下载文档原格式
第19讲梯形及等腰梯形知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等腰梯形。
梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.知识梳理讲解用时：20分钟梯形的认识1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（概念记清楚哦）一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦梯形的分类2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形等腰梯形AB//CD AB//CDAD≠BC AD=BCAD⊥CD AD不平行BC梯形的中位线3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半你知道怎么证明吗？EF//AB//CDEF=12（AB+CD）等腰梯形的性质和判定1、等腰梯形的性质定理性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线）∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D2、等腰梯形的判定定理判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形判定3：利用定义课堂精讲精练【例题1】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为．【答案】10【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，进而得到CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=4，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+4=10．故答案为：10．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期中年份：2017【练习1.1】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=75°，AD=2，BC=7，那么AB= ．【答案】5【解析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=30°，根据三角形的内角和定理，得∠EDC=75°，再根据等角对等边，得DE=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=CE=7﹣2=5，从而求解．解：过点D作DE∥AB交BC于E，∴∠DEC=∠B=30°．又∵∠C=75°，∴∠CDE=75°．∴DE=CE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE=2．﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5．∴AB=DE=CE=BC故答案为：5．讲解用时：3分钟解题思路：此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质，解题的关键是作平行线构造平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：潍坊三模年份：2016【例题2】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，如果AB=5，BC=4，CD=3，那么AD= ．【答案】2【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，后根据勾股定理即可得出答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图所示：则DE=BC=4，AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2，AD==2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形及勾股定理的知识，难度不大，属于基础题．教学建议：利用梯形和勾股定理的知识进行求解.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期末年份：2016【练习2.1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC．【答案】（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC【解析】试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF=∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE=∠F，∴∠ADE=∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴CD=CF=BC+BF，∴AD+BC=DC．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．教学建议：学会运用梯形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区期末年份：2017【例题3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．【答案】4【解析】试题分析：根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．教学建议：熟练掌握梯形的中位线、三角形的中位线知识并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】边长为8的正方形ABCD中，E、F是边AD、AB的中点，连接CE，取CE中点G，那么FG= ．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，正方形ABCD的边长为8，E边AD的中点，可得出AE、BC的长；又由点F、G分别是AB、CE的中点，根据梯形的中位线定理，可得出FG的长；解：如图，∵正方形ABCD的边长为8，E、F是边AD、AB的中点，∴AE=4，BC=8，又∵点G是CE的中点，∴FG为梯形ABCE的中位线，∴EF==×（4+8）=6．故答案为：6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟练掌握梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是．【答案】1：4【解析】试题分析：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．解：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，设△AEF的面积为xcm2，即EF?AH=xcm2，∴EF?AH=2xcm2，∴S梯形ABCD=（AD+BC）？AG=×2EF×2AH=2EF?AH=2×2xcm2=4xcm2．∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线定理，比较简单，注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：六安期末年份：2013【练习4.1】在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是边AB、CD的中点．