材料力学第5章弯曲内力-11-1

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材料力学-第5章弯曲内力

材料力学
第五章弯曲内力
1
材料力学－第5章弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例梁的对称弯曲及计算简图梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑：当 x a 时：内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷，单位为 N（牛顿）集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米）集中力偶一般用M表示

材料力学05(第五章弯曲内力)

5 qa 3
0 x1 3a
Fs 2 qx2
1 2 M 2 qx2 2 0 x2 a
M
(d )
1 2 qa 2
例简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：1、求支座反力
1 l l M A 0 FB l q 2 4 0 FB 8 ql 3 l l l M B 0 FA l q 2 ( 2 4) 0 FA 8 ql 可利用平衡方程 Fy 0 对所求反力进行校核。
2、校核弯矩图 Me =3qa2 A
FS a 5qa/3 8a/3 M C 3a
q
AC段
B
x 剪力=常量弯矩图→斜率为正值的斜直线
qa/3 x
弯矩值：支座A：MA=0
5qa2/3 x
qa2/18 4qa2/3
C截面左侧:
M C
5 2 FA a qa 3
FS
5qa/3
8a/3
FS(x)
AC 段 CB 段
3 ql qx 8 1 ql 8
d FS ( x) dx
-q
0
d M ( x) d M 2 ( x ) M(x) d x2 dx 3 1 23 qlx qx ql qx -q 8 2 8 1 1 ql (l x) ql 0 8 8
对于该梁来说有
d FS x q 2 d M x dx q 2 dx d M x FS x dx
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB

材料力学教案第5章弯曲内力

第 5 章弯曲内力
教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。
教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内力计算。
教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。
1、简支梁
2、悬臂梁
3、外伸梁
4、多跨静定梁
5、超静定梁超静定梁：梁的未知力的数目大于独立的静力平衡方程式的数目，此时，仅由平衡方程不能完全确定所有的未知力，这样的梁称为超静定梁。根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和
支承来表示梁。梁在两支座间的部分称为跨。其长度称为跨长。
5.4 剪力方程和弯矩方程剪力图与弯矩图
通过弯曲内力的分析可以看出，在一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯
矩是随横截面的位置变化而变化的。为了知道 FS、M 沿梁轴线的变化规律，只知
道指定截面上的
FS、M
是不够的。为了能找到
FS max 、
M
的值及其所在截面，
max
以便对梁进行强度、刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。
5.1.2 弯曲的概念
1、弯曲的概念受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例
1桥式起重机大梁 2火车轮轴 3镗刀刀杆 4轧板机的轧辊
3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）

10+第五章++弯曲内力——材料力学课件PPT

一般性步骤对应关系快速画法
15
第五章弯曲内力
材料力学分析的基本路径
外力
结构
内力应力
材料性能强度准则
变形应变
16
第五章弯曲内力
F
梁的外力内力相同
(1)
梁的横截面积相同
F
(1)与(2)两种情况那种情况对梁承
qa
a/2 +
A
- B-
C
qa
A
B-
C
qa2 5qa2/4 qa2
11
第五章弯曲内力
例：已知弯矩图，试画载荷图。
2qa qa
解：
1. 根据剪力图定集中与分布力 2. 根据弯矩图的跳跃值定集中
与分布力偶。
思考：是否能唯一确定载
a
a
a
qa
荷图的约束形式？
剪力图
2qa2
3 qa2 2
qa2 qa2
a
a
a
弯矩图
12
第五章弯曲内力
两种特殊问题
例：利用微积分关系画剪力弯矩图
3 qa2 2
A
qa q
思考： 1. 如何计算支座反力？
B
a
a
3 qa
1 qa
2
(a)
2
2. 计算支座反力后，利用
Fs
3 qa 2
1 qa 2
微积分关系画图时，是
x
否还要考虑中间支座？
3. 载荷作用在梁间铰上、 M 铰链左侧梁端，铰链右
1 qa 2 (a1)
1 qa2
8
x
侧梁端，剪力、弯矩图
有无区别？
3 qa2 2
(a2)

材料力学---弯曲内力课件(1)

FS/kN20
FsA右-5kN；FsB左5kN ; o + -
FS(+)
FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正，反之相反。
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
9
[例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
F y 0 : F S 1 ql
1a ql
M(x) RA x FS(x)
AC段：F S(x)R AF l b 0xa
RA x
Fb /l
FS
+
F M(x)
M (x)R A xF l xb 0xa
FS(x)
CB段：F S (x )R A F F l a a xl
-
M (x ) R A x F x a F ll a x a x l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，FS图发生突
Fab /l
变，M图出现尖角。
15
A
mC
B
xx
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
M A 0 : R B m / l M B 0 : R A m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA FS
4
F x 0 :F N ( x 1 ) 0 0 x 1 2 a
3a
F y 0 :F s ( x 1 ) 9 4 q0 a x 1 2 a

