最新中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题

45°角引发的一题17种解，感受一下数学...
45°角引发的一题17种解，感受一下数学的魅力，体会相似、勾股定理、三角函数、面积法在初中几何中的灵活应用
关键词：#初中数学##几何##45度#
初中数学三大几何计算工具：相似、勾股定理、面积法。

每个知识点都可以汇编出上百页的学习资料，可见其重要性及灵活性。

而45°角在几何中是何其的常见，通过这17种方法，我们试图让读者更清晰地了解上述几何计算工具的重要性极其灵活性，也希望能够启发读者：在以后遇到45°这类几何问题时，宽泛的解题思路。

2020中考专题16——存在性问题之45°角或等角班级姓名.【方法解读】这里所说的角的存在性问题主要涉及45°角(或135°角)、两角相等的存在性问题.45°角是一个非常特殊的角,它不仅是直角的一半,也是等腰直角三角形的底角,解决此类问题的一般策略是构造等腰直角三角形(见下图);角的相等问题常借助相似(全等)或等腰三角形求解.【例题分析】例1.如图，已知反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点E （3，4），在该图象上面找一点P ，使∠POE ＝45°，则点P 的坐标为．例2.如图，在平面直角坐标系中,反比例函数)0(2>=x x y 的图象与正比例函数y=kx,y=k1x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB 的面积是.例3.如图，抛物线y ＝2ax ＋ｂx ＋ｃ经过A （－1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【巩固训练】1.如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2,0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是．3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且经过点C(0，2)、D（3，），点P是y轴右侧的抛物线上一动点，当∠PCD＝45°时，求点P的坐标．4.如图，直线y＝3x和双曲线y＝（x＞0）交于点A，点P为双曲线上一点，且∠POA＝∠1+∠2，求点P的坐标．5..如图，二次函数y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（﹣5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE＝∠MCB，求点M的坐标．6.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D′的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，问在抛物线上是否存在点P，使∠DBP＝45°？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），C（3，0）；过A作AB∥x轴交抛物线于点B，连接AC、BC，点P为抛物线上动点．（1）求抛物线解析式；（2）当∠PAB＝∠BCA时，求点P的坐标；（3）当点P在抛物线上BC两点之间移动时，点Q为x轴上一动点，连接AP、AQ，使得tan∠PAQ＝2，且AP交BC于点G，过G作GH⊥AQ交AQ于点H，设点H的坐标为（m，n），求n关于m的函数关系式．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α＝∠ABM时，求P点坐标．2020中考专题16——存在性问题之45°角或等角参考答案例1.解：方法一、过点E作EA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥x轴于点B，如图所示．∵点E（3，4）在函数y＝的图象上，∴k＝3×4＝12，∴设点P的坐标为（n，），则点A（3，0），点B（n，0），S四边形OBPE＝S△OAE+S梯形PBAE＝|k|+（PB+EA）•AB＝6+（+4）（n﹣3）＝2n﹣+6．S△OEP＝S四边形OBPE﹣S△OBP＝2n﹣+6﹣|k|＝2n﹣．由两点间的距离公式可知：OE＝＝5，OP＝，S△OEP＝OE•OP•sin∠EOP＝＝2n﹣，即7n4﹣576n2﹣1008＝0，解得：n2＝84或n2＝﹣84（舍去），∴n1＝2，n2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，）；方法二、如图，过点E作EF⊥OE交OP于点F，过点E作EN⊥y轴，垂足为N，过点F作FM ⊥NE于点M，∴∠ONE＝∠EMF＝90°，∴∠NOE+∠OEN＝90°，∵∠OEF＝90°，∴∠OEN+∠FEM＝90°，∴∠NOE＝∠MEF，若∠POE＝45°，则OE＝EF，在△ONE和△MEF中，∵，∴△ONE≌△MEF（AAS），∴EM＝ON＝4、MF＝NE＝3，则点F的坐标为（7，1），∴直线OF的解析式为y＝x，由，解得x＝2或x＝﹣2（舍），当x＝2时，y＝＝＝＝，即点P（2，），故答案为：（2，）．例2.【答案】2【解析】过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ．过点A 作AM ⊥y 轴，垂足为M ，过点B 作BN ⊥x 轴，垂足为N ．设点A 的横坐标为a ，则点A 的纵坐标为a 2．∵点A 在一次函数数y ＝kx 上，∴a 2＝ka ．k ＝22a ．∴OB 所在直线的解析式为y ＝22a x ．令22a x ＝x 2．得x ＝a 2．∴y ＝a ．∴OA ＝OB ，△OAM ≌△OBN ．∵∠AOB ＝45°，∴∠AOC ＝∠AOM ．∴△OAM ≌△OAC ．∴S △OAB ＝2S OAM ＝2．故填2．BO A xy CN M 例3.解：（1）由题意得，016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得，34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.∴y =23944x x -++3.（2）设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴403k b b +=⎧⎨=⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y =﹣34x +3．设D （a ，23944a a -++3）（0＜a ＜4）．过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于M ．∴M （a ，﹣34a +3）.∴DM =239333444a a a ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2334a a -+．∵∠DME =∠OCB ，∠DEM =∠COB ，∴△DEM ∽△BOC ，∴DE DM =OB BC．∵OB =4，OC =3，∴BC =5，∴DE =45DM ．∴DE =231255a a -+=()2312255a --+.当a =2时，DE 取最大值，最大值是125．（3）假设存在这样的点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等．∵F 是AB 的中点，∴OF =32，tan∠CFO =OC OF=2．过点B 作BG ⊥BC 交CD 的延长线于G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H ．∵DE ⊥BC ，故∠CED =90°，则只存在另外两个角与∠CFO 相等．①若∠DCE =∠CFO ，∴tan∠DCE =OC OF =2，∴BG =10．∵△GBH ∽△BCO ，∴GH BO =HB OC =GB BC．∴GH =8，BH =6.∴G （10，8）．设直线CG 的解析式为y =kx +b ，∴3108b k b =⎧⎨+=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y =12x +3．依题意得，213239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得x =73，或x =0（舍）．②若∠CDE =∠CFO ，同理可得，BG =52，GH =2，BH =32，∴G （112，2）．同理可得，直线CG 的解析式为y =－211x +3．依题意得，2231139344y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得x =10733，或x =0（舍）．综上所述，存在D 使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等，其横坐标为73或10733．【巩固训练】答案1.解：作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，过B 点作BC ⊥y 轴于C ，交AE 于G ，如图所示：则AG ⊥BC ，∵∠OAB ＝90°，∴∠OAE +∠BAG ＝90°，∵∠OAE +∠AOE ＝90°，∴∠AOE ＝∠GAB ，在△AOE 和△BAG 中，，∴△AOE ≌△BAG （AAS ），∴OE ＝AG ，AE ＝BG ，∵点A （n ，1），∴AG ＝OE ＝n ，BG ＝AE ＝1，∴B （n +1，1﹣n ），∴k ＝n ×1＝（n +1）（1﹣n ），整理得：n 2+n ﹣1＝0，解得：n ＝（负值舍去），∴n＝，∴k ＝；故答案为：．2.（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x＝2时，y＝﹣2+m＝0，即m＝2，所以直线AB的解析式为y＝﹣x+2，则B（0，2）．∴OB＝OA＝2，AB＝2．设点O到直线AB的距离为d，＝OA2＝AB•d，得由S△OAB4＝2d，则d＝．故答案是：．（2）作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．所以m＞0．因为∠CPA＝∠ABO＝45°，所以∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，则△PCD∽△APB，所以＝，即＝，解得m＝12．故答案是：12．3.解：∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．（3）存在．理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM＝m，EM＝2，∴FM＝y F﹣EM＝m，∴tan∠CFM＝2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF＝m．过点P作PN⊥CD于点N，则PN＝FN•tan∠PFN＝FN•tan∠CFM＝2FN．∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，而PN＝2FN，∴FN＝CF＝m，PN＝2FN＝m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF＝＝m．∵PF＝y P﹣y F＝（﹣m2+m+2）﹣（m+2）＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝m，整理得：m2﹣m＝0，解得m＝0（舍去）或m＝，∴P（，）；同理求得，另一点为P（，）．∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．4.解：过点A作x平行线交y轴于点E，过点P作y轴的平行线交x轴于点F，交EA于点B，连接AP．如图所示．将一次函数解析式y＝3x代入到反比例函数解析式y＝（x＞0）中，3x＝，即3x2＝3，解得：x＝1，或x＝﹣1（舍去）．当x＝1时，y＝＝3，∴点A的坐标为（1，3）．设点P的坐标为（n，）（n＞0），则OF＝n，OE＝3，BP＝3﹣，AB＝n﹣1，OA＝＝，OP＝．∵∠POA＝∠1+∠2，且∠POA+∠1+∠2＝90°，∴∠POA＝45°．S POA＝S矩形OFBE﹣S△OAE﹣S△OPF﹣S△ABP＝3n﹣﹣﹣（3﹣）（n﹣1）＝（1+）（n﹣1）＝（n﹣）．又∵S POA＝OA•OP•sin∠POA＝＝（n﹣），即4n4﹣18n2﹣36＝0，解得：n2＝6，或n2＝﹣（舍去）．∵n＞0，∴n＝，∴点P的坐标为（，）．5..解：（1）∵抛物线的顶点坐标的横坐标为1，∴，解得，m1＝﹣1，m2＝0（舍去）∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），（2）如图1，过点E作EH⊥y轴于点H，∵∠PQO+∠OPQ＝90°，∠OPQ+∠HPE＝90°，∴∠HPE＝∠PQO，由旋转知，PQ＝PE，在△EPH和△PQO中，，∴△EPH≌△PQO，∴EH＝OP＝﹣t，HP＝OQ＝5∴E（﹣t，5+t）当点E恰好在该二次函数的图象上时，有5+t＝﹣t2﹣2t+3解得t1＝﹣2，t2＝﹣1（由于t＜﹣1所以舍去），（3）设点M（a，﹣a2+2a+3）①若点M在x轴上方，如图2，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作DF⊥x轴于点F．∵∠EAB＝∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB∴∠MCN＝∠DAF∴△MCN∽△DAF，∴，即∴，a2＝0（舍去）∴，②若点M在x轴下方，如图3，过点M作MN⊥y轴于点N，过点D作DF⊥x轴于点F．∵∠EAB＝∠OCB＝45°，∠DAE＝∠MCB∴∠MCN＝∠ADF∴△MCN∽△ADF∴，即∴a1＝4，a2＝0（舍去）∴M（4，﹣5）综上所述，或M（4，﹣5）．6.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，∴代入A，C点坐标得：，解得：a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）将D点代入抛物线解析式得：m+1＝﹣m2+2m+3，解得：m1＝2，m2＝﹣1（不符合题意，舍去）∴D点坐标（2，3）；∴AB∥DC，∴∠DCB＝∠ABC＝45°＝∠BCO，∴点D关于BC的对称点D'落在OC上，∴CD＝CD'＝2，∴D'坐标（0，1）；（3）假设存在点P使得∠DBP＝45°交y轴于点F，作D关于BC对称点D'，连接DD'交BC于点E，连接BD，AC，BF，∵﹣x2+2x+3＝0时，x＝﹣1或3，∴点B坐标（3，0），∴BC＝3，∵CD＝2，CD'＝2，∴DD'＝2，CE＝，BE＝BC﹣CE＝2，∵∠CBO＝∠DBF＝45°，∴∠DBE＝∠ABF，∵∠DBP＝∠ABC＝45°，∠DBE＝∠ABF，∠DEB＝∠FOB＝90°，∴△FOB∽△DEB，∴＝，即＝，∴FO＝，∴F（0，），∵B（3，0），设直线BF解析式为y＝kx+b，代入B，F点坐标得：直线BF解析式为y＝﹣x+，设直线BF与抛物线交点坐标为（x，y），则，解得：，（不符合题意，舍去），∴存在P点坐标为（﹣，）．7.（1）将A（0，3），C（3，0）代入得：，解得b＝2，c＝3．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1中，当点P在抛物线上BC两点之间时，连接PA交BC于E，作BM⊥OC于M，EN⊥BM于N．∵∠PAB＝∠ACB，∠ABE＝∠ABC，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BE•BC，∴BE•BC＝4，∵BC＝，∴BE＝，∵EN∥MC，∴＝＝，∴＝＝，∴BN＝，EN＝，∴E（，），∵A（0，3），∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，由解得或，∵A（0，3），∴P（，），根据对称性直线AP关于直线AB的对称的直线AP′的解析式为y＝x+3，由解得或，∴P′（，），综上所述，满足条件的点P坐标为P（，）或（，）；（3）如图2中，作HM⊥OA于M，GN⊥MH于N．∵AH⊥GH，∴∠AHG＝90°，由△AHM∽△HGN，∴＝＝，∵tan∠GAH＝＝2，H（m，n），∴＝＝，∴HN＝6﹣2n，GN＝2m，∴G（6﹣﹣2n+m，2m+n），∵直线BC的解析式为y＝﹣3x+9，∵点G在直线BC上，∴2m+n＝﹣3（6﹣2n+m）+9，∴n＝m+．8.（1）抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，顶点M（1，﹣3），令x＝0，则y＝（0﹣1）2﹣3＝﹣2，点A（0，﹣2），x＝3时，y＝（3﹣1）2﹣3＝4﹣3＝1，点B（3，1）；（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，∵EB＝EA＝3，∴∠EAB＝∠EBA＝45°，同理可求∠FAM＝∠FMA＝45°，∴△ABE∽△AMF，∴＝＝，又∵∠BAM＝180°﹣45°×2＝90°，∴tan∠ABM＝＝；（3）过点P作PH⊥x轴于H，∵y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，∴设点P（x，x2﹣2x﹣2），①点P在x轴的上方时，＝，整理得，3x2﹣7x﹣6＝0，解得x1＝﹣（舍去），x2＝3，∴点P的坐标为（3，1）；②点P在x轴下方时，＝，整理得，3x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝（舍去），x2＝，x＝时，x2﹣2x﹣2＝﹣×＝﹣，∴点P的坐标为（，﹣），综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，﹣）．。

