乐山市2012全国高中数学联合竞赛

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________． 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．专题13 平面向量CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r|．（1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义备注零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的． 单位向量长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=||aa ． 平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ．说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||a a ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差） 已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）． 数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r=（x 2–x 1，y 2–y 1）．说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零． （2）向量数量积的性质设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |．特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a ④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b ． （3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ． （4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）． 【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． （1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12（AC u u u r +AB u u u r）；②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r=0；③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB AC u u u r u u u r共线．（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC u u u r（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a ，b 为非零向量，且a ∥b ，则a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． （2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b，<a，b>∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7D ．82．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为A ．12-B ．12C ．3-D ．33．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2C D ．04．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．4 B ．–3C D ．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ= A ．2 B ．-2 C ．12 D ．1-26．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u ur u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r ，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A ．3 B ．C D ．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m = A ．4 B ．1 C ．1-D ．4-9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b ,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BC D 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x =A ．32- B ．–1 C ．23 D ．3212．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56π B ．23π C ．π3D ．6π13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r ，AN CN =+0u u u r u u u r，则A ．2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．2376MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u rD ．7263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v ，则||OP uuu v ＝__________．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AB u u u r =______．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r ，则实数m =__________．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r__________．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r __________． 31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，a b，则x __________．若∥。

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见详解；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩．【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =． 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）满足题设条件的a ，b 存在．（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．专题20函数与导数综合（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾．若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ． 【答案】（1）见解析；（2）16a =-【解析】（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x f x x x'=+-+． 设函数()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+，则2()(1)x g x x '=+．当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=． 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++．由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-． 【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论0a ≥和0a <，当0a <时构造函数()()22f x axh x x =++时关键，讨论函数()h x 的性质，本题难度较大．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，求m 的最小值． 【答案】（1）1a =；（2）3【解析】（1）()f x 的定义域为()0∞，+．①若0a ≤，因为11ln 2022f a ⎛⎫<⎪⎝⎭=-+，所以不满足题意； ②若a >0，由()1a x af 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()f 'x <0；当()，+x a ∈∞时，()f 'x >0，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()0∞，+的唯一最小值点． 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥．故a =1． （2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->． 令112n x =+得11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭．从而 221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ．故2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． 而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．【命题意图】了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）．主要考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算能力和逻辑推理能力．【命题规律】导数的综合应用一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查，一般出现在解答题的压轴位置，难度较大．【答题模板】1．利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x）；（3）由f'（x）>0（或<0）解出相应的x的取值范围，对应的区间为f（x）的单调递增（减）区间．还可以通过列表，写出函数的单调区间．2．证明或讨论函数的单调性方法一：求出在对应区间上导数的正负即得结论．方法二：（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）=0的根；（3）利用f'（x）=0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该子区间上的单调性．【知识总结】1．函数的极值设函数y=f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）<f（x0），则f（x0）是函数y=f （x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0）；如果对x0附近的所有的点，都有f（x）>f（x0），则f（x0）是函数y=f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）．极大值与极小值统称为极值．一般地，当函数f（x）在x0处连续时，（1）如果在x0附近的左侧f'（x）>0，右侧f'（x）<0，那么f（x0）是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f'（x）<0，右侧f'（x）>0，那么f（x0）是极小值．注意：（1）极值点不是点，若函数f（x）在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f（x1）；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f（x2）．极大值与极小值之间无确定的大小关系．（2）极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．（3）f'（x0）=0是x0为f（x）的极值点的必要而非充分条件．例如，f（x）=x3，f'（0）=0，但x=0不是极值点．2．函数的最值在区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．在区间[a，b]上连续的函数f（x）若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．注意：极值与最值的区别与联系极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个也没有，而最值最多有一个．3．利用导数解决函数单调性问题应该注意：（1）单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；（2）求可导函数f（x）的单调区间，可以直接转化为f'（x）>0与f'（x）<0这两个不等式的解集问题来处理；（3）若可导函数f（x）在指定区间D上单调递增（减），则应将其转化为f'（x）≥0（f'（x）≤0）来处理；（4）涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数f'（x）在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．4．函数的图象与导函数图象的关系理解导函数y=f'（x）的图象与函数f（x）图象的升降关系，导函数大于0对应原函数图象由左至右上升，导函数小于0对应原函数图象由左至右下降，在解题时要注意原函数的定义域，如判断定义域是否具有对称性等．5．由函数的单调性求参数的取值范围的技巧（1）由可导函数f（x）在D上单调递增（或递减）求参数范围问题，可转化为f'（x）≥0（或f'（x）≤0）对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“=”是否取到．（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f'（x）>0（或f'（x）<0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．（3）若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．（4）若已知f（x）在D上不单调，则f（x）在D上有极值点，且极值点不是D的端点．6．求函数f（x）在[a，b]上的最值的方法（1）若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f（a）与f（b）一个为最大值，一个为最小值；（2）若函数在区间[a，b]内有极值，要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f（a），f（b）比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；（3）函数f（x）在区间（a，b）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．注意：求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．7．已知函数的极值、最值求参数（1）已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．（2）已知函数的最值求参数，一般先求出最值（含参数），再根据最值列方程或不等式（组）求解．8．利用导数解决不等式问题（1）利用导数证明不等式的方法证明f（x）<（>）g（x），x∈（a，b），可以构造函数F（x）=f（x）-g（x），如果F'（x）<（>）0，则F（x）在（a，b）上是减（增）函数，同时若F（a）≤（≥）0，由减（增）函数的定义可知，x∈（a，b）时，有F（x）<（>）0，即证明了f（x）<（>）g（x）．其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．（2）不等式成立（恒成立）问题①f（x）≥a恒成立⇔f（x）min≥a，f（x）≥a成立⇒f（x）max≥a．②f（x）≤b恒成立⇔f（x）max≤b，f（x）≤b成立⇔f（x）min≤b．③f（x）>g（x）恒成立F（x）min>0．④∀x1∈M，∃x2∈N，f（x1）>g（x2）⇔f（x1）min>g（x2）min．