矩阵的初等变换及其应用

线性代数

第一次讨论课

1.导语

2.讨论内容目录

3.正文

4.个人总结

?

导语:

矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。

讨论内容目录

矩阵的初等变换及其应用

1.两个矩阵的等价

2.两个矩阵的乘积

3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型

4.求矩阵的秩

5.·

6.求可逆矩阵的逆矩阵

7.求线性方程组的解

8.判断向量组的线性相关性

9.求向量组的秩与极大无关组

10.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）

11.二次型化为标准形

正文

一、矩阵的等价

1. 定义：若矩阵A 经过一系列初等行变换化为B 矩阵,则称A 与B 行等价；若矩阵A 经过一系列初等列变换化为B 矩阵,则称A 与B 列等价；若矩阵A 经过一系列初等变换化为B 矩阵,则称A 与B 等价（相抵）。

!

2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：

1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去；

即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。 3. 矩阵等价具有下列性质

（1）反身性 任一矩阵A 与自身等价； （2）对称性 若A 与B 等价，则B 与A 等价；

（3）传递性 若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价； 注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。 下面举例说明矩阵等价及等价变换：

;

13640824100412204128--??

?- ? ?-- ?-??

13

r r +???→

4321

3131

4143312221364136408241008241004122041220412804128136413640824100824100003000300060000r r

r r r r r r

r r r r B

++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→ ? ?---- ? ?

--????

----????

? ?

-- ? ?

???→= ? ?

? ?

????

12312131

213

103418

13601

03001300

130000100010

0000

000r r r r r r r r r C -------????

?

?

-- ? ?

???→???→= ?

?

?

?

????

显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。 二．矩阵的乘法

1.定义：设A=（ij a ）是一个m*s 的矩阵，B=（ij b ）是一个s*n 的矩阵，规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是m*n 矩阵C=（ij c ），记为C=AB ，其中

11221s

ij i j i j is sj ik kj i c a b a b a b a b ==++

+=∑

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

由矩阵乘积的定义可见，不是任何两个矩阵都可以相乘。位于左边矩阵的列数与位于右边矩阵的行数相等的两个矩阵才能相乘；其乘积是一个与左边矩阵有相同行数，与右边矩阵有相同列数的矩阵；乘积矩阵的第i 行第j 列的元等于左边矩阵第i 行的各元与右边矩阵第j 列的对应元乘积之和。所谓对应元，及第i 行的列号与第j 列的行号相同的元。

例：求矩阵

A=(31?12

041?1

2) 与 B=(23

1

503)的乘积。 `

解：AB=(3

1

?12

041

?1

2

)(231

503

) =(3×2+1×1+（?1）×03×3+1×5+(?1)×3

2×2+0×1+4×02×3+0×5+4×31×2+(?1)×1+2×01×3+(?1)×5+2×3)

=(711

41814

)

注意：1).矩阵乘法不满足交换律,即在一般情况下，AB ≠BA. 2).两个非零矩阵之积可能为零矩阵。 3).若A ≠O,AB=AC,不能推出B=C.

2、矩阵乘法满足下列运算规律： （1） （AB ）C=A(BC);

(2) A(B+C)=AB+BC,(B+C)A=BA+CA;

(3) α（AB ）=(αα)α=A(αα),其中α是数； （4） αααα?α=αα?ααα=αα?α. \

三、将矩阵化为行阶梯型、行最简型、标准型

将矩阵化为行阶梯型、行最简型、标准型就是利用矩阵的初等变换。下面是以上三种形式的定义： 1、若满足以下两个条件：

（1）若有零行（元全为0的行），则零行位于非零行（元不全为0的行）的下方；

（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加。

则为行阶梯型，简称阶梯型。

2、首非零元为1，且首非零元所在的列其他元都为0的行阶梯形称为行最简矩阵，简称最简形。

3、对任何m*n 矩阵A ，必可经有限次初等变换化为如下形式的矩阵

r

E O N O

O ??=

???

我们称N 为矩阵A 的等价标准形。此标准形是有m ，n ，r 完全确定的，其中r 就是行阶梯矩阵中非零行的个数。

是否每个矩阵都能经过初等变换化为行阶梯型或行最简型呢下面这个定理给出了肯定的回答。

|

定理1：任意m*n 矩阵A 总可以经初等变换行阶梯型及行最简型矩阵。

推论：m ×n 矩阵A 经过初等变换化为的行最简型是唯一的。 例：

13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??

13

r r +???→

4321

3131

4143312221364136408241008241004122041220412804128136413640824100824100003000300060000r r

r r r r r r

r r r r B

++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→ ? ?---- ? ?

--????

----????

? ?

-- ? ?

???→= ? ?

? ?

????

