第3章 信号及其描述

17
10
t 1 second 7 1 second 10 t 1 second 10 t
7 6
7


6

0
例题：求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式
二、周期信号的频谱分析
An-，n-分别称为幅值谱和相位谱，统称为频谱。 每条线代表某一频率分量的幅值，称为谱线。 连接各个谱线顶点的曲线称为包络线，它反映各分量幅值的变 化情况 。 ＝l=2/T，把频率l称为基频（或基波），频率为2 l ， 3 l ， …的分量分别称为二次谐波、三次谐波……。 周期信号的频谱只会出现在离散频率点上，此频谱称离散谱。
(6)
f(tk) (3)
(6) (4)
(4) t
-1
(-1)
(2)
(1.5) t
(2) -1 0 1 2 3 4 (-1)
0 1 2 3 4
三、确定信号的时间特性
• 表示信号的时间函数，包含了信号的全部信息 量，信号的特性首先表现为它的时间特性。 • 时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅度变 化的特性。
H pi lg pi
• 含义：是系统有序化程度的度量。 • 用途： 以香农信息论为基础的测量信息论是以信息熵为核心 的一套现代测量数据和测量系统评价理论。 测量信息论中信源集合与测量结果信息集合之间的关 系充分反映了测量质量。可用信息熵表示测量的质量。
第二节
周期信号及其描述
直接检测或记录到的信号一般是随时间变化的 物理量，称为信号的时间域描述。
ω1的倍数称为谐波。
• 周期信号的频谱由离散频率成分（基波与谐波）构成。
复杂周期信号波形
f f f
3f
5f
7f
3f
3f
5f
5f 7f 时域 频域 7f
六、信息熵理论概述
• 目的：解决信息的量化度量问题。 • 定义： 事件A给出的信息量。
m 1 i 0
H ( A) lg p( A)
若事件有m种可能结果，其该事件的平均信息量为：
– 同一形状的波形重复出现的周期长短 – 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉冲持续 时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度）
• 以时间函数描述信号的图像称为时域图，在时 域上分析信号称为时域分析。
四、确定信号的频率特性
• 信号还具有频率特性，可用信号的频谱函数来表示。 在频谱函数中，也包含了信号的全部信息量。
2.非周期信号：准周期信号和瞬态信号 a.准周期信号：由多种频率成分的简谐信号合成， 各频率不全为有理数。 如
x(t ) A sin( t ) B sin( 2t )
多个独立信号源共同作用的结果。
b.瞬态信号：只在一定时间内存在，随时间逐 渐衰减至零。（包括各种脉冲函 数和衰减函数）
二、随机信号（非确定性信号）
f (t ) A0 An cos( n1t n ), ( n 0)
n 1

2）指数形式： 双边频谱
f (t )
n
Cn e jn1t ,

( n )
Cn 为复函数，称这种频谱为指数频谱 图(c) 条件：Cn为实数，用正负表示相位的0、π
第三节
一、傅里叶变换
表达式
非周期信号的描述
F ( ) lim CnT lim
T
T 2 T T 2

f ( t )e
jn1 t
dt f (t )e jt dt


傅里叶反变换式，
1 f (t ) 2



F ( ) e jt d
F()是非周期信号 f(t) 的傅里叶变换（频谱密度--单位频率 的谐波振幅）表示式，它与周期信号的傅里叶级数相当。 傅里叶变换对 f(t) F(j) (时域) (频域)
推导
二、几种典型信号的频谱
1.矩形窗函数(矩形脉冲函数)的频谱
A g (t ) 0 t /2 t /2
5
f
8
5
t 1 second 时域
5 16 频域
f
五、信号频域分析
周期信号的频域分析：三角（指数）式傅里叶级数 非周期信号的频域分析：傅里叶变换 信号在频域与时间域之间的变换：正反傅里叶变换 例：周期信号的频域分析方法 1 1 1 考察信号 f (t ) sin 1t sin 31t sin 51t sin 71t 3 5 7 式中ω1=2πf1。ω1称为基波频率，简称基频，
注意：
指数形式傅里叶级数中的 -n并不代表实际上存 在负频率，因为两个共轭的指数分量之和乃频率 为n的实函数。
An jn jn1t An jn jn1t e e e e An cos( n1t n ) 2 2
周期信号频谱图
周期信号展开为傅里叶级数时在不 同频率点的振幅、相位随频率变化 的图形。 1）余弦形式： 单边频谱

