摘要
本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。
关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式
Abstract
This paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application.
Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix;
System of linear equations;Greatest common factor
目录
1 引言 ............................ 错误！未定义书签。
2 矩阵的初等变换及其性质 (1)
2.1 矩阵初等变换的定义 (1)
2.2 矩阵初等变换相关性质 (2)
3 矩阵初等变换的若干应用 (2)
3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1)
3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5)
3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7)
3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11)
3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13)
参考文献 (16)
矩阵初等变换的性质及其应用
矩阵及其理论在众多领域中都发挥着重要的作用,而矩阵的初等变换是矩阵理论的核心和灵魂。
矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在求矩阵的逆、矩阵的秩、极大无关组和向量组的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求解特征值及特征向量、求一元多项式的最大公因式、求解化二次型为标准型、解决指派问题等至始至终都发挥着不可替代及其重要的作用。初等变换的应用几乎贯穿线性代数全部内容，许多概念、性质及计算几乎都涉及到，它就像一根隐形的线，始终穿梭于线性代数的各个部分，应用它使得很多问题得以便捷、有效地解决。
矩阵的初等变换这一工具的应用与初等变换的性质有关，如矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而矩阵的秩指的是该矩阵非零子式的最大阶数，因此求一个矩阵A的秩，可首先对矩阵A进行若干次行初等变换，将其化为一个相对简单的如行阶梯型矩阵，容易看出其不等于零的子式的最大阶数（即非零行的行数），从而求得矩阵A的秩。在其它方面，如求线性方程组的解等也是如此。许多问题的求解通过矩阵的初等变换可使过程大大简化。
本文对矩阵初等变换的性质及其在若干相关问题中的应用进行了归纳与总结，着重从应用矩阵的初等变换求矩阵的逆、求解矩阵的秩、求线性方程组的解、求一元多项式的最大公因式、解决指派问题等若干方面进行探讨。
2 矩阵的初等变换及其性质
2.1 矩阵初等变换的定义
定义2.1.1 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵初等行(列)变换[1]：
①消法变换：把矩阵的某一行(列)乘上一个数加到另外一行上.
②互换变换：互换矩阵中的某两行(列)位置.
③倍法变换：用一个非零数乘矩阵中的某一行(列).
矩阵的行初等变换和列初等变换统称为矩阵初等变换.
定义2.1.2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，有三种类
型：
①交换某两行(两列)的位置关系得到的初等矩阵；
②用数域中的非零数乘以某行(列)得到的初等矩阵；
③把某行(列)的倍数加到另外一行(列)得到的初等矩阵.
定义2.1.3 对分块矩阵施行下列三种初等变换[2]：
①互换分块矩阵的某两行(列)；
②用一个可逆阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)；
③用一个非零阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）加至另一行（列）上.
分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.
定义2.1.4 如果一个矩阵A经过有限次初等变换后变成B，则称A与B相抵，即记为B
A [4].
2.2 矩阵初等变换相关性质
性质2.2.1 ①消法分块初等矩阵左(右)乘分块矩阵,相当于对这一分块矩阵的某行(列)乘上某个矩阵加到另外一行(列).
②互换分块初等矩阵左(右)乘分块矩阵,相当于对这一分块矩阵的某两行(列)互换.
③倍法分块初等矩阵左(右)乘分块矩阵,相当于对这一分块矩阵的某行(列)同乘上某个可逆矩阵[1].
定理2.2.1 用初等矩阵左(右)乘一个矩阵A,就相当于A作了一次相应的初等
行(列)变换.
定理2.2.2 初等变换是不改变矩阵的秩[4].
定理2.2.3行初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组[4]. 定理2.2.4 每一个可逆矩阵都是由若干个初等矩阵的乘积[1].
定理2.2.5 n阶矩阵A可逆,当且仅当它的行列式不等于零[4].
3 矩阵初等变换的若干应用
3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆
定义3.1.1 设A 是数域F 上的一个n 阶方阵,I 是n 阶单位矩阵.如果存在F 上的
一个n 阶方阵B 使得I BA AB ==,则称A 是可逆矩阵，B 叫做A 的逆矩阵[1]
.
