《2.1-等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

课时教学设计课题 2.1等式性质与不等式性质授课时间：年月日课型：新授课课时：一课时1.教学目标知识与技能：能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；过程与方法：通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；情感态度与价值观：培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，提高学生数学运算和逻辑推理能力。

2.学习重点难点教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；教学难点：在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小；3.教学准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

4.学习活动设计环节一：情景引入，温故知新（一）情境导学问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km/ℎ;（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/ℎ,“限速40km/ℎ”就是v的大小不能超过40，于是0<v≤40；对于（2），有题意得{f≥2.5%p≥2.3%.对于（3）设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a−b<c（你能写出其他可能情况吗？）以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式。

接着，就可以用不等式研究相应的问题了。

问题2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以销出8万本。

根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?设提价后每本杂志的定价为x元,则销售总收入为(8−x−2.50.1×0.2)x万元，于是不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为(8−x−2.50.1×0.2)≥20 （*）求出不等式（*）的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围。

【新教材】2.1等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两个实数比较大小的方法作差法{a−b>0⟺a>ba−b=0⟺a=ba−b<0⟺a<b作商法{ab>1⟺a>bab=1⟺a=bab<1⟺a<b 2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三题型一不等式性质应用例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）× 解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ；（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2（4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb 【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小(2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。

授课时间：年月日课时教学流程(试用)补充课时教学流程(试用)补充课时教学流程(试用)补充追问：为什么与0进行比较？此方法有何优点？两个实数大小关系的基本事实的简单应用例1：比较（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）大小.问题4：你能用四个全等的直角三角形，拼成以斜边为边长、外轮廓为正方形的图形吗？你能在这个图中找出一些相等和不等关系吗？这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.预设方案二：学生能联想到将两个式（实数）作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论：引导学生体会0是正数与负数的分界点，是实数比较大小的“标杆”.并引导学生体会此方法使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，能够使得大小的比较有抓手.教师点明这是“两个实数大小关系的基本事实”.学生能够较容易地运用两个实数大小关系的基本事实.分析一般步骤，若要比较两者的大小，只需比较它们的差与0的关系.因为（x+2）（x+3）-（x+1）（x+4）=（x2+5x+6）-（x2+5x+4）=2>0，所以（x+2）（x+3）>（x+1）（x+4）以小组为单位，开展拼图活动.学生能够拼出图形，引导学生发现正方形面积和四个三角形面积的和存在不等关系.课时教学流程(试用)补充课时教学设计尾页课时达标检测设计设；反馈、矫正方法预与达标效果补充1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系.（1）某段公路规定通过车辆的高度h从地面算起不超过4 m；（2）a与b的和是非负实数；（3）如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍.2.比较（x+3）（x+7）和（x+4）（x+6）的大小.。

