浙江省中考数学总复习 第四章 基本图形(一)第20讲 多

第18讲 三角形与全等三角形1．三角形的概念及其分类⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧概念：由不在同一直线上的三条线段相接所得到的图形叫做三角形.分类⎩⎪⎨⎪⎧按角分类⎩⎪⎨⎪⎧角三角形角三角形角三角形按边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底与腰不相等的等腰三角形三角形 2．与三角形有关的线段考试内容考试要求高____________________三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于____________________；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．b中线三角形的三条中线相交于____________________，每一条中线都将三角形分成面积____________________的两部分．角平分线 三角形的三条角平分线相交于____________________，这个点是三角形的____________________，这个点到三边的距离____________________．三边关系三角形的两边之和____________________第三边，三角形的两边之差____________________第三边．c 稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．a 三角形的中位线定义连结三角形两边____________________的线段叫做三角形的中位线. c性质三角形的中位线____________________第三边，并且等于第三边的____________________．考试内容考试要求定理三角形三个内角的和等于____________________． b c推论直角三角形的两个锐角____________________．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的____________________．4.全等三角形的性质与判定考试内容考试要求性质全等三角形的对应边____________________，对应角_____________． c判定判定1：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)；判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)；判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)；判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)；判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．考试内容考试要求基本方法1.分析问题思考方法：(1)顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；(2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法；(3)顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法．c2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁．1．(2017·某某)长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( ) A．4 B．5 C．6 D．92．(2017·某某)如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )A．30°B．40°C．60°D．70°3．(2016·某某)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为____________________．4．(2017·某某)如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．【问题】如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，作射线AD.(1)若点D是BC的中点，你能得到什么结论？若AD是∠BAC的角平分线呢？(2)在线段AD及其延长线上分别取点E、F，DE＝DF，，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是________．(不添加辅助线)．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理中线、高、角平分线，以及三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．类型一三角形的三边关系例1(2017·某某)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10【解后感悟】三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．1．(1)(2016·某某市下城区模拟)已知△ABC的三边长都是整数，且AB＝2，BC＝6，则△ABC的周长可能是( )A．12 B．14 C．16 D．17(2)(2016·义乌模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( )A．6 B．7 C．8 D．9(3)小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x千米远，则x的值应满足( )A．x＝3 B．x＝7 C．x＝3或x＝7 D．3≤x≤7类型二三角形的内角、外角的性质例2(2017·某某模拟)如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m 为∠A BC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为( )A．24° B．30° C．32° D．36°【解后感悟】本题是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理的运用，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．2．(1)(2017·某某模拟)已知：△ABC的三个内角满足∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是____________________三角形．(填“锐角”、“直角”、“钝角”)(2)(2017·某某模拟)将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝32°，那么∠1＋∠2＝____________________度．3．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．类型三三角形的角平分线、中线和高例3如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，∠B＝30°，∠C＝80°，BE＝2，AF＝3，填空：(1)AB＝________．(2)∠BAD＝________．(3)∠DAF＝________．(4)S△AEC＝________．【解后感悟】理解三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．揭示三线构建图形之间的联系．4．(1)(2015·某某)如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是( )(2)(2015·某某)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝( )A．118°B．119°C．120°D．121°5．(2015·某某)如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为____________________．6．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E.(1)∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小；(2)若∠B<∠C，则2∠EAD与∠C－∠B是否相等？若相等，请说明理由．类型四三角形全等的判定的运用例4如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由【解后感悟】解题的关键是正确寻找证明三角形全等的条件，联想平行线的判定方法．7．(2017·某某模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，连结AC，且AC＝BC，在对角线AC上取点E，使CE＝AD，连结BE.(1)求证：△DAC≌△ECB；(2)若CA平分∠BCD，且AD＝3，求BE的长．8．