12312131

213

103418

13601

03001300

130000100010

0000

000r r r r r r r r r C -------????

?

?

-- ? ?

???→???→= ?

?

?

?

????

则B 为阶梯型，C 为最简型。

四、求矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数值特征，是反映矩阵本质属性的一个不变的量。它在线性方程组等问题的研究起着非常重要的作用。下面我们介绍一下矩阵秩的求解方法。 1. 矩阵的秩的定义：

如果矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D ，而所有的r+1阶子式（如果存在的话）全为0，那么D 称为矩阵A 的一个最高阶非零子式。数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A)或r(A)，并规定零矩阵的秩为0.

-

由定义可得：

（1） 若矩阵A 有一个r 阶子式不等于零，则（R ）≥r ,

若矩阵A的所有r+1子式全为零，则（R ）≤r.

（2） 若任意m*n 矩阵A ，必有R(A)=R(A T ).

（3） 矩阵A 的秩既不会超过它的行数，也不会超过它的列

数。

（4） 若矩阵B 是矩阵A 的子矩阵，则R(B)≤R(A). 2. 求矩阵的秩的方法

(1)子式判别法（定义）：

例为阶梯型矩阵，求R(B).

解：由于，存在一个二阶子式不为零，而所有三

阶子式全为零，所以Ｒ（Ｂ）＝２.

结论：阶梯型矩阵的秩＝台阶数 .

)

(2)用初等变换发求矩阵的秩

定理：初等变换不改变矩阵的秩

推论 设A 是任一m*n 矩阵，P 、Q 分别是m 阶、n 阶可逆（满秩）矩阵，则必有

R(PA)=R(AQ)=R(PAQ). 例：

求R(A)。

????

? ?

?=00

00720

4321B 0

2

21

≠??

??

?

??-----=211163124201A

解：

:

所以R(A)=2.

求矩阵A 的秩方法：

1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B 2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩。 五、求可逆矩阵的逆矩阵

逆矩阵是矩阵中单独的一个分支，但是其求解等各种方法与矩阵基本方法规律相同。 下面是矩阵的逆矩阵的定义：

设A 为n 方阵，若存在你阶方阵B ，使

AB=BA=E

则称A 为可逆矩阵或A 是可逆的，并且称B 为A 的逆矩阵。

<

可逆矩阵具有唯一性，即A 若可逆，其可逆矩阵是唯一的。 矩阵的逆矩阵的求法有三种： (1)特殊的矩阵。

1）矩阵为对角阵或者分块都为对角阵，可用特殊的方法求解。 若矩阵为对角阵，逆矩阵就是每一个元素分别求倒数放到原来位

????

?

?

?--→00

02110

4201

??→

?-1

2

2r

r A ????

? ??----21102110420

1

置。

若矩阵分块都为对角阵，可将每个小块分别求逆矩阵，然后将逆矩阵放到原来的位置即可。

2）矩阵为两阶的矩阵，可运用公式求解（公式根据逆矩阵的定义推出）

若ad-bc ≠0，则矩阵a b A c d ??

= ??? 可逆，且逆矩阵为11d b A c a ad bc --??

=

?--??

(2) 运用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。

.

其原理如下：

若A 为n 阶可逆矩阵，其逆也是n 阶可逆矩阵，故A 可表示为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵12,,,m P P P ，使得

112

m A PP P -=。由逆矩阵定义，有

11()()A A E E A --=

即

112

()()m PP P A E E A -=

即有

()()A E E A ????→初等行变换

若摆放方式不同也可以将A ，E 竖放在经过初等列变换可得逆 矩阵与单位矩阵。与第一个问题相关的是，变换前后两个矩阵

等价。 (3)根据公式

**A A AA A E

==，可知A 的逆矩阵为1*

1A A A

-=

. }

这个公式在使用时十分复杂，但是若用于理论及电脑计算就

有较大优势.

例：信息加密问题

将26个英文字母按顺序逐一与数字对应后，“send money ”编码为19,5,14,13,15,14,5,25，如果直接发出编码，很容易被人破译，显然这是不可取的，如何进行加密呢，可将式子表示为一个三阶方阵，乘以一个三阶方阵后密码的破译难度就大多了，问题是如何解密呢根据式子AB=C ，知B=A （-1） C.可知破译方式，即将得到的信息乘以逆矩阵就可以了。

1232132111110102213A A -??

?= ?

???-?? ?=- ?

?-??

则

明文SEND MONEY 对应的9个数值按3列被排成以下矩阵:

194145135141525B ?? ?= ? ???

矩阵乘积：

232194148177931325135627379111141525383244AB ?????? ??? ?== ??? ? ??? ???????

对应密文编码为：

81,77,93,62,73,79,38,32,44。 合法用户用密钥乘上述矩阵即可解密得到明文。

111081779319414()1026273795135213383244141525A AB --??????