2.1《等式性质与不等式性质》教学设计（日期：2024年9月4课时第3周）一.教学目标1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.二.教学过程(一)情景问题1（导学）1.情景在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等.类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示.2.问题各位同学，在初中我们已经学习了不等式的定义、基本性质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识进行阐述并运用吗？那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.【设计意图】通过情景问题导入，自然引申出本节课的教学重点——高中不等式的运用及性质.（二）探究新知1——用不等式表示实际问题中的不等关系（互学）1.不等式的定义是什么？用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接表示不等关系的式子就叫做不等式.例如2x−5 >−3 , 6 < 9 等.2.不等式的解集是什么？能使不等式不等关系成立的未知数x的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集.例如：2x −5>−3, 解得 x >1故原不等式的解集为 { x ∣x ＞1 }，将其表示在数轴上如下图所示：3.问题探究：用不等式表示不等关系问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速 40 km ∕ℎ；解：设该路段行驶的汽车速度为 v km ∕ℎ，则“限速40km ∕ℎ ”可用不等式表示为0<v ≤40注：高中不等式的形式可能是三边及其以上（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%；解：由题意可将题中不等关系表示为{f ≥2.5%p ≥2.3%注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示.（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；解：由题意可将题中不等关系表示为{b +c >a b −c <a注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系.（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.解：设 C 是直线 AB 外任意一点，过点 C 作 CD ⊥AB , 垂足为 D ,E 是直线 AB 上不同于 D 的任意一点，则 CD < CE【设计意图】通过复习旧知与用不等式表示实际问题中的不等关系，既为学生学习新知识做好提前铺垫，同时也让学生初步感受高中不等式知识与初中不等式知识的差异性.（三）探究新知2——实数的大小比较1.利用数轴法比较两数的大小(1)实数与数轴上的点是一一对应的．点 A 表示实数3，点 B 表示实数－2 ,点 A在点 B 右边，那么 3 ＞−2 ．(2)思考：当点 P 在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与点 A、点 B 对应的实数的大小．(3)数轴法比较大小由思考及探究可得如下结论：数轴上的任意两点中，①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小；③当两点重合时，这两点对应的数相等.2.利用作差法比较两个实数的大小（1）探究1：比较实数3与2的大小；解法一：∵3 −（− 2）=3+2=5＞0∴3＞−2解法二：∵（− 2）− 3=−5＜0∴− 2＜3（2）探究2：比较实数3 与 3 的大小解：∵ 3 −3=0∴ 3=3（3）利用作差法比较两个实数的大小作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比即：当 a ∈R ,b ∈ R 时 a −b > 0 ⟺ a >b a − b < 0 ⟺a < b较大小的方法称为作差比较法.3.利用作商法比较两个正数的大小（1）探究3：比较正数 3 与 5 的大小解法一：∵ 35 < 1∴ 3＜5解法二：∵ 53 > 1 ∴ 5＞3（2）探究4：比较正数 3 与 3 的大小解：∵ 33 = 1∴3 = 3（3）利用作商法比较两个正数的大小作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.即：当 a ∈R ,b ∈ R 时 a −b > 0 ⟺ a >b a − b < 0 ⟺a < b a −b = 0 ⟺a = b 即：当 a ＞0 ,b ＞0 时 a b >1 ⟺ a >b a b <1 ⟺ a <b a3.小结（1）方法一：数轴法（优点是形象生动）（2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）（3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）【设计意图】通过探究实例，自然引申出实数的大小比较方法——数轴法、作差法与作商法，这样可让抽象的数学知识变得具体形象、简单易知，有效地培养了学生的数学抽象核心素养. （三）小组合作、讨论交流1(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例1 比较 57 与 23 的大小.提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小例2 比较(x +2)(x +3)与(x +1)(x +4)的大小．提示：利用作差法比较大小【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了实数的大小比较方法.（四）成果展示1(迁移变通、检测实践)例1:解法一（作差法）：∵57−23=1521−1421=121>0∴57>23解法二（作商法）：∵57>0，23> 0而57÷23=57×32=1514>1∴57>23例2:解（作差法）：∵(x+2)(x+3)−(x+1)(x+4)=（x2+5x+6)−(x2+5x+4)=x2+5x+6−x2−5= 2＞0∴ (x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握实数的大小比较方法，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养.（五）提升演练1（迁移变通、检测实践）例3.设a、b均为实数，试比较a2+b2−ab与ab的大小.解：∵(a2+b2−ab)−ab=a2+b2−ab−ab=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0∴(a2+b2−ab)≥ab(当且仅当a=b时等号成立)例4已知 a >b , 证明 a>a+b2> b .解（作差法）：∵已知 a >b∴ a −b >0又∵ a−a+b2=2a2−a+b2=2a−(a+b)2=a−b2> 0∴a>a+b2又∵a+b2−b=a+b2− 2b2=(a+b)−2b2=a−b2> 0∴a+b2>b综上所述， a>a+b2> b成立【设计意图】通过提升演练，让学生进一步地掌握实数的大小比较方法，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念.（六）探究新知2——不等式的性质（互学）1.性质1：加法法则（可加性）（1）情景问题2请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）思考：如果a＞b，那么a−c＞b−c成立吗？（3）（3）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质1（可加性）：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变.即：如果a > b , 那么 a±c > b±c简称为：“加减同数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明加法法则成立吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果a > b, 那么a+c > b+c证明：∵已知a > b,∴a − b > 0又∵（a+c）− (b+c)= a + c − b − c= a − b>0∴a + c > b + c成立你们还能求证：如果a > b, 那么 a−c > b−c 成立吗？2.性质2：乘法法则（可乘性）（1）情景问题3请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）思考如果 a > b ，c ＞0, 那么 a c >b c 成立吗？（3）探究3：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质2 （可乘性）（1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.简称为：“乘除正数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则①吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证： 如果 a > b ,c ＞0,那么 ac > bc .证明：∵ 已知 a > b ,c ＞0∴ a − b > 0又∵ac − bc = c ( a − b ) >0∴ ac > bc 成立你们还能证明“如果 a > b ，c ＞0, 那么 a c >b c ”吗？（6）探究4探究3：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（7）探究5：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？① 如果 a > b ，c ＞0, 那么 ac > bc 或a c >b c ;（8）性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.简称为：“乘除负数要变号”（9）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则②吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证： 如果 a > b ,c ＜0,那么 ac ＜ bc证明：∵ 已知 a > b ,c ＜0，∴ a − b > 0又∵ac − bc = c ( a − b ) ＜0∴ ac ＜ bc 成立你们还能证明“如果 a > b ，c <0, 那么 a c <b c ”吗？3.性质3（传递性）（1）情景问题4请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）性质3 （传递性)（3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明传递性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ ②如果 a > b ，c ＜0, 那么 ac ＜ bc 或 a c <bc . 如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c ；从左向右：移负为正 证明：∵ 已知 a > b ,b ＞c ，∴ a − b > 0,b − c ＞0又∵a − c = a − b + b − c = ( a − b ) + ( b − c ) ＞0∴ a ＞ c 成立4. 性质4（对称性）(1) 如果 a ＞ b , 那么 b ＜ a(2) 如果 b ＜ a , 那么 a ＞ b5.性质5（可移性）（1）探究6：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质5 （可移性）（3）思考：你们能利用可加性证明可移性“ a +b > c ⇔ a > c − b ”成立吗？6.性质6（同向可加性）（1）探究7：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？即 ： a > b ⟺ b < aa +b >c ⇔ a > c − b ； 从左向右：移正为负如果a＞b ,c＞d ,那么 a+c ＞b+d；（3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明同向可加性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？证明：∵已知a > b ,c＞d，∴ a+c ＞b+c , b+c ＞b+d （可加性）∴a+c ＞b+d成立（传递性）（4）思考：如果 a＞b ,c＞d,是否有“a−c＞b−d”成立呢？解：不成立，反例为7.性质7（同向同正可乘性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（3）证明∵ a >b ,c >0,∴ ac > bc （可乘性：乘除正数不变号）又∵c>d,b>0 ,∴bc > bd（可乘性：乘除正数不变号）故ac > bd（传递性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质8（同向同正可乘方性）9.性质9（同正可开方性）（1）探究：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质9（同正可开方性）10.性质10（同号可倒性）（1）探究1：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？如果 a > b > 0,n ∈N ∗ ,那么 a n >b n ;如果 a > b > 0,n ∈N ∗ , 那么√a n >√b n ;（2）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（3）性质10（同号可倒性）11.小结：不等式的10条性质如果 ab > 0,且 a > b , 那么 1a <1b ; （1）性质1（可加性） 如果 a > b , 那么 a ±c > b ±c ； （2）性质2（可乘性） ① 如果 a > b ，c ＞0, 那么 ac > bc 或a c >b c ;②如果 a > b ，c ＜0, 那么 ac ＜ bc 或 a c <b c .（3）性质3 （传递性) 如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c ；（4）性质4（对称性） a > b ⟺ b < a ；（5）性质5 （可移性） a +b > c ⇔ a > c − b ；（6）性质6（同向可加性） 如果 a ＞b ,c ＞d ,那么 a +c ＞b +d ；（7）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（8）性质8（同向同正可乘方性）如果 a > b > 0,n ∈N ∗ ,那么 a n >b n ; （9）性质9（同正可开方性）如果 a > b > 0,n ∈N ∗ , 那么√a n >√b n ;（10）性质10（同号可倒性）如果 ab > 0,且 a > b , 那么 1a <1b ;【设计意图】通过情景问题探究与严密证明，让学生经历感性认识到理性认识，从而深刻掌握不等式的10条性质，有效地培养学生的数学抽象核心素养.（七）小组合作、讨论交流2(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例4.已知 a > b > 0 ,c < 0, 求证ca >cb.【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了不等式的10条性质.（八）成果展示2(迁移变通、检测实践)证明：∵已知a > b > 0∴1a ＜1b（同号可倒性）又∵已知 c < 0∴ca >cb（可乘性：乘除负数要变号）【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握不等式的10条性质，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养.四、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？1.了解与认识了不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；3.牢固掌握了比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.4.理解与掌握了不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.五、家庭作业1.记背今天所学知识点；2.完成导学案达标检测题目.。

