高中数学课时分层作业9不等式的应用(含解析)北师大版选修45

课时分层作业(十)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q[解析] 设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )， 则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m||n| ＝(ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2， 所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q . [答案] A2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56 B ．65 C ．2536D ．3625[解析] 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.[答案] B3．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36D ．48[解析] (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36. [答案] C4．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny ＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 B ．m C ．nD ．(m ＋n )2[解析] 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2，当且仅当x m ＝yn时，等号成立， 这时u 取最小值为(m ＋n )2. [答案] A5．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5[解析] 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝ 5.[答案] B 二、填空题6．函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________． [解析] 由x ，3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3， 所以x ＋3－x ≤ 2[(x )2＋(3－x )2]＝2×3＝ 6. [答案]67．设x ，y 为正数，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y 的最小值为__________．[解析] (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y＝[(x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3x ＋2y ·2y 2＝25，又x ＋2y ＝8， ∴9x ＋2y ≥258. [答案]2588．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.[解析] 由柯西不等式，得25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302. 当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取“＝”， 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56， 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝k ＝56.[答案] 56 三、解答题9．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． [解] 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立． 故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.10．已知θ为锐角，a ，b 均为正数． 求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫acos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m ·n |≤|m ||n | ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2·1 ＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[能力提升练]1．已知x ，y 为正数，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．14[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1＋1x ×1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4. [答案] A2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.即P ≥Q . [答案] B3．已知函数y ＝3x －5＋46－x ，则函数的定义域为__________，最大值为__________．[解析] 函数的定义域为[5,6]，且y ＞0， y ＝3x －5＋46－x≤32＋42×(x －5)2＋(6－x )2＝5， 当且仅当36－x ＝4x －5， 即x ＝13425时取等号． ∴y max ＝5. [答案] [5,6] 54．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.[证明] 由三角形中的正弦定理得： sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2， 同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2， 所以原不等式得证．。

