14.3.1一次函数与一元一次方程导学案

14．3．1一次函数与一元一次方程一、教学目标１．用函数观点认识一元一次方程．２．用函数的方法求解一元一次方程．３．加深理解数形结合思想．二、重点难点教学重点１．函数观点认识一元一次方程．２．应用函数求解一元一次方程．教学难点用函数观点认识一元一次方程．三、合作探究Ⅰ．提出问题，创设情境我们来看下面两个问题：１．解方程2x+20=0２．当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？这两个问题之间有什么联系吗？我们这节课就来研究这个问题，并学习利用这种关系解决相关问题的方法．Ⅱ．导入新课我们首先来思考上面提出的两个问题．在问题１中，解方程2x+20=0，•得x=•-10．解决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值．这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10．因此这两个问题实际上是一个问题．从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（-10，0），这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为-10，即方程2x+20=0的解是x=-10．[活动一]活动内容设计：由上面两个问题的关系，大家来讨论思考，归纳概括出解一元一次方程与求自变量x 为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？教师活动：引导学生从特殊事例中寻求一般规律．进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系，从思想上真正理解函数与方程的关系．学生活动：在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这两个具体问题中的一般规律，从而经过讨论，归纳概括出较完整的关系，还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的．活动过程与结论：规律：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．四、精讲精练精讲例：一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？解：方法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17解之得：x=6．方法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6．方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．总结：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．[活动二]活动内容设计：利用图象求方程6x-3=x+2的解．活动设计意图：通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解．教师活动：引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性．学生活动：在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合．活动过程与结论：方法一：我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0．然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴的交点在哪儿，•坐标是什么，由交点横坐标即可知方程的解．由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1．方法二：我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，•即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，•交点的横坐标即是方程的解．由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1．练习1．2x-3=x-2． 2．x+3=2x+1．解１．把2x-3=x-2整理变形为x-1=0．从函数y=x-1的图象与x•轴交点坐标上即可看出方程的解．由图象上可以看出直线y=x-1与x轴交点为（1，0）．∴x=1．２．我们可以把x+3=2x+1看作函数y=x+3与y=2x+1在自变量x取何值时函数值相等，反映在图象上即直线y=x+3与y=2x+1的交点横坐标．由下图可知交点为（2，5）．∴x=2．五、课堂小结：一次函数与一元一次方程之间的联系六、作业：p129 2。

一次函数与一元一次方程学习目标：1、理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据图象解决一元一次方程解问题。

2、学习用函数的观点看待方程的方法，经历方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题。

学习重点：利用一次函数知识求一元一次方程的解。

学习难点：一次函数与一元一次方程的关系发现、归纳和应用。

学习过程：一、创设问题情境：1、一次函数12+=x y ，当=x 时，3=y ；当=x 时，0=y ；当=x 时，1-=y 。

2、一次函数b kx y +=，x 轴交点坐标为；与y 轴交点坐标；图像经过象限，y 随x 的增大而，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是。

二、自主学习与合作交流：思考：下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？312)1(=+x ，012)2(=+x ，112)3(-=+x1、 解这3个方程相当于在一次函数12+=x y 的函数值分别为3，0，-1时，求2、 画出12+=x y 的图像，从图像上可以看出12+=x y 上纵坐标分别取3，0，-1的点，归纳：1、解一元一次方程0=+b ax 相当于在某个一次函数b ax y +=2、一元一次方程0=+b ax 的解就是直线b ax y +=与x 轴的交点的三、巩固练习：例1、若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k 的值是多少？例2、课本例题四、达标测试：1、直线3+=x y 与y 轴的交点是（ ）A 、（0，3）B 、（0，1）C 、（3，0）D 、（1，0）2、直线3+=kx y 与x 轴的交点是（1，0 ），则k 的值是（ ）A 、3B 、2C 、-2D 、-33、若直线b kx y +=的图像经过点（1，3），则方程0=+b kx 的解是=x （ ）A 、1B 、2C 、3D 、44、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？。

14.3.1 一次函数与一元一次方程主备：李淑媛审稿：苏海军孔来银史世鹏时间：2011.11.17 【学习内容】课本P123-124【学习目标】1、理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题。

2、学习用函数的观点看待方程的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。

【学习重点】一次函数与一元一次方程关系的理解。

【学习难点】一次函数与一元一次方程关系的理解。

学习过程一、知识频道1、想一想：我们先来看下面的两个问题有什么关系：（1）解方程2x+20=0.（2）当自变量为何值时，函数y=2x+20的值为零？2、议一议：问题一：对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同的地方？问题二：对于（1）和（2），从本质上看，又有什么关系？3、悟一悟：可见，这两个问题实际上是同一个问题。

4、试一试：从函数图象上看，（1）和（2）又是怎么样的关系？直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），而方程2x+20=0的解是x=-10。

从图象上看，。

二、方法频道（一）导入新课从对上面两个问题的讨论可以看到：一个一元一次方程的求解问题，可以与解某个相应的一次函数问题相一致。

思考：解方程ax+b=0(a，b为常数)与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？当一次函数y=ax+b的值为0时，求自变量x的值。