一类含45度角的正方形问题的探究与深入问题特征介绍正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠GCE＝45°关键：∠DCB＝90°，∠GCE＝45°（条件绝非巧合，而是必然）思路分析：∠DCB＝90°，∠GCE＝45°，意味着∠DCG+∠BCE=45°，所以把∠DCG和∠BCE拼一起就组成一个新的角也等于45度。

因此只需将两个角旋转到一起即可解决。

如下图，将△CBE顺时针旋转90度至△CDF，即∠GCE＝∠GCF ＝45°例题分析例1.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE ＝45°，证明：GE＝BE＋GD．例2.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、D C（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H。

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长。

（可利用（2）得到的结论）例3.如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，EF=，点G、H分别为AB、CD边上的点，连接GH，若线段GH与EF的夹角为45°，求GH的长。

拓展深入变式一如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，DE =10,求直角梯形ABCD 的面积．变式二如图,点E,F 在菱形ABCD 的对角线BD 上,∠C=120,∠EAF=60,若BE=2,DF=1,请求出EF的长A B C DEF变式三如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC.求证：DE2=AD2+EC2.。

第26讲中考复习专题1——45°角的常见处理策略【知识点睛】❖45°角的常见处理办法：1.见45°角，作垂直，构K型2.构造正方形“半角模型”求解3.构造“母子三角形”，利用三角形相似求解4.构造“一线三等角”，利用三角形相似求解5.利用“和角公式”求解【例题探究】如图，已知点A（0,3）、B（0，-2），点P是x轴正半轴上的一点，当∠APB=45°时，求点P的坐标。