如果AD=5，EF=11，那么BC= ．【答案】17【解析】试题分析：根据梯形中位线定理“梯形的中位线长是上下底和的一半”，进行计算．解：根据梯形中位线定理，得EF=（AD+BC），则BC=2EF﹣AD=2×11﹣5=17．讲解用时：2分钟解题思路：考查了梯形的中位线定理．教学建议：熟练掌握并应用梯形的中位线定理.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC，∠A=60°．求：梯形ABCD的周长．【答案】10【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出∴∠ABC=∠A=60°．周长∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=90°，由直角三角形的性质得出AD=AB．AB=2AD=4．证出∠CDB=∠CBD．得出CD=BC=2．即可求出梯形ABCD的周长．解：在梯形ABCD中，∵DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°．∴∠ABC=∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB．∴AB=2AD=4．又 DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，又∠ABD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD．∴CD=BC=2．．∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+2+2+2=10讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质和判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC．（1）求对角线BD的长；（2）求梯形ABCD的面积．【答案】（1）2√3；（2）3√3【解析】试题分析：（1）根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在RT△ADH和RT△BCG中，，∴RT△ADH≌RT△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质并灵活应用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC．∠A=60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】3√3【解析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴梯形ABCD的面积=．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：熟练地运用等腰梯形、平行线、等腰三角形的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长．【答案】4cm【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出AB=DC，AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，，由已知再由已知条件得出BC=DC=AB，由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm条件求出BC，即可得出AD的长．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC=AB，∵EF是等腰梯形的中位线，，∴AD+BC=2EF=12cm∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，﹣20，∴BC=AB+BC+CD+AD即BC=AB+DC﹣8，∴BC=8cm，∴AD=4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定、梯形中位线定理；熟练掌握等腰梯形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．教学建议：利用等腰梯形、等腰三角形的判定、梯形中位线等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．【答案】（1）四边形AECD是平行四边形；（2）四边形AECD是菱形【解析】试题分析：（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠DCB，∵AE=DC，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵AE∥DC，∴∠EAC=∠DCA，∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，∴∠DCB=2∠DCA，∴∠ECA=∠DCA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．教学建议：利用等腰梯形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：连云港校级模拟年份：2010【练习7.1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在边CB的延长线上，并且BE=AD，点F在边BC上．（1）求证：AC=AE；（2）如果∠AFB=2∠AEF，求证：四边形AFCD是菱形．【答案】（1）AC=AE；（2）四边形AFCD是菱形【解析】试题分析：（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，从而可证得结论；，所以四边形AFCD是菱形．（2）由（1）和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCE，∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，∴∠D=∠ABE，又∵BE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴AC=AE．（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，∴2∠E=∠CAF+∠FCA，∵∠E=∠DAC=∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠FCA，，∴AD=DC=AF=CF∴四边形AFCD是菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用，难度较大，解答此类综合题目还需从基本做起，掌握一些基本性质是解答此类题目必备的．教学建议：利用等腰梯形的性质、全等三角形的判定等知识点进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于．【答案】4【解析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算．解：根据梯形的中位线定理，得另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4．