∀x1∈M，∀x2∈N，f（x1）>g（x2）⇔f（x1）min>g（x2）max．∃x1∈M，∃x2∈N，f（x1）>g（x2）⇔f（x1）max>g（x2）min．∃x1∈M，∀x2∈N，f（x1）>g（x2）⇔f（x1）max>g（x2）max．注意：不等式在某区间上能成立与不等式在某区间上恒成立问题是既有联系又有区别的两种情况，解题时应特别注意，两者都可转化为最值问题，但f（a）≥g（x）（f（a）≤g（x））对存在x∈D能成立等价于f（a）≥g（x）min（f（a）≤g（x）max），f（a）≥g（x）（f（a）≤g（x））对任意x∈D都成立等价于f （a）≥g（x）max（f（a）≤g（x）min），应注意区分，不要搞混．9．导数在研究函数零点中的应用（1）研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等． （2）用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．1．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知函数()()()1ln 0,f x a x a g x x x=≠=-． （1）当2a =时，比较()f x 与()g x 的大小，并证明；（2）令函数()22F x fg ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，若1x =是函数()F x 的极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[)(]2,00,2a ∈-U ． 【解析】（1）当2a =时，()()12ln f x g x x x x -=-+，令()12ln h x x x x=-+， 则()()222221212110x x x h x x x x x--+-=--=-'=≤， 所以函数()12ln h x x x x=-+在()0,∞+上单调递减，且()10h =， 所以当01x <<时，()0h x <，即()()f x g x >； 当1x >时，()0h x <，即()()f x g x <， 当1x =时，()0h x =，即()()f x g x =．（2）()22F x fg⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦221ln 2,04a x x x x ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭， 令202a m =>，则()2ln 1111ln x F x m m x x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎝'⎪⎭， 令()1ln G x m x x x =-+，则()222111m x mx G x x x x -+=--=-'， ①当02m <≤时，()2210x mx G x x-+=-≤'恒成立， 所以()1ln G x m x x x=-+在()0,+∞上递减，且()10G = 所以01x <<时，()()0,F x F x '>在()0,1上递增，1x >时，()()0,F x F x '<在()1,+∞上递减，此时1x =是函数()F x 的极大值点，满足题意．②当2m >时，()()120,1,1,x x ∃∈∈+∞，使得当()12,x x x ∈时，()0G x '≥， 所以()1ln G x m x x x=-+在()12,x x 上递增，且()10G =， 所以11x x <<时，()()0,F x F x '<在()1,1x 上递减；21x x <<时，()()0,F x F x '>在()21,x 上递增，此时1x =是函数()F x 的极小值点，不合题意．综合得(]20,22a m =∈，解得[)(]2,00,2a ∈-U ．【名师点睛】本题考查函数与导数的综合，函数极值与最值，转化化归思想，分类讨论，准确推理计算是关键，是中档题．2．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知函数()()21ln 1f x a x x a =+--+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a <，求证：当0x >时，函数()y xf x =的图像恒在函数()32ln 1y x a x x =++-的图像上方．【答案】（1）见解析；（2）见证明 【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，且()()121f x a x x =+-'()2211a x x+-=，当1a ≤-时，()0f x '<，函数()f x 在()0,+∞上为增函数； 当1a >-时，令()0f x '=，解得x =此时函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减，在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上递增， （2）证明：若1a <，则当0x >时，问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,+∞上恒成立，只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,+∞上恒成立，即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,+∞上恒成立， 令()()ln ln ,1xF x x x g x a x=-=--+， 因为()111xF x x x-=-='，易得()F x 在()0,1单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()11F x F ≤=-， 又()221ln ln 1x x g x x x='--=-， 当0e x <<时，()0g x '<，当e x >时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,e 上递减，在()e,+∞上递增，所以()()1e 1e g x g a ≥=--+， 又1a <，所以1111e ea --+>->-，即()()max min F x g x <，所以ln ln 1xx x a x-<-+在()0,+∞上恒成立， 所以当1a <时，函数()xf x 的图像恒在函数()32ln 1y x a x x =++-的图像上方．【名师点睛】本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．3．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()21f x x ax =-+，()()ln g x x a a =+∈R ． （1）若1a =，求函数()()()h x f x g x =-在区间1,e t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中1e et <<，e 是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞．【解析】（1）由题意，可得()221ln 1ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->，()2121'21x x h x x x x --=--=()()211x x x+-=， 令()'0h x =，得1x =．①当11e t <≤时，()h x 在1,e t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴()222min111e e 11e e ee h x h -+⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭． ②当1t >时，()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,t 上单调递增， ∴()()min 10h x h ==．综上，当11e t <≤时，()22min e e 1eh x -+=，当1t >时，()min 0h x =． （2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线， 则()()()()121212''f x g x f x g x x x -==-，∴211212121ln 12x ax x ax a x x x -+---==-， ∴12122ax x =+，代入21211221ln x x x ax x a x -=-+--，得222221ln 20424a a x a x x ++++-=． ∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424a ax a x x ++++-=有解，设()221ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点， ∵()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，当2e a x -=时，ln 20x a +-=，∴()2e 0a F ->． ∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0．()23231121'222a x ax F x x x x x--=--+=， 设()20002100x ax x --=>，则当00x x <<时，()'0F x <，当0x x >时，()'0F x >．∴()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，∴()F x 的最小值为()2002001ln 2424a a F x x a x x =++++-． 由200210x ax --=知0012a x x =-，故()20000012ln 2F x x x x x =+-+-． 设()212ln 2(0)x x x x x x ϕ=+-+->， 则()211'220x x x xϕ=+++>，故()x ϕ在()0,+∞上单调递增，∵()10ϕ=，∴当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤， ∴()F x 的最小值()00F x ≤等价于001x <≤．又∵函数12y x x=-在(]0,1上单调递增，∴(]0012,1a x x =-∈-∞． 【名师点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】设函数()()2e 1xf x a x x =---．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 在()0,+∞上有极值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在[)0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递减；（2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）()()e 211xf x a x '=---．当1a =时()e 1xf x '=-．由()0f x '≥有e 10x -≥，解得0x ≥；()00f x x ≤'⇒≤． 所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递减． （2）设()()()e 211xg x f x a x '==---，()()e 21xg x a ='--，因为函数()f x 在()0,+∞上有极值点，所以函数()g x 在()0,+∞上有零点．①当32a ≤时，0x >，∴e 1x >，∴()()e 210xg x a =-->'， ∴()g x 在()0,+∞上单调递增，∵()00g =，所以当0x >时()()00g x g >=恒成立， 即函数()g x 在()0,+∞上没有零点． ②当32a >时，()211a ->，()ln210a ->， ()()e 210x g x a =-->'时，()ln21x a >-，()()e 210x g x a =--<'时，()ln21x a <-，∴()g x 在()(0,ln21a ⎤-⎦上单调递减，在())ln21,a ⎡-+∞⎣上单调递增， ∵()00g =，且()g x 在()(0,ln21a ⎤-⎦上单调递减，∴()()ln210g a -<． 对于0a >，当x →+∞时，()g x →+∞， 所以存在())0ln21,x a ⎡∈-+∞⎣使()00g x >． 所以函数()g x 在()()ln21,a -+∞上有零点．所以函数()f x 在()0,+∞上有极值点时，实数a 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．5．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知函数1()ln f x x mx x=--在区间(0,1)上为增函数，m ∈R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求a b +的最小值．【答案】（1）2m ≤；（2）a b +的最小值为–1． 【解析】（1）∵()1ln f x x mx x=--， ∴()211f x m x x =+-'．又函数()f x 在区间()0,1上为增函数， ∴()2110f x m x x=-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭，则当1x =时，()t x 取得最小值，且()min 2t x =， ∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2-∞． （2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()min 11h x h ==-， ∴a b +的最小值为1-．【名师点睛】本题考查导数的几何意义和导数在研究函数性质中的作用，其中在研究函数的性质中，单调性是解题的工具和基础，而正确求导并判断导函数的符号是解题的关键，考查计算能力和转化意识的运用，属于基础题．6．【贵州省2019届高三高考教学质量测评卷（八）数学】已知函数()()ln xf x ax a x=-+∈R ，'()f x 为()f x 的导函数．（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）若212,e,e x x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()123'4f x f x a ≤++成立，求实数a 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）211e 2-+． 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞U ，当0a =时，2ln 1()(ln )x f 'x x -=，令()0f 'x =，得e x =， 列表得所以当e x =时，()f x 取得极小值，且极小值为e ；无极大值．（2）若212,e,e x x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()123'4f x f x a ≤++成立()()12min max 3'4f x f x a ⇔++≤． 由（1）知，2ln 1'()(ln )x f x a x -=-+，所以()()2222ln 133'44ln x f x a x -++=+， 令21ln t x =，则原式231,142t t t ⎛⎫⎡⎤=-++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值为1，故存在21[e,e ]x ∈，1()1f x ≤，即1111ln x ax x -+≤，化为1111ln a x x ≥-+， 令11()ln h x x x=-+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则2222211(ln )'()(ln )(ln )x xh x x x x x x -=-=．对于函数()ln x x ϕ=，（0x >），1'()x x ϕ==， 当4x =时，()x ϕ取最大值为ln 420-<，所以ln x <2(ln )x x <，故()0h'x <恒成立，()h x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，最小值为211e 2-+， 所以211e 2a ≥-+，a 的最小值为211e 2-+．【名师点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式成立的问题，涉及存在性问题，构造函数利用导数求其最大最小值问题，换元法，属于难题．此类问题要注意理解存在性和恒成立的差别，结合具体问题实现正确转换为最大值和最小值是关键．7．