【新教材】2.1等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两个实数比较大小的方法作差法{a−b>0⟺a>b a−b=0⟺a=b a−b<0⟺a<b作商法{ab>1⟺a>bab=1⟺a=bab<1⟺a<b 2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）× 解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca>cb 。

2.1 等式性质与不等式性质教材分析：本单元主要学习用不等式表示现实问题、数学问题，为了解不等式，要探究不等式性质，而不等式性质的探究要先学习证明不等关系的“根本大法”，即“两个实数大小关系的基本事实”还要梳理等式基本性质及蕴含的思想方法，然后通过类比的方法猜想并证明不等式的性质，最后要会运用不等式的性质证明其它的一些不等关系．现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．实际问题中所蕴含的不等关系可抽象出不等式的关键是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．两个实数大小关系的基本事实既是实数的基本性质，又是研究式的大小关系的基础，为不等式的研究奠定了逻辑基础．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．重要不等式222≥是基本不等式基础，该不等式从赵爽弦图中获得猜想，运用由一般a b ab性与特殊性获得“=”成立的条件．证明中，运用了完全平方差公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解決不等式问题中的应用价值．等式性质可从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”．“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征．从运算角度看，“加法”、“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不変；也有其派生出来的在“乘方”、“开方”等运算中的不变性．不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类．不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种．“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现．“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现．运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”、“乘法”等运算，得出新的不等关系．由于“正数乘正数大于0”，“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异．实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位．利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质．结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式基本性质，探究不等式的基本性质．学情分析：学生在用不等式表示实际问题时，对没有符号化的问题不知从何入手，学生能够抽象不等关系，但不能用符号语言表达．教学中教师应引导学生将问题符号化，体会符号语言在数学中的作用．两个实数大小关系的基本事实及其应用对学生来说较为容易，但理解这个基本事实使运算参与比较之中存在困难．教学中要让学生动起来，在比较大小的过程中体会运算的作用．不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的．学生虽然在初中阶段接触过一些内容，然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没能从根源上探索其成立的道理．高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理，因此学生会有一定的的困难．对于等式的基本性质学生是熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难．教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性．学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质存在困难，由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质．因此，教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据．学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难．教学中，要帮助学生进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路．本节课的教学难点是从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质．教学目标：1.会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式．2.理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较式的大小关系．3.运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质．4.运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题．教学过程：（一）从不等关系中抽象不等式问题1：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等．你能举例说明生活中的相等关系和不等关系？师生活动：教师根据学生列举的例子，从严谨性的角度帮助学生梳理语言的表述．追问：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km h；（2）某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师引导学生梳理讨论交流的结果，用不等式表示不等关系的关键是确定问题在涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”、“不低于”、“至多”、“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示．设计意图：创设运用不等式表示问题的情景，使学生意识到不等式在生活及数学中的应用，为后面的学习奠定基础，引导学生将抽象出不等关系用符号语言表达．（二）探究两个实数大小关系的基本事实问题2：你能用不等式表示并解決下面的问题吗？某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：学生分析数量关系，并用不等式表达．设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为2.580.20.1xx--⨯()万元．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为2.580.2200.1xx--⨯()≥，但不会解不等式．与解方程要用等式性质一样，解不等式要用到不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．实际上，在初中阶段学生已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．追问：那么，这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师指出回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．若要研究不等式的性质，即由已知不等式得出新的不等式，这样必然需要比较两个式子或两个实数的大小关系．追问：大家来思考如何比较两个式子或实数的大小关系呢？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．思路一：利用实数的几何意义，由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，如图2.1-2，思路二：利用两个式子或实数作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论．这个基本事实可以表示为：0a b a b ⇔-＞＞；==0a b a b ⇔-；0a b a b ⇔-＜＜．设计意图：两个实数大小关系的基本事实对学生来说并不陌生，只不过以往没有提炼出来，此环节以问题为载体，由学生自主探究基本事实，这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础．（三）两个实数大小关系的基本事实的简单应用例1：比较23x x ++()()和14x x ++()()的大小．师生活动：学生能够比较顺利利用两个实数大小关系的基本事实比较出两数大小．因为2314x x x x ++-++()()()()22=5654x x x x ++-++()()=20＞，所以2314x x x x ++++＞)()()()(．设计意图：此题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用，借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法，让学生再次体会此方法在比较大小中的应用．问题3：阅读教科书第39页“探究”，你能在图中找出一些相等关系和不等关系吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师指出这个会标实际上就是“赵爽弦图”——由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是个小正方形．