故答案为：4难度：2 适应场景：练习题例题来源：金山区二模年份：2018【作业2】如图，等腰梯形ABCD的面积为144，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD．求等腰梯形ABCD的高．【答案】12【解析】过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F，将等腰梯形的面积转化为△DBE的面积，从而求得三角形的高即可得到等腰梯形的高．解：过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴AD=CE，AC=DE．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD．∴BD=DE．∴BF=FE．∵AC⊥BD，∴∠BGC=∠BDE=90°．∴．又∵AB=CD，∴△ADB≌△CED．∴S△BED=S梯形ABCD=144，∵BE?DF=144，∴×2DF2=144∴等腰梯形ABCD的高等于12．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：普陀区期末年份：2014【作业3】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC、BD是对角线，△ABD≌△ABE．求证：四边形AEBC是平行四边形．【答案】四边形AEBC是平行四边形【解析】根据等腰梯形的对角线相等，易得AC=BD，又由△ABD≌△ABE，易得AD=AE，BD=BE，则可证得AE=BC，AC=BE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AC=BD，又∵△ABD≌△ABE，∴AD=AE，BD=BE，∴AE=BC，AC=BE，∴四边形AEBC是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：香坊区期末年份：2011。
考纲要求命题趋势1．了解梯形的有关概念与分类，掌握梯形的性质，会进行梯形的有关计算．2．掌握等腰梯形的性质与判定．3．能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形的问题来解决.等腰梯形的性质和判定是中考考查的内容，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用.知识梳理一、梯形的有关概念及分类1．一组对边平行，另一组对边不平行的________叫做梯形．平行的两边叫做______，两底间的________叫做梯形的高．2．________相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3．梯形的分类：梯形⎩⎨⎧一般梯形特殊梯形⎩⎪⎨⎪⎧直角梯形等腰梯形4．梯形的面积＝12(上底＋下底)×高＝中位线×高．二、等腰梯形的性质与判定1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行．(2)等腰梯形同一底上的两个角________．(3)等腰梯形的对角线________．(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．2．判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)同一底上的两个角相等的________是等腰梯形．(3)对角线相等的________是等腰梯形．三、梯形的中位线1．定义：连接梯形两腰________的线段叫做梯形的中位线．2．性质：梯形的中位线平行于两底，且等于________的一半．四、梯形问题的解决方法梯形问题常通过――→转化辅助线三角形问题或平行四边形问题来解答，转化时常用的辅助线有：1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形．2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形．4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形．5．过一腰中点作辅助线．(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．自主测试1．若等腰梯形ABCD的上底长AD＝2，下底长BC＝4，高为2，那么梯形的腰DC的长为( )A．2 B． 3 C．3 D． 52．如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路(M，N分别是AB，CD中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( )A．7米 B．6米 C．5米 D．4米3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中，错误的是( )A．∠ADE＝∠CDEB．DE⊥ECC．AD·BC＝BE·DED．CD＝AD＋BC4．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是__________．考点一、一般梯形的性质【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的长．解：如图，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.∴AE∥DF，∠AEF＝90°.∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF＝AD＝3，AE＝DF.∵BD ＝CD ，DF ⊥BC ，∴DF 是△BDC 边BC 上的中线．∵∠BDC ＝90°，∴DF ＝12BC ＝BF ＝4.∴AE ＝4，BE ＝BF －EF ＝4－3＝1.在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2，∴AB ＝42＋12＝17.方法总结 遇到梯形问题，一般情况下通过作腰或对角线的平行线、高线、连对角线、延长两腰转化为三角形、平行四边形、直角三角形、矩形等问题来解决．触类旁通1 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，E ，F 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．(1)AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．(2)当AB ＝DC 时，求证：四边形AEFD 是矩形． 考点二、等腰梯形的性质与判定【例2】如图，在等腰△ABC 中，点D ，E 分别是两腰AC ，BC 上的点，连接AE ，BD 相交于点O ，∠1＝∠2.(1)求证：OD ＝OE ；(2)求证：四边形ABED 是等腰梯形．分析：(1)根据已知条件可知利用全等三角形证明BD ＝AE ，根据∠1＝∠2可以证明OA ＝OB ，根据等式性质可知OD ＝OE ；(2)先证明四边形ABED 是梯形，然后证明两腰相等即可．证明：(1)∵△ABC 是等腰三角形，∴AC ＝BC . ∴∠BAD ＝∠ABE .又∵AB ＝BA ，∠2＝∠1，∴△ABD ≌△BAE ，∴BD ＝AE . 又∵∠1＝∠2，∴OA ＝OB .∴BD －OB ＝AE －OA ，即OD ＝OE .(2)由(1)知，OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE .∴∠OED ＝12(180°－∠DOE )．同理，∠1＝12(180°－∠AOB )．∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB . ∵AD 不平行于BE ，∴四边形ABED 是梯形， ∵AE ＝BD ，∴梯形ABED 是等腰梯形．方法总结 在证明一个四边形是等腰梯形时，必须先证明它是梯形，然后再通过两腰相等或同一底上的两个角相等，或者是对角线相等来证明梯形是等腰梯形．触类旁通2 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为AO ，DO 的中点，四边形BCNM是等腰梯形吗？为什么？考点三、有关梯形的计算【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝2，BC＝42，求DC的长．分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝42，可得出BC边上的高．只要通过平移腰CD，就可与BC边上的高构成直角三角形，从而求出CD.解：过点A作AE∥DC交BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图所示．∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．∴AE＝DC，AD＝EC＝ 2.又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝42，∴AB＝AC＝4.∴AF＝BF＝2 2.∴EF＝BC－BF－EC＝ 2.在Rt△AFE中，AE＝AF2＋EF2＝222＋22＝10，即DC＝10.方法总结解决梯形问题作辅助线的方法要结合题目的条件和要证结论的需要灵活运用．若题中已知两对角线的条件，可考虑平移对角线，使两对角线在同一个三角形中；若已知两腰的某些条件，可考虑平移一腰；若已知两底角互余，可平移一腰或延长两腰构成直角三角形；若要求梯形的面积，常作出梯形的高．触类旁通3 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是__________cm.1．(2012山东临沂)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是( )A．AC＝BDB．OB＝OCC．∠BCD＝∠BDCD．∠ABD＝∠ACD2．(2012湖南长沙)下列四边形中，对角线一定不相等的是( )A．正方形 B．矩形C．等腰梯形 D．直角梯形3．(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2,4,3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )A．10 B．4 5C．10或4 5 D．10或2174．(2012湖南长沙)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC 的长为__________．5．(2012四川内江)如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝____________.6．(2012四川南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD.求证：∠B＝∠E.1．梯形的上底长为5，下底长为9，则梯形的中位线长等于( )A．6 B．7C．8 D．102．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2 cm，则梯形ABCD的面积为( )A．33cm2 B．6 cm2C．63cm2 D．12 cm23．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于O ，∠ABD ＝30°，AC ⊥BC ，AB ＝8 cm ，则△COD 的面积为( )A ．433cm 2B ．43cm 2C ．233cm 2D ．23cm 25．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，梯形ABCD 的周长为26，BE ＝4，则△DEC 的周长为__________．(第5题图)6．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7 cm ，BC ＝8 cm ，则AB 的长度是__________ cm.(第6题图)7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝4，则梯形ABCD 的面积是__________．(第7题图)8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF ＝__________.(第8题图)9．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，求证：四边形AECD 是等腰梯形．参考答案导学必备知识 自主测试1．D 2．B 3．C 4．1＜x ＜7 探究考点方法触类旁通1．解：(1)AD ＝13BC .理由如下：∵AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，∴四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形， ∴AD ＝BE ，AD ＝FC .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴AD ＝EF ，∴AD ＝BE ＝EF ＝FC ，∴AD ＝13BC .(2)证明：∵四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，∴DE ＝AB ，AF ＝DC . ∵AB ＝DC ，∴DE ＝AF .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴四边形AEFD 是矩形．触类旁通2．解：是等腰梯形．根据三角形中位线定理有，MN ∥AD ∥BC ，且MN ≠BC ，∴四边形BCNM 为梯形．在矩形ABCD 中，AO ＝DO ，又M ，N 分别是AO ，DO 的中点，∴OM ＝ON ，∴CM ＝BN ，∴四边形BCNM 是等腰梯形．触类旁通3．2 ∠CAB ＝90°－60°＝30°，∵等腰梯形ABCD 中，∠BAD ＝∠B ＝60°， ∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝30°.又∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠CAB ＝30°＝∠DAC . ∴CD ＝AD ＝BC ＝2 cm. 品鉴经典考题1．C 对于A ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ，故本选项正确；对于B ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB (SAS)，∴∠ACB ＝∠DBC ，∴OB ＝OC ，故本选项正确；对于C ，∵无法判定BC ＝BD ，∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等，故本选项错误；对于D，∵∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ACD，故本选项正确．故选C.2．D 根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等．故选D.3．C 考虑两种情况．①如图：因为CD＝22＋42＝25，点D是斜边AB的中点，所以AB＝2CD＝4 5.