 轴交于两点，所以b 2-4ac>0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为直线x=-1，即-b2b=-1，即2a-b=0，②错误.结合图像知，当x=-1时，y>0，即a-b+c>0，③错误.由对称轴为直线x=-1知，b=2a ，又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a ，即5a<b ，④正确.故选B .例4 [思路点拨] (1)二次函数存在最小值，所以图像开口向上，再根据与对称轴之间的距离判断大小关系;(2)由f (x )在[-5，5]上是单调函数可知，对称轴在区间[-5，5]的两侧. (1)D (2)，∪， [解析] (1)因为二次函数f (x )有最小值f (1)，所以a>0，且其图像的对称轴为直线x=1.因为√2，-32，√3与对称轴之间的距离分别为|√2-1|，|-32-1|，|√3-1|，且|√2-1|<|√3-1|<|-32-1|，所以f (√2)<f (√3)<f (-32)，所以选D . (2)∵f (x )是二次函数，∴k ≠0.∵f (x )的图像关于直线x=12b 对称， ∴要使f (x )在区间[-5，5]上是单调函数，则必有12b≤-5或12b≥5，解得-110≤k<0或0<k ≤110，即实数k 的取值范围是，∪，.例5 [思路点拨] 根据图像的开口方向和对称轴与区间[-1，1]的关系分类讨论求解. 解:由题意得，函数f (x )=x 2+ax+3的图像的对称轴为直线x=-b2.①当1≤-b2，即a ≤-2时，f (x )在[-1，1]上单调递减， ∴f (x )min =f (1)=1+a+3=a+4=-3，解得a=-7，符合题意.②当-1<-b2<1，即-2<a<2时，由题意得f (x )min =f (-b2)=4×3−b 24=-3，解得a 2=24，∴a=2√6或a=-2√6，不合题意，舍去.③当-b2≤-1，即a ≥2时，f (x )在[-1，1]上单调递增， ∴f (x )min =f (-1)=1-a+3=4-a=-3，解得a=7，符合题意. 综上可知，a=7或a=-7.例6 [思路点拨] (1)对m 进行分类讨论，结合二次函数的图像和性质得到关于m 的不等式，求得m 的取值范围.(2)根据对称轴与区间[m ，m+2]的位置关系进行分类讨论. 解:(1)若m=0，则显然不成立; 若m ≠0，则，解得m<，16. 综上可知，m<-16.(2)f (x )≤2m-2在区间[m ，m+2]上恒成立，即2x 2-4x+m-2≥0在[m ，m+2]上恒成立，设g (x )=2x 2-4x+m-2，其图像的对称轴为直线x=1.①若m ≥1，则函数g (x )在[m ，m+2]上单调递增，要满足g (x )≥0，只需g (m )≥0，即2m 2-3m-2≥0，解得m ≥2或m ≤-12(舍);②若m<1<m+2，即-1<m<1，则函数g (x )在[m ，m+2]上的最小值为g (1)，由g (1)≥0得m ≥4，不符合题意，舍去;③若m+2≤1，即m ≤-1，则函数g (x )在[m ，m+2]上单调递减，要满足g (x )≥0，只需g (m+2)≥0，即2(m+2)2-4(m+2)+m-2≥0，解得m ≤-5-√414或m ≥-5+√414(舍).综上可得，m 的取值范围为m ≤-5-√414或m ≥2.应用演练1.C [解析] 函数f (x )=-x 2+4x+a=-(x-2)2+a+4，x ∈[0，1]，∵函数f (x )=-x 2+4x+a 在[0，1]上单调递增，∴f (x )有最小值f (0)=a=-2，∴f (x )的最大值为f (1)=3+a=3-2=1，故选C .2.A [解析] 由题意知，函数f (x )的图像关于直线x=1对称，∴b=2，又f (0)=3，∴c=3，则b x =2x ，c x =3x .易知f (x )在(-∞，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增.