由于大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即222a b ab +＞（设直角三角形的两条直角边的长为a ，b a b (≠)）．而当直角三角形変为等腰直角三角形，即=a b 时，中空部分缩为一个点，这时有相等关系22=2a b ab +．这样，就引出了基本不等式的一种变形形式222a b ab +≥．追问：你能总结一下22a b +与2ab 的大小关系吗？此不等关系中a b ，的取值范围如何？如果a b ∈R ，，此结论是否仍成立？师生活动：学生总结出222a b ab +≥，其中a b ，是边长，所以+a b ∈R ，．当a b ∈R ，时，上述结论是否成立的可題，只需比较22a b +与2ab 的大小关系，即2222=0a b ab a b +--()≥，由两个实数大小关系的基本事实，得222a b ab +≥，当且仅当=a b时等号成立．教师强调此结论是由两个实数大小关系的基本事实得到一类重要的不等式．设计意图：此探究问题的设计，作为相等关系和不等关系的总结，也为引出基本不等式做了铺垫．在推导过程中通过教师引导，学生从独立想象，并能够由“形”到“数”的逐步提炼出不等关系，通过再次追问，让学生经历猜想并证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．（四）复习等式性质，梳理思想方法关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么不等式到底有哪些性质呢?要研究不等式的性质，我们可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发．问题4：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一些发现等式基本性质的方法吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流并给出答案．教师进行总结、归纳、补充并板书出等式的性质．这其中性质3，4，5是学生比较熟悉的，但对于性质1，2只有很少学生能回答出来，教师指出性质1，2反映了相等关系自身的特性，由于它们太明显了，是相等关系本身蕴含的性质，反而容易被忽略．学生在教师引导下可以归纳出性质3，4，5是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立．教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不変性的特点．设计意图：通过以上问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向．（五）通过类比，探究不等式的性质问题5：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流后得出：不等式的基本性质可从不等式的自身特性和运算两个角度来研究，教师进行总结、归纳、补充并板书出不等式的基本性质1，2，3，4．学生在猜想不等式的基本性质的过程中会发现，不等式的基本性质与等式的基本性质存在差异：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“对称性”，而是具有“相反性”，即a b b a ⇒＞＜，b a a b ⇒＜＞；就不等式与四则运算的关系而言，当乘一个负数时，不等号要调换方向，即0a b c ac bc ⇒＞＜＜，．不等式的这种特殊性是由实数的基本性质决定的．在对不等式进行论证时，除了要用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的其他一些基本事实，例如：（1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数．（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．（3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数．（4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．利用这些基本事实，可以对猜想出的不等式的基本性质进行证明．例如，性质2的证明可由0a b a b ⇒-＞＞，0b c b c ⇒-＞＞，继而得到+0a b b c --())＞(． 性质3的证明中学生能够分析出要证明a c b c ++＞，只需证明a c b c +-+()()与0的大小关系，也就是a b -与0的大小关系，得出如下证明：由a b ＞，得0a b -＞，所以0a c b c +-+())＞(，即a c b c ++＞．追问：用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？师生活动：学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向．通过教师课件展示a c +，b c +的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数c 的正负．教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题．设计意图：对同一个概念从不同的角度来表述，有利于揭示概念的本质．不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解．追问：利用以上不等式的基本性质，我们还可以推导出不等式的其它一些性质吗？师生活动：由性质3学生得到猜想“大数加大数大于小数加小数”，即“如果a b ＞，c d ＞，那么a c b d ++＞”．学生分析证明方法，若要证a c b d ++＞只需证0a c b d +-+())＞(，由已知0a b -＞，0c d -＞，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证．教师评价，此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时起到重要作用．追问：在基本性质4中，不等式的两边同乘同实数．如果同乘不同的实数，你有何结论？ 师生活动：学生独立思考、讨论交流得出：两边同乘负数不等号要変方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”．同时，学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的．教师指出此性质为不等式性质6，即“如果0a b ＞＞，0c d ＞＞，那么ac bd ＞”．追问：如果性质6中=a c ，=b d ，你有何新的结论？师生活动：学生独立思考、讨论交流得出“如果0a b ＞＞，那么22a b ＞”，并能推广到“如果0a b ＞＞，那么n n a b ＞2n n ∈N (，≥)”．教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例．设计意图：证明以上性质的过程可以看作不等式的性质在代数证明中的初步应用，通过不等式性质的推导，让学生经历“猜想—证明—修正再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程．（六）不等式性质的简单应用例2 已知00a b c ＞＞，＜，求证c c a b＞． 师生活动：学生独立思考得出分析：要证明c c a b ＞，因为0c ＜，所以可以先证明11a b＜．利用已知0a b ＞＞和性质3，即可证明c c a b＞． 设计意图：通过本题向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路．对于有些不等式的证明，要在“分析”中给出了证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”．此外，通过本例引导学生领会这种“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路．（七）单元小结教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：（1）本单元我们研究了两个实数大小关系的基本事实，这个基本事实在研究不等式时有什么作用？（2）本单元我们还重点学习了不等式的性质，我们采取什么样的方法进行研究？能否梳理并总结出探究的过程？师生活动：问题（1）学生总结并回答，研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，从而解决解不等式的问题．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．问题（2）学生总结并回答，通过梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质，再由不等式的基本性质推理得到不等式另外一些常用性质．教师帮助整理：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明—理解表达—应用反思”的过程．设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法．（八）布置作业教科书习题2.1第1，2，3，4，5，6题．五、目标检测设计1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h（单位：m）从地面起不超过4 m；（2）a与b的和是非负实数；（3）如图，在一个面积小于2350m的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍．设计意图：考查从实际问题中抽象出不等式的能力．2．比较37++()()的大小．x x++x x()()和46设计意图：利用两个实数大小关系的基本事实比较大小．3．用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a b c d ＞，＜，那么_____a c b d --；（2）如果00a b c d ＞＞＜＜，，那么_____ac bd ；（3）如果0a b ＞＞，那么2211_____a b； （4）如果0a b c ＞＞＞，那么_____c c a b ． 设计意图：考查学生对不等式性质的简单应用能力．4．已知a b ＞，0ab ＞，求证11a b＜． 设计意图：考查学生对不等式证明方法的探究水平，以及综合运用不等式性质的能力．。