材料力学第五章弯曲内力PPT课件

存在平行于截面的内力（剪力）。
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例工厂厂房的天车大梁：火车的轮轴：

材料力学cl05弯曲内力

凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。
墙
楼板
梁
q
l
23:29 1
P 栏杆 a
A 阳台梁
B
M e Pa
q
A
23:29
P B
2
23:29
3
上海长江大桥架起"世界第一梁"
上海长江大桥第53号至54号桥墩间，架起“百米长梁”。这一箱梁长 105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。 “百米长梁”超越东海大桥“梁式大桥”70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100公里。整个隧桥工程在2009年完工。
（剪力 FS的实际方向与假设方向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
23:29 14
如以右侧梁作为研究对象，则：
FSc q 2a FBy qa
Fs1
Fs 4
4 由 M A 0 得 RB 7qa 4 5qa Fs1 RA 4 2
5qa M 2 M1 R A a 4
Fs 2
Fs 3
23:29
（FS4的实际方向与假设方向相反，为负剪力）
qa FS 3 Fs 2 RA qa 42 3qa M 3 R A 2a qa a 2 3qa 5qa 2 Fs 4 qa RB , M4 4 4
23:29
9
§4-3
梁的内力及其求法
a
P
A
x
l

材料力学课件：弯曲内力

例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
21
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力建立坐标建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
16
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础，也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
17
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
0< x<l 0 xl
19
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图

材料力学I第五章ppt课件

而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条件。
11
第五章梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章梁弯曲时的位移
第五章梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件

材料力学第五章

FS FS (x) M M (x) 上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程，为了形象地描述剪力、弯矩沿梁轴线的变化，常将剪力、弯矩方程用图线表示。这种图线分别称为剪力图和弯矩图。
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。（a）
（c）（d）
（b）
图5-9
（e）
解（1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a）所示。
材料力学
第五章弯曲内力与强度计算
一平面弯曲的概念与实例
二梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下，杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
（a）
（b）（c）
图5-12
解（1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。由平衡方程求得
FS2 FAy F 0

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l
FA
0
FS
M max ba F l M
FB
(4)绘图由图知：
FS
max

aF l
(a b)
Fa l
结论：在集中力F作用处：FS图有突变，突变量大小、方向同于 FS、M图有尖点.
标上绝对值
32
第四章弯曲内力 §4.4 剪力图和弯矩图
⒊在均布载荷作用下的FS,M图例:已知：如图，作FS、M图
B
a a
qa FBy 7 4
FSD左
1 3 qa qa qa 4 4
M D左
q C a
q C
FSD 左 A a FAy A D a FAy D MD左
D右邻截面：
FSD右
a 1 qa (a ) qa a 2 4 5 2 qa 4
qa
2
1 3 qa qa qa 4 4
（3）求控制点的坐标 AC段 CB段 x FS M x FS M
A C a
B
b l
Me
0 a

M0 l M0 l
0
M 0a l
a l

M0 l M0 l
M b 0 l
FA
FB
M0 l
0
FS
M
M 0a l M 0b l
(4)绘图由图知：FS max M o
l
x
M max
bM o l
x
12
第四章弯曲内力 §4.3剪力和弯矩一、剪力和弯矩求法 --截面法 F
已知简支梁，尺寸如图所示，求m-m截面的内力(剪力和弯矩) 1.求反力(省略) 2.求内力
FAy
a F1
a
1
m
F2 b B x
A
x
m
F By
F2 b