若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x );若x<0，则3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x ).∴f (3x )≥f (2x )，即f (b x )≤f (c x ).故选A .3.a ≤-4 [解析] 易知函数f (x )=x 2+2(a-1)x+2的图像开口向上，且以直线x=1-a 为对称轴，若函数f (x )=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，5]上是减函数，则5≤1-a ，即a ≤-4.4.(-3，0) [解析] 由题意知k<0，且Δ=k 2+3k<0，所以-3<k<0.5.， [解析] 由题意知2ax 2+2x-3<0在[-1，1]上恒成立.当x=0时，符合;当x ≠0时，a<32(1b -13)2-16恒成立.因为1b ∈(-∞，-1]∪[1，+∞)，当1b =1，即x=1时，y=32(1b -13)2-16取得最小值12，所以a<12. 综上，实数a 的取值范围是，.【备选理由】 例1考查常见幂函数的性质;例2考查含绝对值的二次函数的单调性，需要先去掉绝对值再求解;例3为轴定区间动的最值问题，需要依据对称轴进行分类讨论求解;例4为与二次函数有关的恒成立问题，结合了指数函数的性质.例1 [配合例1使用] 已知a ∈，，若，(，)=x a 为，函数，且在(0，+∞)上单调递增，则实数a 的值是( )A .-1，3B .13，3C .-1，13，3D .13，12，3 [解析] B 因为f (x )=x a为奇函数，所以a ∈，，又，为f (x )在(0，+∞)上单调递增，所以a ∈，，因此选B .例2 [配合例4使用] 若函数f (x )=x 2+a|x-2|在(0，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 .[答案] [-4，0][解析] f(x)=，若函数f(x)在(0，+，)上单，递增，注意到f(x)在x，2处连续，则只需，⇒-4≤a≤0.例3[配合例5使用] 设函数f(x)=x2-2x+2，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解:f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x∈[t，t+1]，t∈R，其图像的对称轴为直线x=1.当t+1<1，即t<0时，函数图像如图①所示，函数f(x)在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1;①②③当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图像如图②所示，函数f(x)的最小值为f(1)=1;当t>1时，函数图像如图③所示，函数f(x)在区间[t，t+1]上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.综上可知，f(x)min=，例4[配合例，使用]，函数，(x)=a，x+3a x-2(a>1)，若在区间[-1，1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为.[答案] 2[解析] 令a x=t，因为a>1，x∈[-1，1]，所以1≤t≤a，原函数可化为g(t)=t2+3t-2，显然bg(t)在，上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max=g(a)≤8恒成立，所以有a2+3a-2≤8，解得-5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2.。

