材料力学-- 弯曲内力

材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。

而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。

弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。

在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。

首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。

当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。

弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。

这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。

其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。

在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。

对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。

而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。

在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。

接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。

弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。

在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。

此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。

最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。

弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。

在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。

总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。

通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。

第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。

二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。

变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。

三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。

四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。

变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。

五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。

2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。

3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。

4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。

5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。

六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。

（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。

（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。

2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。

3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。

（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。

2、固定铰支座——有二个约束反力。

3、可动铰支座——有一个约束反力。

（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。

超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。

§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。

求：距A 端x 处截面上内力。

解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。

材料力学弯曲内力材料力学是研究物质受力和变形的科学。

在工程学中，材料力学的应用非常广泛，其中弯曲内力是一个重要的研究对象。

弯曲内力是指在材料受到外力作用下，产生的弯曲应力和弯曲应变。

了解和分析材料的弯曲内力对于工程设计和材料选用具有重要意义。

首先，我们来了解一下弯曲内力的产生原因。

在工程结构中，由于外力的作用，材料会产生弯曲变形，这时就会产生弯曲内力。

弯曲内力的大小和方向取决于外力的大小、作用点的位置以及材料的几何形状和材料性质。

在工程实践中，我们需要通过理论分析和实验测试来确定材料的弯曲内力，以便进行结构设计和材料选用。

其次，我们需要了解弯曲内力的计算方法。

在弯曲内力的计算中，我们通常采用弯矩和剪力图的方法。

弯矩图是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的弯矩大小和方向的图形，而剪力图则是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的剪力大小和方向的图形。

