7.1不等式及其基本性质利用不等式的性质比较大小素材

不等式的基本概念与性质在数学中，不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学表达式。

不等式通过使用不等于号（≠）、小于号（<）、小于等于号（≤）、大于号（>）和大于等于号（≥）等符号，来描述数值的相对大小关系。

不等式的概念和性质在数学中起到了重要的作用，对于解决实际问题和进行数学推理都具有重要意义。

一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是一个数学表达式，通过使用不等于号、小于号、小于等于号、大于号和大于等于号等符号来比较两个数或者两个代数式的大小关系。

2. 不等式的符号及其含义（1）≠：不相等。

表示两个数或两个代数式不相等。

（2）<：小于。

表示第一个数或者代数式小于第二个数或代数式。

（3）≤：小于等于。

表示第一个数或代数式小于等于第二个数或代数式。

（4）>：大于。

表示第一个数或代数式大于第二个数或代数式。

（5）≥：大于等于。

表示第一个数或代数式大于等于第二个数或代数式。

3. 不等式的解集不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。

解集可以是无穷集合、有限集合或为空集。

二、不等式的性质1. 不等式的传递性如果a＜b，b＜c，那么a＜c。

即如果两个数的大小关系成立，并且第二个数与第三个数的大小关系也成立，那么第一个数与第三个数之间的大小关系也成立。

2. 不等式的加减性如果a＜b，那么a±c＜b±c。

即不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向保持不变。

3. 不等式的乘除性（1）如果a＜b，且c＞0，那么ac＜bc。

即不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向保持不变。

（2）如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。

即不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向发生改变。

4. 不等式的倒置性如果a＜b，那么-b＜-a。

即不等式两边取相反数，不等式的方向发生改变。

5. 不等式的平方性（1）如果a＜b，且a、b≥0，那么a²＜b²。

即两个非负数之间的不等关系，其平方的大小关系保持不变。

例谈不等式性质的综合运用不等式是初中数学中的重点内容之一，灵活应用它的相关性质解答问题，是我们必须具备的一项能力，也是进一步学习其它知识的基础，下面举例说明，供同学们参考．一、 巧用不等式意义深化理解例1 已知ax 2-a >3(x-1)是一元一次不等式，求a 的值．析解：由一元一次不等式的定义可知，指数2-a=1,解得a=1∴当a=1时是一元一次不等式例2 已知a >b ，则下列不等式不成立的是（ ）A 、c ＋a >b ＋cB 、－1－3a <－1－3bC 、b －a <0D 、a×c 2>b×c 2析解：∵a >b ，由不等式性质1可知A 正确；由性质3得，－3a <－3b 成立，再由性质1 ∴－1－3a <－1－3b ，B 正确；有性质1得0>b －a 即b －a <0；由c 2可能等于0，因此可能有a×c 2 =b×c 2∴D 不正确二、 活用不等式性质巩固深化例3 已知a =x +2，b =x -1,且a >3>b ，则x 的取值范围是 ( )A ．x >1B ．x <4C ．x >1或x <4D ．1<x <4析解：利用转化的数学思想， 将已知转化为不等式组 x+2>3x -1<3解得：1<x<4 故选D例4. 如果不等式()22m x m ->-的解集为1x <，那么正确的是( )A ．2m ≠B ．2m >C ．2m <D ．m 为任意有理数析解：根据已知解集，结合不等式性质3，可知m －2<0, ∴m<2选C 三、 数形结合形象识别例5 不等式3(x －1)+4≥2x 的解集在数轴上表示为______．A ：B ：C ：D ：析解：解不等式得x ≥-1,把不等式的解集标在数轴上，形象直观理解不等式的解的取值范围，注意圆圈和实点的区别．选A四、妙用不等式解集便于掌握例6、下列说法中错误的是 （ ）（A ）2x >-6的解集是x>-3（B ） -8是2x<-8的一个解（C ）x <5的整数解有无数个（D ）x <3的正数解只有两个析解：本题对不等式的解、解集、整数解、正数解巧妙设置，拓广了思维空间．要正确区别上述几个概念含义，由题意可知D选项错误．五、联系实际情景，深化不等式性质应用例7 设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大．．．．的顺序排列为（）A、○□△B、○△□C、□○△D、△□○析解：把不等式和等式的关系用天平的倾斜与平衡，形象直观的表示低的一边为重（即大），贴近生活实际，体现了数学Array来源于生活的新理念．由第一个天平可知2○＞○+□即○＞□，由第二个天平可知3△=△+□，即□=2△，∴□>△；因此△<□<○∴应选D．。

