浙江省高中学业水平考试《数学》模拟卷(四)

2020浙江数学学业水平测试模拟卷(四)选择题部分一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个 是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分) 1．设集合P ＝{x |x ＞0}，下列关系式中成立的为( )A ．2⊆PB ．{2}∈PC ．∅∈PD ．{2}⊆P【★答案★】D 【分析】 由于元素和集合之间的关系只能属于或不属于，集合与集合之间的关系用包含或不包含，直接排除选项A ，B ，C.故选D.2．函数y ＝tan x2(x ∈R )的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π【★答案★】C 【分析】 函数y ＝tan x 2(x ∈R )的最小正周期是T ＝π||ω＝π12＝2π.故选C3．若lg a ＋lg b ＝2，则ab 的值等于( ) A ．2 B.12C ．100 D.10【★答案★】C 【分析】 由于lg a ＋lg b ＝lg ab ＝2，所以ab ＝100.故选C. 4．函数y ＝1＋log 3x 的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[13，＋∞) D ．(0，＋∞)【★答案★】C 【分析】 由1＋log 3x ≥0得log 3x ≥－1，解得x ≥13，所以定义域为[13，＋∞)．故选C.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝6，A ＝π6，则B ＝( )A.π4B.π3C.π3或2π3D.π4或3π4【★答案★】D 【分析】 由正弦定理得3sin π6＝6sin B ，得sin B ＝22，因为a ＜b ，所以A ＜B ，所以B＝π4或B ＝3π4.故选D.6．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，y ≥x ，则x ＋2y 的最小值为( )A ．1.5B ．2C ．5D ．6【★答案★】A 【分析】 画出不等式组所表示的可行域，如图，当直线x ＋2y ＝t 经过直线l 2，l 3交点(12，12) 时，x ＋2y 的最小值为1.5.故选A.第6题图7．已知向量a ＝(x ，x ＋2)与向量b ＝(1，3x )是共线向量，则实数x 的值为( ) A ．－23或1 B.23或－1 C.32或－1 D ．－32或1【★答案★】A 【分析】 因为a ∥b ，所以3x 2－(x ＋2)＝0，解得x ＝－23或x ＝1.故选A.8．下列函数中，既是奇函数又存在零点的是( ) A ．y ＝2＋sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝ln x D ．y ＝e x －e －x【★答案★】D 【分析】 四个选项中，y ＝2＋sin x 和y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数，排除A ，C ；又y ＝cos x 为偶函数，排除B ；记f ()x ＝e x －e －x ，有f ()－x ＝e －x －e x ＝－f ()x ，故f ()x 为奇函数，且有f ()0＝e 0－e 0＝0有零点．故选D.9．椭圆2x 2＋y 2＝6的焦点坐标是( )A ．(0，±3)B ．(±3，0)C ．(±3，0)D ．(0，±3) 【★答案★】A 【分析】 椭圆方程2x 2＋y 2＝6可化为y 26＋x 23＝1，所以椭圆焦点在y 轴上，且a 2＝6，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝3，所以焦点坐标为(0，±3)．故选A.10．设a ∈R ，“1，a ，16为等比数列”是“a ＝4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【★答案★】B 【分析】 由题意得，1，a ，16为等比数列，有a 2＝16×1，所以a ＝±4，因此a ＝4能推出1，a ，16为等比数列，反之不能，所以“1，a ，16为等比数列”是“a ＝4”的必要不充分条件．故选B.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x【★答案★】B 【分析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，可得e ＝ca ＝3，即c ＝3a ，由c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2a ，渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±2x .故选B.12．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( ) A ．2cm 3 B ．4cm 3 C ．6cm 3 D ．12cm 3第12题图【★答案★】A 【分析】 由三视图知该几何体的直观图是三棱锥，易知底面为等腰三角形，则三棱锥的体积为V ＝13×(12×3×2)×2＝2cm 3.故选A.13．如果⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0， b ＜0， a ＋b ＞0，那么下列不等关系正确的个数是( )①a 2b ＜b 3；②1a ＞0＞1b；③a 3＞ab 2；④a 3＞b 3.A ．1B ．2C ．3D ．4【★答案★】D 【分析】 因为a ＋b ＞0，a －b ＞0，所以a 2－b 2＞0，所以b (a 2－b 2)＜0，a 2b ＜b 3，①正确；②1a ＞0＞1b 显然成立；因为a (a 2－b 2)＞0，所以③a 3＞ab 2正确，④a 3＞b 3显然成立，所以不等关系正确的个数是4.故选D.14．直线l 与平面α不垂直，则下列说法正确的是( ) A ．平面α内有无数条直线与直线l 垂直 B ．平面α内任意一条直线与直线l 不垂直 C ．平面α内有且只有一条直线与直线l 垂直 D ．平面α内可以找到两条相交直线与直线l 垂直【★答案★】A 【分析】 因为直线l 与平面α不垂直，所以在平面α内只要与l 在平面α的射影垂直，就有无数条直线与直线l 垂直，选项A 正确．选项B ，C ，D 可以找到反例．故选A.15．