第1章 不等关系与基本不等式 学业分层测评1 实数大小的比较 不等式的性质 北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c ，d ∈R 且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋c ＞b ＋d B ．a －c ＞b －d C ．ac ＞bdD ．a d ＞b c【解析】 ∵a ＞b ，c ＞d ，∴a ＋c ＞b ＋d . 【答案】 A2．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 当a ＞0且b ＞0时，一定有a ＋b ＞0且ab ＞0.反之，当a ＋b ＞0，ab ＞0时，一定有a ＞0，b ＞0.【答案】 C3．设角α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的范围是( )A ．－π<α－β<0B ．－π<α－β<πC ．－π2<α－β<0D ．－π2<α－β<π2【解析】 ∵α<β，∴α－β<0.①又－π2<α<β2，－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－π<α－β<π，结合①得－π<α－β<0，故选A. 【答案】 A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝ND ．不能确定【解析】 M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y －(－5) ＝(x －2)2＋(y ＋1)2.∵x ≠2或y ≠－1，∴x －2≠0或y ＋1≠0， ∴(x －2)2或(y ＋1)2均非负且至少一个大于零， ∴M ＞N . 【答案】 A5．设a ，b 为非零实数，若a ＜b ，则下列不等式成立的是( )【导学号：94910002】A ．a 2＜b 2 B ．a 2b ＜ab 2C.1ab2＜1a 2bD ．b a ＜a b【解析】 取a ＝－2，b ＝1时，有a ＜b ，显然A ，B ，D 错误．对于C ，∵1ab2－1a 2b ＝a －b a 2b 2＜0.∴1ab2＜1a 2b总成立，C 正确．【答案】 C 二、填空题6．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，那么a －|b |的取值范围是________． 【解析】 ∵－4＜b ＜2，∴0≤|b |＜4， ∴－4＜－|b |≤0.又1＜a ＜3，∴－3＜a －|b |＜3. 【答案】 (－3,3) 7．给出四个条件：①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0. 能得出1a ＜1b成立的有________．【解析】 1a ＜1b ⇔1a －1b＜0⇔b －aab＜0，∴①②④可推出1a ＜1b成立． 【答案】 ①②④8．若a ＞1，b ＜1，则ab ＋1与a ＋b 大小关系为ab ＋1______a ＋b . 【解析】 ab ＋1－a －b ＝a (b －1)－(b －1) ＝(a －1)(b －1)，∵a ＞1，b ＜1，∴(a －1)(b －1)＜0， ∴ab ＋1－a －b ＜0，ab ＋1＜a ＋b .【答案】 ＜ 三、解答题9．若a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，试比较a ，b ，c 的大小． 【解】 b －c ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0. ∴b ≥c .由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，解得b ＝2a 2－4a ＋5，c ＝a 2＋1.∴c －a ＝a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴c ＞a ，∴b ≥c ＞a .10．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：x x ＋a ＞yy ＋b .【证明】 因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a ＞1b，x ＞y ，所以x a ＞y b ，所以a x ＜b y. 故a x ＋1＜b y＋1， 即0<x ＋a x ＜y ＋by ， 所以xx ＋a ＞yy ＋b.能力提升]1．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1. ∴当a >0，b >0时，b <1a ；当a <0，b <0时，b >1a.∴“0<ab <1”不是“b <1a”的充分条件．而取b ＝－1，a ＝1，显然有b <1a，但不能推出0<ab <1，∴“0<ab <1”不是“b <1a”的必要条件．【答案】 D2．若a >b >0，则下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b >a b B ．b 2＋1a 2＋1>b 2a2 C ．a ＋1a>b ＋1bD ．a a>b b【解析】 选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知2a ＋b a ＋2b ＝54，ab＝2，由此可知选项A 不成立．利用不等式的性质可知，当a >b >0时，1a <1b ，由此可知，选项C 不恒成立．取a ＝12，b ＝14，则a >b >0，则a a ＝b b ，故选项D 不恒成立．故选B.【答案】 B3．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________.【导学号：94910003】【解析】 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y2≤81.又3≤xy 2≤8， ∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27.∴x 3y4的最大值是27. 【答案】 274．已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小． 【解】 f (a )－f (b )＝ma a －1－mb b －1＝m b －a a －b －.∵a ＞b ＞1，∴(a －1)(b －1)＞0，b －a ＜0.当m ＞0时，f (a )－f (b )＜0，f (a )＜f (b )． 当m ＝0时，f (a )＝f (b )．当m＜0时，f(a)－f(b)＞0，f(a)＞f(b)．。

§3 平均值不等式课后篇巩固探究A 组1.下列结论正确的是( ) A.若3a +3b ≥2√3a ·3b ,则a>0,b>0 B.若b a+a b≥2成立,则a>0,b>0 C.若a>0,b>0,且a+b=4,则1a+1b≤1 D.若ab>0,则√ab ≥2aba+b解析:当a ,b ∈R 时,一定有3a >0,3b >0,必有3a +3b ≥2√3a ·3b ,故A 错;要使ba +ab ≥2成立,只要ba >0,ab >0即可,这时只要a ,b 同号,故B 错; 当a>0,b>0,且a+b=4时,则1a +1b =4ab . 因为ab ≤(a+b 2)2=4,所以1a +1b =4ab ≥1,故C 错; 当a>0,b>0时,a+b ≥2√ab , 所以2ab a+b≤2√ab=√ab ,而当a<0,b<0时,显然有√ab ≥2aba+b,所以当ab>0时,一定有√ab ≥2aba+b,故D 正确. 答案:D2.函数f (x )=3x +3-x 的最小值是( )A.2B.1C.3D.2√2解析:因为3x >0,3-x >0,所以f (x )=3x +3-x =3x +13x ≥2√3x ·13x =2, 当且仅当3x =3-x ,即x=0时,函数取得最小值2. 答案:A3.若a<1,则a+1a -1的最大值是( )A.3B.aC.-1D.2√aa -1解析:因为a<1,所以a-1<0.