解法一：见45°，作垂直，构K型解法二：构造正方形“半角模型”求解解法三：构造“母子三角形”，利用三角形相似求解解法四：构造“一线三等角”，利用三角形相似求解解法五：利用“和角公式”求解【类题训练】1．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则点C坐标为．2．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB 绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，点E，F在BC上，点G是射线DC与射线AF的交点，若BE ＝1，∠EAF＝45°，则AG的长为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E、F分别在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为．5．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF＝45°，BE＝1，则下列结论中：①∠AFD+∠AEB＝135°；②；③DF＝1；④DN2+BM2＝MN2；⑤2MN＝3BM；结论正确的有（）个．A．1B．2C．3D．46．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F分别在BC，CD上，若BE＝，∠EAF＝45°，则AF＝．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．8．已知抛物线y＝a（x﹣h）2的顶点为P，交y轴于点C（0，2），且tan∠OPC＝2．（1）求抛物线的表达式；（2）若OA⊥PC交抛物线于点A，求点A的横坐标；（3）若D是抛物线上的一点，且∠PCD＝45°，求点D的坐标．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若C为抛物线上第一象限内一点，D为抛物线的顶点，且满足，求C点的坐标．（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PCD＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．【操作发现】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN ＝MN．【实践探究】（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．。

含45°的半角模型，一题4种解题方法，看完一定会有收获我们先看下题目：
第一种思路：构造正方形半角模型，其中一个图巧证出菱形，然后勾股定理求得，另一个图利用相似求解即可。