设平面向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|a ＋b |＝6，|b |＝|c |，且b ⊥c ，则|b －c |的取值范围为( ) A ．[4，8] B ．[42，82] C ．(4，8) D ．(42，82)【★答案★】B 【分析】 因为|a |＝2，|a ＋b |＝6，所以4≤|b |≤8，又|b |＝|c |，b ⊥c ，所以|b －c |＝（b －c ）2＝2b 2＝2|b |∈[42，82]．故选B.16．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ≤π2)的部分图象如图所示，则cos(5ωφ)等于( )第16题图A.12 B ．－12 C.22 D ．－32【★答案★】B 【分析】 由图可得，ω＝2π（5π6－π3）×2＝2，因为f (π3)＝0，0＜φ≤π2，所以φ＝π3，所以cos(5ωφ)＝cos 10π3＝－12.故选B.17．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，下列结论一定成立的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．a 1＋a 3≤2a 2 C ．a 1S 3＞0 D ．a 1S 3＜0【★答案★】C 【分析】 设等比数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，因为(a 1＋a 3)－2a 2＝a 1(1＋q 2－2q )＝a 1(1－q )2.当a 1＞0时，有a 1＋a 3≥2a 2；当a 1＜0时，有a 1＋a 3≤2a 2；a 1S 3＝a 1(a 1＋a 2＋a 3)＝a 12(1＋q ＋q 2)＞0.故选C.18．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，有f (x )＞1，且对任意的x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )f (y )，则不等式f (ln x )≤1f （ln x ＋1）的解集为( )A ．(0，e －14]B ．[e －14，e －12]C ．(0，e －1] D ．(0，e －12]【★答案★】D 【分析】 由题意知，令x ＝0，y ＝1，则f (1)＝f (0)·f (1)，又f (1)＞1，所以f (0)＝1.因为f (x )＝f (x 2＋x 2)＝f 2(x2)≥0，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝0，则对任意的x ∈R ，有f (x )＝f (x －x 0＋x 0)＝f (x －x 0)f (x 0)＝0，这与已知矛盾，故对任意的x ∈R 恒有f (x )＞0.现在证明函数f (x )在R 上是增函数．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，所以f (x 2－x 1)＞1，又因为f (x 2)＝f (x 2－x 1＋x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)＞f (x 1)，即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在R 上是增函数．原不等式转化为f (ln x )f (ln x ＋1)≤1，即f (2ln x ＋1)≤f (0)，所以2ln x ＋1≤0，所以ln x ≤－12，所以不等式f (ln x )≤1f （ln x ＋1）的解集为(0，e －12]．故选D.非选择题部分二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S n ＝n 2＋2n ，则首项a 1＝__________，公差d ＝__________． 【★答案★】3 2 【分析】 当n ＝1时，有a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －(n －1)2－2(n －1)＝2n ＋1；又当n ＝1时，a n ＝2n ＋1＝3＝a 1，所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，所以d ＝a n －a n －1＝2.20．若两平行直线3x ＋4y －2k ＝0与3x ＋4y ＋1＝0之间的距离为1，则实数k ＝__________． 【★答案★】2 【分析】 由于两平行直线3x ＋4y －2k＝0与3x ＋4y ＋1＝0之间的距离d ＝|1＋2k |32＋42＝1＋2k5＝1，所以2k ＝4，k ＝2. 21．已知1＜x ＜32，则2x －1＋13－2x的最小值为__________．【★答案★】9 【分析】 设3－2x ＝y ，因为1＜x ＜32，所以y ＞0，且2x ＋y ＝3，即2(x －1)＋y ＝1，因为x －1＞0，所以2x －1＋13－2x ＝2x －1＋1y ＝[2(x －1)＋y ](2x －1＋1y )＝5＋[2y x －1＋2（x －1）y ]≥9，当且仅当x＝43，y ＝13时，取等号． 22．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 在CC 1上，且CF ＝2FC 1，点P 是侧面AA 1D 1D (包括边界)上一动点，且PB 1∥平面DEF ，则tan ∠ABP 的取值范围是__________．第22题图【★答案★】[13，133] 【分析】 在AA 1上取点M ，使得AM ＝12MA 1，连接B 1M ，则B 1M ∥DF ；取C 1D 1的中点为N ，连接B 1N ，则B 1N ∥DE ，因此平面B 1MN ∥平面DEF ，过N 作NG ∥DF 交DD 1于G ，连接MG ，则B 1，M ，G ，N 四点共面，且DG ＝23DD 1，因为PB 1∥平面DEF ，所以点P 在线段MG 上运动，当点P 分别与点M ，G 重合时，tan ∠ABP 有最小值13和最大值133，故tan ∠ABP 的取值范围是[13，133]．三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(本题10分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)，求cos α及α＋β的值．