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】已知函数()e xf x bx =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若曲线()y f x =的一条切线方程为210x y -+=， （i ）求b 的值；（ii ）若210x x >>时，()()12f x f x -()()12121x x mx mx <-++恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）（i ）1，（ii ）e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【解析】由()e xf x bx =+得()e xf x b '=+，若0b ≥，则()0f x '>，即()e xf x bx =+在(),-∞+∞上是增函数；若0b <，令()0f x '>得()ln x b >-，令()0f x '<得()ln x b <-，即()e xf x bx =+在()(),ln b -∞-上是单调减函数，在()()ln ,b -+∞上是单调增函数．（2）（i ）设切点为()00,x y ，()e xf x bx =+得()e xf x b '=+由题意得000000e 2e 210x xb y bx x y ⎧+=⎪=+⎨⎪-+=⎩，消去b 与0y ， 得000e e 10xxx -+=，令()e e 1x x g x x =-+，()e xg x x '=，0x <时，()0g x '<；0x >时，()0g x '>；0x =时，()0g x '=； ()g x ∴在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数，()()min 00g x g ∴==，即()e e +1x x g x x =-仅有一个零点0x =，即方程000e e 10xxx -+=仅有一个根0x =，02e 1b ∴=-=，（ii ）由（i ）知()e xf x x =+，()()12f x f x -<()()12121x x mx mx -++即为()2111f x mx x --<()2222f x mx x --， 由210x x >>知，上式等价于函数()()22e x xf x mx x mx φ=--=-在()0,+∞为增函数， ()e 20xx mx φ∴=-≥'，即e2x m x≤，令()e xh x x =，()0x >，()()2e 1x x h x x='-， ()0h x '<时，01x <<；()0h x '>时，1x >；()0h x '=时，1x =， ()h x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 1e h x h ∴==，则2e m ≤，即e 2m ≤，所以实数m 的范围为e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性及切线方程，利用导数研究恒成立问题等知识，考查了转化能力和计算求解能力，属于较难题．8．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知221()ln ,02f x x a x a =->． （1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）若()()12f x f x =，且12x x ≠，证明：122x x a +>．【答案】（1）a 的取值范围是；（2）见解析．【解析】（1）()()()2x a x a a f x x x x+='-=-， 当()0,x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()0f x '>单调递增； 当x a =时，()f x 取最小值()221ln 2f a a a a =-．令221ln 02a a a -≥，解得0a <≤a 的取值范围是(． （2）由（1）知，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 不失一般性，设120.x a x <<<，则22a x a -<，要证122x x a +>，即122x a x >-，则只需证()()122f x f a x <-， 因为()()12f x f x =，则只需证()()222f x f a x <-， 设()()()2,2g x f x f a x a x a =--≤<．则()()()22222022a a x a a g x x a x x a x x a x -=-+--'=-≤--， 所以()g x 在[),2a a 上单调递减，从而()()0.g x g a ≤= 又由题意得22a x a <<，于是()()()22220g x f x f a x =--<，即()()222f x f a x <-， 因此122x x a +>．【名师点睛】本题考查了利用导数求出函数单调性，解决不等式恒成立问题、同时也考查了通过函数值的大小来判断两个的变量的大小的问题．9．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知函数21()ln (1)()2f x x ax a x a =+-+∈R ．（1）当1a ≥时，函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为–5，求a 的值；（2）设3211()()(1)22g x xf x ax a x x =-++-，且()g x 有两个极值点1x ，2x ． （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：212e x x >．【答案】（1）8；（2）（i ）1(1,1)e--；（ii ）详见解析．【解析】（1）()()111()1a x x a f 'x ax a x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-+=， ∵1a ≥，[]1,e x ∈，∴()0f 'x ≥， 所以()f x 在区间[]1,e 上为单调递增．所以()()()min 111582f x f a a a ⎡⎤==-+=-⇒=⎣⎦， 又因为81a =≥， 所以a 的值为8．（2）（i ）∵()()()232111ln 11222g x x x ax a x ax a x x ⎡⎤=+-+-++-⎢⎥⎣⎦()21ln 12x x a x x =-+-，且()g x 的定义域为()0,+∞，∴()()()ln 111ln 1g'x x a x x a x =+-+-=-+． 由()g x 有两个极值点1x ，2x ，等价于方程()ln 10x a x -+=有两个不同实根1x ，2x ． 由()ln 10x a x -+=得ln 1xa x+=． 令()ln (0)xh x x x =>， 则21ln ()xh'x x-=，由()0e h'x x =⇒=． 当()0,e x ∈时，()0h'x >，则()h x 在()0,e 上单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0h'x <，则()h x 在()e,+∞上单调递减． 所以，当e x =时，()ln x h x x =取得最大值()max 1e eh =，∵()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >，所以101e a <+<，解得111e a -<<-，所以实数a 的取值范围为11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（ii ）不妨设120x x <<，且()11ln 1x a x =+①，()22ln 1x a x =+②， ①+②得：()()()1212ln 1x x a x x =++③ ②–①得：()()2211ln1x a x x x =+-④ ③÷④得：()12122211ln ln x x x x x x x x +=-，即()12212211ln ln x x x x x x x x +=⋅-， 要证：212e x x >，只需证()12212211ln ln 2x x xx x x x x +=⋅>-．即证：212212121121ln 21x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>⋅=++．令21(1)x t t x =>， 设()()214ln ln 211t F t t t tt -=-=+-++， ()()()221'01t F t t t -=>+．∴()F t 在()1,+∞上单调递增， ∴()()10F t F >=，即()21ln 1t t t->+，∴212e x x >．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，参变分离，数形结合讨论参数范围，构造函数等，比较综合，属于难题．10．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知函数()ln f x x ax =-，a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个零点1x ，2x ，使12ln ln 0x x m +->，求m 的最大值． 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（2）2．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()1=f x a x'-． 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得10x a=>， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减． （2）因为11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，即11ln x ax =，22ln x ax =．两式相减得()1212ln ln x x a x x -=-，即1212lnx x a x x =-． 由已知12ln ln x x m +>，得()12a x x m +>．因为10x >，20x >，所以12ma x x >+，即121212ln x x m x x x x >-+．不妨设120x x <<，则有()121212lnm x x x x x x -<+． 令12x t x =，则()0,1t ∈，所以()1ln 1m t t t -<+，即()1ln 01m t t t --<+恒成立． 设()()1ln (01)1m t g t t t t -=-<<+．()()()222111t m t g't t t +-+=+．令()()2211h t t m t =+-+，()01h =，()h t 的图象开口向上，对称轴方程为1t m =-， 方程()22110t m t +-+=的判别式()42m m ∆=-．当1m ≤时，()h t 在()0,1单调递增，()()01h t h >=，所以()0,g't >()g t 在()0,1单调递增，所以()()10g t g <=在()0,1恒成立．当12m <≤时，()420m m ∆=-≤，()0h t ≥在()0,1上恒成立，所以()0g't >，()g t 在()0,1单调递增，所以()()10g t g <=在()0,1恒成立．当2m >时，()h t 在()0,1单调递减，因为()01h =，()1420h m =-<， 所以存在()00,1t ∈，使得()00h t =当()00,t t ∈时，()0h t >，()0g't >；当()0,1t t ∈时，()0h t <，()0g't <， 所以()g t 在()00,t 上递增，在()0,1t 上递减． 当()0,1t t ∈时，都有()()10g t g >=， 所以()0g t <在()0,1不恒成立．综上所述，m 的取值范围是(],2-∞，所以m 的最大值为2．【名师点睛】本题考查了函数的单调性的判断和换元构造新函数求其最值的问题，求导后讨论函数的单调性是本题的关键，属于中档题．11．【云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学】已知函数()1ln 1xf x x+=+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()g x xf x mx =+在区间（0，e ］上的最大值为–3，求m 的值； （3）若x ≥1时，不等式()11kf x x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）3e 1m =--；（3）(],2-∞ 【解析】（1）由题意得函数的()f x 的定义域为()0,+∞．∵()1ln 1xf x x +=+， ∴()2ln xf x x=-'，由()0f x '>，得01x <<； 由()0f x '<，得1x >．∴函数()f x 的增区间为()()0,11,+∞，减区间为． （2）由题意得()1ln g x x mx x =+++， ∴()11g x m x=++'，(]0,e x ∈， ①当10m +≥，即1m ≥-时，则()0g x '>，()g x 在(]0,e 上是增函数， ∴()()()max e 1e 20g x g m ==++≥，不合题意； ②当10m +<，即1m <-时，则由()0g x '>，得101x m <<-+， 若1e 1m -≥+，则()g x 在(]0,e 上是增函数，由①知不合题意； 若1e 1m -<+，则()g x 在10,1m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭上是增函数；在1,e 1m ⎛⎤- ⎥+⎝⎦上为减函数， ∴()max 11ln 311g x g m m ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴311e 1em -=<+， 解得3e 1m =--，满足题意． 综上可得3e 1m =--．（3）∵当1x ≥时，()11kf x x ≥++恒成立， ∴()()ln 111ln 1x k x f x x x x ⎡⎤≤+-=+++⎣⎦当1x ≥时恒成立， 令()ln 1ln 1x h x x x x =+++，1x ≥， 则()2ln 0x xh x x'-=>恒成立， ∴()h x 在[)1,+∞上为增函数， ∴()()min 12h x h ==， ∴2k ≤．∴实数k 的取值范围为(],2-∞．【名师点睛】（1）用导数解决函数的问题时，可先根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到函数的极值或最值．对于解析式中含有参数的问题，求解时注意分类讨论的运用．（2）解答恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，通过分离参数将问题转化成求具体函数的最值的问题处理，体现了转化思想方法的运用．12．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知函数()()e 2,0axf x a x a =-+≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，求证：12e e 2ax ax +>．【答案】（1）()f x 的增区间是[)0,+∞，减区间是(),0-∞；（2）证明见解析．【解析】（1）对函数求导可得'e e 1ax ax f x a a a =-=-（）（），令'0f x =（），得0x = ①当0a >时，若0x >，则e 1ax >，即'0f x >（）， 若0x <，则e 1ax <，即'0f x <（）． ②当0a <时，若0x >，则e 1ax <，即'0f x >（）， 若0x <，则e 1ax >，即'0f x <（）． 综上，()f x 的单调递增区间是[0+∞，），单调递减区间是0-∞（，）． （2）由（1）知，()f x 有两个零点时，()()01200e 020x x f a <<=-+<，，∴12a >．令11eax t =，22e ax t =，则1122ln ,ln ax t ax t ==∴12t t ，为方程ln 20t t a --=的两个根．令()ln 2g t t t a =--，则12t t ，为()g t 的两个零点，1201t t <<<． ∴()()()()121122g t g t g t g t --=--()()11112ln 22ln 2t t a t t a =------- ()11122ln 2ln t t t =---+，令()()()1111122ln 2ln ,0,1h t t t t t =---+∈，则()()()()()()21111111111112222111'20222t t t t t h t t t t t t t --++--=-++==>---． ∴1h t （）在01（，）上单调递增， ∴110h t h <=（）（）， ∴1220g t g t --<（）（），即122g t g t -<（）（）．∵()11'1t g t t t-=-=， ∴当1t ∈+∞（，）时，g t （）单调递增． ∵12211t t -∈+∞∈+∞（）（，），（，），∴122t t -<，∴122t t +>，∴12e e 2ax ax +>．【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了极值点偏移的综合应用，是高考的常考点和难点，属于难题．。