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第4讲幂函数与二次函数板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点幂函数的图象和性质1．五种幂函数图象的比较2．幂函数的性质比较[必会结论]1．一元二次不等式恒成立的条件(1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0)恒成立的充要条件是错误!(2）ax2＋bx＋c＜0(a≠0）恒成立的充要条件是错误!2．二次函数表达式的三种形式(1）一般式:y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．（2）顶点式：y＝a（x＋h)2＋k（其中a≠0,顶点坐标为(－h，k））．（3）两根式：y＝a(x－x1)(x－x2）(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．[考点自测］1．判断下列结论的正误．（正确的打“√"，错误的打“×”）(1）幂函数的图象都经过点（1,1)和（0,0)．( )（2)二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R)，不可能是偶函数．（)(3）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是错误!.( )(4）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．( )答案(1)×(2）×(3）×(4)×2．[2018·济南诊断］已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点错误!，则k＋α＝( )A.错误!B．1C。

芯衣州星海市涌泉学校函数与导数第四节二次函数与幂函数考点：1．二次函数掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．2．幂函数(1)理解幂函数的概念．(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x 12的图象，理解它们的变化情况．主干知识：知识点一五种常见幂函数的图象与性质五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公一一共点(1,1)易误提醒形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝3x 12不是幂函数．[自测练习]1．幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，那么k＋α＝()A.B．1 C.D．2解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以α＝，解得α＝，那么k＋α＝.答案：C知识点二二次函数1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象和性质a>0a<0图象定义域x∈R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－；②顶点：易误提醒研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易无视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数．必备方法1．函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y＝f(x)，假设定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称．(2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x ＝a对称(a为常数)．2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是[自测练习]2.二次函数的图象如下列图，那么此函数的解析式可能是()A．y＝－x2＋2x＋1B．y＝－x2－2x－1C．y＝－x2－2x＋1D．y＝x2＋2x＋1解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题图得：a<0，b<0，c>0.选C.答案：C3．假设二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，那么a，c满足的条件是________．解析：由得⇒答案：a>0，ac＝44．f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，那么实数m的取值范围是________．解：因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，所以≤2，即m≤16.答案：(－∞，16]考点练习：考点一幂函数的图象与性质|1．(2021·二模)假设函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，那么f的值是()A.B.C.D.解析：设f(x)＝xa，又f(4)＝3f(2)，∴4a＝3×2a，解得a＝log23，∴f＝log23＝.答案：A2.假设四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如下列图，那么a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c解析：幂函数a＝2，b＝，c＝－，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.应选B.答案：B3．(2021·三模)假设(a＋1)－<(3－2a)－，那么实数a的取值范围是________．解析：不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或者者3－2a<a＋1<0或者者a＋1<0<3－2a.解得a<－1或者者<a<.答案：(－∞，－1)∪规律与方法幂函数图象与性质应用的三个关注点(1)假设幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，那么α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(2)假设幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，那么α>0，假设在(0，＋∞)上单调递减，那么α<0.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进展比较．考点二二次函数的图象与性质|(1)为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如下列图)．假设对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，那么右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为()A．y＝(x＋3)2 B．y＝－(x－3)2C．y＝－(x＋3)2 D．y＝(x－3)2[解析]由题图可知，对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，所以点C的纵坐标为0，横坐标的绝对值为＋＝3，即C(－3,0)，因为点F与点C关于y轴对称，所以F(3,0)，因为点F是右轮廓线DFE所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y＝a(x－3)2(a>0)，将点D(1,1)代入得，a ＝，即y＝(x－3)2，应选D.[答案]D(2)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，那么f(1)的取值范围是()A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)>25[解析]函数f(x)＝4x2－mx＋5的增区间为，由可得≤－2⇒m≤－16，所以f(1)＝4×12－m×1＋5＝9－m≥25.[答案]A解决二次函数图象与性质问题时两个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者互相制约常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性〞(作草图)，再“定量〞(看图求解)，事半功倍．1．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，假设f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)假设b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a，假设a>0，那么f(x)在区间[2,3]上是增函数．那么有解得假设a<0，那么f(x)在区间[2,3]上是减函数，那么有解得综上可知，a＝1，b＝0或者者a＝－1，b＝3.(2)由b<1知，a＝1，b＝0，那么f(x)＝x2－2x＋2，所以g(x)＝x2－(m＋2)x＋2.因为g(x)在区间[2,4]上是单调函数，所以≥4或者者≤2，解得m≥6或者者m≤2.考点三二次函数的综合应用|设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足条件：①f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函数f(x)的图象与直线y＝x只有一个公一一共点．(1)求f(x)的解析式；(2)假设不等式πf(x)>2－tx在t∈[－2,2]时恒成立，务实数x的取值范围．[解](1)∵由①知f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴是直线x＝－1，∴b＝2a.∵函数f(x)的图象与直线y＝x只有一个公一一共点，∴方程组有且只有一个解，即ax2＋(b－1)x＝0有两个一样的实根，∴Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1，∴a＝.∴f(x)＝x2＋x.