倘若矩阵A 可逆那么它的逆就由B 唯一决定.
求解矩阵的逆，对矩阵进行初等变换有以下两种形式：
()()1
-???→?A
I
I A
行初等变换;???
?
?????→????
? ??-1A
I
I A 列初等变换
. 例1 设???
?
?
??-=211012101A .试判断A 是否可逆，如果可逆，试求A 的逆阵.
分析：当A 可逆时，我们可以将()I A ,经过初等变换成()1,-A I ，即求出1-A ，下面假设A 可逆时，求出1-A 。
解: ????? ??-100211010012001101???→?++-3
1212r r r r ????
? ??--101310012210001101???→?+-32r
r
????
? ??---113500012210001101
??→
?3
51r ?????
?
??
-
--5151531000122100011
01???→
?++-231
32r r r r ????????
??
---515
15
31005253540105151
520
01.
故A 可逆，????
???
?
??--
-=-515153525354
5151521A . 例2[5] 设方阵K 具有如下分块：
K=???
?
?
?Q P N M ,其中M 是m ×m ，Q 是n ×n ，N 是m ×n ，P 是n ×m ，并且M ≠0，
N PM Q 1--≠0，证明K 可逆并且求1-K .
分析：首先证明K 可逆，由上面定理5，当K ≠0时，K 可逆，由已知M ≠0，得到M 可逆，上面的M 、N 、P 、Q 的行和列说明这是个方阵，M 、N 必须要有相同的行数，M 、P 则要求要有相同的列数，以此类推。对分块矩阵K 进行块初等变换。
证明：???? ??P N M =K Q ???→?-11r M ????
??N M M M --Q P 11?→????
?
??N M I -Q P m 1 ????→?+-21Pr r ???
?
?
?-N M I --N PM Q m
1
10
所以K =N PM Q m 1--I =N PM Q 1--，
由已知条件，得N PM Q 1--≠0，所以K ≠0，由定理5，即K 可逆. 下面求解1-K ：
对分块矩阵进行块初等变换
???? ?
?n m I Q
P I N M
0???→?-1
1r M ???
? ?
?--n m I Q
P M N
M I 0
011????→?+-2
1Pr r ???
? ??------n m
I PM N PM Q M N M I 1
11100???????→?--??
? ??-21
1r N PM Q ???? ?
?-----11
1100G GPM I M N M I n
m {其中()11
---=N PM Q G } ??????→
?+--1
21r Nr M ???
?
?
?--+-----G GPM I NG M NGPM M M I n
m
1111100. 初等变换到这里，可以得出K 的逆矩阵了，即
=-1
K ???
? ??--+-----G GPM NG M NGPM M M 11
111. 推论1 对于分块矩阵???? ??P N M =K Q ，当0=P 时，则=-1
K ???
?
??-----11110
Q NQ M M . 推论2 对于分块矩阵???? ??P N M =K Q ，当0=N 时，则=-1
K ???? ??-----11110Q PM
Q M .
下面来看下具体的实例：
例3 证明K 可逆并求1-K ,其中????
??
? ??---=20111
50100200032K . 分析：首先是证明K 可逆，由定理解出K ≠0，就可以证明K 可逆。由题目可以看出矩阵的右上角是二阶零阵，我们就从中间分开分成四个二阶矩阵，并且我们
令???? ??--=2032M ，N=0，???? ??=1101P ，???
?
??-=2015Q .
证明:先证明K 可逆：
因为()()43022-=-?--?=M ，()101025=-?-?=Q ，K =40-=N M ≠0，所以可以得到K ≠0，可得K 可逆；
下面求解1-K ：由分析，我们可以将K 化为???
? ?
?=Q P
M
K 0， 由于0=N ，所以由推论2得，1
-K =????
??-----11110Q PM
Q M ， 可以求得?
????
? ?
?--=-210432
1
1
M ,?????
? ??--
=---2121452
511PM Q ,???? ??-=-21051Q , 所以?
???