②如图：因为CE＝32＋42＝5，点E是斜边AB的中点，所以AB＝2CE＝10，故原直角三角形纸片的斜边长是10或4 5.4．4 过点A作AE∥CD交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD＝2，AD＝EC＝2.∵∠B＝60°，∴BE＝AB＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝2＋2＝4.5．9 过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，则AB＝CE，BE＝AC＝BD.∵BD⊥AC，AB＝2，CD＝4，∴BD⊥BE，DE＝6，∴梯形高为3，∴S梯形ABCD＝(2＋4)×3÷2＝9.6．证明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠DCB.∴∠E＝∠DCB.∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCB.∴∠B＝∠E.研习预测试题1．B 2．A 3．C 4．A 5．18 6．15 7．98．10 如图，过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G.易得四边形ACGD 为平行四边形，∴CG ＝AD ＝4，BG ＝BC ＋CG ＝8＋4＝12. ∵AC ⊥BD ，AC ∥DG ，∴BD ⊥DG .∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ＝DG . ∴△BDG 为等腰直角三角形．又∵DF ⊥BC ，∴DF ＝12BG ＝6.∴AE ＋EF ＝DF ＋AD ＝6＋4＝10.9．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＝12∠DAB ＝30°.又∵CE ⊥AC ，∴∠E ＝60°＝∠CBE .∴CE ＝BC ＝AD . ∵CD ∥AE ，AE ＝AB ＋BE ＝DC ＋BE ≠DC ， ∴四边形AECD 是等腰梯形．。
全国各地100份中考数学试卷分类汇编第27章 梯形一、选择题A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 2. （山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC 纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE 是中位线,现把纸片沿中位线DE 剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】C3. （山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12【答案】B4. （浙江台州，7,4分）如图，在梯形ABCCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，对角线BD 、AC 相交于点O 。
下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（ ）A . ∠1=∠4B . ∠1=∠3C . ∠2=∠3D .OB 2+OC 2=BC 2【答案】B5. （台湾台北，15）图(五)为梯形纸片ABCD ，E点在BC 上，且︒=∠=∠=∠90D C AEC ，AD ＝3，BC＝9，CD ＝8。
若以AE 为折线，将C 折至BE 上，使得CD 与AB 交于F 点，则BF 长度为何？ED CB A（第12题图）A B CDEF（第6题图）A ． 4.5B 。
5C 。
5.5D ．6【答案】B6. （2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD 中， A D ∥BC ，∠BCD=90°, BC = CD=2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连接BF 、DE 交于点P ，连接CP 并延长交AB 于点Q ，连接AF ，则下列结论不正．．确．的是（） A . CP 平分∠BCDB. 四边形 ABED 为平行四边形C. CQ 将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D. △ABF 为等腰三角形【答案】C7. （山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝2，BC ＝6，∠B ＝60°，则梯形ABCD 的周长是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】CA.2B. 243cmAC. 2233cm D. 223cm【答案】A9. （湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是A．40°．B．45°．C．50°．D．60°．【答案】C10．（湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ).A. ∠HGF = ∠GHEB. ∠GHE = ∠HEFC. ∠HEF = ∠EFGD. ∠HGF = ∠HEF（第12题图）【答案】D12.二、填空题1.（福建福州，13，4分）如图4,直角梯形ABCD中,AD∥BC,90C∠=,则A B C∠+∠+∠=度.【答案】2702. ( 浙江湖州，14，4)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是．【答案】33. （湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，则上底DC的长是_______cm。
2017年中考数学专项复习《梯形（1）》练习（无答案）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年中考数学专项复习《梯形（1）》练习（无答案）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年中考数学专项复习《梯形（1）》练习（无答案）浙教版的全部内容。
梯形（01）一、选择题1．如图的灰色小三角形为三个全等大三角形的重迭处，且三个大三角形各扣掉灰色小三角形后分别为甲、乙、丙三个梯形．若图中标示的∠1为58°，∠2为62°，∠3为60°,则关于甲、乙、丙三梯形的高的大小关系,下列叙述何者正确？( ）A．乙＞甲＞丙B．乙＞丙＞甲C．丙＞甲＞乙D．丙＞乙＞甲2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E点在BC上，且AE⊥BC．若AB=10，BE=8,DE=6，则AD 的长度为( ）A．8 B．9 C．6D．63．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4,连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E,且AE∥CD，则AD的长为（)A．B．C．D．24．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是（）A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC5．装有一些液体的长方体玻璃容器，水平放置在桌面上时，液体的深度为6，其正面如图1所示，将容器倾斜，其正面如图2所示．已知液体部分正面的面积保持不变,当AA1=4时，BB1=( ）A．10 B．8 C．6 D．46．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（)A．1.5 B．3 C．3.5 D．4。