第二种思路：补全成矩形，利用45°构造等腰直角三角形，由于两个角的和是45°，从而证出两个三角形相似，然后求解即可。

第三种思路：利用同弦所对的圆周角是圆心角的一半，证出C,D,A 三点在圆上，勾股定理求解即可。

第四种思路：利用45°构造等腰直角，向内向外构造共2种，构造k型全等，通过A型相似或者8字型求解即可。

下面几幅图，有是解题中常用的构造方法，只是本题这么构造计算量较大，很难解出，但其它的题型也许能用上，有好的思路和方法欢迎大家留言，互相学习。

中考几何综合与实践视频专栏，含有很多几何模型，欢迎大家学
习。

例题精讲【例1】．如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为（5，﹣6）．解：如图所示，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为（﹣4，﹣8），由于旋转可知，△ABC为等腰直角三角形，令线段AC和线段BP交于点M，则M为线段AC的中点，所以点M的坐标为（4，﹣4），又B为（0，4），设直线BP为y＝kx+b，将点B和点M 代入可得，解得k＝﹣2，b＝4，可得直线BP为y＝﹣2x+4，由于点P为直线BP和直线y＝﹣x﹣1的交点，则由解得，所以点P的坐标为（5，﹣6），故答案为（5，﹣6）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为y＝3x+4．解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝4，令y＝0，则x＝2，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，在△ABO和△FAE中，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，∴F（﹣2，﹣2），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+4，把F的坐标代入得，﹣2＝﹣2k+4，解得k＝3，∴直线BC的函数表达式为：y＝3x+4，故答案为：y＝3x+4．【变1-2】．如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q的坐标为（，﹣）．解：过Q作QE⊥AQ交AB于E，过Q作FG∥y轴，过A作AF⊥FG于F，过E作EG ⊥FG于G，将点A的坐标代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，解得：b＝﹣9，∴直线l1的解析式为y＝2x﹣9，将x＝8代入y＝2x﹣9中，解得：y＝7，∴点B的坐标为（8，7），将点B的坐标代入y＝kx﹣1中，得7＝8k﹣1，解得：k＝1，∴直线l2的解析式为y＝x﹣1，∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，∴∠EQG＝∠QAF，∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，∴△AQE是等腰直角三角形，∴EQ＝QA，在△EGQ和△QFA中，，∴△EGQ≌△QFA（AAS），∴EG＝QF，QG＝AF，设Q（a，a﹣1），∵A（2，﹣5），∴AF＝2﹣a，FQ＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，∴点E坐标（2a+4，1），把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，得4a+8﹣9＝1，解得：a＝，∴点Q的坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，﹣6）．解：一次函数y＝2x+4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，作DB⊥AB交直线AC于D，过点D作DE⊥y轴与E，∵∠BAD＝45°，∴△BAD是等腰直角三角形，∴AB＝DB，∵∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠DBE＝90°，∴∠OAB＝∠DBE，在△ABO和△BDE中，∴△ABO≌△BDE（AAS），∴BE＝OA＝2，DE＝BO＝4，∴D（﹣4，6），设直线AC的函数表达式为：y＝kx+4，把A、D的坐标代入得，解得，∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣3x﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．故答案为：（0，﹣6）．变式训练【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，直线BC与x轴正半轴交于点C，若∠ABC＝45°，则直线BC的函数表达式是（）A．y＝3x﹣2B．y＝x﹣2C．y＝x﹣2D．y＝﹣x﹣2解：∵一次函数y＝2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，∴A（1，0），B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，如图，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，∴F（3，﹣1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，，∴，∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣2，故选：B．【变2-2】．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝1；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，故答案为1；（2）∵一次函数y＝2x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．1．如图，直线y＝x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，若∠ABO+∠ACO＝45°，则点C的坐标为（﹣2，0）（2，0）．解：∵直线y＝x+1与坐标轴交于A、B两点∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣3∴点A（0，1），点B（﹣3，0）如图：取点D（﹣1，0），当点C在原点右边，设点C（a，0）∵点A（0，1），点D（﹣1，0），点B（﹣3，0）∴OA＝OD＝1，OB＝3，BD＝2∴∠ADO＝∠DAO＝45°，AB＝＝∴∠ABO+∠BAD＝45°又∵∠ABO+∠ACO＝45°∴∠ACO＝∠BAD，且∠ABO＝∠ABO∴△ABD∽△CBA∴即∴a＝2∴点C坐标为（2，0）若点C在原点左边，记为点C1，∵∠ABO+∠ACO＝45°，∠ABO+∠AC1O＝45°∴∠ACO＝∠AC1O且∠AOC＝∠AOB＝90°，AO＝AO∴△ACO≌△AC1O（AAS）∴OC＝OC1＝2∴点C1（﹣2，0）故答案为：（2，0），（﹣2，0）2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是12．解：作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．∴m＞0．∵∠CPA＝∠ABO＝45°，∴∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，∴△PCD∽△APB，∴，即＝，解得m＝12．故答案是：12．3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝﹣x+3．点C是AO上一点且OC ＝1，点D在线段BO上，分别连接BC，AD交于点E，若∠BED＝45°，则OD的长是．解：方法一：在x轴负半轴截取OF＝，过点F作FH⊥AF交AD的延长线于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，∵OC：OB＝1：4，OF：OA＝÷3＝1：4，∴将△BOC逆时针旋转90°时，再将点B平移到与点A重合时，此时的∠FAO和∠CBO 重合，∴∠FAO＝∠CBO，∵FH⊥AF，∴∠AFO+∠HFP＝90°，而∠AFO+∠FAO＝90°，∴∠FAO＝∠HFP＝∠CBO，∴BC∥FH，∴∠FHA＝∠BED＝45°，∴△AFH为等腰直角三角形，∴AF＝FH，而∠AOF＝∠FPH，∠FPH＝∠AFO，∴△AOF≌△FPH（AAS），∴PF＝AO＝3，PH＝OF＝，故OP＝FP﹣OF＝3﹣＝，故点H（，﹣），设直线AH的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AH的表达式为y＝﹣x+3，令y＝0，则y＝﹣x+3＝0，解得：x＝，故点D（，0），故OD＝，故答案为．方法二：过点A作x轴的平行线MN，交过点E与y轴的平行线于点M，交过点F与y 轴的平行线于点N，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+1，同理可证：△EMA≌△ANF（AAS），则AN＝ME＝3+m﹣1＝m+2，NF＝AM＝m，则点F的坐标为（﹣m﹣2，3﹣m），将点F的坐标代入直线BC的表达式并解得m＝，故点E的坐标为（，），由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝，故OD＝，故答案为．4．如图，直线y＝4x+4交x轴于点A，交y轴于点B，直线BC：y＝﹣x+4交x轴于点C，点P为线段BC上一点，∠PAB＝45°，求点P的坐标．解：由题可得A（﹣1，0），B（0，4），C（4，0），设P（m，4﹣m），过点P做PD⊥AB，∴AB＝，AC＝5，△ABC的面积＝＝+××PD，∴PD＝m，∵∠PAB＝45°，∴AP＝m，∴（m）2＝（4﹣m）2+（m+1）2，∴m＝，∴P（，）；5．如图，正比例函数y＝kx经过点A，点A在第二象限，过点A作AC⊥y轴于点C，AC＝2，且△AOC的面积为5．（1）求正比例函数的解析式；（2）若直线y＝ax上有一点B满足∠AOB＝45°，且OB＝AB，求a的值．解：（1）∵AC⊥y轴．∴∠ACO＝90°∵△AOC的面积为5，＝AC•OC＝5，∴S△AOC又∵AC＝2，∴OC＝5．∴A（﹣2，5），将点A（﹣2，5）代入y＝kx，解得k＝﹣，∴正比例函数的解析式为y＝﹣x；（2）①当点B在第二象限时，如图，∵∠AOB＝45°，且OB＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形．∴∠ABO＝90°，∴∠ABF+∠EBO＝90°，如图，过B作BE⊥x轴于E，交CA延长线于点F．∵∠FEO＝∠EOC＝∠ACO＝90°，∴四边形CFEO是矩形，∠CFB＝90°，∴∠ABF+∠FAB＝90°，∴∠EBO＝∠FAB，∴△EBO≌△FAB（AAS）．∴BE＝AF，EO＝FB．又∵OC＝FE＝FB+BE＝5，AC＝CF﹣AF＝2，∴EO+BE＝5，EO﹣BE＝2，解得：EO＝，BE＝．∴B（﹣，），将B（﹣，）代入y＝ax，解得a＝﹣．∴a＝﹣．②当点B在第一象限时，OB1＝OB，过点O作OB1⊥OB，则∠AOB1＝45°，如图所示，过点B1作B1G⊥x轴于点G，则∠B1GO＝∠BEO＝90°，又∵∠B1OB＝90°，∴∠B1OG+∠BOE＝90°，∵∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠OBE＝∠B1OG，∴△OBE≌△B1OG（AAS），∴OE＝B1G＝，BE＝OG＝，∴B1（，），将B1（，）代入y＝a1x，解得a1＝．综上，a的值为﹣或．6．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且OA＝OB＝OC＝6，过点A的直线AD交直线BC于点D，交y轴于点E，△ABD的面积为18．（1）求点D的坐标．（2）求直线AD的表达式及点E的坐标．（3）过点C作CF⊥AD，交直线AB于点F，求点F的坐标．解：（1）由题可得，B（6，0），C（0，6），设BC为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴BC的解析式为y＝﹣x+6，∵OA＝OB＝6，∴AB＝12，∵△ABD的面积为18，∴12×y D＝18，解得y D＝3，当y＝3时，3＝﹣x+6，解得x＝3，∴点D的坐标为（3，3）．