【解】 由tan α＝－13，α，β∈(0，π)，所以α为钝角， (1分)由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝－13， sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝－31010，sin α＝1010. (3分)又cos β＝55，β∈(0，π)，所以β为锐角．(4分) sin β＝1－cos 2β＝255.(6分)因为π2＜α＜π，0＜β＜π2，所以π2＜α＋β＜3π2.(7分)因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×55＋(－31010)×255＝－22，(9分) 所以α＋β＝5π4.(10分)24．(本题10分)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点Q (4，0)作动直线l 交抛物线于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，(1)求抛物线的方程；(2)若对点P (t ，0)，恒有∠APQ ＝∠BPQ ，求实数t 的值及△P AB 面积的最小值．第24题图【解】 (1)设动直线l 方程：x ＝4＋my . (1分)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋my ，y 2＝2px ， 消去x 得y 2－2pmy －8p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得y 1y 2＝－8p ，所以x 1x 2＝()y 1y 224p 2＝16，(3分)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8p ＝0，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(5分) (2)因为∠APQ ＝∠BPQ ，所以k P A ＋k PB ＝0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，化简得y 1y 214－t ＋y 2y 224－t ＝0，所以()y 1y 2－4t ()y 1＋y 2＝0恒成立，所以y 1y 2＝4t ，即－16＝4t ，故t ＝－4.(8分) 由(1)有y 1y 2＝－16， y 1＋y 2＝4m ， 所以S △P AB ＝12||PQ ||y 1－y 2＝4()y 1＋y 22－4y 1y 2＝16m 2＋4，当m ＝0时，△P AB 面积的最小值为32.(10分)25．(本题11分)已知函数f (x )＝x 2＋2|x －a |(a ＞0)，记f (x )在区间[－1，2]的最小值为M (a )． (1)求M (a )的表达式；(2)当a ∈[12，1]时，存在x ∈[14，2]，使得不等式(1－b )x ＋M （a ）x≥2成立，求实数b 的取值范围．【解】(1)①若0＜a ＜2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2a ，x ∈[－1，a ]，x 2＋2x －2a ，x ∈（a ，2].(1分)当0＜a ≤1时，f (x )在[－1，a ]上单调递减，在(a ，2]上单调递增，故函数f (x )最小值为M (a )＝f (a )＝a 2. (2分)当1＜a ＜2时，f (x )＝x 2－2x ＋2a ＝(x －1)2＋2a －1，f (x )在[－1，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，故函数f (x )最小值为M (a )＝f (1)＝2a －1.(3分)②若a ≥2，f (x )＝x 2－2x ＋2a ＝(x －1)2＋2a －1，f (x )在[－1，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，故函数f (x )最小值为M (a )＝f (1)＝2a －1. (4分)综上M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2，0＜a ≤1，2a －1，a ＞1.(5分)(2)当12≤a ≤1时，由(Ⅰ)知M (a )＝a 2，代入化简，原问题等价于b ≤a 2x 2－2x ＋1在x ∈[14，2]有解. (6分)令t ＝1x ，则由t ∈[12，4]，故b ≤a 2t 2－2t ＋1，记h (t )＝a 2t 2－2t ＋1，t ∈[12，4]，于是，原问题等价于b ≤h (t )max ，t ∈[12，4]．(7分)而h (t )＝a 2t 2－2t ＋1＝a 2(t －1a 2)2＋1－1a 2的图象开口向上，对称轴t ＝1a 2∈[1，4]，又因为t ∈[12，4]，(8分)故当1≤1a 2≤94，即23≤a ≤1时，h (t )max ＝h (4)＝16a 2－7；(9分)当94＜1a 2≤4，即12≤a ＜23时，h (t )max ＝h (12)＝a 24.(10分)2 3≤a≤1时，b≤16a2－7，当12≤a＜23时，b≤a24. (11分)综上，当感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2021-2022学年浙江省学业水平考试仿真模拟卷（四）一、单选题（本大题共18小题，共54分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，，，则集合A可以为( )A. B. C. D.2.( )A. B. C. D.3.i为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知命题，，则p的否定为( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.已知向量，满足，和的夹角为，则( )A. B. C. D. 16.已知a，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，的图象如图所示，则的值域是( )A. B. C. D.8.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计，这批学生的体重数据单位：千克全部介于45至70之间.将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图.图中a的值为( )A. B. C. D.9.若，，则的值为( )A. B. C. D.10.的值为( )A. B. C. 1 D. 211.