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，某小区计划在一块长为31m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m1．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=5702．cos30°的相反数是（）A．33-B．12-C．32-D．22-3．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（）A．49B．13C．29D．194．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是()A．1≤k≤4B．2≤k≤8C．2≤k≤16D．8≤k≤165．实数a在数轴上对应点的位置如图所示，把a，﹣a，a2按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．﹣a＜a＜a2B．a＜﹣a＜a2C．﹣a＜a2＜a D．a＜a2＜﹣a6．郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（）A．13B．14C．15D．167．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E在边BC上，若AE平分∠BED，则BE的长为（）A．35B．938C．7D．4﹣78．如图，BC平分∠ABE，AB∥CD，E是CD上一点，若∠C=35°，则∠BED的度数为（）A．70°B．65°C．62°D．60°9．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×16x=22（27﹣x）D．2×22x=16（27﹣x）10．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有()A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，已知矩形ABCD中，点E是BC边上的点，BE＝2，EC＝1，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F．则下列结论：①△ADF≌△EAB；②AF＝BE；③DF平分∠ADC；④sin∠CDF＝23．其中正确的结论是_____．(把正确结论的序号都填上)12．抛物线y ＝x 2﹣4x+2m与x 轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是______． 13．如图，点A 是双曲线y ＝﹣9x在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰△ABC ，且∠ACB ＝120°，点C 在第一象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝kx上运动，则k 的值为_____．14．对于函数y=2x，当函数y ﹤-3时，自变量x 的取值范围是____________ . 15．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm ，则AC= cm ．16．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是点O ，OE 3=OA 5，则EFGH ABCDS S 四边形四边形＝_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，AF 与DE 交于点O ．求证：AB＝DC；试判断△OEF的形状，并说明理由．18．（8分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）19．（8分）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中部 a 85 b s初中2高中部85 c 100 160（1）根据图示计算出a、b、c的值；结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．20．（8分）已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．；（1）如图1，求证：BD CD（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE=AF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF=2EG，AC=2，求OE的长．21．（8分）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C 重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC=1．（1）若M为AC的中点，求CF的长；（2）随着点M在边AC上取不同的位置，①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；②求△PFM的周长的取值范围．22．（10分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）23．（12分）先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：.24．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点P 在AC 上运动，点D 在AB 上，PD 始终保持与PA 相等，BD 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于F ，判断DE 与DP 的位置关系，并说明理由；若6AC =，8BC =，2PA =，求线段DE 的长.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、A 【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 1，即可列出方程:(31−1x )(10−x )=570， 故选A. 2、C 【解析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数． 【详解】 ∵cos30°3∴cos30°的相反数是3 故选C ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念．3、A【解析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．4、C【解析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数kyx=经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数kyx=经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．5、D【解析】根据实数a在数轴上的位置，判断a，﹣a，a2在数轴上的相对位置，根据数轴上右边的数大于左边的数进行判断. 【详解】由数轴上的位置可得，a<0,-a>0, 0<a2<a,所以，a＜a2＜﹣a.故选D【点睛】本题考核知识点：考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是根据数轴判断出a，﹣a，a2的位置.6、C【解析】列表得出进出的所有情况，再从中确定出恰好选择从同一个口进出的结果数，继而根据概率公式计算可得．【详解】解：列表得：∴一共有25种等可能的情况，恰好选择从同一个口进出的有5种情况，∴恰好选择从同一个口进出的概率为525=15，故选C．【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7、D【解析】首先根据矩形的性质，可知AB=CD=3，AD=BC=4，∠D=90°，AD∥BC，然后根据AE平分∠BED求得ED=AD；利用勾股定理求得EC的长，进而求得BE的长.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠D=90°，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE是∠DEB的平分线，∴∠BEA=∠AED，∴∠DAE=∠AED，∴DE=AD=4，再Rt△DEC中，，∴.故答案选D.【点睛】本题考查了矩形的性质与角平分线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与角平分线的性质以及勾股定理的应用.8、A【解析】由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE的度数，继而求得答案．【详解】∵AB∥CD,∠C=35°，∴∠ABC=∠C=35°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=70°，∵AB∥CD，∴∠BED=∠ABE=70°.故选：A.【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质进行解答.9、D【解析】设分配x名工人生产螺栓,则（27-x）人生产螺母,根据一个螺栓要配两个螺母可得方程2×22x=16（27-x），故选D.10、B【解析】首先设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解. 【详解】解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：3x+5y=35，y=7-35 x，∵x、y都是正整数，∴x=5时，y=4；x=10时，y=1；∴购买方案有2种．故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、①②【解析】只要证明△EAB≌△ADF，∠CDF=∠AEB，利用勾股定理求出AB即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，∵BE=2，EC=1，∴AE=AD=BC=3，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°，∴△EAB≌△ADF，∴AF=BE=2，不妨设DF平分∠ADC，则△ADF是等腰直角三角形，这个显然不可能，故③错误，∵∠DAF+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF ，∴∠CDF=∠AEB ，∴sin ∠CDF=sin ∠AEB=3，故④错误， 故答案为①②．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12、（3，0）【解析】把交点坐标代入抛物线解析式求m 的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．【详解】把点（1，0）代入抛物线y=x 2-4x+2m 中，得m=6， 所以，原方程为y=x 2-4x+3，令y=0，解方程x 2-4x+3=0，得x 1=1，x 2=3∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为（3，0）.【点睛】本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x 轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解． 13、1【解析】根据题意得出△AOD ∽△OCE ，进而得出AD OD OA EO CE OC==，即可得出k=EC×EO=1． 【详解】解:连接CO ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，∵连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰△ABC ，且∠ACB=120°，∴CO ⊥AB ，∠CAB=10°，则∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE ，又∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD ∽△OCE ， ∴AD OD OA EO CE OC == =tan60°=3 ， ∴AOD EOC S S ∆∆=()23 =1， ∵点A 是双曲线y=-9x在第二象限分支上的一个动点， ∴S △AOD =12×|xy|=92， ∴S △EOC =32 ，即12×OE×CE=32， ∴k=OE×CE=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出△AOD ∽△OCE 是解题关键．14、-23<x<0 【解析】根据反比例函数的性质：y 随x 的增大而减小去解答.【详解】解：函数y=2x中，y 随x 的增大而减小，当函数y ﹤-3时 223? x 3x -∴- 又函数y= 2x中，x 0≠ 203x ∴-<<故答案为：-23<x<0. 【点睛】 此题重点考察学生对反比例函数性质的理解，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键.15、1．【解析】试题分析：如图，∵矩形的对边平行，∴∠1=∠ACB ，∵∠1=∠ABC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴AC=AB ，∵AB=1cm ， ∴AC=1cm ．考点：1轴对称；2矩形的性质；3等腰三角形. 16、925【解析】试题分析：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是点O ，∴EF AB ＝OE OA ＝35， 则EFGH ABCD S S 四边形四边形＝2()OE OA ＝23()5＝925． 故答案为925． 点睛：本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）证明略（2）等腰三角形，理由略【解析】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即BF ＝CE ．又∵∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，∴△ABF ≌△DCE （AAS ），∴AB ＝DC ．（2）△OEF 为等腰三角形理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC．∴OE=OF．∴△OEF为等腰三角形．18、AC= 6.0km，AB= 1.7km；【解析】在Rt△AOC, 由∠的正切值和OC的长求出OA, 在Rt△BOC, 由∠BCO的大小和OC的长求出OA,而AB=OB-0A,即可得到答案。