因此a+1a -1=a-1+1a -1+1 ≤-2√(1-a )(11-a )+1=-1,当且仅当1-a=11-a ,即a=0时,等号成立,故选C . 答案:C4.设x ,y ,z ∈R +,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)解析:因为x ,y ,z ∈R +,所以6=x+y+z ≥3√xyz 3,即xyz ≤8, 当且仅当x=y=z=2时等号成立, 所以lg x+lg y+lg z=lg xyz ≤lg 8=3lg 2. 答案:B5.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是 ( )A.3B.4C.92D.112解析:因为x>0,y>0,所以2xy=x ·2y ≤(x+2y 2)2,当且仅当x=2y=2时等号成立.又2xy=8-(x+2y ),所以8-(x+2y )≤(x+2y 2)2.令x+2y=t ,则t 2+4t-32≥0,解得t ≥4或t ≤-8(舍去),所以x+2y ≥4,即x+2y 的最小值是4,故选B . 答案:B6.若正数x ,y 满足x+4y=4,则xy 的最大值为 .解析:由平均值不等式可得x+4y ≥2√4xy =4√xy ,当且仅当x=4y=2时等号成立,所以4√xy ≤4,所以0<xy ≤1,故xy 的最大值为1. 答案:17.若x<0,则2x -x 2的最大值为 . 解析:2x -x 2=-(x 2-2x )=-[x 2+(-2x )].因为x<0,所以x 2+(-2)=x 2+(-1)+(-1)≥3√x 2·(-1)·(-1)3=3,当且仅当x=-1时,等号成立, 所以2x-x 2≤-3,即最大值为-3. 答案:-38.已知x>1,y>1,且xy=1 000,求lg x ·lg y 的最大值. 解因为x>1,y>1,所以lg x>0,lg y>0.所以lg x ·lg y ≤(lgx+lgy 2)2=(lgxy 2)2=(lg1 0002)2=(32)2=94,当且仅当lg x=lg y ,即x=y=10√10时等号成立,故lg x ·lg y 的最大值等于94. 9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证:(1+1x )(1+1y )≥9.证明(1+1x )(1+1y )=(1+x+yx)(1+x+y y ) =(2+yx )(2+xy )=5+2(yx +x y)≥5+4=9, 当且仅当yx =xy ,即x=y=12时等号成立, 所以(1+1x )(1+1y )≥9.10.某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5 m .房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? 解由题意可得,总造价y=3(2x ×150+12x ×400)+5 800=900(x +16x)+5 800(0<x ≤5), 于是由平均值不等式,得 y=900(x +16x)+5 800 ≥900×2√x ·16x +5 800=13 000(元), 当且仅当x=16x ,即x=4时,等号成立. 故当侧面的长度为4 m 时,总造价最低.B 组1.若a ≥0,b ≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是( )A.ab ≤1B.ab ≥1C.a 2+b 2≥4D.a 2+b 2≤4解析:由已知可得ab ≤(a+b 2)2=1,而a 2+b 2=(a+b )2-2ab=4-2ab ≥2,故只有A 正确.答案:A2.某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km 处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( ) A.5 km 处B.4 km 处C.3 km 处D.2 km 处解析:设仓库到车站的距离为x km,由已知得y 1=20x ,y 2=0.8x.费用之和y=y 1+y 2=0.8x+20x ≥2√0.8x ·20x =8, 当且仅当0.8x=20x,即x=5时,等号成立.故选A . 答案:A3.若log x y=-2,则x+y 的最小值为( )A.3√232B.2√333 C.3√32D.2√23 解析:由log x y=-2,得y=1x 2,因此x+y=x+1x 2=x 2+x 2+1x 2≥3√x 2·x 2·1x23=3√232,当且仅当x2=1x 2时,等号成立.答案:A4.已知二次不等式ax 2+2x+b>0的解集为{x |x ≠-1a },且a>b ,则a 2+b2a -b的最小值为 .解析:由已知可得方程ax 2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是Δ=4-4ab=0,则ab=1.所以a 2+b 2a -b=(a -b )2+2ab a -b =(a-b )+2a -b≥2√(a -b )·2a -b =2√2,当且仅当{a -b =√2,ab =1,时,等号成立,故a 2+b 2a -b的最小值为2√2.答案:2√25.设三角形的三边长为3,4,5,P 是三角形内的一点,则点P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .解析:设点P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ,y ,z ,三角形的面积为S ,则S=12(3x+4y+5z ).又因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=12×3×4=6, 所以3x+4y+5z=2×6=12,所以12=3x+4y+5z ≥3√3x ·4y ·5z 3=3√60xyz 3,所以xyz ≤1615.当且仅当3x=4y=5z ,即x=43,y=1,z=45时等号成立. 答案:16156.已知a>2,求证:log a-1a>log a (a+1). 证明log a-1a-log a (a+1)=lga lg (a -1)−lg (a+1)lga =lg 2a -lg (a -1)lg (a+1)lgalg (a -1). ∵lg(a-1)lg(a+1)<[lg (a -1)+lg (a+1)2]2=[lg (a 2-1)2]2<(lg a 22)2=lg 2a ,∴lg 2a-lg(a-1)lg(a+1)>0.又a>2,∴lg(a-1)lg a>0.∴lg 2a -lg (a -1)lg (a+1)lgalg (a -1)>0,即log a-1a-log a (a+1)>0,∴log a-1a>log a (a+1).7.导学号35664013东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )=√n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为f (n )万元.(1)求出f (n )的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?解(1)第n 次投入后,产量为(10+n )万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为√n+1元,科技成本投入为100n 万元,则年利润为f (n )=(10+n )(100√n+1)-100n (n ∈N +). (2)由(1)知f (n )=(10+n )(100√n+1)-100n =1 000-80(√n +1+√n+1)≤520(万元), 当且仅当√n +1=√n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.故从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.。