从图象上看，就相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。

可见，这两个问题实际上就是同一个问题。

1、完成表格，使一元一次方程问题与一次函数问题是同一个问题。

序号一元一次方程问题一次函数问题（1）解方程3x-2=0 当x为，函数y=3x-2的值为0？（2）解方程8x+3=0（3）当x为，函数y= -7x+2的值为0？（4）解方程3x+5=8（5）2、从函数图象上，你能说出是哪些一元一次方程的解吗？并直接写出相应方程的解？(1) (2) (3) (4)归纳：从数的角度看：求ax+b=0(a≠0)为何值时，函数y=ax+b 的值为0从形的角度看，求ax+b=0(a ≠0)的解y=ax+b 与x 轴的横坐标一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？巩固练习：3、当自变量x 的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件： （1）y=0, (2)y=-74、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象肯定不是直线y=ax+b 的是 （ ） (A) (B) (C) (D)三、习题频道（一）自测自评下面函数中经过点（１，１）的是 （ ） ｙ＝ｘ－１ 函数y=2x+1的图象经过 ( ) 12,0) 填空题3.函数y=2x-8与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。

14.3.1一次函数与一元一次方程（不等式）主备人：张梅知识技能目标1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．过程性目标1.使学生体会到一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；2.使学生感受到“数形结合”在数学研究和探究现实生活数量关系及其变化规律中的作用．3.能运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．教学过程一、创设情境（多媒体展示问题）问题 画出函数y ＝323+x 的图象，根据图象，指出： (1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？二、探究归纳问 一元一次方程323+x ＝0的解与函数y ＝323+x 的图象有什么关系？ 答 一元一次方程323+x ＝0的解就是函数y ＝323+x 的图象上当y ＝0时的x 的值． 问 一元一次方程323+x ＝0的解，不等式323+x ＞0的解集与函数y ＝323+x 的图象有什么关系？ 答 不等式323+x ＞0的解集就是直线y ＝323+x 在x 轴上方部分的x 的取值范围． 三、实践应用例1 画出函数y ＝－x －2的图象，根据图象，指出：(1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？例2 利用图象解不等式(1)2x－5＞－x＋1，(2) 2x－5＜－x＋1．解设y1＝2x－5，y2＝－x＋1，在直角坐标系中画出这两条直线，如下图所示．四、小结运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．五、教后反思通过本节课的学习，学生能初步运用函数图像的性质来解释一元一次方程，一元一次不等式的解集，并能通过函数的图像来回答。

商都二中《教学研讨案》 八年级数学 课题 14.3.1一次函数与一元一次方程 执笔 雷利君 三 维 目 标 知识与技能：从一次函数角度看一元一次方程 过程与应用； 探究引导 情感态度： 在学习中体验事物的相互依存，知识的相互联系

重点 一次函数与一元一次方程的关系 难点 从形的角度分析二者联系 关键 数形结合分析问题 教 学 过 程 设 计 问题情境与学法引导 因材施教

活动1.带着问题，自主学习 以下两个问题有什么关系？ （1）解方程2x+20=0 （2）当自变量 x 为何值时函数y =2x+20 的值为0?

解二、画函数y =2x+20的图象 从函数y =2x+20的图象上看： ⑴当函数值y＝0时， 自变量的值x＝－10 ⑵结全函数解析式y =2x+20 可知：2x+20＝0的解是x＝－10

可见，以上两个问题实际上是同一个问题的不同角度提出。 从上面两个问题关系可进一步得到：

解一、(1) 2x+20＝0 2x＝－20 x＝－10

解：(2) 令 y=0 ，即 2x+20＝0 2x＝－20 x＝－10

从数上看：解2x+20＝0，即求函数y =2x+20值等于0时，自变量x的值

20

-10O

从形上看：解2x+20＝0，即求直线y= 2x+20 与x轴的交点的横坐标

求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解．

从“数”上看x为何值时函数y= ax+b的值为0．

从“形”上看求直线y= ax+b与x 轴交点的横坐标． 活动2.拓展延伸，探讨研究 1、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=5x+17的值满足下列条件？（1）y=0；（2）y=－7；⑶y＝20 2、已知方程ax+b=0的解是－2，下列图象肯定不是直线y=ax+b的是（ ）

3.当x 时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值为0？ 4．直线y= ax+b 与x轴的交点坐标是 . 5. 若直线y=ax+b的图像经过点（2，3），则方程ax+b=3的解为 。 归纳： 1.由于任何一个一元一次方程都可化为ax+b=0（a、b为常数a≠0）的形式,所以解一元一次方程可以转化为：“求一次函数y= ax+b( a≠0）的值为0时相应的自变量的值.”从图象上看,这又相当于“求直线y= ax+b 与x轴的交点的横坐标” 2.许多列一元一次方程问题解决的问题，都可以通过列一次函数来动态分析，其它一元方程问题类似。