四川省犍为县2013年高中阶段教育学校招生调研考试数 学2013年4月本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共6页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.考生作答时，不能使用任何型号的计算器.第一部分（选择题 共30分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.2.本部分共10小题，每小题3分，共30分.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1、-2的相反数是 A ．-2 B.-21 C.2 D.212、如图1直线1l ∥2l ，则∠α的大小是A.120°B.130°C.140°D.150° 3、下列运算正确的是A. 03)31(0=⨯ B.033)(a a = C.842a a a =⋅ D.336a a a =÷4、成都至乐山快铁工程即将竣工，该工程投资预算约为930 000万元，这一数据用科学记数法表示为A ． 59.310⨯ 万元 B ． 69.310⨯万元 C ．49310⨯万元 D ． 60.9310⨯万元5、已知两圆外切，圆心距为5cm ，若其中一个圆的半径是3cm ，则另一个圆的半径是 A ． 8cm B ．5cm C ．3cm D ．2cm6、分式方程3121x x =- 的解为 A ．1x = B ． 2x = C ． 3x = D ． 4x = 7、如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ， 下列说法错误．．的是 A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OC 8、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍。

则圆锥侧面展开图 的扇形的圆心角是A.1200B.1800C.2400D.30009、如图，在平行四边形ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分 ∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC 的长度分别为A.2和3B.3和2C.4和1D.1和410、一质点P 从距原点1个单位的M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM 的中点M 3处，第二次从M 3跳到OM 3的中点M 2处，第三次从点M 2跳到OM 2的中点M 1处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为A. 221+⎪⎭⎫ ⎝⎛n B.121-n C. 121+⎪⎭⎫⎝⎛n D.n21第二部分（非选择题，共120分）注意事项：1. 考生使用0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效.2. 作图时，可先用铅笔画线，确认后用0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚.二、填空题（本大题共6小题.每小题3分，共18分）11、如果33-=-b a ，那么代数式b a 35+-的值是 .12、县城西门口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是13、某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为54米，则需更换新型节能灯 盏． 14、如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若AB=，0C=1，则半径OB 的长为________．15、如图，O 为矩形ABCD 的中心，M 为BC 边上一点，N 为DC 边上一点，ON ⊥OM ，若AB=6，AD=4，设OM=x ， ON=y ，则y 与x 的函数关系式为 16、若x 是不等于1的实数，我们把称为x 的差倒数，如2的差倒数是，﹣1 的差倒数为，现已知，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依次类推，则2013X = ________.三、（本大题共3个小题17题，18题，19题每小题9分，共27分）17、化简：11)111(2-÷+--x x x x18、解不等式组⎩⎨⎧+<+--≥+)1(21)1(323x x xx ，并写出不等式组的整数解19、 如图，一次函数2y x b =-+(b 为常数)的图象与反比例函数ky x=(k 为常数，且k ≠0)的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1 ，4)． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点B 的坐标．四、（共3小题；每小题10分，满分30分）20、为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏：口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个，四个球除了颜色或编号不同外，没有任何别的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛．先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球．如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来． （1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率； （2）这个游戏是否公平？请说明理由．21. 由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60°，求山高CD . （结果保留根号）22、乐山市某化工厂从2008年开始节能减排，控制二氧化硫的排放．图左，图右分别是该厂2008﹣2012年二氧化硫排放量（单位：吨）的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．（1）该厂2008﹣2011年二氧化硫排放总量是 吨；这四年平均每年二氧化硫排放量是吨．（2）把图中折线图补充完整．（3）2008年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是度，2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是．五、（共2小题；每小题10分，其中24题为选做题，满分20分）23.如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．24、选做题，本题有两题构成，选做其中一题，若两题都做，只以甲题计分.题甲：市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．题乙：在矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F,连接FC.(1)求证：⊿AEF∽⊿DCE(2)求tan∠ECF的值.六、（共2小题；25小题12分，26小题13分，满分25分）25、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．设AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ；（2）在动点M 的运动过程中，记△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？26、如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A ．C ．D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB=54． （1）求过A ．C ． D 三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n ，（1）中抛物线的解析式为y 2=ax 2+bx+c ，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A ．E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值．图2图1犍为县2013年高中阶段教育学校招生调研考试数学参考答案一、选择题：1-5 CADAD 6-10 CBBBD 二、填空题: 11.8 12. 5/12 13. 71 14. 2 15. 16. 4三、解答题：17：原式=12+x18： 21-≤4<x ，其整数解为x =0，1，2，3；19：解：（1）∵两函数图象相交于点A （﹣1，4），:∴﹣2×（﹣1）+b=4，=4，解得b=2，k=﹣4，∴反比例函数的表达式为y=﹣，一次函数的表达式为y=﹣2x+2； （2）联立，解得（舍去），所以，点B 的坐标为（2，﹣2）． 20：解：（1）列表得：…（4分）∴P（甲得1分）=…（5分）（2）不公平．…（7分）∵P（乙得1分）=…（8分）∴P（甲得1分）≠P（乙得1分），∴不公平．…（10分）21：山高CD为750米.………………（10分）22:解：（1）答案为：100、25．（4分）（2）图略（6分）（3）∴2008年 360×=144°，（8分）∴2011年百分比是×100%=10%．（10分）23：解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵AB=2，∠P=30°，AP===2，即AP=2；（5分）（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．（10分）24：题甲：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，根据题意得：:3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5…（4分）（2）由（1）得，x2+3x﹣0.5=0…（5分）由根与系数的关系得，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣0.5…（7分）又∵mx12﹣4m2x1x2+mx22=12m[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣4m2x1x2=12m[9+1]﹣4m2（﹣0.5）=12∴m2+5m﹣6=0解得，m=﹣6或m=1…（10分）题乙：（1）略（2）tanECF=1/425：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN ∽△ABC．AM AN AB AC=，即43x AN =．∴ AN ＝43x∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……（4分） （2）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点． ∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ．∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．（5分）故以下分两种情况讨论：① 0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==． ∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 （6分）② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形，∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ， ∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEFABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴ ()2322PEF S x ∆=-． MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-.（9分）当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2．…………（12分）26.解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=54； Rt △OCD 中，OC=CD •sinD=4，OD=3；OA=AD ﹣OD=2，即： A （﹣2，0）、B （﹣5，4）、C （0，4）、D （3，0）；设抛物线的解析式为：y=a （x+2）（x ﹣3），得：2×（﹣3）a=4，a=﹣32；∴抛物线：y=﹣32x 2+32x+4．（4分） （2）由A （﹣2，0）、B （﹣5，4）得直线AB ：y 1=﹣34x ﹣38； 由（1）得：y 2=﹣32x 2+32x+4，则：，解得：，；由图可知：当y 1＜y 2时，﹣2＜x ＜5．（8分）（3）∵S △APE =AE •h ，∴当P 到直线AB 的距离最远时，S △ABC 最大；若设直线L ∥AB ，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P ； 设直线L ：y=﹣x+b ，当直线L 与抛物线有且只有一个交点时， ﹣34x+b=﹣32x 2+32x+4，且△=0；求得：b=211，即直线L ：y=﹣34x+211； 可得点P （23，27）．由（2）得：E （5，﹣328），则直线PE ：y=﹣311x+9； 则点F （1127，0），AF=OA+OF=1149； ∴△PAE 的最大值：S △PAE =S △PAF +S △AEF =21×1149×（328+27）=12343． 综上所述，当P （23，27）时，△PAE 的面积最大，为12343．（13分）。