（2）由题可得，A（﹣6，0），设直线AD的表达式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AD的表达式为y＝x+2，令x＝2，则y＝2，∴点E的坐标为（0，2）．（3）∵CF⊥AD，CO⊥AB，∴∠FCO+∠AFC＝90°，∠EAO+∠AFC＝90°，∴∠FCO＝∠EAO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴FO＝EO＝2，∴F（2，0）．7．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3分别交x、y轴于点B、A．（1）如图1，点C是直线AB上不同于点B的点，且CA＝AB．则点C的坐标为（﹣4，6）；（2）点C是直线AB外一点，满足∠BAC＝45°，求出直线AC的解析式；（3）如图3，点D是线段OB上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在线段AB上的点E处，点M在射线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，直线y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，由﹣x+3＝0，得x ＝4，∴A（0，3），B（4，0）；∵CA＝AB，且点C不同于点B，∴点A是线段BC的中点，即点C与点B关于点A对称，∴点C的横坐标为﹣4，当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）+3＝6，∴C（﹣4，6），故答案为：（﹣4，6）．（2）如图2，射线AC在直线AB的上方，射线AC′在直线AB的下方，∠BAC＝∠BAC′＝45°；作线段AB的垂直平分线交AC于点G，交AC′于点H，交AB于点Q，连接BG、BH，则Q（2，）；作GP⊥y轴于点P，GF⊥x轴于点F，则AG＝BG，AH＝BH，∵BG＝AG，BH＝AH，∴∠GBA＝∠BAC＝45°，∠HBA＝∠BAC′＝45°，∴∠BGA＝∠GAH＝∠AHB＝90°，∴四边形AHBG是正方形；∵∠AGB+∠AOB＝180°，∴∠GBF+∠OAG＝180°，∵∠GAP+∠OAG＝180°，∴∠GBF＝∠GAP，∵∠GFB＝∠GPA＝90°，∴△GBF≌△GAP（AAS），∴BF＝AP，GF＝GP，∵∠FOP＝∠OPG＝∠GFO＝90°，∴四边形OFGP是正方形，∴OF＝OP，∵OB＝4，OA＝3，∴4﹣BF＝3+AP，∴4﹣AP＝3+AP，解得AP＝，∴OP＝OF＝3+＝，∴G（，）；∵点H与点G关于点Q（2，）对称，∴H（，）；设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝x+3；设直线AC′的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴y＝﹣7x+3，综上所述，直线AC的解析式为y＝x+3或y＝﹣7x+3．（3）存在，如图3，平行四边形AMBN以AB为对角线，延长ED交y轴于点R，设OD＝r，由折叠得，∠AED＝∠AOD＝90°，ED＝OD，∴ED＝r，ED⊥AB；∵AB＝＝5，AE＝AO＝3，∴BE＝5﹣3＝2，＝×3×4＝6，且S△AOD+S△ABD＝S△AOB，∵S△AOB∴×3r+×5r＝6，解得r＝，∴ED＝OD＝，∴D（，0）；∵∠DOR＝∠DEB＝90°，∠ODR＝∠EDB，∴△ODR≌△EDB（ASA），∴RO＝BE＝2，∴R（0，﹣2），设直线DE的解析式为y＝px﹣2，则p﹣2＝0，解得p＝，∴y＝x﹣2；∵点N在x轴上，且AM∥BN，∴AM∥x轴，∴点M与点A的纵坐标相等，都等于3，当y＝3时，由x﹣2＝3，得x＝，∴M（，3），∵BN＝AM＝，∴ON＝4﹣＝，∴N（，0）；如图4，平行四边形ABNM以AB为一边，则AM∥x轴，且AM＝BN＝．∵ON＝4+＝，∴N（，0），综上所述，点N的坐标为（，0）或（，0）．8．直角坐标系中，点A的坐标为（9，4），AB⊥x轴于点B，AC垂直y轴于点C，点D为x轴上的一个动点，若CD＝2．（1）直接写出点D的坐标；（2）翻折四边形ACOB，使点C与点D重合，直接写出折痕所在直线的解析式；（3）在线段AB上找点E使∠DCE＝45°．①直接写出点E的坐标；②点M在线段AC上，点N在线段CE上，直接写出当△EMN是等腰三角形且△CMN是直角三角形时点M的坐标．解：（1）如图1，∵点A的坐标为（9，4），AC⊥y轴于点C，∴OC＝4，∵点D为x轴上的一个动点，CD＝2，由勾股定理得：OD＝＝＝2，∴D（2，0）或（﹣2，0）；（2）分两种情况：①当D（2，0）时，如图2，连接ED，设ED＝x，由翻折得CD⊥EF，CE＝ED＝x，∴OE＝4﹣x，Rt△OED中，由勾股定理得：x2＝22+（4﹣x）2，解得：x＝，∴OE＝4﹣＝，∵∠OCD+∠CEF＝∠OCD+∠CDO＝90°，∴∠CEF＝∠CDO，∵∠ECF＝∠COD＝90°，∴△FCE∽△COD，∴，即，∴FC＝5，∴F（5，4），设直线EF的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴直线EF的解析式为：y＝；②当D（﹣2，0）时，如图3，连接ED，同理得：E（0，），∵△DOC∽△EOF，∴＝，∴OF＝2OE＝3，∴F（3，0），同理得EF：y＝﹣x+，综上，折痕所在直线的解析式是y＝或y＝﹣x+；（3）①当D（2，0）时，如图4，过E作EF⊥CD，交CD的延长线于F，过F作FH ⊥y轴于H，延长AB，HF交于点G，∵∠DCE＝45°，∴△CFE是等腰直角三角形，∴CF＝EF，∵∠HCF+∠CFH＝∠CFH+∠EFG＝90°，∴∠HCF＝∠EFG，∵∠CHF＝∠FGE＝90°，∴△CHF≌△FGE（AAS），∴CH＝FG，∵OD∥FH，∴，即，∴，设FH＝a，则CH＝FG＝2a，∵GH＝OB＝9，即2a+a＝9，∴a＝3，∴CF＝＝3，∴CE＝CF＝3，Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴BE＝4﹣3＝1，∴E（9，1）；当D（﹣2，0）时，如图5，∠DCB＞90°，此种情况不存在符合条件的点E，综上，点E的坐标是（9，1）；②i）当∠CMN＝90°，MN＝EN时，如图6，由①知：AE＝3，∵MN∥AE，∴，即，∴，设MN＝b，则CM＝3b，EN＝b，∴CN＝b，∵CE＝3，∴3＝b+b，解得：b＝，∴CM＝3b＝10﹣，∴M（10﹣，4）；ii）当∠CNM＝90°，MN＝EN时，如图7，∵∠CNM＝∠CAE＝90°，∠MCN＝∠ACE，∴△MCN∽△ECA，∴＝3，设MN＝m，则CN＝3n，EN＝n，∴CE＝3n+n＝3，∴n＝，∴CM＝n＝，∴M（，4）；综上，点M的坐标是（10﹣，4）或（，4）．9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（6，0）为坐标轴上的点，点C为线段AB 的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D，点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE．（1）直接写出E点的坐标；（2）过点B作BG∥CE，交y轴于点G，交直线CD于点H，求四边形ECBG的面积；（3）直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵CD⊥x轴，∴∠CDF＝90°＝∠EOF，又∵∠CFD＝∠EFO，CF＝EF，∴△CDF≌△EOF（AAS），∴CD＝OE，又∵A（0，4），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6，∵点C为AB的中点，CD∥y轴，∴CD＝OA＝2，∴OE＝2，∴E（0，﹣2）；（2）设直线CE的解析式为y＝kx+b，∵C为AB的中点，A（0，4），B（6，0），∴C（3，2），∴，解得，∴直线CE的解析式为y＝x﹣2，∵BG∥CE，∴设直线BG的解析式为y＝x+m，∴×6+m＝0，∴m＝﹣8，∴G点的坐标为（0，﹣8），∴AG＝12，＝S△ABG﹣S△ACE∴S四边形ECBG＝×AE×OD＝×6×3＝27．（3）直线CD上存在点Q使得∠ABQ＝45°，分两种情况：如图1，当点Q在x轴的上方时，∠ABQ＝45°，过点A作AM⊥AB，交BQ于点M，过点M作MH⊥y轴于点H，则△ABM为等腰直角三角形，∴AM＝AB，∵∠HAM+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠HAM＝∠ABO，∵∠AHM＝∠AOB＝90°，∴△AMH≌△BAO（AAS），∴MH＝AO＝4，AH＝BO＝6，∴OH＝AH+OA＝6+4＝10，∴M（4，10），∵B（0，6），∴直线BM的解析式为y＝﹣5x+30，∵C（3，2），CD∥y轴，∴C点的横坐标为3，∴y＝﹣5×3+30＝15，∴Q（3，15）．如图2，当点Q在x轴下方时，∠ABQ＝45°，过点A作AN⊥AB，交BQ于点N，过点N作NG⊥y轴于点G，同理可得△ANG≌△BAO，∴NG＝AO＝4，AG＝OB＝6，∴N（﹣4，﹣2），∴直线BN的解析式为y＝x﹣，∴Q（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，15）或（3，﹣）．10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，6），以A为顶点的∠BAC的两边始终与x 轴交于B、C两点（B在C左面），且∠BAC＝45°．（1）如图1，连接OA，当AB＝AC时，试说明：OA＝OB．（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，当DC＝2时，将∠BAC沿AC所在直线翻折，翻折后边AB交y轴于点M，求点M的坐标．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°．过点A作AE⊥OB于E，如图1，∵A（﹣6，6），∴△AEO是等腰直角三角形，∠AOB＝45°，∴∠BAO＝67.5°＝∠ABC，∴OA＝OB．（2）设OM＝x，当点C在点D右侧时，如图2，连接CM，过点A作AE⊥y轴于点E，由∠BAM＝∠DAE＝90°，可知：∠BAD＝∠MAE；∴在△BAD和△MAE中，，∴△BAD≌△MAE．∴BD＝EM＝6﹣x．又∵AC＝AC，∠BAC＝∠MAC，∴△BAC≌△MAC．∴BC＝CM＝8﹣x．在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2＝CM2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴M点坐标为（0，3）．当点C在点D左侧时，如图3，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，同理，△BAD≌△MAF，∴BD＝FM＝6+x．同理，△BAC≌△MAC，∴BC＝CM＝4+x．在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2＝CM2，即82+x2＝（4+x）2，解得：x＝6，∴M点坐标为（0，﹣6）．综上，M的坐标为（0，3）或（0，﹣6）．11．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．易证：△BEC≌△CDA模型应用：如图2，已知直线l1：y＝x+4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2．（1）在直线l2上求点C，使△ABC为直角三角形；（2）求l2的函数解析式；（3）在直线l1、l2分别存在点P、Q，使得点A、O、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？请直接写出点Q的坐标．