(2)∵π>1，∴πf(x)>2－tx等价于f(x)>tx－2，即x2＋x>tx－2在t∈[－2,2]时恒成立⇔函数g(t)＝xt－<0在t∈[－2,2]时恒成立，∴即解得x<－3－或者者x>－3＋，故实数x的取值范围是(－∞，－3－)∪(－3＋，＋∞)．不等式恒成立的求解方法由不等式恒成立求参数取值范围，常用别离参数法，转化为求函数最值问题，其根据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.2．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值，都有f(x)>0，务实数a的取值范围．解：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1,4)，得a>－＋在(1,4)上恒成立．令g(x)＝－＋＝－22＋，∈，∴g(x)max＝g(2)＝，所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要a>即可.3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用【典例】f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．[思路分析]参数a的值确定f(x)图象的形状；a≠0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置．[解](1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在上递减，在上递增．∴f(x)min＝f＝－＝－.②当>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝[思想点评](1)此题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进展了讨论，又对对称轴进展讨论．在分类讨论时要遵循分类的原那么：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量防止分类，绝不无原那么的分类讨论．(2)在有关二次函数最值的求解中，假设轴定区间动，仍应对区间进展分类讨论．[跟踪练习]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，假设函数的最小值为g(x)，求g(x)．解：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进展讨论．当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，那么当x＝a时，y获得最小值，即ymin＝a2－2a；当a>1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，那么当x＝1时，y获得最小值，即ymin＝－1.综上，g(x)＝练习A组考点才能演练1．当ab>0时，函数y＝ax2与f(x)＝ax＋b在同一坐标系中的图象可能是以下列图象中的()解析：因为ab>0，所以，当a<0，b<0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数f(x)＝ax＋b的图象在x，y轴上的截距均为负值，显然D项满足条件；而当a>0，b>0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数f(x)＝ax＋b的图象在x轴上的截距为负值，在y轴上的截距为正值，没有符合条件的选项，应选D.2．函数f(x)＝x2＋x＋c.假设f(0)>0，f(p)<0，那么必有()A．f(p＋1)>0B．f(p＋1)<0C．f(p＋1)＝0D．f(p＋1)的符号不能确定解析：函数f(x)＝x2＋x＋c的图象的对称轴为直线x＝－，又∵f(0)>0，f(p)<0，∴－1<p<0，p＋1>0，∴f(p＋1)>0.答案：A3．假设幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，那么m的取值是()A．－1≤m≤2B．m＝1或者者m＝2C．m＝2 D．m＝1解析：由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或者者m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或者者m＝1.答案：B4．假设函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，那么m的取值范围是()A．[0,4] B.C. D.解析：二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈.答案：D5．(2021·质检)假设函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(x＋1)＝f(－x)，那么() A．f(－2)<f(0)<f(2)B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2)D．f(0)<f(2)<f(－2)解析：由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于直线x＝对称，又抛物线f(x)开口向上，∴f(0)<f(2)<f(－2)．答案：D6．二次函数f(x)＝x2＋(2－log2m)x＋m是偶函数，那么实数m＝________.解析：利用偶函数性质求解．因为偶函数的图象关于y轴对称，所以－＝0，解得m＝4.答案：47．幂函数f(x)＝x－，假设f(a＋1)<f(10－2a)，那么a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x－＝(x>0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)<f(10－2a)，∴3<a<5.答案：(3,5)8．函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1,3]，那么b－a的取值范围是________．解析：由题意知，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为函数f(x)在[a，b]上的值域为[－1,3]，所以当a＝－1时，1≤b≤3；当b＝3时，－1≤a≤1，所以b－a∈[2,4]．答案：[2,4]9．函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．(1)假设函数f(x)的图象过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，务实数k的取值范围．解：(1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.因为方程f(x)＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－4a＝0.所以4a2－4a＝0，所以a＝1，所以b＝2.所以f(x)＝(x＋1)2.(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－.由g(x)的图象知：要满足题意，那么≥2或者者≤－1，即k≥6或者者k≤0，∴所务实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．10．函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)假设f(x)的定义域和值域均是[1，a]，务实数a的值；(2)假设f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，务实数a 的取值范围．解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]．∴即解得a＝2.(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3.故实数a的取值范围是[2,3]．B组高考题型专练1．(2021·高考卷)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是()解析：函数y＝xa(x≥0)与y＝logax(x>0)，选项A中没有幂函数图象，不符合；对于选项B，y＝xa(x≥0)中a>1，y＝logax(x>0)中0<a<1，不符合；对于选项C，y＝xa(x≥0)中，0<a<1，y＝logax(x>0)中a>1，不符合，对于选项D，y＝xa(x≥0)中0<a<1，y＝logax(x>0)中，0<a<1，符合，应选D.答案：D2．(2021·高考卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率〞．在特定条件下，可食用率p与加工时间是是t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最正确加工时间是是为()A．0分钟B．5分钟C．4.00分钟D．5分钟解析：由得解得∴p＝－0.2t2＋t－2＝－2＋，∴当t＝＝5时p最大，即最正确加工时间是是为5分钟．应选B.3．(2021·高考卷)函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，那么A－B＝()A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16C．－16 D．16解析：f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或者者x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图.由图及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.答案：C4．(2021·高考卷)假设a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么p＋q的值等于________．解析：依题意有a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，那么a＋b＝p，ab＝q，由p>0，q>0可知a>0，b>0.由题意可知ab＝(－2)2＝4＝q，a－2＝2b或者者b－2＝2a，将a－2＝2b代入ab＝4可解得a＝4，b＝1，此时a＋b＝5，将b－2＝2a代入ab＝4可解得a＝1，b＝4，此时a＋b＝5，那么p＝5，故p＋q＝9.答案：9。