【新教材】等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．)3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

;重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.、要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题1.不等式的基本性质是2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些3.重要不等式是4.等式的基本性质,5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两个实数比较大小的方法作差法 {a −a >0⟺a >aa −a =0⟺a =a a −a <0⟺a <a作商法{a a >1⟺a >a aa=1⟺a =a a a<1⟺a <a2.不等式的基本性质·\3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( )(3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) '(5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( )(7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）× 解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ；《（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ；（3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b2（4）如果a>b>c>0，那么c a_______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。

2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养.1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40D ．T ≥40 C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T ≤40.]2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120 km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为( )A ．v ≤120 km/h 且d ≥10 mB ．v ≤120 km/h 或d ≥10 mC ．v ≤120 km/hD ．d ≥10 mA [v 的最大值为120 km /h ，即v ≤120 km /h ，车间距d 不得小于10 m ，即d ≥10 m ，故选A.]3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．4．5t <28 000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000.]4．设M ＝a 2，N ＝－a －1，则M 、N 的大小关系为________． M ＞N [M －N ＝a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞0，∴M ＞N .]用不等式(组)表示不等关系【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km /h 的速度，这个速度的2倍再加上100 km /h ，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解] 设复兴号列车速度为v 1， 民航飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.v 1、v 2的关系：2v 1＋100≤v 2， v 1、v 3的关系：v 1＞3v 3.在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一.1．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2(m)． 因此菜园面积S ＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2， 依题意有S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216，故该题中的不等关系可用不等式表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.比较两数(式)的大小【例2】 已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)． ∵x ≤1得x －1≤0，而3x 2＋1＞0，∴(3x 2＋1)(x －1)≤0， ∴3x 3≤3x 2－x ＋1.把本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”，再比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝(3x 2＋1)(x －1)． ∵3x 2＋1＞0，当x ＞1时，x －1＞0，∴3x 3＞3x 2－x ＋1； 当x ＝1时，x －1＝0，∴3x 3＝3x 2－x ＋1； 当x ＜1时，x －1＜0，∴3x 3＜3x 2－x ＋1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：2．比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小． [解] (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34＞0. ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＞0，∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.不等关系的实际应用【例3】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解]设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋34x·(n－1)＝14x＋34xn，y2＝45nx.因为y1－y2＝14x＋34xn－45nx＝14x－120nx＝14x⎝⎛⎭⎪⎫1－n5，当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？[解]设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x)，当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.1．思考辨析(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(3)若a>b，则ac>bc一定成立．()[提示](1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．[答案](1)√(2)√(3)×2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是()A．a－b＞0B．a－b＜0C．a－b≥0 D．a－b≤0[答案] C3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．>[因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．[解]由题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.。