（1）解：过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2①，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰Rt△，∵△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝x+4，∴A（0，4），B（﹣3，0），①当∠ABC＝90°时，∵△CDB≌△BAO，∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（﹣7，3）；②当∠ACB＝90°时，如图2②，同理：△CDB≌△AEC，∴AE＝CD，BD＝CE，∴AE＝OA﹣BD＝OB+BD，即4﹣BD＝3+BD，∴BD＝，∴OD＝CD＝3.5∴C（﹣3.5，3.5），综上，在直线l2点C的坐标为（﹣7，3）或（﹣3.5，3.5）时，△ABC为直角三角形；（2）设l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（0，4），C（﹣7，3）；∴，∴，∴l2的解析式：y＝x+4；（3）如图2，①当AO为边时，∵A（0，4），∴OA＝4，设Q1的横坐标为x，则Q1（x，x+4），P（x，x+4），∵四边形AOPQ是平行四边形，∴PQ1＝OA＝4，即x+4﹣（x+4）＝4，或x+4﹣（x+4）＝4，解得x＝﹣或∴Q1（﹣，）或（，）．②当AO为对角线时，Q3与Q2重合．综上，存在符合条件的平行四边形，且Q点的坐标为（﹣，）或（，）．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣2，﹣2），过点M作直线AB，交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B（0，m）．（1）如图1，当m＝﹣6时．i）求直线AB的函数表达式；ii）过点A作y轴的平行线l，点N是l上一动点，连接BN，MN，若S△MBN＝S△ABO，求满足条件的点N的坐标．（2）如图2，将直线AB绕点B顺时针旋转45°后，交x轴正半轴于点C，过点C作CD⊥BC，交直线AB于点D．试问：随着m值的改变，点D的横坐标是否发生变化？若不变，求出点D的横坐标；若变化，请说明理由．解：（1）i）、∵m＝﹣6，∴B（0，﹣6），∴设直线AB的表达式为y＝kx﹣6，∵点M（﹣2，﹣2）在直线AB上，∴﹣2＝﹣2k﹣6，∴k＝﹣2，∴直线AB的表达式为y＝﹣2x﹣6；ii）、如图1，由i）知，直线AB的表达式为y＝﹣2x﹣6，令y＝0，则﹣2x﹣6＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∴直线l为x＝﹣3，∴设N（﹣3，t），∴AN＝|t|，∵A（﹣3，0），B（0，﹣6），∴OA＝3，OB＝6，＝OA•OB＝×3×6＝9，∴S△AOB＝S△ABO，∵S△MBN＝S△ABO＝，∴S△MBN过点M作MF⊥AN于F，过点B作ME⊥AN于E，∴MF＝1，BE＝3，＝S△BAN﹣S△AMN＝AN•BE﹣AN•FM＝（BE﹣MF）＝|t|（3﹣1）＝|t|∴S△MBN＝，∴t＝±，∴N（﹣3，）或（﹣3，﹣）；（2）如图2，∵∠ABC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝45°＝∠ABC，∴CD＝CB，∴△BDC是等腰直角三角形，∵M（﹣2，﹣2），B（0，m），∴直线AB的表达式为y＝x+m，设点C（a，0），分别过点D，B作y轴的垂线，过点C作x的垂线，交前两条直线和y 轴于点G，H，L，则∠H＝∠G＝∠OCH＝∠OBH＝90°，∴四边形OBHC是矩形，∴OC＝BH，∵∠G＝∠BCD＝90°，∴∠CDG+∠DCG＝∠DCG+∠BCH＝90°，∴∠CDG＝∠BCH，∴△DCG≌△CBH（AAS），∴BH＝OC＝CG＝|a|，CH＝DG＝|m|，∴D（m+a，a），∴a＝•（m+a）+m，∴m2+ma+4m＝0，∵m≠0，∴m+a＝﹣4，即点D的横坐标为﹣4，保持不变．13．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x﹣4与x轴，y轴分别交于点A、B，与直线y＝3交于点C，点D为直线y＝3上点C右侧的一点．（1）如图1，若△ACD的面积为6，则点D的坐标为（，3）；（2）如图2，当∠CAD＝45°时，求直线AD的解析式；（3）在（2）的条件下，点E为直线AD上一点，设点E的横坐标为m，△ACE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．解：（1）如图1，对于直线y＝﹣2x﹣4，当y＝0时，由﹣2x﹣4＝0得，x＝﹣2，∴A（﹣2，0）；当y＝3时，由﹣2x﹣4＝3得，x＝﹣，∴C（﹣，3），设D（r，3），∵点D在点C右侧，∴CD＝r+，由题意，得×3（r+）＝6，解得，r＝，∴D（，3），故答案为：D（，3）．（2）如图2，过点D作DG⊥AC于点G，过点G作MN⊥x轴于点N，交直线y＝3于点M，则∠AGD＝∠GNA＝90°，∵直线y＝3与x轴平行，∴∠DMG＝180°﹣∠GNA＝90°＝∠GNA，∵∠GAD＝45°，∴∠GDA＝45°＝∠GAD，∴DG＝GA，∵∠DGM＝90°﹣∠AGN＝∠GAN，∴△DGM≌△GAN（AAS），∴GM＝AN，DM＝GN，设AN＝t，则N（﹣2﹣t，0），∵点G在直线y＝﹣2x﹣4上，∴y G＝﹣2（﹣2﹣t）﹣4＝2t，∴G（﹣2﹣t，2t），∵M（﹣2﹣t，3），∴GM＝3﹣2t，由GM＝AN得，3﹣2t＝t，解得t＝1，∴N（﹣3，0），M（﹣3，3），∵DM＝GN＝2t＝2，∴D（﹣1，3），设直线AD的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝3x+6．（3）由（1）、（2）得，C（﹣，3），D（﹣1，3），∴CD＝﹣1﹣（﹣）＝，＝××3＝，∴S△ACD过点E作直线y＝3的垂线，垂足为点F，∵点E在直线y＝3x+6上，且点E的横坐标为m，∴E（m，3m+6），如图3，点E在线段AD上，则﹣2＜m≤﹣1，此时，EF＝3﹣（3m+6）＝﹣3m﹣3，＝S△ACD﹣S△ECD得，由S△ACES＝﹣×（﹣3m﹣3）＝m+；如图4，点E在线段AD的延长线上，则m＞﹣1，此时，EF＝3m+6﹣3＝3m+3，＝S△ACD+S△ECD得，由S△ACES＝+×（3m+3）＝m+，∴当m＞﹣2时，S＝m+；如图5，点E在线段DA的延长线上，则m＜﹣2，此时，EF＝3﹣（3m+6）＝﹣3m﹣3，＝S△ECD﹣S△ACD得，由S△ACES＝×（﹣3m﹣3）﹣＝﹣m﹣，综上所述，．14．（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．（1）证明：∵在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，在Rt△EDC中，∠C＝90°，∴∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠AEB+∠DEC＝90°．∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°．∴△AED是等腰直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图2，则∠AHC＝90°．∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．在△AOB和△CHA中，，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AO＝CH，OB＝HA，∵A（2，0），B（0，3），∴AO＝2，OB＝3，∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，∴OH＝OA+AH＝5，∴点C的坐标为（5，2）；（3）解：如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，∵AO⊥OB，EF⊥BD，∴∠AOB＝∠BFE＝90°，∵AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°，又∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠EBF，在△AOB和△BFE中，，∴△AOB≌△BFE（AAS），∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，∴OF＝3，∴点E的坐标为（3，1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，由题意可得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，令y＝0，解得x＝6，∴D（6，0）．15．【模型建立】：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】：（2）如图②，已知直线l1：y＝﹣2x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式；（3）如图③，平面直角坐标系内有一点B（﹣4，﹣6），过点B作BA⊥x轴于点A、BC ⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝3x+3上的动点且在第三象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AD⊥ED于点D，BE⊥ED于点E，∴∠BEC＝∠CDA＝∠DCA＝90°，∴∠DCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD，∵BC＝CA，∴△BEC≌△CDA（AAS）．（2）解：如图②，作BF⊥AB交直线l2于点F，作FE⊥x轴于点E，∵∠BEF＝∠AOB＝∠BAF＝90°，∴∠EBF＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，由旋转得∠BAF＝45°，∴∠BFA＝∠BAF＝45°，∴BF＝AB，∴△BEF≌△AOB（AAS），直线y＝﹣2x+4，当y＝0时，则﹣2x+4＝0，解得x＝2；当x＝0时，y＝4，∴A（2，0），B（0，4），∴EB＝OA＝2，EF＝OB＝4，∴OE＝OB+EB＝6，∴F（4，6），设直线l2的函数表达式为y＝kx+b，把A（2，0），F（4，6）代入y＝kx+b，得，解得∴直线l2的函数表达式为y＝3x﹣6．（3）解：△CPD能成为等腰直角三角形，∵B（﹣4，﹣6），BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，∴A（﹣4，0），C（0，﹣6），四边形OABC为矩形，设P（﹣4，m），如图③，∠PDC＝90°，则PD＝DC，过点D作DH⊥y轴于点H，交AB的延长线于点G，∵∠G＝∠ABC＝90°，∠DHC＝90°，∴∠G＝∠DHC，∴∠PDG＝∠DCH＝90°﹣∠CDH，∴△PDG≌△DCH（AAS），∴DG＝CH＝BG，PG＝DH，∵BP＝m﹣（﹣6）＝m+6，∴m+6+DG＝4﹣DG，∴DG＝BG＝，∴x D＝﹣4+＝，y D＝﹣6﹣＝，将D（，）代入y＝3x+3，得＝3×+3，解得m＝﹣，∴D（﹣，﹣）；如图④，∠PCD＝90°，则CD＝PC，∵作DJ⊥y轴于点J，PI⊥y轴于点I，∵∠DJC＝∠CIP＝90°，∴∠DCJ＝∠CPI＝90°﹣∠PCI，∴△DCJ≌△CPI（AAS），∴CJ＝PI＝4，DJ＝CI＝BP＝m+6，∴OJ＝6+4＝10，∴D（﹣m﹣6，﹣10），将D（﹣m﹣6，﹣10）代入y＝3x+3，得过且过﹣10＝3（﹣m﹣6）+3，解得m＝﹣，∴D（﹣，﹣10）；如图⑤，∠CPD＝90°，且点D在PC上方，则DP＝PC，作DK⊥AB交射线BA于点K，∵∠K＝∠B＝90°，∴∠PDK＝∠CPB＝90°﹣∠DPK，∴△PDK≌△CPB（AAS），∴KP＝BC＝4，KD＝BP＝m+6，∴x D＝﹣4+m+6＝m+2，y D＝m+4，∴D（m+2，m+4），将D（m+2，m+4）代入y＝3x+3，得m+4＝3（m+2）+3，解得m＝﹣，∴D（﹣，），∵D（﹣，）不在第三象限，∴D（﹣，）不符合题意，舍去；如图⑥，∠CPD＝90°，且点D在PC下方，则DP＝PC，作DL⊥AB交AB的延长线于点L，则∠DLP＝∠PBC，∴∠DPL＝∠PCB＝90°﹣∠BPC，∴△PDL≌△CPB（AAS），∴LP＝BC＝4，LD＝BP＝m+6，∴x D＝﹣4﹣（m+6）＝﹣10﹣m，y D＝m﹣4，∴D（﹣10﹣m，m﹣4），将D（﹣10﹣m，m﹣4）代入y＝3x+3，得m﹣4＝3（﹣10﹣m）+3，解得m＝﹣，D（﹣，﹣），综上所述，点D的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，﹣10）或（﹣，﹣）．。