???
????
??-----
=-21212
1054525
00210
00
43211K 应用上面的公式可以解决比较繁琐的矩阵，对复杂的矩阵进行分块，在求出矩阵的逆。
3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩
定义3.2.1 一个矩阵中不等于0的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个
矩阵没有不等于0的子式，就认为这个矩阵的秩为0[4]
.
例4 求矩阵K=?
???
? ??502813311的秩r ，并且求可逆矩阵Q 、P 使得QKP=???
?
??I 00
0r
分析：题目要求求k 的秩r ，根据秩的定义，就得对k 进行初等变换，最后得到不等于0的子式的最大阶，就可以得到矩阵K 的秩；而要求可逆矩阵Q 、P ，使
得QKP=???
? ?
?I 00
0r
，就可以对行和列作初等变换。 解：
?
?
?
?????? ??#10
010001100010001502813311
????→?+-213r
r ?
??
????
?
?
??---#
100010001100013001
502120
311
????→?+-312r
r ?????????
??------#
100010001102013001
1201203
1
1???→?+-32
r r ?
??
???
?
??
??----#
10
00100011
1101300
1
00012
03
1
1???
→?+1221r r ?
????
????
?
??
-----#
1000100
01111013021210001202501???→?-221r ??
?
???????
?
??---#1000100
01111021230212100021102501????→?+-+-32312125C C C
C ????????????
? ?
?-
-
---#
1
002110250111
1
021*******
000100
01.
所以rank （K ）=2，并且Q=????????
?
?---11
102123
02121，??????
?
?
??
--=P 10021
102501，使得QKP=???
?
?
?I 000r . 3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程
定理3.3.1 (线性方程组可解的判别法)线性方程组有解的充要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩[4].
定理3.3.2 假如线性方程组的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r ，那么当r 等于方程组所含未知量的个数为n 时，方程组有唯一解；当r ＜n 是，方程组有无穷多个解[4].
例5 解线性方程组???????-=-+=+-=-+=+-6
133340533
323213213
21321x x x x x x x x x x x x .
分析：对增广矩阵进行初等变换成行阶梯型。
解:()==β,A A ??????? ??-----61331311405133312??→?++3
212r r r r ??
???
?
?
??------61331340705
1
3
32
05??
??→?+-3
12r
r ??????? ?
?------61331300305
1
332
05
???→?-331
r ??????? ?
?----61331100105133205
????→?+-1
35r r ??
?
??
?
?
??-----6133110010513
2200
????→?+-233r r ???????
??------613311001
35102200
????→?+-2125
r r ??
????
?
?
?----6133110012010
2200
??→?-2
21
r ??????? ?
?--61331100120101100??
?→?),(3
1r r ??
?
???
?
?
?--61331110020
1
10
1
.
所以由上面的矩阵可以得到方程组为????
???-=-+===6133121321321x x x x x x
解得11=x ,22=x ,13=x .
例6 解下列矩阵方程
①当A 可逆时,求矩阵方程B AX =的解
????? ??--=122221212A ，????? ??-=112011132B ，????? ??-=?????
?
?--11201113212222
1212X . 分析：当我们拿到这个题目时，我们可以往两个方面入手，方法一、就是对()B A ,进行初等变换，使得()B A ,同时进行初等变换成()B A I 1,-，即B A 1-就是所求的解；方法二、因为A 是可逆的，先求1-A ，所以我们可以在B AX =等式左右两边分别乘以1-A ，即可以得到B A AX A 11--=，因为I A A =-1，所以原来的式子可以写成
B A X 1-=，就可以求解X 。
解:方法一
()B A ,=????? ??---112122011221132212???→??
?? ??21,r r ?????
??---11212213221201122
1???→?+-+-
312
122r r r r ????? ??------110360150630011221????→
?+-322r r ???
?
? ??----190900150630011221??→?391
r ?
?????
?
?----9110100150630011221???→?-231
r ???????
?
?
?
--911
010031350
210011221
????→?+-232r r ???????? ??---911010091310010011221??