《2.1 等式性质与不等式性质》◆教学目标1、知识与技能（1）能用不等式(组)表示实际问题的不等关系；（2）初步学会作差法比较两实数的大小；（3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.2、过程与方法使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系.3、情感态度与价值观通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量.◆教学重难点◆【教学重点】能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，会作差法比较两实数的大小，通过类比法，掌握不等式的基本性质.【教学难点】运用不等式性质解决有关问题.◆教学过程（一）新课导入用不等式(组)表示不等关系中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ).12v v v ≤<（二）新课讲授问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km /h ；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40.对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.2.5%2.3%f p ≥⎧⎨≥⎩ 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c .对于（4），如图2.1-1，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE .以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图2.1-1接着，就可以用不等式研究相应的问题了问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？解：提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20. ① 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设a ，b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A ，B .那么，当点A 在点B 的左边时，a ＜b ；当点A 在点B 的右边时，a ＞b .探究一：比较两个数(式)的大小的方法:我们用数学符号“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.判断两个数(式)的大小的依据是:( 作差法)a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.（三）例题探究例1 比较（x +2）（x +3）和（x +1）（x +4）的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。

第2课时等式性质与不等式性质学习目标核心素养1.掌握不等式的性质．(重点)2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点) 3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.1．等式的性质(1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a；(2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；(5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0(n∈N，n≥2)．1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是() A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋cC．a－c＞b－c D．a－c＜a－d B[根据不等式的性质．]2．与a>b等价的不等式是()A．|a|>|b| B．a2>b2C.ab>1 D．a3>b3D[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a ＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]3．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()A．x2<ax<a2B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>axB[∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]利用不等式性质判断命题真假【例1】对于实数a，b，c下列命题中的真命题是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则1a＞1bC．若a＜b＜0，则ba＞abD．若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0[思路点拨]本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a ＞b ＞0，有ab ＞0⇒a ab ＞b ab ⇒1b ＞1a ， 故B 为假命题；⎭⎬⎫a ＜b ＜0⇒－a ＞－b ＞0⇒－1b ＞－1a ＞0a ＜b ＜0⇒－a ＞－b ＞0⇒a b ＞ba ， 故C 为假命题；⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ⇒b －a ＜01a ＞1b ⇒1a －1b ＞0⇒b －a ab ＞0ab ＜0. ∵a ＞b ，∴a ＞0且b ＜0，故D 为真命题． 法二：特殊值排除法．取c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错． 取a ＝2，b ＝1，则1a ＝12，1b ＝1. 有1a ＜1b ，故B 错．取a ＝－2，b ＝－1， 则b a ＝12，a b ＝2，有b a ＜ab ，故C 错．]运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.1．下列命题正确的是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ＞bB．若1a＞1b，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＜b，则a＜bD[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如12＞1－3；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.] 利用不等式性质证明简单不等式【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1(a－c)2(b－d)2，得1 (a－c)2＜1 (b－d)2.又e＜0，∴e(a－c)2＞e (b－d)2.本例条件不变的情况下，求证：ea－c＞eb－d.[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜1a －c ＜1b －d， 又∵e ＜0，∴e a －c ＞eb －d.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2．已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . [证明] ∵a >b ，c >0，∴ac >bc . 又∵e >f ，∴e ＋ac >f ＋bc ， ∴e －bc >f －ac ，∴f －ac <e －bc . 不等式性质的应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12， 又∵－6<a <8， ∴－2<ab <4.你认为正确吗？为什么？提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <12与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－4<b －a <－2与－2<a ＋b <2两边相加得出－3<b <0，又将该式与0<a <3两边相加得出－3<a ＋b <3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b 范围的扩大．【例3】 已知1＜a ＜4,2＜b ＜8，试求a －b 与ab 的取值范围．[思路点拨] 依据不等式的性质，找到－b 与1b 的范围，进而求出a －b 与ab 的取值范围．[解] 因为1＜a ＜4,2＜b ＜8，所以－8＜－b ＜－2. 所以1－8＜a －b ＜4－2， 即－7＜a －b ＜2.又因为18＜1b ＜12，所以18＜a b ＜42＝2， 即18＜a b ＜2.求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.3．已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围． [解] ∵已知－π2≤α＜β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4， 两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2. ∵－π4＜β2≤π4. ∴－π4≤－β2＜π4. ∴－π2≤α－β2＜π2，又知α＜β，∴α－β2＜0. 故－π2≤α－β2＜0.1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.1．思考辨析(1)若a>b，则ac>bc一定成立．()(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.()[提示](1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.[答案](1)×(2)×2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是()A．a－d＞b－c B．－ad＜－bcC．a＋d＞b＋c D．ac＞bdC[由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得1d ＞1c＞0.又a＞b＞0，所以ad ＞bc，－ad＜－bc即B正确；显然D正确，因此不正确的选项是C.]3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是() A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1 C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1A[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.∴－2＜α－β＜2，但α＜β.故知－2＜α－β＜0.]4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋bb≤c＋dd.[证明]因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，因为bd>0，所以ab≤cd，所以ab＋1≤cd＋1，所以a＋bb≤c＋dd.。