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编10概率与统计一、选择题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次射击命中的概率为（ ）A. 13B. 23C. 14D. 25答案：B2、(江苏省启东中学高三综合测试三)从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率 A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等且为100225D ．都相等且为140答案：C3、(江苏省启东中学高三综合测试四)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}n a 满足：⎩⎨⎧-=次摸到白球，，第次摸到红球，第n n a n 1,1如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么37=S 的概率为( )A ．52573231⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C B ．52273132⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛CC ．52573131⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛CD ．52573232⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C答案：B4、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)从1008名学生中抽取20人参加义务劳动。

规定采用下列方法选取：先用简单随机抽样的抽取方法从1008人剔除8人，剩下1000人再按系统抽样的方法抽取，那么在1008人中每个人入选的概率是 (A) 都相等且等于501 (B) 都相等且等于2525 (C) 不全相等 (D) 均不相等答案：B5、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设ξ是离散型随机变量，32)(1==x p ξ，31)(2==x p ξ，且21x x <，现已知：34=ξE ，92=ξD ，则21x x +的值为(A)35 (B)37 (C) ３ (D) 311答案：C５、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设随机变量ξ～B(2,p),η ～B(4,p),若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp的值为 (A)8132 (B)2711 (C)8165 (D)8116答案：B6、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)设ξ的概率密度函数为2)1(221)(-=x ex f π，则下列结论错误的是(A) )1()1(>=<ξξp p (B) )11()11(<<-=≤≤-ξξp p (C) )(x f 的渐近线是0=x (D) 1-=ξη～)1,0(N 答案：C7、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)随机变量ξ～21,3(N ），则)11(≤<-ξp 等于 (A) 21)2(-Φ (B) )2()4(Φ-Φ (C) )2()4(2-Φ-Φ (D) 4()2(Φ-Φ答案：B8、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为A ．65辆B ．76辆C ．88辆D ．95辆 答案：B9、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为A ．51 B ．52 C ．54D ．103答案：A10、(四川省成都市一诊)福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为 A ．110B ．15C ．35D ．45答案：C 111223115435C C C C C =.选C11、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)某一随机变量ξ的概率分布如下表，且 1.5E ξ=，则2nm -的值为（ ）A.－0.2；B.0.2；C.0.1；D.－0.1 答案：B12、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知函数1,4,3,2,1,y x x =-=----令，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点1122(,),(,)P x y P x y ，则12,P P 两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）A.19；B.118；C.536；D.112；答案：D13、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知非空集合A 、B 满足A ≠⊂B ，给出以下四个命题： ①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件 ②若x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件 ④若x ∉B ，则x ∉A 是必然事件其中正确的个数是( ) A 、1 B 、2C 、3D 、4本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用. 解析：①③④正确，②错误. 答案：C14、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ▲ ）A.51 B. 41 C. 31 D. 21答案：C15、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（ ）A. 82万盒B. 83万盒C. 84万盒D. 85万盒答案：D16、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为 （ ）A ．12536 B ．12554 C ．12581 D ．12527答案：C17、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，[)b a ,是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则=-b aA ．hmB ．mh C ．hm D ．m h +答案：C18、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩480=μ，标准差100=σ，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在（已知φ（0.25）＝0.6）A ．525分B ．515分C ．505分D ．495分答案：C19、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为（ ） A ．50 B ．100 C ．150 D ．20 答案：B20、(福建省南靖一中2008年第四次月考)在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A ．17B ．27C ．37D ．47答案：C21、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为54，乙及格概率为52，丙及格概率为32，则三人中至少有一人及格的概率为（ ）A ．251 B ．2524 C ． 7516 D ．7559答案：B22、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)从集合{1, 2, 3, , 10} 中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为3的概率是 A.12B.13C.16D.160答案：B23、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 （ ） A 10 B 9C 8D 7答案：A24、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）.A ．7.68B ．16.32C ．17.32D ．8.68答案：B25、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)从集合{1,2,3,4,0,1,2,3,4,5}----中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为A5126B55126C5563D863答案：D26、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为 A ．148B ．124C ．112D ．16答案：由已知得3202,a b c ++⨯=即322,a b +=211321326626a b ab a b +⎛⎫∴=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭，故选D. 27、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)一台机床有13的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A 时,停机的概率是310,加工B 时,停机的概率是25, 则这台机床停机的概率为( )A.1130B.307 C. 107 D.101答案：A28、(广东省四校联合体第一次联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案：D29、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)集合{(,)||1|}A x y y x =≥-，集合{(,)|5}B x y y x =≤-+。

四川省乐山高中2013届高三第二次调查研究考试数学文试卷一、选择题：每题5分，共50分1.设全集U=N ，集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,6,8A B ==，则U A B ð等于（ ） A.{}1,2,3； B.{}4,5； C.{}6,8； D.{}1,2,3,4,5；2.下列有关命题的说法正确的是（ ）A.命题“若0xy =，则0x =”的否命题为：“若0xy =，则0x ≠”；B.命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是：“x R ∀∈，均有2210x -<”。

C.“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题为真命题；D.命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题。

3.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A.若,m n m α∥∥，则n α∥； B.若,αγβγ⊥⊥，则αβ∥； C.若,m n αα∥∥，则m n ∥； D.若,m n αα⊥∥，则m n ⊥；4.已知两点A （-1，0），B （1，3），向量()21,2a m =- ，若AB a ⊥ ，则实数m 的值为（ ）A.-1；B-2；C.1；D.2；5.如图，在直三棱柱111A B C A B C -中，12,1,90A A A B B C A B C ===∠= ，若规定主（正）视方向垂直平面11A C C A ，则此三棱柱的左视图的面积为（ ）B. C.4；D.2；6.设点M 是半径为R 的圆周上一个定点，其中O 为圆心，连接OM ，在圆周 上等可能地取任意一点N ，连接MN ，则弦MN的概率为（ ） A.23；B.12；C.14；D.35；7.函数()()s i n f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到的()sin 2g x x =图象，则只需将()f x 的图象（ ）A.向左平移6π个长度单位；B.向右平移3π个长度单位；BC1A 1B 1C AC. 向右平移6π个长度单位；D. 向左平移3π个长度单位；8.铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的2C O 的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2C O 排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为（ ）A.12百万元；B.13百万元；C.14百万元；D.15百万元；9.已知抛物线()220y P x P =>的焦点F 恰好为双曲线22221(0,0)yx a b a b-=>>的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为（ ）A.1+； C.2；D.2+10.已知定义在R 上的函数()y f x =满足(1)()f x f x +=-，当11x -<≤时，3()f x x =，若函数()()lo g a g x f x x =-只有6个零点，则（ ） A.155a a ==或； B.()[)10,5,5a ∈+∞ ； C.[]11,5,775a ⎡⎤∈⎣⎦；D.)[)11,5,775a ⎡∈⎣ ；二、填空题：每题5分，共25分 11.复数()21i i-=12.已知函数{2lo g ,22,2x x y x x ≥=-<，如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图，①处应填写 ②处应填写 13.两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a K m ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20 ，灯塔B 在观察站C 的南偏东40，则 灯塔A 与灯塔B 的距离为 K m 。