?→?+-+-131
222r r r r ???????? ??----911010091
31001094311001. 因此?
?????
?? ?
?
----==-911091
310943111B A X
方法二
()=
I A ,???
?? ??------???→?+-+-????? ??--???→?????? ??--1203600216300102212210012200121201022
1),(10012201022
1001212312121r r r r r r ????→?+-3
22r r ??
??
? ??----12290002163001022
1??→?391
r ?????
? ?
?
-
---919
292
10002163001
022
1???→?-231
r ????
????
?
?--
919
29210003231210010
221????→?+-132r r ???????
?
?
?--919
292
10092929101001
221???→
?+-122r r ????
????
??
---
919
292100929291010949592201????→
?+-132r r ???????
?
?
?--919
29210092929
1010929192001 因此 ???????
?
??--=-919
29
2929291
929192
1A =?????
??--12222121291
从而 ==-B A X 1????? ??--12222121291????? ??-112011132=??
??
?
??----19013043991=???????
?
??
----
91109131094311 在上面的两种解法中，方法一是比较容易的，直接解出X 的矩阵。
②现在我们来看下A 不可逆情况：
求下面B AX =的解：
?
????
??--=031334213A ，????? ??=7577111793B ，???
?
? ??--031334213=X ????? ??7577111793
分析：由已知条件可以得到A 是不可逆的，所以我们只能用上面的第一种种方法来求解，也就是对()B A ,同时进行初等变换，使之成为
()B A I 1
,-，即B A
X 1
-=就是所求的解。
解：
()=B A ,????? ??--7570317111334793213???→???? ??13,r r ????
? ??--7932137111334757031???→?+-+-312
134r r r r ????
? ??--------146182100219273150757031
???→
?--32101151
r r ????
???
?
?
?
-
-575
35951105753595110757
031???→?+-3
2r
r ?????
? ?
?-
00
00
005753595110757031. 于是321,,βββ===AY AY AY 的一般解分别为
???
???
?
+=+-=;5951,58533231x x x x ??????
?
+=+-=;5351,516533231x x x x ???
???
?
+=+-=,5751,514533231x x x x
其中3x 是自由变量.由此得出???????
? ??+++
+-+-+-=32132132157
5153515951514535165322753
c c c c c c c c c X ， 其中321,,c c c 是任意数.
3.4利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式
求一元多项式最大公因式的方法，现在最常用的方法就是辗转相除法。下面我们给出矩阵的初等变换来求解一元多项式的最大公因式，这个是比较前面的因式分解和辗转相除法相当方便简洁明了很多。
定理3.4.1 设()()()x K x f x f j i ∈,，并且令()()()???
?
?
?
?=B 1001
21x f x f x ，则对()x B 实施一系列的初等变换后得到的是()()()()???
?
?
??=21021x v x v x d x C ，这时()()()()()x d x v x f x v x f =+2211，
而且()x d 是()()x f x f 21,的最大公因式。
证明： 若()()x f x f 21,不全为0，则必有一个次数相对于较低的多项式，我们不妨设为()x f 1，并且对()x B 进行初等变换，第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上，消去()x f 2的最高项，由于的次数有限，重复上面所说的步骤，则肯定会出现矩阵中第一行只有一个不是0的元，而其他均为0的情况，即所得的()x C 为
()()()()???
?
?
??=21021x x v v x d x C 。上面对()x B 所实施的变换，就是存在初等矩阵
()()()()()????
??=K x k x k x k x k x 43
21，使得()()()()()()()()()????
?
??=???? ??????? ??21010
0121432121x v x v x d x k x k x k x k x f x f 。
所以()()()()()()()()()x v x k x v x k x d x k x f x k x f 23113211,,===+，
就可以求得： ()()()()()x d x v x f x v x f =+2211.
设矩阵()x K 的逆矩阵为()()()()()???
? ??=K -x q x q x q x q x 43211，显然()x 1
-K 也是初等矩阵，由于()()()x x x C K B =，因而()()()x x x C B =K -1，即
()()()()()()()()()???
?
?