(2017·某某模拟)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE、DE、DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．类型五三角形全等的性质的运用例5如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？【解后感悟】证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等，在第二问中通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．9．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是( )A．PO B．PQ C．MO D．MQ10．如图，点D、E分别在AB、AC上．(1)已知：BD＝CE，CD＝BE，求证：AB＝AC；(2)分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE”记为②，“AB＝AC”记为③.添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，，命题2是________________命题．(填“真”或“假”)【反思研究题】(2017·义乌模拟)已知△ABC中，AB＝AC，BC，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图1，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：△PDF≌△QDC；(2)如图2，当点P为AB的中点时，求CD的长；(3)如图3，过点P作PE⊥BC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由．【方法与对策】运用全等三角形的判定与性质等，注意对比信息，尝试着用前一题的结论与方法去完成下一题，该题型是中考热点题型之一．【忽视全等三角形判定中边、角位置性】AB＝AC，D、E分别在AB、AC上，连结CD、BE，且CD＝BE，判断∠ADC和∠AEB是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．参考答案第18讲三角形与全等三角形【考点概要】1．首尾顺次锐直钝等边 2.锐角直角顶点一点相等一点内心相等大于小于中点平行一半°互余和 4.相等相等【考题体验】1．C2.A °4.(1)∵AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，又∵∠BCD ＝∠EDC ＝90°，∴∠ACB ＝∠ADE ，在△ABC 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝ED ，∠ACB ＝∠ADE AC ＝AD ，，∴△ABC ≌△AED (SAS )； (2)当∠B ＝140°时，∠E ＝140°，又∵∠BCD ＝∠EDC ＝90°，∴五边形ABCDE 中，∠BAE ＝540°－140°×2－90°×2＝80°.【知识引擎】【解析】(1)BD ＝DC ＝12BC ，S △ABD ＝S △ADC ；∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC 等． (2)由已知∠EDC ＝∠FDB ，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：BD ＝CD (或CE∥BF 或∠ECD ＝∠DBF 或∠DEC ＝∠DFB 等)．证明：在△BDF 和△CDE中∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝BD ∠EDC ＝∠FDB DE ＝DF，∴△CDE ≌△BDF.【例题精析】例1C例2 ∵直线m 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP ＝∠CBP.∵直线l 为BC 的中垂线，∴BP ＝CP ，∴∠CBP ＝∠BCP，∴∠ABP ＝∠CBP＝∠BCP，在△ABC 中，3∠ABP ＋∠A＋∠ACP＝180°，即3∠ABP ＋60°＋24°＝180°，解得∠ABP＝32°.故选C .例3 (1)∵在△ABF 中，AF 是高，∠B ＝30°，AF ＝3，∴AB ＝2AF ＝6；(2)∵在△ABC中，∠B ＝30°，∠C ＝80°，∴∠BAC ＝70°，∵AD 是角平分线，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝35°；(3)∵在△AFC 中，AF 是高，∠C ＝80°，∴∠FAC ＝10°，∴∠DAF ＝∠DAC－∠FAC＝35°－10°＝25°；(4)∵在△ABC 中，AE 是中线，∴EC ＝BE ＝2，∴S △AEC ＝12EC ·AF ＝12×2×3＝3.故答案为：6；35°；25°；3.例4 (1)∵BF＝CE ，∴BF ＋FC ＝FC ＋CE ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SSS)． (2)结论：AB∥DE，AC ∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC ＝∠DEF，∠ACB ＝∠DFE，∴AB ∥DE ，AC ∥DF.例5 (1)证明：在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF，BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF. (2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由是：∵由(1)得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE ＝∠DCF，∴∠BCE ＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°.又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.【变式拓展】1．(1)B (2)D (3)D2.(1)钝角 (2)703. (1)证明：由题意知，△ACB 是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠B ＝45°.∵CF 平分∠DCE，∴∠DCF ＝∠ECF＝45°，∴∠B ＝∠ECF，∴CF ∥AB. (2)由三角板知，∠E ＝60°，由(1)知，∠ECF ＝45°，∵∠DFC ＝∠ECF＋∠E，∴∠DFC ＝45°＋60°＝105°.4. (1)A (2)C5.36. (1)∵∠B＝30°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°－∠B－∠C＝80°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC ＝12∠BAC ＝40°，∵AD 是高，∠C ＝70°，∴∠DAC ＝90°－∠C＝20°，∴∠EAD ＝∠EAC－∠DAC＝40°－20°＝20°；(2)由(1)知，∠EAD ＝∠EAC－∠DAC＝12∠BAC －(90°－∠C)①，把∠BAC＝180°－∠B－∠C 代入①，整理得∠EAD ＝12∠C －12∠B ，∴2∠EAD ＝∠C－∠B.7. (1)略；(2)∵CA 平分∠BCD，∴∠ECB ＝∠DCA，且由(1)可知∠DAC＝∠ECB，∴∠DAC ＝∠DCA，∴CD ＝DA ＝3，又∵由(1)可得△DAC≌△ECB，∴BE ＝CD ＝3.8.(1)略； (2)∵AB＝CB ，∠ABC ＝90°，∴∠CAB ＝45°，∵∠CAE ＝30°，∴∠BAE ＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°，∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BCD ＝∠BAE＝15°，∴∠BDC ＝90°－∠BCD＝90°－15°＝75°.9.B10.(1)连结BC.∵BD＝CE ，CD ＝BE ，BC ＝CB ，∴△DBC ≌△ECB(SSS)．∴∠DBC＝∠ECB，∴AB ＝AC. (2)真 假第10题图【热点题型】【分析与解】(1)∵AB＝AC ，∴∠B ＝∠ACB.∵PF∥AC，∴∠PFB ＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB ，∴BP ，BP ＝CQ ，∴FP ＝CQ.∵PF∥AC，∴∠DPF ＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF ≌△QDC ；(2)如图，过P 点作PF∥AC 交BC 于F ，∵点P 为AB 的中点，∴F 为BC 的中点，∴FC ＝12BC ＝3，由(1)知△PDF≌△QDC，CD ＝DF ，∴CD ＝DF ＝12FC ＝32；(3)线段DE 的长度保持不变．如图，过点P 作PF∥AC 交BC 于F ，由(1)知PB ＝PF ，∵PE⊥BC，∴BE ＝EF ，由(1)知△PDF≌△QDC，CD ＝DF ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12BC ＝3.【错误警示】∠ADC 和∠AEB 不一定相等．例如，如图，AB ＝AC ，且CD ＝CE′＝BE ，这时∠ADC≠∠AEB.。