《2.1 等式性质与不等式性质（第一课时）》教学设计教学目标1．会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式，提升学生的数学抽象素养；2．理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较两个代数式的大小； 教学重难点教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用．教学难点：利用作差法比较两个式或数的大小．教学过程 一、情景引入师：在现实生活中存在着大量相等与不相等的关系，比如多和少，长和短，快和慢，轻与重等等，类似于这样的问题反应在数量关系上就是相等于不相等，我们的相等可以用等式来表示，不相等可以用不等式来表示。

问题1：不等式中不等关系有哪些？用文字语言怎么来表述？生：“＞”表示为大于，“＜”表示为小于，“≥”表示为大于等于，“≤”表示为小于等于，还有“≠”表示为不等于。

二、新知探究1．从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40 km/h ；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不小于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系．预设的答案：（1）设速度为v km/h ，则0＜v ≤40；（2）⎩⎨⎧≥≥%3.2%5.2p f ； （3）设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a-b ＜c ；（4）设C 是线段AB 外任意一点，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE ．（3）与（4）可以先引导学生进行作图，然后表示出其中的不等关系追问1：你还能举出几个具有相等与不等关系的实际问题的例子吗？这些不等关系如何用式子表示？师生活动：学生自己举例，并用等式和不等式表示，在这个过程中教师不断启发学生，使得结论更科学和严谨．设计意图：通过创设问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出不等式，明确数学的价值和作用，提高学生数学抽象素养．并通过这组问题的解决，提炼出所用的方法，为后面解决问题做好铺垫．2．研究不等式性质的必要性问题3：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：预设中的答案：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为xx)2.01.05.28(⨯--万元．于是不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为xx)2.01.05.28(⨯--≥20．①．求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．追问：如何解不等式①？解方程的依据是什么？类比解方程的依据，解不等式的依据是什么？师生活动：学生回忆初中解方程方法，教师引导学生得到解方程的依据为等式的性质．因些解不等式要用不等式的性质，为此我们需要先研究不等式的性质．设计意图：从实际情境出发，得到不等式，并通过将类比等式的解决，引出不等式性质研究的必要性．3．两个实数大小关系的基本事实问题4：若要研究不等式的性质，首先要用到两个实数大小关系的基本事实．如何比较两个式的大小关系呢？师生活动：让学生回忆初中两个数比较大小的方法，利用数轴来比较实数大小：师：由于数轴上的点与实数一一对应，我们可以利用数轴上点的位置关系来比较实数的大小。