考复习：梯形的基本概念山东省平阴县刁山坡中学zhgzhgq@一、知识要点：1、知识框架图：2、中考知识梳理1）梯形的运用有关梯形问题, 常常用添加辅助线的方法把梯形转化成特殊四边形与三角形的问题来解决.如:作高、平移一腰、平移对角线、延长两腰交于一点、过一腰中点作另一腰的平行线等.2）三角形、梯形中位线的应用①注意三角形的中位线与三角形的中线的区别.②在实际问题中常过一边的中点作另一边的平行线从而运用中位线定理解决问题.3、完成概念填空：1、等腰梯形、直角梯形的性质及四边形是等腰梯形、直角梯形的条件；(1) 等腰梯形是指（2）等腰梯形的性质：1）边： 2）角：3）对角线：（3）直角梯形是指（4）直角梯形的性质：1）边： 2）角：3）对角线：(5)等腰梯形的判定：1）边： 2）角：EDCBAFE DCBA 3）对角线： （6）直角梯形的判定：1）边： 2）角： 3）对角线： （7）梯形的中位线： 二、典型例题：例1 (2003.潍坊)如图,在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD, 点E 为BC 的中点, 设△DEA 的面积为1S ,梯形ABCD 的 面积为S 1,则S 1与S 2的关系为_______.练习：如图，在梯形ABCD 中，∠DCB=90°，AB ∥CD ， AB=25，BC=24．将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为________． 例2.(2003.潍坊)已知:如图,等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC,AD=3,AB=4, BC=7.求∠B 的度数.练习：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ， •如下四个结论：梯形ABCD 是轴对称图形； ②∠DAC=∠DCA ；③△AOB ≌△DOC ；④△AOD ∽△BOC ．请把其中正确结论的序号填在横线上：________． 例3 (2004.上海)如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B 重合于D,折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E,若AD=2,BC=8. 求:(1)BE 的长;(2)∠CDE 的正切值.S 1FED C B AD CBA练习：1、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC=90°，AB=2DC ，•对角线AC ⊥BD 于F ，过点F 作EF ∥AB ，交AD 于点E ，CF=4cm ． （1）求证：四边形ABFE 为等腰梯形； （2）求AE 的长．2、如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，且∠CDF ＝60°，CF ＝ 3 cm 。
中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。
其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X 高【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形一般梯形特殊梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9．思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC 且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（）A．17B．18C．19D．201．考点：；．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A．25B．50C．25 D．思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC 于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC （已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE （等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3．2．3考点：．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．考点：；；．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE 于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。
梯形一、选择题1．下列结论正确的是（）A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C．平行四边形是梯形的特殊形式D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式2．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形3．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，∠BCD=60°，则下列说法错误的是（）A．梯形ABCD是轴对称图形B．BC=2ADC．梯形ABCD是中心对称图形D．AC平分∠DCB二、填空题4．等腰梯形ABCD对角线交于O点，∠BOC=120°，∠BDC=80°，则∠DAB= ．5．一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，BC=5，AD=3，则CD= ．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上一点，DE∥AB，AD的长为1，BC的长为2，则CE的长为．8．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为．三、解答题9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，求证：BM=MC．10．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，那么四边形BCED是什么形状的图形呢？11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的长．12．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8．求：梯形两腰AB、CD的长．13．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．14．如图所示，在梯形ABCD中，上底AD=1cm，下底BC=4cm，对角线BD⊥AC，交点为E，且BD=3cm，AC=4cm．（1）求ABCD面积；（2）求△BEC面积．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．梯形参考答案与试题解析一、选择题1．下列结论正确的是（）A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C．平行四边形是梯形的特殊形式D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式【考点】多边形．