1 复振幅Cn T
T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
n 0,1,2,3,
求出Cn，信号分解的任务就完成了。 并可得 C0 a0 A0 Cn Cn e j n 1 ( an jbn ) 2 1 j n ( an jbn ) Cn Cn e 2 1 1 2 2 Cn Cn 2 An 2 an bn Cn Cn An
j 2ft
G ( f ) g (t )e


dt
/2
/ 2
Ae j 2ftdt
A ( e j 2f e j 2f ) j 2f sin( f ) A A sin c(f ) f 抽样函数：sincx＝sinx/x，以2为周 期并随x的增加而作衰减振荡， sincx是偶函数，在x＝n (n＝1， 当 =0时，G ()=A ； =2n/时， G()=0。 2，…)处为零。
T 2 T 2
A0 a0
2 2 An an bn
f (t ) cos n1tdt
tan n bn / an
正弦分量的幅值为
2 T bn 2T f (t ) sin n1tdt T 2
周期信号是由许多个不同频率 的正弦和余弦信号叠加而成。
例：带有直流分量的信号
无法用明确的数学关系表述的信号。无法预 测、随机性（随机信号）。 广泛存在：电路噪声、振荡信号、地震波 研究方法：概率统计
各态历经信号
平稳随机信号
非确定信号 非平稳随机信号 非各态历经信号
连续信号与离散信号（按随机信号波形形态分）
• 如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除 若干不连续点外，该函数都能给出确定的函数 值，此信号称为连续信号。
1 jn1t cos n1t ( e e jn1t ) 2 j jn1t sin n1t ( e e jn1t ) 2
f (t ) C0 (Cn e jn1t Cn e jn1t )
n 1

n
Cn e jn1t
f (t )dt
余弦分量的幅值为
2 an T
T 2 T 2
An1tdt
tan n bn / an
正弦分量的幅值为
2 T bn 2T f (t ) sin n1tdt T 2
周期信号是由许多个不同频率 的正弦和余弦信号叠加而成。
f (t ) C0 (Cn e jn1t Cn e jn1t )
n 1

n
Cn e jn1t

1 复振幅Cn T
T 2 T 2
f (t )e jn1t dt
n 0,1,2,3,
求出Cn，信号分解的任务就完成了。 并可得 C0 a0 A0 Cn Cn e j n 1 ( an jbn ) 2 1 j n ( an jbn ) Cn Cn e 2 1 1 2 2 Cn Cn 2 An 2 an bn Cn Cn An
值
|Cn|
求图示脉冲序列的傅里叶级数展开式。
Cn
f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
n 1

直流(静态)分量为
1 a0 T
T 2 T 2
还可改写为
f (t ) A0 An cos( n1t n )
n 1
第三章 信号及其描述
本章要点： 1）信号的分类和分析方法； 2）周期信号的描述，注意单边和双边频谱 （余弦和指数形式）的内涵和使用场合； 3）非周期信号的描述，傅里叶变换的应用； 4）离散傅里叶变换的方法和工程意义； 5）随机信号的描述和相关分析方法。
第一节 概
述
信号是信息的载体和具体表现形式。广义的说，信号是随 时间变化的某种物理量。只有变化的量中，才可能含有信息。 信号分析就是运用数学工具对信号加以分析研究，提取有 用信号，从中得到一些对工程有益的结论和方法。

– 在一周期内，函数的极值数目为有限； – 在一周期内，函数 f(t) 或者为连续的，或者具有有限 个这样的间断点，即当 t 从较大的时间值和较小的时 间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的 函数值。

lim f (t ) lim f (t )

• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
三、指数傅里叶级数
用正交函数集来表示周期信号另一种更常用的方法 是傅里叶级数的指数表示法。 三角傅里叶级数与指数傅里叶级数并不是两种不同 类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方法。 指数级数形式比三角级数形式更简化，更便于计算。 根据欧拉公式
e
j1t