人教版七年级数学第四章《几何图形初步》知识点汇总七年级数学期末复第四章《几何图形初步》知识点汇总1.几何图形①定义：几何图形是从实物中抽象出来的各种图形。

②分类：几何图形分为平面图形和立体图形。

③平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面内，如直线、三角形等。

④立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内，如圆柱体。

2.常见的立体图形①柱体：A棱柱，B圆柱。

②椎体：A棱锥，B圆锥，球体等。

3.立体图形的三视图从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、左视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。

①会观察小正方体堆积图形画出三视图。

②会根据三视图知道堆积的小正方体的个数。

4.立体图形的展开图①圆柱的平面展开图是矩形。

②圆锥的平面展开图是扇形。

③ n棱柱的侧面展开图是n个形，n棱柱有个底面，都是n边形，n棱柱的平面展开图是多边形。

④ n棱锥的侧面展开图是n个形，n棱锥有个底面，是n 边形，n棱锥的平面展开图是多边形。

⑤正方体的展开图共分四类。

①掌握在正方体展开图中找相对面的方法。

②会根据展开图中的图案判断是哪个图形的展开图。

5.点、线、面、体几何图形的组成：由点、线、面、体组成。

点是构成图形的基本元素，点动成线，线动成面，面动成体。

6.直线①点与直线的位置关系：第一种关系：点在直线上，或者说直线经过点；第二种关系：点在直线外，或者说直线不经过点。

②直线公理：经过两点有且只有一条直线（简称：两点确定一条直线）。

7.直线与直线的位置关系①同一平面内，两条直线的位置关系分为平行和相交。

②当两条不同的直线相交时，我们就称这两条直线相交，这个点叫做它们的交点。

8.射线①表示方法：端点字母必须写在前。

②判断两条射线是同一条射线的方法：它们有一个公共端点，并且在这个公共端点的一侧的点相同。

9.线段①基本性质：线段是有限长的直线段，有两个端点。

②两点之间的距离是线段的长度。

第20讲 多边形与平行四边形1．多边形 考试内容考试要求多边形的定义 在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段 相接组成的图形叫做多边形．a 多边形的性质内角和 n 边形内角和为 ．c 外角和 任意多边形的外角和为 ． 对角线n 边形从一个顶点出发可以画____________________条对角线，一共可以画____________________条对角线．正多边形定义各边____________________，各角也____________________的多边形叫做正多边形．a 性质正n 边形的每一个内角的度数都是 ，每一个外角的度数都是 ．c 2.平行四边形的性质、判定方法考试内容考试要求性质 平行四边形的对边____________________.c平行四边形的对角____________________.平行四边形的对角线 ．平行四边形是 对称图形，它的对称中心是两条对角线的 ．判定 两组对边分别 的四边形是平行四边形(定义法)．两组对边分别____________________的四边形是平行四边形.两组对角分别 的四边形是平行四边形．一组对边____________________的四边形是平行四边形. 对角线的四边形是平行四边形．拓展若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积、周长．考试内容考试要求基本方法1.面积法，在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系．c2.四种辅助线：(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．1．(2016·舟山)已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是( ) A．6 B．7 C．8 D．92．(2016·绍兴)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( ) A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③3．(2016·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD 的度数是( )A．45°B．55°C．65°D．75°4．(2016·丽水)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )A．13 B．17 C．20 D．265．(2015·衢州)如图，在▱ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于( )A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【问题】(1)如图，你能从多边形中得到哪些信息？(2)如图，四边形ABCD是平行四边形，你能从这个图形中获取哪些信息？(3)如图是一张平行四边形ABCD的纸片沿对角线撕下的一部分，请你用不同方法复原平行四边形ABCD.【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形的性质、判定方法．类型一多边形的性质例1(1)(2016·乌鲁木齐)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．(2)(2016·河北)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.①甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；②若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.【解后感悟】如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．此题需要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．1．(1)(2015·丽水)一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形(2)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为( )A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7类型二平行四边形的判定例2(1)(2017·荆门模拟)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法是__________(填序号)；(2)(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝________.【解后感悟】(1)探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．(2)注意：“以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形”与“四边形OABC是平行四边形”的区别．2．(1)(2017·嘉兴模拟)如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连结AD，CD，则有( )A．∠ADC与∠BAD相等B．∠ADC与∠BAD互补C．∠ADC与∠ABC互补D．∠ADC与∠ABC互余(2)(2016·吉林)图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．①请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等)；②图1中所画的平行四边形的面积为.3．(2015·遂宁)如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，求证：(1)AE＝CF；(2)四边形AECF是平行四边形．类型三平行四边形的性质例3如图，在▱ABCD中，(1)若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D＝________；(2)若∠A＋∠C＝240°，则∠B＝________；(3)若对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝5，BC＝3，则△BOC的周长是＝________；(4)若∠A的平分线交边BC于点E.