一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（ ）A ．324a b +≤B ．32a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定3．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞4．对于0c >，当非零实数a 、b 满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大时，345a b c-+的最小值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．96．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．7347．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2+y 2+3z 2 的最小值为( ) A ．1B ．23C ．611D ．118．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．99．函数()212(0)f x x x x=+>的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．1D ．3411．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ） A ．（2，3） B ．（1，3） C ．（0，2） D ．（1，2）12．过定点P （1，2）的直线在轴与轴正半轴上的截距分别为，则的最小值为 （ ） A ．8B ．32C ．45D ．72二、填空题13．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++________．14．已知函数f （a ，x ）=4a sin x +41a -cos x 随着a ，x 在定义域内变化时，该函数的最大值为______15．若x+y+z+t=4,则x 2+y 2+z 2+t 2的最小值为____.16．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 17．已知向量1,1a a b =⋅=，则minb=__________．18．已知x 、y 、z ∈R ，且2x+3y+3z=1，则x 2+y 2+z 2的最小值为____． 19．已知、、是三角形三个角的弧度数，则的最小值____．20．选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ， q ， r 为正实数，且p q r a ++=，求证： 2223p q r ++≥．三、解答题21．设x ，y ，z 均为正实数，且24x y z ++=.（1）证明：22224x y z ++≥. （2x y z .22．若a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. （1）求abc 的最大值； （2）证明：11192a b c ++≥. 23．若实数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 24．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥.25．已知x ，y ，z 均是正实数，且2229436x y z ++=，求证7x y z ++≤． 26．已知正实数a 、b 、c 满足3a b c ++≤，求证11131112a b c ++≥+++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【分析】首先分析题目已知224a b +=，求32a b +的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出2(32)a b +的最大值，开平方根即可得到答案． 【详解】解：由柯西不等式得()()()22222323252a b a b++=≤+，当且仅当23a b =时取等号.则32a b -≤+≤故选：B. 【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22222()()()ac bd a b c d +++应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题．3．D解析：D【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥， 左边()222222444m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D4．C解析：C 【分析】首先将等式224240a ab b c -+-=变形为22154416c b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由柯西不等式得到22a b +，分别用b 表示a 、c ，再代入到345a b c-+得到关于1b 的二次函数，求得其最小值即可. 【详解】224240a ab b c -+-=，22221542416c ab b a b a b ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式可得2222215224164b b a b a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅+≥-+⎢⎥⎢⎥⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦22a b =+，故当2a b +最大时，有4462b a -=，则32a b =，210c b =，222345345121122310222a b c b b b b b b ⎛⎫∴-+=-+=-=-- ⎪⎝⎭， 所以，当12b =时，345a b c-+取得最小值2-. 故选：C. 【点睛】本题考查代数式最值的求解，考查了柯西不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.6．C解析：C 【解析】由柯西不等式，可得))][()22222223321x x y z ⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以22232334x y z ++≥，当且仅当3x ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立，所以22223x y z ++的最小值为334．