??? ?

=-= ??? ?

??? ?-??????

\

最后得到的序列对应写出明文即可。

这里所述仅是信息加密的原理，实际应用中密钥矩阵的阶数可能很大，其构造也十分复杂。

六、求线性方程组的解

求线性方程组的解可利用行列式和矩阵 1. 利用行列式求解

用行列式求线性方程组的解的主要原理是克拉默法则，下面是克拉默法则的内容：

如果线性方程组的系数行列式D=|A|≠0，则线性方程组有唯一解且

j

j D x D =

，j=1,2,3,…,n;

其中

12,,,j n

D b b b 是用常数项替换系数矩阵D 中的第j 列所称的行列式。

…

由克拉默法则，可得下述定理：

齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式|A|=0.

这种方法是十分容易理解的，用于计算机计算也十分方便，但是不看出判断线性方程组的解的根本性质，因此要用到矩阵等方法进一步讨论。

2利用矩阵判定线性方程组的解

判断线性方程组的解有如下定理：

n元线性方程组Ax=b，

（1）有解的充要条件是R（A）= R（B）；

（2）有唯一解的充要条件是R（A）=R（B）=n；

（3）有无穷多解的充要条件是R（A）=R（B）

（其中B为A的增广矩阵）

注意：（1）的你否命题为：线性方程组Ax=b误解的充要条件是R （A）

~

对于齐次线性方程组，判断其解有定理：

n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0. 推论：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.

通过以上讨论，线性方程组的判断已经很容易了，下一步就是要使用向量这个工具讨论线性方程组通解性质。

下面就是求线性方程组通解的方法：

关于基础解系的定义:

齐次线性方程组Ax=0的解空间V 的基称为该方程组的基础解系。 基础解系的特解线性无关，且方程组任一解都基础解系解的线性组合。 ）

首先讨论线性方程组通解的性质：

性质1：

1212,X 0Ax 若X 是Ax=0的任意两个解，则X +X 也是的解。

:

性质2：

若X 是Ax=0的解，k 为任意数，则kX 也是Ax=0的解。

性质3：

1212 设X ,X 为非齐次线性方程组的任意两个的解，则X -X 是它对应的齐次线性方程组的解。

性质4：

设X 是非其次线性方程组的特解，Z 为它对应的齐次线性方程组的特解，则Z+X 是非其次线性方程组的解。

有了以上性质加上有关定理就可以很简单的求出通解了，关于齐次非其次线性方程组通解的定理分别如下： 定理1：

*A m n 设是矩阵，若R(A)=r

定理2：

12112212,,

,n r n r n r

n r Z X C X C X C C C ----+++ 设为非其次线性方程组的特解，X ,X ,,X 为它对应的齐次线性方程组的基础解系，则非其次线性方程组的通解为

x=Z+C 其中为任意常数。

下面举一个简单的例子来说明解线性方程组的方法： 求非其次线性方程组

~

12341234134124212232335x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++=??

-+=??-+=?

的通解，并且由对应的齐次线性方程组的基础解系表示。 解：对增广矩阵做初等行变换

112

11112111

011221123013

010

130110112013010000031035026

020

0000A ?-??-??-?

?

? ?

--- ? ? ?=

→

→ ? ? ?

-- ? ? ?

? ? ?--?

?????

因而

34134

23

3343

1212()()2,,213211130

,,010001R A R A x x x x x x x x x x x k k k k ===+-??=+??

=??=?-?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ? ? ? ???????将取作自由未知量。由原方程组的同解方程组 得通解为

x=其中为任意常数.

以上例子是有一个很简单而又不失普遍性的线性方程组求解过程，即：先判断方程组是否有解，在根据定理一判断对应齐次线性方程组的解空间维数，然后求出齐次线性方程组通解，根据定理二加上一组特解

即可求出对应非其次线性方程组的通解。 七、判定向量组的线性相关性 线性相关的定义如下：

设12,,,m a a a 为n 维向量，若存在一组不全为零的12,,,m k k k ,使

11220m m k a k a k a ++

+=

"

则称向量组12,,,m a a a 线性相关；否则12,,,m a a a 线性无关。

线性表示的定义如下： 设有两个向量组

1T ：12,,

,m a a a ; 2T ：12,,,m b b b ;

若向量组1T 的每一个向量都可由向量组2T 线性表示，则称向量组1T 可由向量组2T 线性表示。又若向量组1T 与向量组2T 可以相互线性表示，则称向量组1T 与向量组2T 等价。

向量组的线性相关有如下的性质： 1）

如果一个向量组的某个部分组线性相关，那么该向量组必线性

相关。 2） 当m>n 时，m 个n 维向量组成的向量组12,,,m a a a 一定线性相关。 3） 设有两个向量组：

*

1122121,,

:(,,,)(1,2,,)