专题44二项式定理【题型归纳目录】题型一：求二项展开式中的参数题型二：求二项展开式中的常数项题型三：求二项展开式中的有理项题型四：求二项展开式中的特定项系数题型五：求三项展开式中的指定项题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数题型七：求二项式系数最值题型八：求项的系数最值题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和题型十：求奇数项或偶数项系数和题型十一：整数和余数问题题型十二：近似计算问题题型十三：证明组合恒等式题型十四：二项式定理与数列求和题型十五：杨辉三角【考点预测】知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一般地，对于任意正整数n ，都有：011()()n n n r n r r n n nn n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式．式中的r n r rnC a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=，其中的系数rn C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，（2）二项式()n a b +的展开式的特点：①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r nn n n n nC C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅ （*N n ∈）②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x x +=++++++ （4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr nT C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是rn C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项r n r rnC a b -和()n b a +的二项展开式的第r +1项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b-+=-（只需把b -看成b 代入二项式定理）．2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0n n n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11m m mn n n C C C -+=+．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn m nn C C -=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122r nn nn n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221rn n n n n n C C C C +++++=- ．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==-，，则0123(1)(11)0n n n nn n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅= ．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T ++的二项式系数12n nC-，12n nC+相等且最大．（2）系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设()011222nn n n r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ ，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令1a b ==，可得：012n nn n nC C C =+++ ②令11a b ==，，可得：()012301nnn n n n n C C C C C =-+-+- ，即：02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++ （假设n 为偶数），再结合①可得：0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++= ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++ ，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a -=+++++ ．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=．（可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a --+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +-+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x --=+++++ ，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =-，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【典例例题】题型一：求二项展开式中的参数例1．（2022·湖南·模拟预测）已知6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则实数=a （）A ．2B ．-2C ．8D ．-8例2．（2022·全国·高三专题练习）62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（）A ．－1B ．1C ．±1D ．2例3．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．4例4．（2022·湖北·高三阶段练习）若(21)n x ＋的展开式中3x 项的系数为160，则正整数n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7例5．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））()5m x -展开式中3x 的系数为20-，则2m =（）A ．2B ．1C ．3D 【方法技巧与总结】在形如()m n N ax bx +的展开式中求t x 的系数，关键是利用通项求r ，则Nm tr m n-=-．题型二：求二项展开式中的常数项例6．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．160B ．120C ．90D ．60例7．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）62x⎛⎝的展开式中的常数项为（）A ．60-B ．60C ．64D ．120例8．（2022·全国·高三专题练习（理））二项式()5*nx n ⎛∈ ⎝⎭N 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5例9．（2022·全国·模拟预测）二项式10的展开式中的常数项为（）A ．210B ．－210C ．252D ．－252【方法技巧与总结】写出通项，令指数为零，确定r ，代入．题型三：求二项展开式中的有理项例10．（2022·全国·高三专题练习）在二项式)11x的展开式中，系数为有理数的项的个数是_____.例11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知)nx 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．例12．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知)()*,112nn N n ∈≤≤的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n 的值______．例13．（2022·全国·高三专题练习）100+的展开式中系数为有理数项的共有_______项.例14．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）在50的展开式中有__项为有理数．【方法技巧与总结】先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．题型四：求二项展开式中的特定项系数例15．（2022·北京海淀·一模）在4)x 的展开式中，2x 的系数为（）A ．1-B ．1C ．4-D ．4例16．（2022·云南·高三阶段练习（理））在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A ．20B ．20-C ．15D ．15-例17．（2022·全国·高三专题练习）若()2nx y -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n =（）．A ．9B ．10C ．11D ．12例18．（2022·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（）A ．10-B ．5-C ．5D ．10【方法技巧与总结】写出通项，确定r ，代入．题型五：求三项展开式中的指定项例19．（2022·广东·高三阶段练习）()102321x x ++的展开式中，2x 项的系数为___________．例20．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______.例21．（2022·山西大附中高三阶段练习（理））5212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________.例22．（2022·广东·广州市庆丰实验学校一模）622(21)x x+-的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）例23．（2022·全国·高三专题练习）151234()x x x x +++的展开式合并前的项数为（）A ．415C B ．415A C ．44154A A ⋅D ．154例24．（2022·河北邢台·高三期末（理））411()x y x y+--的展开式的常数项为A ．36B ．36-C ．48D ．48-例25．（2022·四川绵阳·三模（理））在521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（）A ．50-B ．30-C ．30D ．50例26．（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（）A ．120B ．-120C ．60D ．30【方法技巧与总结】三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++ ()rq n r q q r nn r C C a b c ---=++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式：()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数．题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数例27．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）()61y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为（）A ．6B ．9-C ．6-D ．9例28．（2022·四川·高三开学考试（理））()632112x x x ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．240B ．240-C ．400D ．80例29．（2022·云南师大附中高三阶段练习）6211(2)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A ．160B ．160-C ．148D ．148-例30．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为-40，则m =（）A ．3-B ．3C ．13D ．13-例31．（2022·江苏南京·三模）（1＋x ）4（1＋2y ）a （a ∈N*）的展开式中，记xmyn 项的系数为f （m ，n ）．若f （0，1）＋f （1，0）＝8，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3例32．（2022·全国·高三专题练习）在5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中，含32x y 的项的系数是（）A ．10B ．12C ．15D ．20【方法技巧与总结】分配系数法题型七：求二项式系数最值例33．（2022·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（）A ．7B ．8C ．9D ．10例34．（2022·全国·高三专题练习）7(12)x +展开式中二项式系数最大的项是（）A ．3280x B ．4560x C ．3280x 和4560x D ．5672x 和4560x例35．（2022·湖南·高三阶段练习）设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8例36．（2022·全国·高三专题练习）5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数等于其二项式系数的最大值，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．2-例37．（2022·安徽·高三阶段练习（理））在1)2nx -的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（）A ．454B ．358-C ．358D ．7【方法技巧与总结】利用二项式系数性质中的最大值求解即可．题型八：求项的系数最值例38．（2022·全国·高三专题练习）已知(13)n x -的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．例39．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）()91-x 的展开式中系数最小项为第______项．例40．（2022·全国·高三专题练习）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．例41．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）()2*nn N ∈展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.例42．（2022·上海·高三开学考试）假如1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数是84-，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是__________.【方法技巧与总结】有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：11r r r r T T T T +-≥⎧⎨≥⎩，注意：系数比较大小．题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和例43．（2022·全国·高三专题练习）若7270127(1)x a a x a x a x -=++++ ，则1237a a a a ++++= _________.（用数字作答）例44．（2022·广东·高三阶段练习）已知2012(2)+=++++ n n n x a a x a x a x ，若01281n a a a a ++++= ，则自然数n 等于_____．例45．（2022·广东·广州大学附属中学高三阶段练习（理））若35()(2)x y x y a +-+的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x 且x 的次数为1的项的系数为___________.例46．（2022·全国·高三专题练习）设()20202202001220201ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若12320202320202020a a a a a +++⋅⋅⋅+=则非零实数a 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．-1例47．（2022·全国·高三专题练习）已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++ ，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++= （）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯例48．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++ ，则（）A ．02022a =B ．322023a C =C ．20221(1)1ii i a =-=-∑D ．202211(1)1i i i ia -=-=∑例49．（2022·全国·高三专题练习）设2002200012200(21)x a a x a x a x -=++++ ，求(1)展开式中各二项式系数的和；(2)12200a a a +++ 的值．例50．（2022·全国·高三专题练习）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知2012(21)n nn x a a x a x a x -=+++（n ∈N*），___________(1)求122222n na a a +++ 的值：(2)求12323n a a a na +++ 的值.例51．（2022·全国·高三专题练习）()()202222022012202212R x a a x a x a x x -=++++∈ .求：(1)0122022a a a a ++++ ；(2)1352021a a a a +++ ；(3)0122022a a a a ++++ ；(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？(6)1232022232022a a a a ++++ .例52．（2022·全国·高三专题练习）已知8280128(13)x a a x a x a x-=++++ (1)求128a a a +++ ；(2)求2468a a a a +++.【方法技巧与总结】二项展开式二项式系数和：2n ；奇数项与偶数项二项式系数和相等：12n -．系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++（01...n a a a ，，，是系数），令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+．题型十：求奇数项或偶数项系数和例53．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式()4228012832-+=++++ x x a a x a x a x ，则1357a a a a +++=_______，1a =________．例54．（2022·全国·模拟预测）若()()9911x ax x +-+的展开式中，所有x 的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a 的值为______．例55．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知2220122(2)1+)1+)...1+)nnn x a a x a x a x +=++++（（（，若15246222...21n n a a a a a -+++++=-，则n =_____________.例56．（2022·湖北武汉·模拟预测）在5()(1)a x x ++展开式中，x 的所有奇数次幂项的系数之和为20，则=a _____________．例57．（2022·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（）A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-例58．（2022·江苏南通·高三开学考试）在61⎛ ⎝的二项展开式中，奇数项的系数之和为（）A ．365-B ．364-C ．364D ．365例59．（2022·全国·高三专题练习）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【方法技巧与总结】2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．题型十一：整数和余数问题例60．（2022·全国·高三专题练习）已知3029292828130303022C 2C 2C S =+++⋅⋅⋅+，则S 除以10所得的余数是（）A ．2B ．3C ．6D ．8例61．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知202274a +能够被15整除，则a 的一个可能取值是（）A ．1B ．2C ．0D ．1-例62．（2022·陕西·西安中学一模（理））设a Z ∈，且013a ≤<，若202251a +能被13整除，则=a （）A ．0B ．1C ．11D ．12例63．（2022·全国·高三专题练习）1223310101010101010180808080(1)8080k k k C C C C -+-++-++ 除以78的余数是（）A ．1-B ．1C ．87-D ．87例64．（2022·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++ a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019题型十二：近似计算问题例65．（2022·山西·应县一中高三开学考试（理））6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________．例66．（2022·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.例67．（2022·全国·高三专题练习）71.95的计算结果精确到个位的近似值为A ．106B ．107C ．108D ．109题型十三：证明组合恒等式例68．（2022·江苏·高三专题练习）（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简0112233434343434C C C C C C C C +++．案例：考查恒等式523(1)(1)(1)x x x +=++左右两边2x 的系数．因为右边2301220312232223333(1)(1)()()x x C C x C x C x C x C x C ++=+++++，所以，右边2x 的系数为011223232323C C C C C C ++，而左边2x 的系数为25C ，所以011223232323C C C C C C ++＝25C ．（2）求证：22212220(1)()(1)nr n nn n n r r C n C n C --=+-=+∑．例69．（多选题）（2022·江苏·海安市曲塘中学高三期末）下列关系式成立的是（）A ．0n C ＋21n C ＋222n C ＋233n C ＋…＋2n nn C ＝3nB ．202nC ＋12n C ＋222n C ＋32n C ＋…＋212n n C -＋222n n C ＝3·22n-1C ．1n C ·12＋2n C ·22＋3n C ·32＋…＋nn C n 2＝n ·2n -1D ．(0n C )2＋(1n C )2＋(2n C )2＋…＋(nn C )2＝2nnC 例70．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）设*N n ∈，下列恒等式正确的为（）A ．1212n n n n n C C C -+++= B ．121122n n n n n C C nC n -+++=⋅ C ．()2122221212n n n n n C C n C n n -+++=+ D ．()31323112432n n n n n C C n C n -+++=- 题型十四：二项式定理与数列求和例71．（2022·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当*n ∈N 时，sin x x =222222222111149x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又根据泰勒展开式可以得到35sin 3!5!x x x x =-+++()()121121!n n x n ---+- ，根据以上两式可求得22221111123n +++++= （）A ．26πB ．23πC ．28πD ．24π例72．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是等比数列，11a =，公比q 是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项（按x 的降幂排列）．(1)求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；(2)若1212C C C nn n n n n A S S S =++⋅⋅⋅+，求n A ．例73．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足1a a =，*1(46)410()21n n n a n a n N n ++++=∈+．(1)试判断数列2{}21n a n ++是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项n a ．(2)如果1a =时，数列{}n a 的前n 项和为n S ．试求出n S ，并证明341111(3)10nn S S S ++⋯+< ．题型十五：杨辉三角例74．（2022·山东·高三开学考试）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．123456…35791113…81216202428…………………该数表的第一行是数列{}n ，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为______，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n 项和n S =______．例75．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第()N ,2n n n *∈≥行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________．例76．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式()()1,2,3,na b n +=⋅⋅⋅展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第()*,k k n k ≤∈N 个数组成的数列称为第k 斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第k 斜列与第1k +斜列各项之和最大时，k 的值为（）A ．1009B ．1010C ．1011D ．1012例77．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n 行从左至右的数字之和记为n a ，如：{}12112,1214,,n a a a =+==++=⋯的前n 项和记为n S ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为n b ，{}n b 的前n 项和记为n T ，则下列说法正确的有（）A ．91022S =B ．14n n n a S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为1111n a +--C ．5666b =D ．564084T =【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（）A ．28B ．28-C ．56D ．56-2．（2022·福建师大附中高三阶段练习）在()522x x +-的展开式中，含4x 的项的系数为（）A ．-120B ．-40C ．-30D ．2003．（2022·福建泉州·模拟预测）101x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数等于（）A ．45-B ．10-C ．10D ．454．（2022·湖南益阳·模拟预测）若()526012612(12)x x a a x a x a x +-=++++ ，x ∈R ，则2a 的值为（）A ．20-B ．20C ．40D ．605．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（）A ．0B ．120-C ．120D ．160-6．（2022·北京房山·高三开学考试）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则2a =（）A ．6B ．24C ．6-D ．24-7．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++- ，则（）A ．001132n nn n b a b a b a -+-++-=- B ．0101012()nn nb bb a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++ D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++ 8．（2022·河北·高三阶段练习）关于二项式()281(1)ax x x ++-，若展开式中含2x 的项的系数为21，则=a （）A ．3B ．2C ．1D ．-19．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++- ，则3a =（）A ．280B ．35C ．35-D ．280-二、多选题10．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++11．（2022·浙江·高三开学考试）在二项式6⎛⎝的展开式中，正确的说法是（）A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是1C ．偶数项的二项式系数和为32D ．第4项的二项式系数最大12．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知函数()6260126()(12),0,1,2,3,,6i f x x a a x a x a x a i =-=+++⋅⋅⋅+∈=⋅⋅⋅R 的定义域为R ．（）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．(5)f 被8整除余数为713．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ ，下列结论正确的是（）A ．0123n n a a a a +++=+ B．当5,==n x()(12),*+=+∈n x a a b N ，则a b=C ．当12n =时，012,,,,n a a a a 中最大的是7a D ．当12n =时，3124111223411121222222-+-++-= a a a a a a 14．（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240x C ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32三、填空题15．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）()()()357222x y y z z x ---的展开式中不含z 的各项系数之和______.16．（2022·广东广东·高三阶段练习）6(23)x y z ++的展开式中，32xy z 的系数为___________.17．（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.18．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m =___________.19．（2022·浙江·高三开学考试）多项式()287801781(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++ ，则3a =___________.20．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）将（1＋x ）n （n ∈N *）的展开式中x 2的系数记为n a ，则232022111a a a +++= ________．。