通过分析弯矩和剪力图，我们可以得到材料在不同位置上的弯曲内力大小和方向，从而进行合理的结构设计和材料选用。

此外，材料的弯曲内力还与材料的强度和刚度密切相关。

在工程设计中，我们需要根据材料的弯曲内力来选择合适的材料，以保证结构的安全性和稳定性。

一般来说，材料的抗弯强度和弯曲刚度越大，其受力性能越好，适用范围也越广。

因此，在工程实践中，我们需要充分考虑材料的强度和刚度对弯曲内力的影响，从而进行合理的材料选用和结构设计。

最后，我们需要注意弯曲内力对材料的影响。

在工程实践中，弯曲内力会对材料的疲劳寿命、变形性能和使用安全性产生重要影响。

因此，我们需要通过理论分析和实验测试来充分了解材料的弯曲内力特性，从而进行合理的结构设计和材料选用，以保证工程结构的安全可靠性。

总之，材料力学弯曲内力是工程设计和材料选用中的重要内容。

了解和分析材料的弯曲内力对于工程实践具有重要意义。

通过深入研究材料的弯曲内力特性，我们可以更好地进行结构设计和材料选用，从而保证工程结构的安全可靠性。

材料力学复习提纲二弯曲变形的基本理论：一、弯曲内力1、基本概念：平面弯曲、纯弯曲、横力弯曲、中性层、中性轴、惯性矩、极惯性矩、主轴、主矩、形心主轴、形心主矩、抗弯截面模2、弯曲内力：剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图; 符号规定3、剪力方程、弯矩方程1、首先求出支反力,并按实际方向标注结构图中;2、根据受力情况分成若干段;3、在段内任取一截面,设该截面到坐标原点的距离为x,则截面一侧所有竖向外力的代数和即为该截面的剪力方程,截面左侧向上的外力为正,向下的外力为负,右侧反之;4、在段内任取一截面,设该截面到坐标原点的距离为x,则截面一侧所有竖向外力对该截面形心之矩的代数和即为该截面的弯矩方程,截面左侧顺时针的力偶为正,逆时针的力偶为负,右侧反之;对所有各段均应写出剪力方程和弯矩方程4、作剪力图和弯矩图1、根据剪力方程和弯矩方程作图;剪力正值在坐标轴的上侧,弯矩正值在坐标轴的下侧,要逐段画出;2、利用微积分关系画图;二、弯曲应力1、正应力及其分布规律()()max max max3243411-1266432zz Zz z z zz z I M EM M M y y y W EII I W y bh bh d d I W I W σσσρρππα==========⨯抗弯截面模量矩形圆形空心2、剪应力及其分布规律一般公式 z zQS EI τ*=3、强度有条件正应力强度条件 [][][]max zz zMMM W W W σσσσ=≤≤≥剪应力强度条件 []maxmax maxz maz z QS QI EIE S τττ**≤==工字型 4、提高强度和刚度的措施1、改变载荷作用方式,降低追大弯矩;2、选择合理截面,尽量提高zW A的比值; 3、减少中性轴附近的材料; 4、采用变截面梁或等强度两;三、弯曲变形1、挠曲线近似微分方程： ()EIy M x ''=-掌握边界条件和连续条件的确定法2、叠加法计算梁的变形 掌握六种常用挠度和转角的数据3、梁的刚度条件 ；[]maxy f l≤max 1.5Q Aτ=max 43QAτ=max 2Q A=max max z zQS EI *=压杆的稳定问题的基本理论;1、基本概念：稳定、理想压杆和实际压杆、临界力、欧拉公式、柔度λ、柔度界限值P λ、 临界应力cr σ、杆长系数μ1、2、、、惯性半径mix i =2、临界应力总图3、稳定校核压杆稳定校核的方法有两种：1、安全系数法 在工程中,根据压杆的工作情况规定了不同的安全系数st n ,如在金属结构中 1.8 3.0st n =;其他可在有关设计手册中查到;设压杆临界力为cr P ,工作压力为P ,则：cr cr P n n p σσ⎛⎫== ⎪⎝⎭或,式中 n 为工作安全系数,则稳定条件为： st n n ≥2、折减系数法 这种方法是将工程中的压杆稳定问题,转换成轴向压缩问题,用折减系数φ将材料的许用压应力[]σ打一个较大的折扣;φ是柔度λ的函数,根据大量的实验和工()22cr EI P l πμ=li μλ=Pλ=S S a bσλ-=mix i b =矩形短边4i d =圆形直径mixi 工字型查表221234235304 1.1229.30.19P P S S S P cr S P cr l i E aEb a b Q a MPab MPaa MPab MPaμλσλσπσλλλσλλλλσλ→→⇒→⇒=-⇒=≥⇒=≤≤⇒=-====计算程序：比较：钢松木程实践已将它们之间的关系制成了表格、图像和公式,只要算出压杆的柔度λ,就可在有关的资料中查到相应的φ值,不分细长杆,中长杆和短粗杆;其稳定表达式为：[]PAσφσ=≤复习题一、是非题 在题后的括号内正确的画“√” ；错误的画“×”1、平面图形对过形心轴的静矩等于零,惯性矩也等于零; × ;2、梁横截面上各点剪应力的大小与该点到中性轴的距离成反比; ×3、矩形截面梁上、下边缘的正应力最大,剪应力为零; √4、剪应力互等定理一定要在弹性范围内使用; ×5、所有压杆的临界力都可以用欧拉公式计算; ×6、梁横截面上各点正应力大小与该点到中性轴的距离成正比; √7、细长压杆的承载能力主要取决于强度条件; ×8、形状不同但截面面积相等的梁,在相同的弯矩下最大正应力相同; ×9、欧拉公式只适用于大柔度压杆的稳定性计算; √ 