【分析】平行四边形和梯形是特殊的四边形，直角梯形和等腰梯形是特殊的梯形，平行四边形是两边互相平行的四边形，梯形是一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形．【解答】解：A、四边形可以分成平行四边形和梯形两类，说法错误；B、梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类，说法错误；C、平行四边形是梯形的特殊形式，说法错误；D、直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式，说法正确；故选：D．【点评】此题主要考查了多边形，关键是掌握梯形、平行四边形、直角梯形、等腰梯形与四边形的关系．2．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形【考点】直角梯形．【分析】设四角的度数分别为：2X，2X，X，3X，根据四边形的内角和公式即可求得各角的度数，从而便可求得该四边形的形状．【解答】解：由题意，设四角的度数分别为：2X，2X，X，3X，由四边形的内角和为360°，得X+2X+2X+3X=360°，解得X=45°，四角分别为：90度，90度，45度，135度，有两个邻角为90度，所以是直角梯形．故选C．【点评】本题通过设适当的参数，根据四边形的内角和建立方程，求得各角的度数进行判定．3．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，∠BCD=60°，则下列说法错误的是（）A．梯形ABCD是轴对称图形B．BC=2ADC．梯形ABCD是中心对称图形D．AC平分∠DCB【考点】梯形．【专题】压轴题．【分析】利用已知条件，对四个选逐个验证，即可得到答案．【解答】解：A、根据已知条件AB=CD，则该梯形是等腰梯形，等腰梯形是轴对称图形，正确；B、过点D作DE∥AB交BC于点E，得到平行四边形ABED和等边三角形CDE．所以BC=2AD，正确；C、根据中心对称图形的概念，等腰梯形一定不是中心对称图形，错误；D、根据等边对等角和平行线的性质，可得AC平分∠BCD，正确．故选C．【点评】要熟悉这个上底和腰相等且底角是60°的等腰梯形的性质；理解轴对称图形和中心对称图形的概念．二、填空题4．等腰梯形ABCD对角线交于O点，∠BOC=120°，∠BDC=80°，则∠DAB= 110°．【考点】等腰梯形的性质．【分析】首先根据题意画出图形，分别从AD∥BC与AB∥CD去分析求解，由图（1）可证得△ABC≌△DCB，即可求得∠ACB的度数，继而可求得答案；由图（2）可得不符合要求．【解答】解：如图（1），若AD∥BC，AB=CD，则AC=BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB=∠DBC，∠BAC=∠BDC=80°，∵∠BOC=120°，∴∠ACB=30°，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=110°．如图（2），若AB∥CD，AD=BC，则AC=BD，在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC（SSS），∴∠ACD=∠BDC=80°，∴∠BOC=∠BDC+∠ACD=160°≠120°（不符合要求，舍去）．故答案为：110°．【点评】此题考查了等腰梯形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．5．一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是20cm ．【考点】梯形．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】首先根据题意画出图形，由一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作一直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，易得四边形AECD是平行四边形，又由△BCE的周长为12cm，CD为4cm，即可得形ABCD的周长=△BCE的周长+AE+CD．【解答】解：如图，∵梯形ABCD中，AB∥CD，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=4cm，CE=AD，∵△BCE的周长为12cm，即CE+BE+CD=12cm，∴AD+BE+BC=12cm，∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AD+AE+BE+BC+CD=AD+BE+BC+4+4=12+4+4=20（cm）．故答案为：20cm．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，BC=5，AD=3，则CD= 2 ．【考点】梯形．【分析】已知∠B=50°，∠C=80°，过A点作AE∥CD，交BC于E点，利用平移将两个角“移”到同一个三角形中，证明△ABE为等腰三角形，得出线段的相等关系及和差关系．【解答】解：过A点作AE∥CD，交BC于E点，∵AD∥BC，∴四边形ADCE为平行四边形，CD=AE，AD=EC；又∵∠C=80°，∴∠AEB=80°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=50°∴AE=BE，CD=BE=BC﹣EC=BC﹣AD=2．【点评】本题考查了梯形常用的作辅助线的方法：平移一腰，等腰三角形的判定及性质的运用．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上一点，DE∥AB，AD的长为1，BC的长为2，则CE的长为 1 ．【考点】梯形．【分析】根据已知证明四边形ABED为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得BE=AD，从而可求CE．【解答】解：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，BE=AD，∴CE=BC﹣BE=BC﹣AD=2﹣1=1．【点评】本题考查了梯形常用的作辅助线的方法，平行四边形的判定与性质．8．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 6 ．【考点】梯形中位线定理．【分析】结合梯形的中位线定理以及梯形的面积公式，得梯形的面积等于中位线长和高的乘积．【解答】解：根据题意，得该梯形的面积为3×2=6．【点评】熟记梯形的面积公式：梯形的面积=两底和的一半×高=梯形的中位线×高．三、解答题9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，求证：BM=MC．【考点】等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】欲证MB=MC，可利用等腰梯形的性质“两腰相等；同一底边上的两个角相等”证△ABM≌△DCM，然后由全等三角形对应边相等得出．【解答】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠A=∠D．∵M是AD的中点，∴AM=DM．在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS）．∴MB=MC．【点评】本题主要考查等腰梯形的性质的应用．10．（2011秋•安溪县校级期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，那么四边形BCED是什么形状的图形呢？