若AB＝10cm，AD＝14cm，则BE＝________cm，EC＝________cm；(5)若∠BAD与∠ADC的角平分线分别交边BC于点E，F，且AB＝2EF＝2，则BC＝________．【解后感悟】利用图形和平行四边形的性质是解题关键；对于(5)注意分类讨论．4．(1)(2017·泸州模拟)平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为( )A．4＜x＜6 B．2＜x＜8 C．0＜x＜10 D．0＜x＜6(2)(2017·丽水)如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )A. 2 B．2 C．2 2 D．4(3)(2015·河南)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为( )A．4 B．6 C．8 D．10(4)(2017·黄岗模拟)在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝25，则▱ABCD的周长等于____________________．类型四平行四边形的应用例4如图1是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2，雨刷EF丄AD，垂足为A，AB＝CD，且AD＝BC.这样能使雨刷EF在运动时．始终垂直于玻璃窗下沿BC.请证明这一结论．【解后感悟】本题是实际问题，首先构建关于平行四边形的问题，再利用平行四边形的判定和性质来解决．5．(2017·嘉兴模拟)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为度．类型五平行四边形的综合运用例5(2017·舟山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC 的中点，BC＝2CD.(1)求证：四边形MNCD 是平行四边形；(2)求证：BD ＝3MN.【解后感悟】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所需要的线段、角，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．6．(1)(2016·东营)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是 .(2)(2017·温州模拟)如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连结CE ，F 是BC 边的中点，连结FD.①求证：四边形CEDF 是平行四边形；②若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．【作图探究题】如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：(甲)连结BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求．(乙)先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确( )A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【方法与对策】本题综合运用正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，问题通过实验操作为条件进行分析、综合、对照平行四边形判定，说明甲正确、乙错误．通过作图来计算、判断、证明是中考出题常用方法．【各种判定方法易混淆不清】已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有( ) A．6种B．5种C．4种D．3种参考答案第20讲多边形与平行四边形【考点概要】1．首尾顺次(n－2)×180°360°(n－3)n（n－3）2相等相等（n－2）×180°n 360°n2.相等相等互相平分中心交点平行相等相等平行且相等互相平分【考题体验】1．D 2.D 3.A 4.B 5.C【知识引擎】【解析】(1)n 边形的内角和(n －2)·180°，外角和360°； (2)从平行四边形的性质的角度说明； (3)从平行四边形的判定方法的角度说明(四个方面)．【例题精析】例1 (1)6； (2)①∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°＋2＝2＋2＝4.答：甲同学说的n 边形的边数n 是4；②依题意有(n ＋x －2)×180°－(n －2)×180°＝360°，解得x ＝2.故x 的值是2.例2 (1)①②、③④、①③、①④；(2)根据题意画图如下：以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则C(4，1)或(－2，1)，则x ＝4或－2；故答案为：4或－2.例3 (1)108° (2)60° (3)7.5 (4)10，4 (5)3或5例4 ∵AB＝CD 、AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴AD∥BC.又∵EF⊥AD，∴EF ⊥BC.例5 (1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴MD ＝NC ，MD ∥NC ，∴四边形MNCD 是平行四边形； (2)如图：连结ND ，∵四边形MNCD 是平行四边形，∴MN ＝DC.∵N 是BC 的中点，∴BN ＝CN ，∵BC ＝2CD ，∠C ＝60°，∴△NCD 是等边三角形．∴ND＝NC ，∠DNC ＝60°.∵∠DNC 是△BND 的外角，∴∠NBD ＋∠NDB＝∠DNC，∵DN ＝NC ＝NB ，∴∠DBN ＝∠BDN＝12∠DNC ＝30°，∴∠BDC ＝90°.∵tan ∠DBC ＝DC DB＝33，∴DB ＝3DC ＝3MN.【变式拓展】1．(1)C (2)D 2.(1)B (2)①如图1，如图2；②63. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD.∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ∠ABE＝∠CDF BE ＝DF，∴△ABE ≌△CDF(SAS)．∴AE＝CF. (2)∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB ＝∠CFD，∴∠AEF ＝∠CFE，∴AE ∥CF ，∵AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．4. (1)B (2)C (3)C (4)12或205.306.(1)4 (2)①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵DE ＝12AD ，F 是BC 边的中点，∴DE ＝FC ，DE ∥FC ，∴四边形CEDF 是平行四边形；②过点D 作DN⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，∴∠BCD ＝∠A＝60°，∵AB ＝3，AD ＝4，∴FC ＝2，NC ＝12DC ＝32，DN ＝332，∴FN ＝12，则DF ＝EC ＝DN 2＋FN 2＝7.【热点题型】【分析与解】甲：如图1，∵正五边形的每个内角的度数是（5－2）×180°5＝108°，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝AE ，∴∠DEC ＝∠DCE＝12×(180°－108°)＝36°，同理∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABP ＝∠AEP＝108°－36°＝72°，∴∠BPE ＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，∴四边形ABPE 是平行四边形，即甲正确；乙：如图2，∵∠BAE ＝108°，∴∠BAM＝∠EAM＝54°，∵AB ＝AE ＝AP ，∴∠ABP ＝∠APB＝12×(180°－54°)＝63°，∠AEP ＝∠APE ＝63°，∴∠BPE ＝360°－108°－63°－63°≠108°，即∠ABP＝∠AEP，∠BAE ≠∠BPE ，∴四边形ABPE 不是平行四边形，即乙错误；故选C .【错误警示】利用判定方法可得①②、①③、②④、③④，这四种情况能判定四边形ABCD是平行四边形．故选C.。