2.4 二次函数与幂函数『知识梳理』 （一.）二次函数 1．二次函数的解析式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式： f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式： f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图像和性质二次函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，a 决定图像开口方向，a 与b 决定对称轴位置，c 决定图像与y 轴的交点位置，a 、b 、c 决定图像的顶点，顶点坐标是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a 。

若二次函数y ＝f (x )恒满足f (x ＋m )＝f (－x ＋n )，则其对称轴为 . 3.根与系数的关系二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当判别式042>-=∆ac b 时，图像与x 轴有两个交点)0,(),0,(2211x M x M ，这里2,1x x 是方程 0)(=x f 的两个根。

根与系数的关系满足韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=•-=+a c x x ab x x 2121，弦长a x x M M ∆=-=21214. 根分布问题:一般地，对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx +c =0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f (x )=ax 2+bx +c (a >0)(1)x 1<α,x 2<α,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-≥∆0)(20ααf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-≥∆0)(20ααf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)(0)(20βαβαf f ab (4) α＜x 1<n ＜x 2＜β，,则⎪⎩⎪⎨⎧><>0)(0)(0)(βαf n f f(5）若f (x )=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆βαa b20 5.恒成立问题 不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数集上恒成立⎩⎨⎧>==⇔00c b a 或⎩⎨⎧<∆>00a不等式ax 2＋bx ＋c ＜0在实数集上恒成立⎩⎨⎧<==⇔00c b a 或⎩⎨⎧<∆<0a0)(>x f 在区间『a ，b 』上恒成立0)(min >⇔x f 0)(<x f 在区间『a ，b 』上恒成立0)(max <⇔x f6.三个“二次”的关系 （二）幂函数 1．幂函数概念形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 2．幂函数的图像(以y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1-x ，y ＝21x 为例)．3．幂函数的图像和性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点 （2）．当α>0时，幂函数y ＝x α有下列性质：①图像都过点(0,0)(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大；③在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展（3）．当α<0时，幂函数y ＝x α有下列性质：①图像都通过点(1,1)；②在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近；在第一象限是减函数③在第一象限内，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．0))(<(βαff（4）．①幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数．②作函数y ＝x α的图像时，一般依据上述性质作出第一象限的图像，而后依据函数的奇偶性作出x <0的图像即可．③幂函数的图像无论α取何实数，其必经过第一象限，且一定不不经过第四象限． 『考点讲与练』 求二次函数的解析式『例1』 已知二次函数f (x )同时满足条件：(1)f (1＋x )＝f (1－x )；(2)f (x )的最大值为15；(3)f (x )＝0的两根立方和等于17.，求f (x )的解析式．变式练习1 (2012·浏阳模拟)已知二次函数f (x )的图像过A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－8)． (1) 求f (x )的解析式； (2)求f (x )在x ∈『0,3』上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．求二次函数的最值『例2』 设函数f (x )＝x 2－2x －1在区间『t ，t ＋1』上有最小值g (t )，求g (t )的解析式．变式练习2 已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间『0,2』上有最小值3，求a 的值．恒成立问题『例3』 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围； (2)当x ∈『－2,2』时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．变式练习3 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3根的分布『例4』 (1)关于x 的方程2x 2－3x ＋2m ＝0有且仅有一根在『－1,1』内，求m 的取值范围； (2) 关于x 的方程2x 2－3x ＋2m ＝0两实根均在『－1,1』内，求m 的取值范围．变式练习 4 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．二次函数的综合问题『例5』已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间『1,2』上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．变式练习5 设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数)．(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．『思想方法感悟』1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路。