故选C ．7．C解析：C 【解析】由柯西不等式可知：（x+y+z ）2≤（2x 2+y 2+3z 2）（2+12+2）， 故2x 2+y 2+3z 2≥611，即：x 2+2y 2+3z 2的最小值为611. 故答案为C.8．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.9．A解析：A【解析】 由题意得，因为0x >，则221123y x x x x x =+=++≥=， 当且仅当211x x x =⇒=时等号成立的，所以函数的最小值为3，故选A. 10．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ． 考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．11．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxx f x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2x y =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．12．B解析：B 【详解】分析：由过定点P （1，2）的直线在x 轴与y 轴的正半轴上的截距分别为a 、b ，可得a ，b 的一个方程，再应用基本不等式求得4a 2+b 2的最小值． 解答：解：∵a ＞0，b ＞0，12ba +=1 ∴2a +b=（2a +b ）(12ba +) =2+2+b 4ba a +≥8 当且仅当b a =4ba ，即2a =b=4时成立 ∴2（4a 2+b 2）≥（2a +b ）2≥64，∴4a 2+b 2≥32当且仅当2b11a ==4时成立 ∴（4a 2+b 2）min=32 故选B二、填空题13．【分析】根据积和结构条件利用柯西不等式求解注意柯西不等式中等号成立的条件即可【详解】因为所以又由柯西不等式得：当且仅当取等号设则所以故答案为：【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用还考查了运算求解的能 解析：12【分析】根据“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可. 【详解】因为22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，所以()()()2222222400a b cx y z ax by cz ++++=++=，又由柯西不等式得：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++，当且仅当a b cx y z==取等号，设a b ck x y z===， 则,,a kx b ky c kz ===所以12a b c x y z ++=++. 故答案为：12【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【解析】【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f （ax ）≤再由柯西不等式计算可得所求最大值【详解】解：函数f （ax ）=sinx+cosx=sin （x+θ）（θ为辅助角）即有f （ax ）≤（sin （ 解析：142【解析】 【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f （a ，x ）算可得所求最大值．【详解】解：函数f（a，x）=4a sin x+41a-cos x=1a a+-sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤1a a+-（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（1a a+-）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，1a a-2即f（a，x）的最大值为142．故答案为142．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．15．4【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x2+y2+z2+t2的最小值即可【详解】(x2+y2+z2+t2)(12+12+12+12)≥(x+y+z+t)2=16当且仅当x=y=z=t=1时解析：4【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x2+y2+z2+t2的最小值即可.【详解】(x2+y2+z2+t2)(12+12+12+12)≥(x+y+z+t)2=16,当且仅当x=y=z=t=1时等号成立,故x2+y2+z2+t2的最小值为4.【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为：解析：6 11【解析】由柯西不等式得，（2x2+y2+3z2）（12+1+13）≥（x+y+z）2=1∴2x2+y2+3z2≥611，即22223x y z++的最小值为611故答案为：611． 17．1【解析】解：设向量对应的坐标为：问题等价于：已知求的最小值由Cauchy 不等式有：据此可得：点睛：根据柯西不等式的结构特征利用柯西不等式对有关不等式进行证明证明时需要对不等式变形使之与柯西不等式有解析：1【解析】解：设向量对应的坐标为： ()(),,,a m n b x y == ，问题等价于：已知221,1m n mx ny +=+= ，求22x y + 的最小值， 由Cauchy 不等式有： ()()2222m nxy mx ny ++≥+ ，据此可得：()22min1x y += .点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.18．【解析】试题分析：利用题中条件：2x+3y+3z=1构造柯西不等式：（x2+y2+z2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z ）2进行计算即可解：∵22+32+32=22∴22（x2+y2+z2 解析：【解析】试题分析：利用题中条件：“2x+3y+3z=1”构造柯西不等式：（x 2+y 2+z 2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z ）2进行计算即可． 解：∵22+32+32=22，∴22（x 2+y 2+z 2）=（x 2+y 2+z 2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z ）2=1 可得：x 2+y 2+z 2≥，即x 2+y 2+z 2的最小值为．故答案为．考点：柯西不等式在函数极值中的应用．19．