【考点】等腰梯形的判定．【分析】根据已知条件中AD=AE及∠B=∠C可推得∠ADE=∠B，则DE∥BC．而由∠B=∠C，可得AB=AC，又因为BD与CE交于点A，故BD不平行与CE，所以四边形BCED是等腰梯形．【解答】可以猜测四边形BCED是等腰梯形．解：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠A），又∵∠B=∠C=（180°﹣∠A），∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC．由BD与CE交于点A，∴BD不平行与CE，∴四边形BCED是梯形．∵∠B=∠C，∴AB=AC，又∵AD=AE，∴BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形．【点评】此题主要考查了等腰梯形的判定．要说明四边形BCED是等腰梯形必须先说明BCED是梯形，根据梯形的定义，论证DE∥BC，同时要说明DB与EC不平行，这一点容易被遗漏．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的长．【考点】梯形；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质．【分析】要求DC的长，根据已知条件可将它转化为直角三角形的边，由勾股定理即可求得．【解答】解：解法一：如图1，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．∴AE∥DF．又AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF=AD=．∵AB⊥AC，∠B=45°，BC=4，∴AB=AC．∴AE=EC=BC=2．∴DF=AE=2，CF=EC﹣EF=在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∴DC=．解法二：如图2，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4=4在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=，∴DE=AE=1．∴CE=AC﹣AE=3．在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC=．【点评】统观北京及全国各地中考试卷，几何中的计算往往会与两个知识点有关：①圆；②梯形．本题考点：等腰直角三角形的性质、特殊四边形的性质、勾股定理．12．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8．求：梯形两腰AB、CD的长．【考点】梯形．【分析】平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．【解答】解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．∴AB=DE，AD=BE，∠DEC=∠B=60°，∵∠C=30°，∴∠EDC=180°﹣60°﹣30°=90°，∵CE=BC﹣BE=BC﹣AD=6，∴DE=3，CD=3，即AB=3，CD=，【点评】本题考查与梯形有关的问题，平移一腰是梯形中常见的辅助线，再根据平行四边形的性质和三角形的性质进行分析．13．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．【考点】梯形．【专题】计算题．【分析】首先根据题意画出图形，由梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，CE∥DA，易得四边形AECD是平行四边形，又由△BCE的周长为7cm，CD为3cm，即可得形ABCD的周长=△BCE的周长+AE+CD．【解答】解：如图，∵梯形ABCD中，AB∥CD，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=3cm，CE=AD，∵△BCE的周长为7cm，即CE+BE+CD=7cm，∴AD+BE+BC=7cm，∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AD+AE+BE+BC+CD=AD+BE+BC+3+3=7+3+3=13（cm）．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．14．如图所示，在梯形ABCD中，上底AD=1cm，下底BC=4cm，对角线BD⊥AC，交点为E，且BD=3cm，AC=4cm．（1）求ABCD面积；（2）求△BEC面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；梯形．【分析】（1）首先过点D作DF∥AC交BC的延长线于F点．易证得四边形ACFD为平行四边形．由BD⊥AC，即可得BD⊥DF，又由在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，即可求得BC边上的高，继而求得四边形ABCD面积；（2）由AD∥BC，即可证得△ADE∽△CBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BE与CE的长，继而求得△BEC面积．【解答】解：（1）过点D作DF∥AC，交BC的延长线于F点．∵AD∥BC，∴四边形ACFD为平行四边形．∴DF=AC=4cm，AC∥DF，CF=AD=1cm，∴BF=BC+CF=4+1=5（cm），∵AC⊥BD，∴BD⊥DF，在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，∴BC边上的高h为：（cm），∴S四边形ABCD=（AD+BC）h=×（1+4）×=6（cm2）；（2）∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴，∴，，∴DE=cm，AE=cm，∴BE=3﹣DE=3﹣（cm），EC=4﹣AE=（cm），S△BEC=BE•EC=（cm2）．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．【考点】直角梯形．【专题】证明题．【分析】延长CE交BA的延长线于点G，那么可得△CED≌△GEA，那么CE=GE，AE=DE，进而可得BC=BG，那么CE⊥BE．【解答】证明：延长CE交BA的延长线于点G，即交点为G，∵E是AD中点，∴AE=ED，∵AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠AGE，∴△CED≌△GEA，∴CE=GE，AG=DC，∴GB=BC=3，∴EB⊥EC．【点评】考查梯形的常用辅助线方法的应用；碰到中点问题时构造全等三角形是常用的辅助线方法．16．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE．【考点】全等三角形的判定与性质；梯形．【专题】证明题．【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．【解答】证明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC（SAS）．（2）连接BD．∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又∵BD是公共边，∴△BAD≌△BED（ASA）．∴AD=DE．【点评】这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度．。