第九讲 幂函数与二次函数一、知识要点： 1．幂函数（1）幂函数的定义：形如f(x)=x α（α为常量）。

（2）幂函数的性质：所有幂函数在 （0，+∞）上都有意义，并且图像都过点 （1，1）。

（3）幂函数a y x =的图像分布及其性质：第一象限一定有图像且过（1，1）点，第四象限一定无图像，当幂函数偶函数时图像分布一二象限，奇函数时图像分布一三象限；第一象限图像的变化趋势：当0α<时，递减，0α>递增，其中1α>时，递增速度越来越快，01α<<时递增速度越来越慢； 2 二次函数(1)二次函数的三种表示法 y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n(2)基本性质：当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q )若－ab 2<p, 则f(p)=m,f(q)=M; 若p ≤－ab 2<x 0, 则f(－ab 2)=m,f(q)=M;若x 0≤－ab 2<q, 则f(p)=M,f(－ab 2)=m; 若－ab 2≥q, 则f(p)=M,f(q)=m3.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）之间关系（1）当△＝b 2－4ac ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个交点（x 1，0）、（x 2，0），（不妨设x 1＜x 2）对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个不等实根x 1、x 2；（2）当△＝b 2－4ac ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且只有一个交点（x 0，0），对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个相等实根x 0；（3）当△＝b 2－4ac ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）没有实根．4.二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p >q )⇔()0()0af p af q <<⎩二、基础练习： 1．设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为2. 比较下列各组数的大小：22330.30.23322(1)0.7,0.6;(2)( 1.2),( 1.25);(3)0.2,0.3(4),,(01)b a ba b b a b ----<<< 3.已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是4.函数21554(32)y x x x =++≥-的值域是5.已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是三、例题精讲：例1．已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，在指数函数()g x 的图象上．问方程()()0f xg x -=有 个根，当x ≥0时不等式()()f x g x ≥和()()f x g x <的解集分别是： 、 ．例2.已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是变式：已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．例3.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R )(1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围例4.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围例5. 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，a R}，若A∪B＝A，求a的取值范围．能力测试题一.填空题;1.求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；值域 (2) 定义域为[]2,1-．值域 2 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是3 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值正负情况为4 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________6.已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是二.解答题：7 方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，求实数a 的取值范围．8．已知不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2－5x ＋a ＞0的解集．9 如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围10. 已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x =|a －1|+2的根的取值范围。

第四节 二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质[1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小．3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A .12 B ．1 C .32D ．2C [∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32.]3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜bD [结合幂函数的图象可知b ＞c ＞a .]4．(教材改编)已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值范围为( )A ．a ≤－5B ．a ≤5C ．a ≥－5D ．a ≥5C [由题意可得－a 2≤52，即a ≥－5.]5．(教材改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0,3]， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1， 又g (0)＝0，g (3)＝9－6＝3，∴g (x )max ＝3，即g (x )的值域为[－1,3]．]幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数D [设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．] 2.幂函数y ＝x m 2－4m(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [由图象可知y ＝x m 2－4m 是偶函数，且m 2－4m ＜0， ∴0＜m ＜4，又m ∈Z ，∴m ＝1,2,3，经检验m ＝2符合题意．]3．若(a ＋1) 12＜(3－2a ) 12，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解之得－1≤a ＜23.]求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.(1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [(1)∵f (0)＝3，∴c ＝3. 又f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)∵f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2， 又f (x )为偶函数，且值域为(－∞，4]， ∴⎩⎨⎧ 2a ＋ab ＝0，2a 2＝4.∴⎩⎨⎧b ＝－2，2a 2＝4. ∴f (x )＝－2x 2＋4.]满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是的解析式．[解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0]D ．[－3,0]D [当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．][母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. －3 [由题意知f (x )必为二次函数且a ＜0，又3－a2a＝－1，∴a ＝－3.] ►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解] f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5； (2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a 的取值范围为( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)因为对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，a ＞2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12， 又－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12≤12，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)因为函数f (x )＝x 2＋mx －1的图象是开口向上的抛物线，要使对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎨⎧f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎨⎧m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0. 所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.](1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]．g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，故k的取值范围是(－∞，1)．。

第四节二次函数与幂函数最新考纲考情分析1。

了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题。

1。

幂函数一般不单独命题，而常与指数函数，对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，主要考查幂函数的图象和性质．2．对二次函数相关性质的考查是命题热点，大多以选择题、填空题出现．3．试题难度以中、低档题为主,个别试题难度较大.知识点一二次函数的图象和性质1。

二次函数解析式的三种形式:（1)一般式：f（x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）;（2)顶点式：f(x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）；（3)零点式:f(x）＝a（x－x1)(x－x2）(a≠0）．2．一元二次不等式恒成立的条件：（1）ax2＋bx＋c〉0(a≠0)恒成立的充要条件是“a〉0且Δ〈0”;（2）ax2＋bx＋c〈0（a≠0）恒成立的充要条件是“a<0且Δ<0”．知识点二幂函数1．定义:形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量,α是常数．2．常见的五种幂函数的图象和性质比较1．思考辨析判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×"）(1)函数y＝是幂函数．（×)(2）当n>0时，幂函数y＝x n在(0,＋∞）上是增函数．(√）(3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R）不可能是偶函数．(×）(4）二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b］)的最值一定是错误!.（×)解析:(1）由于幂函数的解析式为f（x)＝xα，故y＝不是幂函数，(1)错．(3）由于当b＝0时,y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故（3）错．（4）对称轴x＝－错误!，当－错误!小于a或大于b时，最值不是4ac－b24a,故(4)错．2．小题热身（1)已知幂函数f(x）＝k·xα的图象过点错误!，则k＋α＝(C）A。