??=???? ??????? ??1001
2102143
2121x f x f x q x q x q x q x v x v x d ，于是可以得出()()()()()()x f x q x d x f x q x d 2211,==，得到()x d 是()()x f x f 21,的公因式，从而可以知道()x d 是()()x f x f 21,的最大公因式，因此得证。 例7 求()x g 与()x f 的最大公因式.
()()22,242234234---+=---+=x x x x x f x x x x x g
分析：我们可以知道这两个都是一元多项式，所以我们可以利用上面的方式进行解答。 解：
()()()????
?
??---+---+=?????
??=B 1001222421001
234234x x x x x x x x x f x g x ????→
?+-12
c c ?????
?
?----+-11012222343x x x x x x ????→?+-21c xc ??
?
?
?
?
?+----+-111
222233x x x x x x x ????→?+-21c c ???
?
?
??+-----2111
2223x x x x x . 因为()()x x x 2|232--，所以()()()x f x g x ,22=-，而且这个还同时满足了
()()()()x f x x g x x 2122++--=-
上面的方法可以灵活多变地运用，不一定必须用到次数最低的多项式去消去其他的多项式。也可以用次数比较高的多项式消去更高的多项式，使它可以达到慢慢消去多项式中最高的项，使得第一行剩下一个不是0的元素，这样就可以达
到目的。上面只是展示了列的形式，其实行的跟列的是一样的。此时
()()()???
? ??=B 100121x f x f x ，行初等变换的结果就是第一列只剩下一个不是0的元素，
这个元素就是多项式的最大公因式。对于求解两个多项式的最大公因式，辗转相除法确实是一种比较好的方法，但是对于求多项式的最大公因式，在操作当中是非常复杂比较麻烦，矩阵初等变换只是求解多项式的最大公因式的方法之一，还是存在很多方法的。
3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题
矩阵的初等变换也可以用到数学建模上，比如优化问题、线性归划问题、指派问题[6]
等等。
例8 让甲、乙、丙、丁四个人完成四项任务，而且每人只能做一项，他们所用的时间都互不相同，以下表格是他们对应的所要完成的时间及任务，现在要使时间用的最短，效率最高，应该如何分配？
分析：求指派问题，我们可以将他们所对应的时间和工作用矩阵表示出来，这样就可以直接化成矩阵然后进行初等变换，再由初等的行（列）变换得到一个最优解，即最优指派方案。将矩阵的每一行减去这一行的最小数，这样可以减少有大数的存在，而且也不改变4个工人做同一个工作的先后时间。 解：现在我们将上面的问题化为矩阵，并对矩阵进行初等变换。
??
?
?
?
?
?
??=54324645778577910K
工 人 工 作
1
2
3
4
甲 10 9 7 7 乙 5 8 7 7 丙 5 4 6 4 丁
2
3
4
5
?????
??
?
?=54324
645778577910K ??→?-71r ?????
?? ?
?54324
6457785
0023
??→?-52r ?????
?
? ?
?54
3246452230
002
3
??→?-4
3
r ????
??? ?
?54
32020122300023??→?-24r ??????
? ?
?32
1002012230002
3
. 即可得??
?
?
?
?
?
??=321002012230
0023
1K ，我们把有“0”的地方当成是这个工人做这个工作的
最优方案，可是从这里可以发现这个矩阵中有一份工作俩人做的，也有第四份工作没人做，也就是经过初等变换还没能够做出最优选择，我们就要进一步化简，
我们先选工人和所对应的工作进行打“#”做记号，如下??????
?
?
?=32
1
0020122300023
###2K ，因为每个工人不能同时选两份工作，也不能俩人同时选一份，所以我们在对“0”标记“#”号时不能在同一行或者同一列。现在我们这样定义： (1) 将没有选“0”的行打勾；
(2) 将所勾的行的零元素所在的列也打勾；
(3) 对打勾的列的零元素所在的行打勾； (4) 重复(2)(3)步骤,直到不能打勾为止。
现在我们把未打钩的行和打钩的列都划掉，这样我们就可以剩下两行没有划掉，我们将这两行的数减去这些数当中最小的那个数，并且将划掉的那一列加上那个最小数。
即可以得到：????