“发现数学规律题”的解题思想数学题，可以分为两大类，一类是应用数学规律题，一类是发现数学规律题。

应用数学规律题，指的是需要学生应用以前学习过的数学规律解答的题目。

发现数学规律题，指的是与学生以前学习的数学规律没有什么关系，需要学生先从已知的事物中找出规律，才能够解答的题目。

学生所做数学题，绝大多数属于第一类。

由于发现数学规律题，能够增强学生的创造意识，提高学生的创新能力。

因此，近几年来，人们开始逐渐重视这一类数学题。

尤其是最近两年，全国多数地市的中招考试，都有这类题目。

研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。

一、要善于抓主要矛盾有些题目看上去很大、很复杂，实际上，关键性的内容并不多。

对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。

例如、观察下列数表：根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为 .（乐山市2006年初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）这一题，看上去内容比较多，实际很简单。

题目条件里的数构成一个正方形。

让我们求的是左上角至右下角对角线上第n个数是多少。

我们把对角线上的数抽出来，就是1，3，5，7，……。

这是奇数从小到大的排列。

于是，问题便转化成求第n个奇数的表达式。

即2n-1。

还有，邵阳市2006年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。

”也可以按照这个思想求解。

二、要抓题目里的变量找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。

所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。

所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖块，第个图形中需要黑色瓷砖块（用含的代数式表示）.（海南省2006年初中毕业升考试数学科试题（课改区））这一题的关键是求第个图形中需要几块黑色瓷砖？在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。

考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+， 当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立， 所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，则21a b +≥=当且仅当21a b =且ab ＝1时即a =b 2=取得最小值故答案为8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()11224O O AC a c R +=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π． 故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,则V ABC 面积最大值为_________. 【答案】3 【解析】在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,如下图所示：则1CD =，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BAC α=∠=，则2,0,2AB x πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos 2x x x x α=+-⋅⋅⋅，即22954cos 2x x α=-，可得2954cos 2x α=-，V ABC 面积为219sin 22sin 2sin 2254cos 2S x x x αααα=⋅⋅⋅==-22222tan 918tan 181tan 311tan 19tan 9tan 54tan 1tan S αααααααα⋅+⇒====-++-⋅+…,当且仅当31tan =α时，等号成立，故V ABC 面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________． 【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去） 当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，， 又E 为CD 边的中点，则，，，，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-. （1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集； （2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b+的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤，得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤，∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ∴2a b +=，∴()121121213332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a =，4b =-.∴12a b +的最小值为3221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析. 【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤． 【答案】(1) ()1,3- (2)见证明 【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-， 由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解， 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-； （2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲 已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明 【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->． （1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+， ()()22224x x x x --+≤--+=，4k∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 所以当343n m m n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。