10、细长压杆的临界力只与压杆的材料、长度、截面尺寸和形状有关; × 11、梁横截面中性轴上的正应力等于零,剪应力最大; × 12、矩形截面梁上、下边缘的正应力最大,剪应力为零; √ 13、横截面只有弯矩而无剪力的弯曲称为纯弯曲; √ 14、均布荷载作用下的悬臂梁,其最大挠度与杆长三次方成正比; √ 15、无论是压杆、还是拉杆都需考虑稳定性问题; × 16、若某段梁的弯矩等于零,该段梁变形后仍为直线; √ 17、均布荷载下梁的弯矩图为抛物线,抛物线顶点所对截面的剪力等于零; √ 18、中性轴将梁的横截面分为受拉、受压两个部分; √ 19、压杆的柔度与材料的性质无关; √ 20、某段梁上无外力作用,该段梁的剪力为常数; √ 21、梁的中性轴处应力等于零; × 22、材料不同、但其它条件相同两压杆的柔度相同; √ 24、平面图形对其对称轴的静矩为零; √ 25、截面面积相等、形状不同的梁,其承载能力相同; × 26、竖向荷载作用下,梁横截面上最大剪应力发生在截面的上下边缘; ×27、压杆的柔度λ不仅与压杆的长度、支座情况和截面形状有关而且还与压杆的横截面积有关; √ 28、在匀质材料的变截面梁中,最大正应力σmax不一定出现在弯矩值绝对值最大的截上 √二、选择题备选答案中只有一个是正确的,将你所选项前字母填入题后的括号内;1、 矩形截面里梁在横力弯曲时,在横截面的中性轴处 BA 正应力最大,剪应力为零;；B 正应力为零,剪应力最大 ；C 正应力和剪应力均最大；D 正应力和剪应力均为零2、圆形截面抗扭截面模量W P 与抗弯截面模量W zA W P ＝W Z ；B W P＝2W Z ；C 2W P ＝W Z ;3、图示梁1、2截面剪力与弯矩的关系为 AA Q 1＝Q 2,M 1＝M 2；B Q 1≠Q 2,M 1≠M 2；C Q 1＝Q 2,M 1≠M 2；D Q 1≠Q 2,M 1＝M 2;4、图示细长压杆长为l 、抗弯刚度为EI ,该压杆的临界力为： A A 224lEIP cr π=； B 22lEIP cr π=C 2249.0l EIP cr π=； D 224lEIP cr π=5、两根梁尺寸、受力和支承情况完全相同,但材料不同,弹性模量分别为1E 和2E217E E =,则两根梁的挠度之比21/y y 为： BA ﹒4/1B ﹒7/1C ﹒49/1D ﹒7/16、圆形截面对圆心CAA ﹒I P ＝I Z ；B ﹒I P ＝2I Z ；C ﹒2I P ＝I Z ;7正确的是 A A a,b,c,d ；B d,a,b,c ； C c,d,a,b ；D b,c,d,a ；8、图示矩形截面采用两种放置方式,从弯曲正应力强度观点, 承载能力b 是a 的多少倍 AA ﹒2；B ﹒4；C ﹒6；D ﹒8;9、图示梁欲使C 点挠度为零,则P 与q 的关系为 B A ﹒2/ql P = B ﹒8/5ql P = C ﹒6/5ql P = D ﹒5/3ql P =10、长方形截面细长压杆,2/1/=h b ；如果将b 改为h 后仍为细长杆,临界力cr P 是原来多少倍 A ﹒2 B ﹒4 C ﹒6 D ﹒811、图示梁支座B 两侧截面剪力与弯矩的关系为 : DA ﹒Q 1＝Q 2,M 1＝M 2；B ﹒Q 1≠Q 2,M 1≠M 2；C ﹒Q 1＝Q 2,M 1≠M 2；D ﹒Q 1≠Q 2,M 1＝M 2;12、材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ,所受荷载及截面尺寸如图所示;下列关于它们的挠度的结论正确的为A A ﹒I 梁最大挠度是Ⅱ梁的4/1倍 B ﹒I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2/1倍 C ﹒I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 D ﹒I 、Ⅱ梁最大挠度相等13．截面形状不同、但面积相同,其它条件也相同的梁, 其承载能力的大小关系为 AA ﹒矩形＞方形＞圆形；B ﹒方形＞圆形＞矩形；C ﹒圆形＞方形＞矩形；D ﹒方形＞矩形＞圆形;14．T 形截面梁,横截面上a 、b 、c 三点正应力的大小关系为 B A ﹒σa ＝σb ＝σc ；B ﹒σa ＝σb ,σc ＝0；C ﹒σa >σb ,σc ＝0；D ﹒σa <σb ,σc ＝0;15．梁受力如图,在B 截面处,正确答案是 DA 剪力图有突变,弯矩图连续光滑；B 剪力图有尖角,弯矩图连续光滑；C 剪力图、弯矩图都有尖角；D 剪力图有突变,弯矩图有尖角;16．