??
?
?
?=21
002021120
0024
###3K ，这样我们对新的矩阵进行重新分配，也就
是对选取的工人对应的工作打“#”，????
??
?
?
?=21
00020211200024#
###4K ，我们现在得到的就是加“#”的“零”元素分别在不同的行和列，我们这样就算做了最优的分配.
即???
?
??31424321.这里就是可以解释成第一份工作给乙做，第二份工作是给丁做，第三份工作是给甲做，第四份工作当然是给丙做，这样的安排效率最高。
矩阵是线性代数的重要研究对象，而初等变换是矩阵计算中的重要工具，其应用遍及许多领域，除了本文归纳的利用矩阵初等变换求矩阵逆、矩阵秩、线性方程组的解、求最大公因式，矩阵的初等变换还在求等价标准型、求矩阵的特征值和特征向量、化二次型为标准型等方面有着广泛的应用，由此可知，矩阵初等变换的应用遍及很多方面。
参考文献
[1] 辛林，周德旭等. 高等代数[M]. 浙江：浙江大学出版社,2012:27-67.
[2] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报(自然科学
版)，2007，14(4):13-56.
[3] 姚慕生，吴泉水等. 高等代数学(第二版) [M]. 上海：复旦大学出版社,
2008:48-144.
[4] 张禾瑞，郝炳新等. 高等代数(第四版)[M] . 北京：高等教育出版
2005:100-200.
[5] 雷纪刚，唐平等. 矩阵论及其应用[M] . 北京：机械工业出版社, 2005:1-33.
[6] 杨启帆，谈之奕等. 数学建模[M]. 浙江：浙江大学出版社, 2010:130-156.
作者：胡鸿敏
线性代数 第一次讨论课 1.导语 2.讨论内容目录 3.正文 4.个人总结
导语: 矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。 讨论内容目录 矩阵的初等变换及其应用 1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 10.二次型化为标准形 正文 一、矩阵的等价 1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A
与B 行等价；若矩阵A 经过一系列初等列变换化为B 矩阵,则称A 与B 列等价；若矩阵A 经过一系列初等变换化为B 矩阵,则称A 与B 等价（相抵）。 2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。 3. 矩阵等价具有下列性质 （1）反身性 任一矩阵A 与自身等价； （2）对称性 若A 与B 等价，则B 与A 等价； （3）传递性 若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价； 注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。 下面举例说明矩阵等价及等价变换： 13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-?? 13 r r +???→
毕业论文文献综述 信息与计算科学 矩阵的初等变换在线性代数中的应用 一、前言部分 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。[1] 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。[2] 二、主题部分 2.1矩阵和线性代数的概念介绍 2.1.1 线性代数的概念介绍
2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义
定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j
矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换
2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得
矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代 数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,…., n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1. 初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.); (2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…); (3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：
⑴反身性； (2) 对称性若小丄,，则； (3) 传递性若丄丄,/,则」. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 ■ 4■ ■ 1 F行二0 ■ ■ < 泓1 2. 利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化 为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设计 （20 届）分块矩阵的初等变换及其应用 所在学院 专业班级信息与计算科学 学生姓名学号 指导教师职称 完成日期年月
摘要：本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换，分块矩阵的初等变换在一些问题中的相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用，用22 分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。并根据各种的应用给出了大量的例题，充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。 关键词：分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用
Elementary block matrix transform and its application Abstract：This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix，also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transformation of partitioned matrix to compute matrix's determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22 elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrix's elementary transformation in algebra. Key words：partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩
… 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 ！ 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B —
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.\ 2.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 3.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) ：
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 》 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.