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第2课时直角三角形直角三角形考试内容考试要求概念有一个角是的三角形叫做直角三角形.a性质如图,在△ABC中，∠C=9０°。

1．边与边的关系(勾股定理):ａ2+b２＝ ;2．角与角的关系：∠A+∠B=;3.边与角的关系:①若∠A=3０°，则a＝＼f(1，2)ｃ,b=＼f(＼r(3)，2)c；②若a=错误!ｃ,则∠A＝30°;③若∠A＝4５°，则a=b＝错误!c；④若a＝错误!c，则∠A＝45°;4.斜边上的中线m=错误!ｃ=Ｒ（其中Ｒ为三角形外接圆的半径)．c 判定1.有一个角是或两个锐角的三角形是直角三角形．2．如果三角形一边上的中线等于这条边的，那么这个三角形为直角三角形．３.勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的等于第三边的 ,那么这个三角形是直角三角形.拓展1．SＲｔ△ABC=错误!ch＝错误!ａb,其中a、b为两直角边,c为斜边，h为斜边上的高;2.Rt△ABＣ内切圆半径r＝ａ+ｂ-c２；外接圆半径R＝c2，即等于斜边的一半．考试内容考试要求基本方法面积法：用面积法证题是常用的方法之一,使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式,从而得到要证明的结论.如cｈ=ab,其中a、b为两直角边,ｃ为斜边,h为斜边上的高；c1．（2０1７·绍兴)如图,小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为０。