矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用

内容摘要：

矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。

一矩阵的概念

定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵

二矩阵初等变换的概念

定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换

1.初等行变换

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:

(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);

(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作

);

(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).

1.初等列变换

把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换

3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:

(1) 反身性;

(2) 对称性若,则;

(3) 传递性若,,则.

三矩阵初等变换的应用

1.利用初等变换化矩阵为标准形

定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形

2.利用初等变换求逆矩阵

求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)

即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))

这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，

若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵

，

为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩

阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即

.

这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.

同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即

.

3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩

矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.

定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)

为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵

解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩

利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。

4.行列式的计算

一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形

5．求线性方程组的解

一般格式:

(1)齐次线性方程组AX=0，A是m×n矩阵

1°对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)。

若r(A)=n，则AX=0，只有零解；若r(A)＜n，则AX=0有非零解，转入2°

2°对阶梯阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的

线性方程组，以非零行首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余的n-k个

未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令

自由未知量中一个为1，其余全为0，求得AX=0的基础解系：X１，X２，…，Xn-k

3°n-k个解向量的线性组合：C１X１+C2X２+…+Cn-kXn-k(C １，C２，…，Cn-k为任意常数)就是AX=0的通解。

(2)非齐次线性方程组AX=B，A是m×n矩阵

1°对增广矩阵(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)与r(AB)，若r(A)＜r(AB)，则AX=B无解；若r(A)=r(AB) 则AX=B有解，转入2°

2°对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n，则AX=B有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯一解的表达式；若r(A)=r(AB)=k＜n，则AX=B有无穷多解，转入3°

3°以非零行的首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余n-k个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=B的一般解，令所有的自由未知量为0，求得AX=B的一个特解X0

4°在AX=B的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0的一般解，分别令一个自由未知量为1其余自由未知量都为0，求出导出组AX=0的基础解系，X１，X２，…，Xn-k与通解C１X１＋C２X2＋…＋C n-kXn-k

5°AX=B的一个特解加导出组AX=0的通解C１X1+C２X2+…+Cn-kXn-k+X0(C１，…，Cn-k为任意常数) 就是AX=B 的通解。

6.确定向量组的线性相关性

一般格式：设向量组为α1α2……αm，以α1α2……αm为列构成矩阵A，对A施行

初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r （A ），若r （A ）=m ，

则α1α2……αm 线性无关，若r （A ）

7.确定一向量能否由另一向量线性表出

一般格式：以向量组α1α2……αm 与向量β为列构成矩阵A ，然后对A 施行初等行变换，化为行最简形矩阵B

8.求向量组的秩与极大无关组

一般格式：设向量组α1α2……αm ，以它们为列构成矩阵A B 的非零行的首个元素所在的列向量对应的α1α2……αm 中的

向量αi1……αir 构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组α1α2……αm 的秩。

结 论

矩阵初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处。但是由于这些计算格式有不同的原理，所以，它们也有一些明显的区别。

? 计算格式1既可以用初等行变换也可以用初等列变换，施

()B m 行最简形矩阵初等行变换???→?=ααα 21A ()B

m 行阶梯形矩阵初等行变换???→?=ααα 21A

行这些变换时要注意使行列式保值。