【解析】试题分析：所以原式转化为根据基本不等式所以原式等号成立的条件是所以求原式的最小值转化为求的最小值令当时函数单调递减当函数单调递减所以当时函数取得最小值当时取得最小值最小值等于考点：1基本不等 解析：【解析】 试题分析：,所以，原式转化为,根据基本不等式，,所以原式,等号成立的条件是,所以求原式的最小值转化为求的最小值，,令，,,当时，,函数单调递减，当，,函数单调递减，所以当时，函数取得最小值，当时，,取得最小值，最小值等于． 考点：1．基本不等式；2．导数研究函数的极值与最值．20．(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义可得从而得的值；（2）利用柯西不等式即可证明试题解析：(1) 3a = (2)见解析【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义可得()()12123x x x x ++-≥+--=，从而得a 的值；（2）利用柯西不等式()()()2222222111111p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯，即可证明. 试题（1）因为()()12123x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =.（2）证明：由(1) 知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正实数，所以()()()()22222221111119p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=+==，即2223p q r ++≥.考点：绝对值的几何意义；不等式的证明.三、解答题21．（1）证明见解析；（210.【分析】（1）利用基本不等式得212x x +≥，212y y +≥，212z z +≥，由此可证明不等式成立；（2）利用柯西不等式求最大值．【详解】（1）证明：因为212x x +≥，()2214y y +≥，212z z +≥， 所以()22224228x y z x y z +++≥++=，即22224x y z ++≥， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，所以不等式得证.（2）解：由柯西不等式，得()()(22424x y z ++++≥， 当且仅当2424x y z ==，即85x z ==，25y =时，等号成立.因为24x y z ++=，所以210≤，.【点睛】思路点睛：本题考查不等式的证明，证明方法是基本不等式和柯西不等式．基本基本不等式可以看作是柯西不等式的二维形式的特例．如果用基本不等式求最值，注意取得最值的条件：一正二定三相等，一个都不能少．第（1）小题也可以利用柯西不等式证明：2222(2)(121)(2)16x y z x y z ++++≥++=，当且仅当1x y z ===时等号成立． 22．（1）827；（2）证明见解析. 【分析】（1）直接利用三个数的基本不等式求最值即可；（2）将a ＋b ＋c ＝2代入，利用柯西不等式证明即可.【详解】(1)因为a ，b ，c ∈R ＋，所以2＝a ＋b ＋c ≥827abc ≥，故827abc ≤. 当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立，所以abc 的最大值为827； (2)证明：因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝2，所以根据柯西不等式， 可得111a b c ++＝12 (a ＋b ＋c ) 111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝22222212⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎡⎤⎣⎣+⎢⎥⎦+⎦ 21922≥=，当且仅当23a b c ===时等号成立. 所以11192a b c ++≥.【点睛】 本题的解题关键是利用已知条件拼凑111a b c ++＝12 (a ＋b ＋c ) 111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，观察使用柯西不等式求最值，突破难点即可. 23．114【分析】 利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z ++≤++++，进行解答即可.【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z ++≤++++, 即()222141x y z ++≥， 故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==, 即222x y z ++的最小值为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 24．(1) 3m =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据(2)0f x -≥的解集为[3,3]-,结合绝对值不等式的解法,即可求m 的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意(2)||0f x m x -=-≥,即||x m m x m ≤-≤≤，，3m ∴=； (2)证明: 233(,,0)a b c a b c ++=>, 所以由柯西不等式得3=≤ 所以111323a b c ++≥,当且仅当23a b c ==,即111,,23a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.25．详见解析【分析】根据柯西不等式可得()()()22222221132132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即可得证. 【详解】证明：由柯西不等式得()()()22222221132132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当且仅当94x y x ==时等号成立.因为2229436x y x ++=，所以()249364936x y z ++≤⨯=， 所以7x y z ++≤，【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了推理能力，属于中档题. 26．见解析【分析】由题意可得(1)(1)(1)6a b c +++++≤，再由柯西不等式可得111[(1)(1)(1)]9111a b c a b c ⎛⎫+++++++≥ ⎪+++⎝⎭，即可得证. 【详解】 证明：3a b c ++≤，∴(1)(1)(1)6a b c +++++≤， 由柯西不等式得111[(1)(1)(1)]111a b c a b c ⎛⎫+++++++≥ ⎪+++⎝⎭223=， ∴111993111(1)(1)(1)62a b c a b c ++≥≥=++++++++． 【点睛】本题考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了推理能力，属于中档题.。