矩阵初等变换的一些性质及应用 摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证 明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变 换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。 关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言 矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。 矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。 一、初等变换的性质证明 定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。 证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:
线性代数 第一次讨论课 1;要求 2;正文 3;个人总结 丁俊成00101209 第一部分：要求 线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。 讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。 第一次讨论课内容 矩阵初等变换及其应用 请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。要求做成word或PPT文档。同学们自荐或推荐上讲台讲课。希望同学们踊跃参与。 第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。
1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 第二部分：正文 矩阵的初等变换及其应用 矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。 一．两个矩阵的等价 矩阵等价的定义为： 若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。 根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。矩阵等价具有下列性质 （1）反身性任一矩阵A与自身等价；
毕业论文开题报告 信息与计算科学 矩阵初等变换在线性代数中的应用 一、选题的背景、意义 1、选题的背景 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意 义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造 性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 2、选题的意义 矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。[1] 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。[2] 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月7日
关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，
摘要 本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。 关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式
Abstract This paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application. Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix; System of linear equations;Greatest common factor
目录 1 引言 ............................ 错误！未定义书签。 2 矩阵的初等变换及其性质 (1) 2.1 矩阵初等变换的定义 (1) 2.2 矩阵初等变换相关性质 (2) 3 矩阵初等变换的若干应用 (2) 3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1) 3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5) 3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7) 3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11) 3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13) 参考文献 (16)
矩阵初等变换及其应用毕业论文 矩阵初等变换及其应用毕业论文 摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。 关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵 在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。 定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）； （2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ； （3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。 初等行、列变换统称为初等变换。 定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有 ij R =ij C =1011 1?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
目录 摘要 (1) 1 矩阵的初等变换 (2) 1.1矩阵的初等变换 (2) 1.2阶梯矩阵与最简化阶梯矩阵 (3) 1.3初等矩阵与初等变换关系 (4) 2 矩阵初等变换的应用 (5) 2.1齐次线性方程组的解空间 (5) 2.2求解线性方程组 (6) 2.3求可逆矩阵 (8) 2.4求极大线性无关组 (9) 2.5对称矩阵A的对角化 (10) 参考文献 (13) 致谢 (13)
矩阵的初等变换及应用 【摘要】本文主要讲矩阵的初等变换与初等变换的广泛应用，初等变换包括行变换与列变换，主要以行变换为例，通过行变换将一个矩阵化成与之等价的简化阶梯矩阵用于求其次线性方程组的解空间，解方程组，判断矩阵是否可逆，若可逆求逆矩阵以及用初等变换法在n R中求极大线性无关组和对称矩阵A的对角化等等。 【关键词】矩阵初等变换应用 【ABSTRACT】this paper about the elementary transformation matrix with primary transpositions is widely, elementary transformation and transform matrix included, mainly transformation of line as an example, through the transformation of line into A matrix and the equivalent for the next step matrix simplify the solution of linear equations, the solution of equations, the space is reversible, if the judgement matrix inverse matrix and reversible elemtntary transformation in the maximal linear irrelevant for bisymmetric matrices and A group of diagonalization etc. 【KEY-WORDS】matrix ; elementary ; transformation
摘要 矩阵是线性代数中的重要内容，也是高等数学研究问题的工具。在线性代数及其许多的领域中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。本文首先介绍了矩阵的化简和分块矩阵的初等变换以及利用矩阵初等变换求逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩和特征向量，其次阐述了矩阵初等变换在解线性方程组、解矩阵方程、判断向量组的线性相关性、求极大线性无关组问题中的应用，最后对矩阵在数论中的应用进行了一些说明。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。 关键词：矩阵，初等变换，逆矩阵，秩