不等式的性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、不等式的基本性质不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）（1）（传递性，注意找中间量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性，注意条件为正）注：如，其逆命题不成立，如但是.2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据（1）.（2）（对称性）（3）（乘正保号性）（4）（5）（不等量加等量）（6）（乘方保号性，注意条件为正）（7）（开方保号性，注意条件为正）（8）（同号可倒性）；.最为重要的3条不等式性质为：①；②；③，在不等式问题中都有重要的应用，但应注意他们的适用条件，可以用口诀“同．向同正可乘．．．．．．．”来记忆.．．．．．；同号取倒需反向题型归纳及思路提示题型1 不等式的性质思路提示应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.例7.1 对于实数，有以下命题：①若，则；②若，则；③若则；④若，则；⑤若，则. 其中真命题的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系.解析：①中值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依据，故该命题是假命题；②中，由可知，则，故该命题是真命题；③中，不等式两边同乘，可得，若同乘，可得，易知成立，故该命题为真命题；④中，由可知，故有，又因，由“同向同正可乘”性可知成立. 故该命题为真命题；⑤中，由已知，因为，故，又，所以，故该命题为真命题. 综上所述，②③④⑤都是真命题，故选C.评注：准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前提. 在不等式的判断中，特殊值法是非常有效的方法，如变式3.变式1设，若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.变式2设是非零实数，若，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.变式3 若，则下列结论中正确的是（）A. 和均不成立B. 和均不成立C. 不等式和均不成立D. 不等式和均不成立变式4若，且，则下列代数式中值最大的是A. B. C. D.题型2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式思路提示比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小. 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若，则；；；若，则；；；例7.2若且，试比较与的大小.解析：解法一：，因为且，所以，所以.解法二：，因为且，所以，又，所以.变式1若，试比较与的大小变式2设且，试比较与的大小例7.3 在锐角中，若函数在上单调递减，则下列命题中正确的是（）A. B.C. D.解析：因为在锐角中有，由在上为单调递增函数，所以，且，又函数在上单调递减，所以，故选D.变式1 已知函数是上的偶函数，且在区间上是增函数，令，则（）A. B. C. D.变式2已知函数，那么的值（）A. 一定大于0B. 一定小于0C. 等于0D. 确定题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围思路提示在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.例7.4已知，且，则的取值范围是.解析：解法一：令得，，解得.即. 由得，所以. 故的取值范围是.解法二：本题还可以利用“线性规划”的方法求解.如图7-1所示，当直线过点时，取最大值，点的坐标为，所以；当直线过点时，取最小值，当的坐标为，所以，又本题不取边界，因此的取值范围是.评注：不能求出独立的范围内，简单利用不等式性质求解，可结合后面线性规划理解并求解.变式1已知且，，求的范围.变式2设为实数，满足，则的最大值是.最有效训练题1. 如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）A. B. C. D.2. 设，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.3. 已知，并且，那么一定成立的是（）A. B. C. D.4. 若为实数，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 若，则的值是（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 符号不能确定6. 已知，下列四个条件中，使得成立的必要而不充分条件是（）A. B. C. D.7. 已知四个条件：能推出成立的有个.8. 若，则的取值范围是.9. 已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能成个正确命题.10. 已知且，求的取值范围.11. 设，且，求的取值范围.12. 若实数满足，试比较的大小.。

不等式的性质应用举例不等式有两条重要的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，（2）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

这两条性质在不等式的变形等方面有着极其重要的应用。

1．确定不等式的解集。

【例1】（1）在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b =b a 5-，试确定不等式x ※1＜2的解集。

（2）不等式83)38(-≥-x 的解集是什么？析解：（1）根据规则，原不等式就是：5-x ＜2，由不等式的性质1，得原不等式的解集为x ＜7。

（2）原不等式就是)38()38(--≥-x ，∵38-＜0，∴由不等式的性质2，得原不等式的解集是1-≤x 。

2．确定不等式中字母的取值（范围）【例2】（1）若关于x 的不等式x m )12(-＜86-m 的解集为x ＜2，求m 的取值。

（2）若关于y 的不等式153)5(-≥-m y m 的解集为y 3≤，求m 的取值范围。

析解：（1）由条件及不等式的性质2知：12-m ＞0且21286=--m m ，解得3=m （2）由条件及不等式的性质2知：5-m ＜0，∴m 的取值范围为m ＜53．比较数的大小。