:(,,

,,,)(1,2,

,)

T j j j rj T

j j j rj r j nj T a a a j m T a a a a a j m +α==β==

若向量组1T 线性无关，则向量组2T 也线性无关；反之，若向量组2

T

线性相关，则向量组1T 也线性相关。

判断向量组线性相关性判断方法的定理有下面几个： 1）

向量组12,,,m a a a 线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=

（12,,,m a a a )的秩小于向量的个数m ；向量组线性无关的充要条件是R （A ）=m 。

结合矩阵，上定理有如下两个推论：

（1） m 个m 维向量组12,,,m a a a 线性相关的充要条件是它构成的矩

阵A=（12,,,m a a a ）的行列式|A|=0；12,,,m a a a 线性无关的充要条件是|A|≠0； （2） 设A 为m*n 矩阵，则

1. 矩阵A 的列向量线性相关（无关）的充要条件是R （A ）

2. 矩阵A 行向量线性相关（无关）的充要条件是R （A ）

2）

向量组12,,,m a a a （m>=2）线性相关的充要条件是其中至少有

一个向量可以有其余几m-1个向量表示。 3）

|

4）

向量组12,,,m a a a 线性无关，而向量组12,,,m a a a ,b 线性相关，则b 可由12,,,m a a a 线性表示，而且表示式是唯一的。

5）

若向量组1T ：12,,,m a a a 可由向量组2T ：12,,,m b b b 线性表示，且

m>n,则向量组线性相关。 该定理有如下两个推论：

（1） 若向量组1T ：12,,,m a a a 可由向量组2T ：12,,,m b b b 线性表示，

且向量组1T ：12,,,m a a a 线性无关，则m<=n.

（2） 若两个线性无关组等价，则它们所含的向量个数相等。 6）

矩阵A 经过初等行变换化为B ，则

（1） 矩阵A 与B 对应的列向量构成的列向量具有相同的线性组合

关系；

（2） 矩阵A 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价。

线性相关作为向量间的关系与向量组的内在性质在向量领域应用广泛，是作为基础存在的。其应用与矩阵类似，可用来求解线性方程组等。 |

八．求向量组的秩与极大无关组

向量组的T 的一个部分组12,,,r a a a 满足：

（1）

12,,,r a a a 线性无关； （2） 向量组T 的每一个向量都可由12,,,r a a a 线性表示。

则称12,,,r a a a 是向量组T 的一个极大线性无关组，简称极大无关组。

关于向量组秩的定义：

向量组12,,,m a a a 的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩，记作

R （12,,,m a a a ）

规定只含零向量的向量组的秩为0。 )

极大线性无关组具有的性质为：

极大性：向量组的极大线性无关组是所有与该向量等价的部分组中韩向量最多的向量组。

极小性：向量组的极大无关组是所有与该向量组等价的部分组中含向量最少的向量组。

关于秩的性质有如下几条：

（1） 矩阵的秩等于他的列向量组的秩，也等于他的行向量组的秩。 （2） 若向量组1T 可由向量组2T 表示，则向量组1T 的秩不超过向量组2

T 的秩。

该性质有如下推论： 等价向量组的秩相等。

求向量组的秩方法根据性质（1）可知，即把向量组看作以及矩阵求矩阵的秩，然后就可以得到向量组的秩。还可以根据性质等价向量组的秩相等，将向量组做等价变换求秩，这个方法实质上和利用矩阵求的方法一样，因此，求向量组的秩的方法归根结底就是将像向量组看作熟悉的矩阵求解。

|

向量组的秩的应用与矩阵的秩在矩阵中间的运用大致相同，是向量组

的特征量，可以解决很多向量组的问题。

九．求矩阵的对角矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 对角矩阵的定义：

如果n 阶方阵的主对角线以外的元全为零，即

1

00

n a a ?? ?

? ???

则称它为对角矩阵，记作1122(,,,)nn diag a a a .对角线上全为1的矩阵称为单位矩阵。

对角矩阵特征如下： 1. 对角矩阵都是对称矩阵；

2. 对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵； '

3. 零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵；

4. 对角矩阵1122(,,,)nn diag a a a 的行列式为1122,,,nn a a a 的乘积。

对角矩阵的运算： 矩阵加法可用下式表示：

11221122112222(,,

,)(,,

,)(,,

,)nn nn aa nn nn diag a a a diag b b b diag a b a b a b +=+++

矩阵乘法可用下式表示：

11221122112222(,,

,)*(,,

,)(*,*,

,*)nn nn aa nn nn diag a a a diag b b b diag a b a b a b =

求对角矩阵的逆表示如下：