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质教学设计一、教学目标1.了解不等式（组）的实际背景；2.了解不等式（组）的基本性质.二、教学重难点1.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，初步会比较两个代数式的大小.2.教学难点用不等式（组）正确表示出不等关系.三、教学过程（一）探究一：不等关系及其表示教师：在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.在上述所有的不等号中，要特别注意“≤”“≥”两个符号的含义.如果a ,b 是两个实数，那么a ≥b 即为a ＞b 或a ＝b ；a ≤b 即为a ＜b 或a ＝b .探究二：实数的大小比较性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变关于实数a ，b 大小的比较，有以下基本事实：如果a -b 是正数，那么a ＞b ；如果a -b 等于0，那么a ＝b ；如果a -b 是负数，那么a ＜b ，反过来也对.这个基本事实可以表示为0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 总结：1. 要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差，这是我们研究不等关系的一个出发点.2. 差大于0时，被减数不大于减数；差等于0时，被减数等于减数；差小于0时，被减数小于减数.探究三：一个重要不等式一般地，,a b R ∀∈，有a ²+b ²≥2ab当且仅当a ＝b 时，等号成立.事实上，利用完全平方差公式，得a ²+b ²-2ab =(a -b )².因为,a b R ∀∈，(a -b )² ≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ²+b ²-2ab ≥0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a ²+b ²≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立.探究四：等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；（对称性）性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；（传递性）性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；（同加性，同减性）性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；（同乘性）性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a b c c=.（同除性） 探究五：不等式的性质类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：性质1 如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即a b b a >⇔<.性质2 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c.即,a b b c a c >>⇒>.证明：由两个实数大小关系的基本事实知 0()()00.0a b a b a b b c a c a c b c b c >⇒->⎫⇒-+->⇒->⇒>⎬>⇒->⎭说明：如果性质2中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的.例如：如果a ≥b 且b ＞c ，那么a ＞c ；如果a ＞b ，且b ≥c ，那么a ＞c .如果两个不等式都带有等号，即若a ≥b 且b ≥c ，则a ≥c ，其中a ＝c 时必须有a ＝b 且b ＝c ，否则a ＝c 不成立. 类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有如下性质：性质3 如果a ＞b ，那么a +c ＞b +c .文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.性质4 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.性质5如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.事实上，由a＞b和性质3，得a+c＞b+c；由c＞d和性质3，得b+c＞b+d.在根据性质2，即得a+c＞b+d.性质6如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.性质7 如果a＞b＞0，那么a n＞b n（n∈N，n≥2）.说明：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.总结：（二）课堂练习1.若0a b>>,则下列不等式中一定成立的是( )A.11b ba a+>+B.11a ba b+>+ C.11a bb a+>+ D.22a b aa b b+>+答案：C解析：对于A，11(1)b b b aa a a a+--=++,因为0a b>>，所以0(1)b aa a-<+,即11b ba a+<+,故A错误；对于B ，取12a =,15b =,则1526125a b a b +=<=+,故B 错误； 对于C ，11()(1)a b ab a b b a ab -+⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭,因为0a b >>，所以()(1)0a b ab ab -+>,即11b b a >+,故C 正确；对于D,2()()2(2)a b a b a b a a b b b a b +-+-=++,因为0a b >>，所以()()0(2)b a b a b a b -+<+,故22a b a a b b +<+，故D 错误.2.若,,a b c ∈R ,a b >，则下列不等式恒成立的是( )A.22a b >B.||||a c b c >C.11a b <D.2211a b c c >++ 答案：D解析：A 项，当1a =，1b =-时，22a b =，所以错误；B 项，当0c =时，||||a c b c =，所以错误；C 项，当1a =，1b =-时，11a b >，所以错误; D 项，因为a b >，2101c >+，所以2211a b c c >++，所以正确. 3.已知a ,b 满足等式2220x a b =++,4(2)y b a =-,则x ,y 的大小关系是( )A.x y ≤B.x y ≥C.x y <D.x y > 答案：B解析：2222204(2)(2)(4)0x y a b b a a b -=++--=++-≥,即x y ≥.故选B.4.实数a ,b ,c 满足221a a c b =+--且210a b ++=，则下列关系式成立的是( )A.c b a ≥>B.c a b >>C.a c b >≥D.c a b >≥答案：A解析：因为221a a c b =+--,所以2(1)0a c b -=-≥,所以c b ≥,因为210a b ++=,所以21a b =--, 所以213024b a b ⎛⎫-=++> ⎪⎝⎭,所以b a >,所以c b a ≥>. （四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.不等关系的表示；3.一个重要的不等式；4.等式、不等式的性质.作业：四、板书设计2.1等式性质与不等式性质1不等关系及其表示.2实数比较大小.3一个重要不等式.4等式的性质.5不等式的性质.。

《2.1 等式性质与不等式性质》教学设计第2课时等式性质与不等式性质教材内容：方程与不等式是数学教学中使用最广泛同时也是最重要的数学工具，因此本节课的学习为学生学习高中的数学知识的学习准备了工具；同时不等式是一种重要的数学思想方法，因此本节课的学习对开拓学生视野，体会数学的思想方法也有着重要的作用。

本节课的学习也将为后续学习基本不等式、函数等相关内容做好铺垫。

教学目标：1.通过了解等式的性质;掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．2.通过对不等式性质的证明，体会类比思想在数学中的应用，提升逻辑思维能力和数学思维的严密性.教学重点与难点：1.重点：不等式的基本性质2.难点：不等式性质的证明与综合应用教学过程设计：问题1；如何求方程5x+4=0的解？解方程的理论依据是什么？学生演练：先将等式两边同时减4，得5x=−4,再将等式两边同时除以5，得x=−4,5.所以方程的解是x=−45师：解方程的理论依据是等式的性质。

等式性质性质1 如果a=b,那么b=a.（对称性）性质2如果a=b，b=c,那么a=c.（传递性）性质3如果a=b,那么a±c=b±c.性质4如果a=b,那么ac=bc.性质5如果a=b,c≠0,那么ac =bc.性质3,4,5是等式对四则运算的不变性.【设计意图】通过解方程例子，自然而然引出等式的性质。

让学生思维有个过渡，为后面的类比思想作铺垫。

问题2 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗？并进行证明吗？师生活动：师;类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质：（1）如果甲同学比乙同学大，那么乙同学比甲同学小，对吗？（2）如果甲同学比乙同学大，且乙同学比丙同学大，那甲同学比丙同学大，对吗？（3）如果a>b，那么a＋c与b＋c的大小关系如何？ac与bc呢？（4）不等式还有哪些性质？生： (1), (2)对；（3）如果a>b，那么a＋c>b＋c.当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bc；当c＝0时，ac＝bc.不等式性质性质1 如果a>b,那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质2 如果a>b,b>c，那么a>c.(传递性）符号表示：a>b,b>c⟹a>c.性质3 如果a>b，那么a+c>b+c.文字表示：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.移项法则：a+b>c⟹a>c−b.性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.文字表示：不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.性质5 如果a>b，c>d那么a+c>b+d.注意：同向不等式相加得同向不等式，并无相减。