Fy 0 :
FAy
FAy - F1 - FS = 0
FS = FAy - F1
C a q C a
A
MA左
A右邻截面：
FSA 右 A FAy MA右
1 3 FSA右 qa qa qa 4 4 a 1 2 M A右 qa qa 2 2 FSA左 FSA右
22
第四章弯曲内力 §4.3剪力和弯矩
q C a
qa 2
D
qa
D左邻截面：
E
A
a
1 FAy 4 qa
一、梁支座的简化 a)滑动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
FRx
MR
FR
FRy
FRx
FRy
阻止 Y方向移动
阻止X,Y方向移动阻止X,Y移动和转动
1.移(滚)动铰支座：有一个未知反力 2.固定铰支座：有两个未知反力 3.固定端：有三个未知反力
9
第四章弯曲内力 §4.2 受弯杆件的简化二、载荷的简化
a F (l x2 ) l
(a x2 l )
31
第四章弯曲内力 §4.4 剪力图和弯矩图 x2
（3）求控制点的坐标 AC段 CB段 FS M FS M a Fa Fab 0 Fb 0
F
x1 1 A
1 C a l
Fb l
Fab l
x
x
2
B
2
b
a
l Fb l
Fab l
l
l Fa l
2 F 3 (a x2 l )
2 FB F 3
注意区间有的是闭区间，有的是开区间为什么？
( a x2 l )
27
第四章弯曲内力 §4.4 剪力图和弯矩图
㈡剪力图、弯矩图
注意： ⑴分段求FS(x)、M(x)方程 M ⑵原点选在梁的最左边。 ⑶FS、M图与载荷图上下对齐、一一对应画。
剪力(FS )
x
FS
FS
F By
任一横截面上的剪力=
该横截面任一侧所有外力的代数和
13
第四章弯曲内力 §4.3剪力和弯矩
M
a
F1
C
0:
A
m
F2 b B x
FAy x F1 x a M 0 M FAy x F1 x a
弯矩(M )
FAy
m
FAy
a F1
结论：在集中力偶M作用处：FS图无改变 M图有突变，突变量大小、方向同于M 标上绝对值
30
第四章弯曲内力 §4.4 剪力图和弯矩图
⒉在集中力作用下的FS、M图例:已知：如图，作FS 、M图 a 解: ⑴支反力 FA b F FB F
l l
x2
F
x1 1 A 1
C
a l
2 2
b
B
⑵分段列FS、M方程 AC段：
第四章弯曲内力
目
录
§4.1 弯曲的概念和实例
§4.2 受弯杆件的简化
§4.3 剪力和弯矩
§4.4 剪力图和弯矩图 §4.5 M、Q、q之间的关系 §4.6 平面曲杆的弯曲内力
1
第四章弯曲内力 §4.1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念梁
F
纵向对称面
F
轴线
⒈受力特点:作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线 ⒉变形特点:使原为直线的轴线变为曲线
x
FS
x
⒈在集中力偶作用下的FS、M图
28
第四章弯曲内力 §4.4 剪力图和弯矩图例:已知:如图,作FS,M图
⑴支反力
FA Mo l FB Mo l
x2 x1 1 A 1 a
解:
C
2
b l
B
Me 2
FA
FB
⑵分段列F S 、M方程
AC段：
FS ( x1 ) FA
FS
Mo l (0 x1 a )
25
第四章弯曲内力 §4.3剪力和弯矩
2、计算1-1截面的内力
F=8kN
FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
3、计算2-2截面的内力
FS2 q 1.5 FB 11kN M 2 FB 1.5 q 1.5 1.5 30kN m 2
(a)集中荷载
F1
集中力
M
(b)分布荷载
q(x) q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
10
第四章弯曲内力 §4.2 受弯杆件的简化
三、静定梁的基本形式
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
(a)悬臂梁
(b)简支梁
(c)外伸梁
超静定梁——仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。
11
第四章弯曲内力 §4.2 受弯杆件的简化
q
qa 2
D B
qa E
a
a
qa FBy 7 4
21
第四章弯曲内力 §4.3剪力和弯矩
q C a
qa q FAy F 4 SA 左 1
qa 2
A D B
qa E
2.求内力 A左邻截面：
a 1 2 qa qa 2 2
a
a
a
qa FBy 7 4
FSA左 qa
M A左
x
F By
F2 b
M
M
x
FS
FS
F By
任一横截面上的弯矩= 该横截面任一侧所有外力
对横截面形心力矩的代数和
14
第四章弯曲内力 §4.3剪力和弯矩
剪力(FS ) 任一横截面上的剪力= 该横截面任一侧所有外力的代数和弯矩(M ) 任一横截面上的弯矩= 的代数和该横截面任一侧所有外力对横截面形心力矩
2 FB F 3
x1
0
பைடு நூலகம்
2.列剪力弯矩方程 ⑴AC段：A为原点
M ( x1 ) FA x1
A a
C b l
FA 5 F 3
B
⑵CB段：仍以A为原点
FS ( x2 ) FB
2 M ( x2 ) FB ( l x2 ) F ( l x2 ) 3
5 Fx (0 x1 a ) 3 1 5 FS ( x1 ) FA F (0 x1 a ) 3
A q B x1 l
解:
⑴支反力
FA FB 1 ql 2
FA
FB
⑵列FS、M方程
FS ( x ) 1 ql qx 2 (0 x l )
外力矩外力矩
M M
外力
FS FS FS
＋
M
＋
M
FS
16
第四章弯曲内力 §4.3剪力和弯矩
归纳：
⑴FS的符号：对所取梁段上的一点而言，顺时针为正，逆时针为负。 FS ＋ FS
⑵M的符号：使梁呈“盛水”变形为正，使梁呈“ ＋倒水”变形为负。 M M
a F1
M
M
F2 b
FAy
x
Fs
Fs
F By
内力方向要采用“设正法”
2
第四章弯曲内力 §4.1 弯曲的概念和实例
对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 ① 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ② 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。
a
FSD右
MD右
M D右
a 1 qa (a ) qa a qa 2 2 4
FSD左 FSD右

材料力学第5章弯曲内力-11-1

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