【例3】若0＜x ＜1，则201120102009,,x x x的大小关系为 （ ） A ．2009x ＜2010x ＜2011x B ．2009x＜2011x ＜2010x C ． 2011x ＜2010x ＜2009xD ．2010x ＜2011x ＜2009x 析解：∵0＜x ＜1， ∴2009x＞0 ， 由不等式的性质2， 得x x ⋅2009＜20091x ⋅， 即2010x＜2009x ， ①， 同样，由不等式的性质2，得2010x x ⋅ ＜2009x x ⋅， 即2011x ＜2010x ， ②综合①、②，得2011x＜2010x ＜2009x ，所以选C ．4．化简。

7.1 不等式的基本性质、基本不等式【考纲要求】1.掌握不等式的性质及应用，明确各性质中结论成立的前提条件，2.了解基本不等式的证明过程，能够利用基本不等式求函数的最值，3.用不等式的性质判断不等式是否成立，比较大小，利用基本不等式求函数的最值、限值范围，利用基本不等式解决实际问题【命题规律】对于不等式性质的考查，多以填空题为主，题目比较简单，而基本不等式是高考的重点主要考查命题的判定，不等式的证明及求最值等问题，尤其是应用基本不等式求最值的问题，更是高考的重点，此类问题常与实际问题相结合，以解答题形式出现，另处，不等式的证明经常与数列、函数等知识综合考查，难度一般较大。

【考点梳理】 一.不等式的性质1.实数比较大小的方法 （1）求差比较法：0ab a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<.（2）作商比较法：若,0a b >，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1aa b b=⇔=.2.不等式的性质（1）对称性：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。

（2）传递性：若a b >，且b c >，则a c >；a b b c a c <<<且，则。

（3）加法法则：若ab >，则ac b c +>+.（不等式的两边都加上同一个实数，不等式方向不变）推论1:移项法则：若a b c +>,则a c b >-.（不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边） 推论2:同向可加性：若a b c d >>且，则a c b d +>+说明：①推广:任意有限个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;②同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式. （4）乘法法则：若b a>且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <.推论1：同向可乘性：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >.推论2：乘方法则：如果0>>b a ， 那么nn b a > )1(>∈n N n 且. 推论3：开方法则：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且.说明：①不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；②两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；③推论1可以推广：两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

学必求其心得，业必贵于专精§7。

1 不等关系与不等式的性质1．两个实数比较大小的方法（1）作差法错误!（a，b∈R）；(2）作商法错误!(a∈R，b〉0）．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a〉b⇔b<a⇔传递性a>b，b〉c⇒a〉c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性错误!⇒ac〉bc注意c的符号错误!⇒ac〈bc学必求其心得，业必贵于专精3(1）倒数的性质①a〉b，ab〉0⇒错误!<错误!.②a〈0〈b⇒错误!<错误!。

③a>b〉0,0<c<d⇒ac〉错误!。

④0〈a〈x<b或a<x〈b<0⇒错误!〈错误!<错误!。

(2）有关分数的性质若a〉b>0，m〉0，则①错误!〈错误!；错误!>错误!(b－m〉0）．②错误!〉错误!；错误!<错误!（b－m〉0）．【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）a>b⇔ac2〉bc2。

( )（2)1a>错误!⇔a<b（ab≠0）．( )(3)a〉b，c>d⇒ac〉bd。

( ）（4)若错误!〈错误!<0，则|a｜>|b｜.（)(5)若a3〉b3且ab<0,则错误!>错误!.（)答案：（1）×（2)×(3）×（4)×（5）√1．（教材改编)下列四个结论，正确的是( ）①a〉b，c〈d⇒a－c>b－d;②a>b>0,c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒错误!〉错误!；④a>b〉0⇒错误!〉错误!.A．①②B．②③C．①④D．①③答案：D2．若a<0，－1〈b<0，那么下列不等式中正确的是( )A．a<ab2<ab B．ab2〈a〈abC．a〈ab〈ab2D．ab2<ab〈a解析：选A.因为－1<b<0，所以b<0<b2<1，于是a<ab2<ab.3．若a>1>b,下列不等式中不一定成立的是（)A．a－b>1－b B．a－1〉b－1C．a－1〉1－b D．1－a〉b－a解析:选C.由a>1知a－b>1－b，故A正确;由a〉b知a－1>b－1，故B正确；由1>b知1－a〉b－a，故D正确，C项错误，如当a＝3，b＝－3时,不成立．4．x＋y<2m的一个充分不必要条件是( )A．x<m或y<m B．x<m且y〈mC．x<m且y〉m D．x〈m或y>m解析:选B。