含有45度的直角三角形三边关系示例文章篇一：《探索含有45度角的直角三角形三边关系》嘿，你知道吗？三角形就像一个小小的魔法世界，每一种三角形都有它独特的秘密呢。

今天呀，我就想和大家好好讲讲含有45度角的直角三角形，这个特别有趣的三角形三边的关系。

我记得我们在数学课上，老师在黑板上画了一个直角三角形，那个三角形有一个角是90度，还有一个角是45度。

当时我就在想，这个三角形看起来好特别呀。

旁边的同桌就小声嘀咕：“这个三角形看起来有点对称呢。

”我仔细一看，还真是。

后来老师告诉我们，因为有一个角是45度，另一个锐角也是45度，这就意味着这个直角三角形是等腰直角三角形。

等腰，这就说明了两条直角边是相等的呀。

这时候，班上的数学小天才就举手问老师：“老师，那它的三条边之间有没有什么特别的数量关系呢？”老师笑了笑，说：“那我们就来探究一下吧。

”老师在黑板上给这个三角形的两条直角边都标上了字母a。

那斜边呢？老师说我们可以用勾股定理来找到斜边和直角边的关系。

勾股定理就像一个神奇的魔法公式，对于直角三角形来说，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

那在这个等腰直角三角形里，就是a² + a²等于斜边的平方。

我旁边的同学皱着眉头说：“这怎么算呀？”我就想，a² + a²不就是2a²嘛。

老师看到我们的表情，就接着说：“那现在我们设斜边为c，就有2a² = c²。

”这时候我就想，那c 不就等于根号下2a²嘛，化简一下就是a倍的根号2。

哇，原来这个等腰直角三角形的三边关系这么简单又神奇呀。

我又想起来有一次，我们做数学小组活动。

小组里有个同学画了一个很大的等腰直角三角形，他把直角边画得特别长，还说：“你们看，这个三角形的直角边这么长，斜边肯定也很长。

”另一个同学就不服气地说：“那当然了，根据我们之前算的三边关系，直角边变长，斜边肯定也会按照那个规律变长啊。

13.13专题5.2：利用45度构造等腰直角三角形
一．【知识要点】
1.利用45度构造等腰直角三角形:作垂线，利用手拉手模型得全等转化线段。

二．【经典例题】
1.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是BC上一点．
（1）如图1，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD；
（2）如图2，点E在线段AD上，且∠CED＝45°，∠BED＝30°，求证：BE＝2AE；
（3）如图3，CD＝BD，过B点作BM⊥AD交AD的延长线于点M，连接CM，过C 点作CN⊥CM交AD于N，求证：DN＝3DM．
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB下方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB下方,AD⊥BD,求∠BDC的度数.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上方,AD⊥BD,求∠BDC的度数.
3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为△ABC外一点，且∠CEA=45°.求证：AE⊥BE.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上方,∠ADC=.135°,求证:AD⊥BD.
【D】。