抗弯刚度相同的悬臂梁I 、Ⅱ如图所示;下列关于它们的挠度的结论正确的为； C()A I 、Ⅱ梁最大挠度相等 ()B I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2/1倍()C I 梁最大挠度是Ⅱ梁的4/1倍 ()D I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍17、如图所示的悬臂梁,自由端受力偶M 的作用, 梁中性层上正应力σ及剪应力τ正确的是： C()A 0,0=≠τσ ()B 0,0≠=τσ()C 0,0==τσ()D 0,0≠≠τσ三、填空题将答案填在题后的划线中1、图示圆截面压杆长m l 5.0=、直径mm d 20=,该压杆的柔度为：矩形方形圆形 zλ＝2、用积分法求图示梁的变形,试写出确定积分常数的边界条件和变形连续条件：3、图示圆截面悬臂梁,若其它条件不变,而直径增加一倍,则其最大正应力是原来截面上最大正应力的 1/8 倍;4、图示简支等截面梁C 处的挠度为 0 ;5、试画出矩形截面梁横截面沿高度的正应力分布规律,若截面弯矩为M , 则A 、C 两点的正=A σ ；=C σ ；67、图示梁支座B 左侧Ⅰ—Ⅰ截面的剪力和弯矩分别为：Q 1 ＝ ；z正应力分布规律M 1＝ ；8、图示悬臂梁自由端C 的转角和挠度分别为：=C θ ；=C y ；9．图示悬臂梁自由端C 的转角和挠度分别为：=Cθ ；=C y ；10、梁在弯曲时,横截面上正应力沿高度是按 分布的,中性轴上的正应力为 ；矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按 分布的,中性轴上的剪应力为 ;11、图示矩形对C Z 轴的惯性矩ZC I ＝,对y 轴的惯性矩y I ＝12、利用叠加法计算杆件组合变形的条件是：1变形为 小变形；2材料处于 线弹性;13、按图示钢结构()a 变换成()b 的形式,若两种情形下CD 为细长杆,结构承载能力将：降低;14、图示三种截面的截面积相等,高度相同,则图_____所示截面的z W 最大,图_____所示截面的z W 最小;C(a)(b)(c)15、图示荷载,支座的四种布置中,从强度考虑,最佳方案为;四、计算题1、练习作以下各题的Q、M图,要标出各控制点的Q、M值;含作业中的题2、根据题意计算梁的强度,设计截面或求承载能力;1、矩形截面梁b=20cm、h=30cm,求梁的最大正应力m ax和最大剪应力m ax τ;2、求图示矩形截面梁1—1截面的最大正应力和最大剪应力;单位mm)3、求图示矩形截面梁D 截面上a 、b 、c 三点的正应力;Ca4、16号工字钢截面的尺寸及受力如图所示;[]MPa 160=σ试校核正应力强度条件;5、图示外伸梁,受均布荷载作用,已知：m KN q /10=,m a 4=,[]MPa 160=σ,试校核该梁的强度;6、图示为一铸铁梁,kN P 91=,kN P 42=,许用拉应力[]MPa 30=+σ,许用压应力[]MPa 60=-σ,461063.7m Iy-⨯=,试校核此梁的强度;max max 4628.8MPaMPa σσ-+==3、变形计算,练习以下各题,求指定位移;部分答案供参考AA B Cy yθAC78B BC CqAc By θc By θc BqA12561 437113246B B qa qa y EI EI θ=↓=2 45768C ql y EI =↓ 6 4348c B qa qa y EIEI θ=↓= 7 43472448A B ql ql y EIEIθ=↓=8 332C ql y EI=↓4、以下为压杆练习题,按要求求解;1、图示圆截面压杆,已知mm d 100=、GPa E 200=、MPa P 200=σ;试求可用欧拉公式计算临界力杆的长度;2、两端铰支压杆,尺寸如图所示;已知材料的弹性模量GPa E 200=,比例极限MPa P 200=σ,直线经验公式)(12.1304MPa cr λσ-=; 若取稳定安全系数3=w n ,试确定容许压力; 3、图示压杆的GPa E 70=、MPa P 175=σ, 此压杆是否适用于欧拉公式,若能用, 临界力为多少;4、图示圆截面压杆,已知：m l 1=、mm d 40=,材料的GPa E 200=, 比例极限MPa P 200=σ,直线经验公式)(12.1304MPa cr λσ-=; 试求压杆的临界力;5、图示蒸气机的活塞杆AB,所受的压力KN P 120=,cm l 180=,截面为圆形,直径cm d 5.7=,GPa E 210=,MPa p 240=σ;规定8=st n ,两端视为铰接1=μ,试P y z 10040lPd校核该活塞杆的稳定性;6、图示结构,尺寸如图所示,立柱为圆截面,材料的GPa E 200=,MPa p 200=σ;若稳定安全系数2=st n ,试校核该立柱的稳定性; 2.152st n n =≥=;7、桁架ABC 由两根具有相同截面形状和尺寸及同样材料的细长杆组成,β已知,试求使荷载P 为最大时的θ角设πθ<<0;2arctan(cos )θθ=8、图示结构,力作用线沿竖直方向;AC 和BC 均为圆截面杆,其直径分别mm d AC 16=,mm d CB 14=,材料为3A 钢,GPa E 206=,直线公式λσb a cr -=的系数MPa a 310=,MPa b 14.1=;105=p λ,4.61=s λ,稳定安全系数4.2=st n ,校核该结构的稳定性;失稳9、求图是压杆的临界力;25a mm =,25d mm =,5210E MPa =⨯。