The application of elementary transformation of matrix ABSTRACT .Matrix is an important content in linear algebra, is a problem of higher mathematics research tools. In linear algebra and matrix can be seen in many areas, it can turn abstract problems expressed in matrix, based on the matrix to calculate the results. This article first introduces the elementary transformation of matrix of reduction and partitioned matrix and the matrix elementary transformation and adjoint matrix inverse matrix, rank of matrix and characteristic vector, then expounds the matrix elementary transformation in solving linear equations, the solution of matrix equation, judge linear correlation, as well as the application of maximum linearly independent group, finally the application of matrix in number theory with some instructions. As the foundation of the matrix and core, the elementary transformation of matrix and its application is very important, it is able to convert all kinds of complex matrix to matrix form, we need to make the calculation more simple. Key words: Matrix, Elementary transformation, inverse matrix, rank
矩阵的初等变换在向量空间中的使用 摘 要：向量贯穿了整个高等代数的学习。本文主要谈论了向量空间的一些核心问题，辅以不同的解法，通过对比，显示出矩阵的初等变换在向量空间中的重要作用，体现出用矩阵解向量空间中问题的优越性。 关键词：矩阵的初等变换；线性相关；线性无关 Abstract ：The vector throughout the learning of the higher algebra. This article mainly talking about some of the core problems of the vector space, combined with a different solution, by contrast, shows the important role of elementary transformation matrices in the vector space, reflecting with matrix solution for the vector space superiority. Key words ：Elementary transformation matrix; linear correlation; linearly independent 1 相关定理及问题的引出 设12,,...,n n p αααβ∈ 定义1.11?? ?? n 维向量：数域p 中n 个数组成的有序数组12(,,...)n a a a 定义1.21?? ?? n 维向量空间：以数域p 中的数作为分量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域p 上的n 维向量空间。 n 维向量空间表面上看是一个非常陌生的概念，其实质只不过是由很多个n 维向量作为小单元，并且这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性，即若12,n P αα?∈，12n P αα+∈,,n k P k P α?∈∈具有这样性质的向量构成的向量组。 故对于向量空间有关问题的讨论，应该从向量组出发。之所以向量空间让我们感觉变化多端，关键在于这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性。 向量空间的理论的核心问题是向量间的线性关系,其主要内容有向量的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的极大无关组、两个向量组的等价、向量空间的基和维数、一个基到另一个基的过渡矩阵和线性变换等。在向量空间中主要
目录 1. 引言 (2) 2. 预备知识 (3) 3. 矩阵初等变换在整数理论中的应用 (6) 3.1 求两个整数的最大公因数和最小公倍数 (6) 3.2 求n个整数的最大公因数 (9) 4. 矩阵初等变换在多项式理论中的应用 (11) 4.1 求两个一元多项式的最大公因式和最小公倍式 (11) 4.2 求n个一元多项式的最大公因式 (15) 4.3 求解两个二元多项式的最大公因式 (20) 4.4 求n个二元多项式的最大公因式 (22) 致谢 (23) 参考文献 (24) 附件： 课题任务书 (25) 外文翻译 (28) 文献综述 (38) 开题报告 (43)
矩阵初等变换的若干应用 学生： 指导老师： 教学单位：数学与统计学院 摘要：本文研究了如何利用矩阵的初等变换来解决初等数论和多项式理论方面的相关问题，解决了初等数论中求解两个整数的最大公因数、最小公倍数和多个整数的最大公因数等问题；同时也解决了多项式理论中求两个一元多项式的最大公因式、最小公倍式以及多个一元多项式的最大公因式等问题，在此基础上进一步解决了二元多项式的最大公因式的求法问题。特别地，在解决多项式理论中两个甚至多个多项式的最大公因式的相关问题时，为了简化求多项式最大公因式的运算，我们将所求最大公因式的那两个或多个多项式的系数与两行或多行矩阵表示式对应起来，起到了很明显的简化效果，具有很强的实用性与价值性。Abstract: In this paper, we researched how to use the elementary transformation matrix to solve problems related to elementary number theory and the theory of polynomials, and not only provided a method to find the greatest common divisor of two integers and the least common multiple and greatest common factor of more integers and other issues, but also gave a way to find the greatest common divisor and least common multiple and more than polynomial in one indeterminate. Furthermore, we solved the problem of finding the greatest common divisor of binary polynomial. Especially, in order to solve the polynomial problems of finding the greatest common divisor of two or more indeterminate, we can simplify the process of finding the greatest common divisor polynomial arithmetic, and build a relation between the coefficient of two or multi-polynomial and the matrix with two or more rows, it is efficient and valuable. 关键词：矩阵；初等变换；最大公因式；最小公倍式 Key words: matrix；elementary transformation ；The greatest common divisor ；The least common multiple