中考数学解题策略研究之正方形与45度角专题当神奇的正方形与美丽的45度角不期而遇，它们之间会产生怎样的火花，生成怎样令人难忘的故事？今天我们浅谈几道与正方形中45度角有关的好题目，开启一段神奇之旅！题1：如图1，已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1-1，求证：AB+BE=AM；(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图1-2；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图5-3；请分别写出线段AB、BE及AM之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)，(2)的条件下，若BE=sqrt（3），∠AFM=15°，则AM= ．简析：本题中三种情形下都有一个等腰直角△AEF（含45度角），这里可采取常用的“见等腰直角三角形，造一线三直角”或者说成更一般意义上的“三垂直结构”等垂直处理策略；对于前两问统一处理如下：情形一：当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1-4所示，依托于等腰直角△AEF的三个顶点作相关“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”结构，或者说是“三垂直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AB+BE=EN+BE=BN=AM，第(1)问得解；情形二：当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图1-5所示，依托于等腰直角△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”，识别“一线三直角”结构，或者说是“三垂直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AM+BE=BN+BE=EN=AB，即AM+BE=AB；其实这里的“三垂直结构”根本没添加任何辅助线，如果执意采取“见等腰直角三角形，造K字型”的策略作一些“水平—竖直辅助线”，本质上并无什么太大差别，不再赘述，但我们之所以选择前者，是基于以最少的辅助线去解决问题的情怀与追求；情形三：当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图1-6所示，依托于等腰直角△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”，识别“一线三直角”结构，或者说是“三垂直结构”，即Rt△ABE≌Rt△ENF，则有AM+AB=BN+EN=BE，即AM+AB=BE；综合情形二与情形三这两种情况下的结论，第(2)问得解；解题后反思：对于前两问，不知同学们有没有发现，三种情形图形变化了，但其证明的思路几乎没什么变化，无论是全等的两个三角形还是全等后相关边长的转化，包括最终结论的形式等都几乎都是一致的，这种图形变换问题中解题策略的“统一性”是极其重要的，很多综合题都可以采取这种策略去寻找突破口，进而顺利解决问题；建议同学们在表示角的时候用三个大写字母来表示，为什么这么说呢？这是因为当你会解决第一个图形后，后续图形变化的情形就可以执着这些用三个大写字母表示的角以及三角形等去寻找解决问题的途径与方法；很多时候，解答过程中甚至于可能连每一个字母都没有任何变化，这就是“图形变了，方法不变，甚至于连表示角或三角形等的字母顺序都一点儿变化都没有”，体现了“变中不变”的统一性；不相信你再回头看一看题1的分析过程，去对比三种情形下的思路、方法、甚至于表示三角形的字母等几乎都没啥变化，最后的结论形式上也基本是相同的！下面再来看看第(3)小问：首先审题要细致，有时真要做到“咬文嚼字”，去揣摩命题人的意图，去琢磨命题人刻意留给你的台阶；当读到第一句话“在(1)，(2)的条件下”，很明显就要进行分类讨论了啊，而且前面两问分了三种情形，这里自然也应该三种情形都要考虑到位；这道题编制的巧妙之处就是题目已经将三种情形下的图形画给学生了，不用学生自己去画了，可以说给学生的台阶已经铺垫到了极致，当然这也就顺带失去了对学生画图意识与画图能力的考察；此问还有一个比较“扎眼”的条件，那就是∠AFM=15°，难道直接应用这个15°角？难道要用所谓“倍半角模型”？切记，轻易不要使用“倍半角模型”，当我们无路可走时，再去尝试用这个模型去解决，尤其是平时解题以及反思题目，一定要有寻找简单几何方法的意识；这里的15°角还真的可以不直接使用，而是间接推出一个更特殊的30°角，且往下看；情形一：如图1-7所示，当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，由∠AFM=15°且∠AFE=45°得∠EFN=120°，而∠N=90°，这显然是不可能的，故排除；此外也可以这样说理：由∠AFM=15°知∠FAB=15°，而∠AFE=45°，这是不可能的，故排除；这种情形虽然不符合题意，但肯定还是要考虑到位并且作必要的解释的，体现了数学思维的严密性；情形二：如图1-8所示，当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，由∠AFM=15°得∠FAB=15°，又由∠FAE=45°得∠BAE=30°；瞧，30°角出现了！接下来，锁定Rt△ABE，由BE=sqrt（3）及∠BAE=30°口算出AB=3；题目要求的是AM的长，大家千万别忘记“回头看”策略，第(2)小问中不是刚刚探索了三条线段AB、BE及AM之间的关系，现在AB、BE已经有了，要求的正是AM，“前戏”已足，胜利就在眼前；由(2)中的结论知AM+BE=AB，故所求AM=AB-BE=3-sqrt（3）；情形三：如图1-9所示，当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，由∠AFM=15°得∠FAB=15°，又由∠FAE=45°得∠BAE=60°，故∠AEB=30°；笔者想告诉同学们一个秘密，“我偷了个懒”，仅仅将情形二中的思路分析复制过来，果然依然适用于情形三啊，仅仅是最后∠BAE由=30°变为了60°，仅此而已，前者由“45°-15°”而来，而后者由“45°+15°”而来；瞧，多有趣啊！类比思想是一种重要的数学思想方法，同学们对于这种图形变换题型，不妨就采取这种策略去分析问题，尝试用已经解决的问题思路去分析后续变化的情形，很有可能就能寻找到解决问题的金钥匙，下面的思路也几乎没有什么根本性的改变，不信你看；瞧，30°角又出现了！接下来，依然锁定Rt△ABE，由BE=sqrt（3）及∠AEB=30°口算出AB=1；题目要求的是AM的长，大家千万别忘记“回头看”策略，第(2)小问中不是刚刚探索了三条线段AB、BE及AM之间的关系，现在AB、BE已经有了，要求的正是AM，“前戏”已足，胜利就在眼前；由(2)中的结论知AM+AB=BE，故所求AM=BE-AB=sqrt（3）-1；综上所述：所求AM=3-sqrt（3）或者sqrt（3）-1，问题得解；解题后反思：本题中神奇的正方形遇到了美丽的等腰直角三角形（含45°角），采取“垂直处理”中的构造“三垂直结构”策略，得到全等三角形，继而转化相关边长，得到目标三条线段之间的和关系，有趣的是，三种情形下，每一条边长都作为最大边长出现过一次，这就是本题的巧妙之处；本题另一个巧妙之处，那就是题目的层层铺垫、步步为营已经到了极致，为学生搭的台阶平缓到给人以如履平地之感，当然前提是，学生要把握这种铺垫，不能自己分离几个小问，也不要孤立几种情形，而要用联系的眼光、发展的眼光看问题，这样这道中考题变成了简单的送分题，不然就是丢分的要命题；当然此题若是我们认真去分析反思图形，其实第三种情形图有个小漏洞，不知道大家有没有发现，第三种情形中Rt△AEF的三个字母顺序是依次按顺时针排序的，但如果按照前面两种情形的排序应该是逆时针顺序，这一点本人觉得是此题图形变换的一个小漏洞，当然题目通过“如图所示”以及“当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时”这样的表述很好地避免了这个问题，其实我想主要也是为第(3)小问铺垫的，不然图形就变为图1-10了，同情形一，∠AFM=15°就不存在了，不再详述；当然这个小毛病对解决本题无伤大雅，我想表达的主要是解题后反思、解题后琢磨的好习惯，还有学习中一定要有质疑的好精神，多问几个问什么，我想学习的提升一定不是多么难的事情吧！无独有偶，下面这道中考真题与题1有很多相似之处，依然是神奇的正方形邂逅了美丽的45°角，它们之间又会续写怎样的传奇故事呢？瞅瞅看呗．题2：如图2-1，已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．(1)如图2-1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；(2)当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；(3)如图2-3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．简析：(1)第一小问的特殊性就在于“当∠EAF被对角线AC平分时”这个条件，毫无疑问这就是这一问的关键条件，突破了这个条件，知道这个特殊条件能起到什么作用，这一问就可迎刃而解，这就是“寻找题目特殊性”的解题意识，同学们要有主动寻找特殊性的意识，尤其是题目明确给定特殊条件的时候，更要毫不犹豫地去抓住这些特殊性去认真分析、转化，同学们要有意识地自我培养这种果决感；∠EAF被对角线AC平分时，由∠EAF=45°知∠EAC=∠FAC=22.5°，如图2-4所示，将目光聚焦在△EAC中，由“外角原理”或者“内角和定理”都可轻易推出∠EAC=∠AEC=22.5°，则有CE=CA=4sqrt（2），即所求a=4sqrt（2）；同理，如图2-5所示，可推得△FAC也是一个等腰三角形，即CF=CA=4sqrt（2），即所求b=4sqrt（2）；解题后反思：特殊条件即为关键条件，抓住特殊条件，主动探寻题目中的特殊性，是一种可贵的解题品质，同学们要有自我意识地去培养、训练，长此以往，你就会大大提升题感，迅速锁定关键之所在，如本题第(1)小问，简而言之，就是抓住“当∠EAF被对角线AC平分时”这个特殊条件，通过导角，推出特殊等腰三角形的存在，进而口算结果，干净利落！(2)第二小问依然有其自身的特殊性，即“当△AEF是直角三角形时”，再结合∠EAF=45°可知，一方面△AEF不仅是直角三角形，而且还是等腰直角三角形；另一方面本来要分三类讨论直角三角形的存在性问题的，但已确定∠EAF=45°，故只要分两类讨论即可；情形一：当∠AFE=90°时，依托于等腰Rt△AEF的三个顶点作系列“水平—竖直辅助线”，如图2-6所示，即“见等腰直角三角形，造K字型全等”，则易知b=CF=EH=FG=AD=4，a=CE=FH=AG=DF=DC+CF=4+4=8；情形二：当∠AEF=90°时，同理，依托于等腰Rt△AEF的三个顶点作系列“水平—竖直辅助线”，如图2-7所示，即“见等腰直角三角形，造K字型全等”，则易知a=CE=FH=EG=AB=4，b=CF=EH=AG=BE=BC+CE=4+4=8；综上两种情形，问题可解；解题后反思：在平面直角坐标系中，当我们过一些已知点及目标点作系列“水平—竖直辅助线”时，无论怎么作都可以解决问题，其本质相通；但所作辅助线有多少之分，一般情况下，同学们要有用最少的辅助线来解决问题的追求；拿第(2)小问l来说，虽然上面的“见等腰直角三角形，造K字型全等”可以顺利解决此问，但辅助线还是稍显多了些，其实我们甚至一条辅助线都不作，就可以轻松解决问题，而且与上面的解法本质想通，何乐而不为呢！如图2-8及图2-9所示，任何辅助线不添加，就可以利用等腰Rt△AEF，在原题图中主动寻找“水平—竖直线”，识别到全等直角三角形；其实这里的全等直角三角形跟上面的解法本质一模一样，都隶属于“一线三直角”模型，图2-8中的三个直角都在直线DC上，而图2-9中的三个直角都在直线BC上，而且这两组全等直角三角形与上面的所谓“K字型全等”直角三角形相互之间都是全等的，即图2-8中的两个直角三角形与图2-6中的两个直角三角形，共四个直角三角形都是全等的；而图2-9与图2-7亦然；所以笔者更习惯将其命名为具有更一般意义地所谓“三垂直结构”，它是“垂直处理”的一种重要的几何策略。