1.2.2 绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}解析:A={x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.答案:C2.若a>2,则不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R解析:不等式|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a.因为a>2,所以2-a<0,故不等式的解集为R.答案:D3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)解析:由|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2,无解;解3x-4<-x2,得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).答案:A4.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)解析:在|a-b|≤|a|+|b|中,等号成立的条件是ab≤0,不等号成立的条件是ab>0,因此有2x·log2x>0,而x>0,所以log2x>0,解得x>1.答案:C5.若不等式|2a-1|≤对一切非零实数x恒成立,则实数a的取值范围是.解析:=|x|+≥2,所以由已知得|2a-1|≤2,即2a-1≤2或2a-1≥-2,解得-≤a≤.答案:6.不等式|x+3|>|2-x|的解集是.解析:由|x+3|>|2-x|,得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即x>-,故不等式的解集为.答案:7.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a=. 解析:由|ax+2|<6,得-8<ax<4.当a>0时,有-<x<.因为不等式的解集为(-1,2),所以解得两值矛盾.当a<0时,有<x<-,则解得a=-4.综上可得,a=-4.答案:-48.已知函数f(x)=(a∈R).(1)若a=3,解不等式f(x)≥2;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.解(1)当a=3时,不等式f(x)≥2即为≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,即|x+1|+|x-3|≥6.于是或解得x≥4或x≤-2,即不等式解集为{x|x≥4或x≤-2};(2)f(x)的定义域为R,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0对任意实数x恒成立,所以|x+1|+|x-a|≥2.又g(x)=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|,所以|a+1|≥2,解得a≥1或a≤-3.所以实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).9.导学号35664008已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R). (1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;(2)若f(x)≤2x的解集包含,求a的取值范围.解(1)当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x≥时,不等式为3x≥2,解得x≥,故x≥;②当-1≤x<时,不等式为2-x≥2,解得x≤0,故-1≤x≤0;③当x<-1时,不等式为-3x≥2,解得x≤-,故x<-1;综上可知,原不等式的解集为.(2)不等式f(x)≤2x可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.因为f(x)≤2x的解集包含,所以解得-≤a≤0.所以a的取值范围是.B组1.不等式的解集为()A.[0,1)B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)解析:因为,所以<0,解得0<x<1.答案:B2.关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)解析:因为|x+3|-|x-1|≤4,且|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.答案:A3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.解析:原不等式等价于-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.答案:{x|0≤x≤4}4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为. 解析:由|3x-b|<4,得-4<3x-b<4,即<x<.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,所以解得故5<b<7.答案:(5,7)5.解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.解当x≤-时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-.当-<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.又1<x≤2,所以1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>.又x>2,所以x>2.综上所述,原不等式的解集为.6.导学号35664009已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|,得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|,得2x-6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以解得a=3.7.导学号35664010已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).(1)当m=5时,求函数f(x)的定义域;(2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范围.解(1)由题设知|x+1|+|x-2|>5,不等式的解集是三个不等式组:解集的并集,解得函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞).(2)不等式f(x)≥1即|x+1|+|x-2|≥m+2.∵当x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴要使不等式|x+1|+|x-2|≥m+2的解集是R,只要m+2≤3,∴m的取值范围是(-∞,1].。