的零点所在区间是( )A. B. C. D.12.随着网络技术的发展，非现金支付变得愈发流行，微信支付和支付宝支付就是两种常用的非现金支付方式.某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付又用非现金支付的概率为，则只用非现金支付的概率为( )A. B. C. D.13.函数的图象可能是( )A. B.C. D.14.在空间中，设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )A. 若且，则B. 若，，，则C. 若且，则 D. 若m 不垂直于，且，则m 必不垂直于n15.在三角形ABC 中，，，P 为线段DE 上的动点，若，l ，，则( )A. 1B.C.D. 216.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.17.如图所示，在长方形ABCD 中，，，E 为线段DC 上的一个动点，现将沿AE折起，使点点D 折起后的点在平面ABC 内的射影K 在直线AE 上，则当点E 从D 运动到C 时，点K所形成的轨迹的长度为( )A. B. C. D.18.已知函数则函数的零点个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共15分）19.已知向量，，__________，__________.20.已知，，当时，关于x的不等式恒成立，则的最小值是__________.21.在中，，，且，则__________.22.在矩形ABCD中，，点E为线段CD中点，如图所示，将沿着AE翻折至点不在平面ABCD内，记线段中点为F，若三棱锥体积的最大值为，则线段AB长度的最大值为__________.三、解答题（本大题共3小题，共31分。

浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
13．下列选项中正确的是（ ）
A ．33log 1.1log 1.2
<B ．
()
()
3
3
1.1 1.2-<-C ． 1.1 1.2
0.990.99<D ．30.99
0.993<14．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从
20．在ABC V 中，已知4BC =，4BC BD =uuu r uuu r ，连接AD ，满足
sin sin DB ABD DC ACD ×Ð=×Ð，则ABC V 的面积的最大值为四、解答题
21．某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成
[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组，绘制如图所示的频率分布
直方图．
20．3
【分析】分别在ADB
V和
由角平分线定理得到AB AC
cos BAC
Ð，即可得到sin
ADB
V。

仿真模拟(四)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．设集合M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |－1<x ≤3}，则M ∩N 等于( )A ．(－2,3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)答案 C解析 ∵M ＝{x |x >2或x <－2}，∴M ∩N ＝{x |2<x ≤3}．2．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－∞，－3)∪(－3,0]B ．(－∞，－3)∪(－3,1]C ．(－3,0]D ．(－3,1]答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，即x ∈(－3,0]． 3．在等差数列{a n }中，若S n ＝3n 2＋2n ，则公差d 等于( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 D解析 公差为d 的等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝3n 2＋2n ，所以d ＝6.故选D.4．不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,3]C ．[3，＋∞)D ．[－1,2] 答案 B解析 不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，1－2x ≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≤5， 解得－2≤x <－1或－1≤x ≤2或2<x ≤3，所以不等式|x －2|＋|x ＋1|≤5的解集为[－2,3]，故选B.5．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c 等于( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析 由正弦定理得a sin A ＝b sin B， 因为B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，所以1sin A ＝32sin A cos A. 所以cos A ＝32. 又0<A <π，所以A ＝π6，所以B ＝2A ＝π3. 所以C ＝π－A －B ＝π2，所以△ABC 为直角三角形， 由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2.6．已知命题p ：x ＞1，q ：1x＜1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x ＞1，即0＜1x ＜1，即1x ＜1，即p 是q 的充分条件；而1x＜1，即x ＞1或x ＜0，即p 不是q 的必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件．7．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则S 10等于( ) A ．4 B.92C ．5D ．6 答案 C解析 a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝12，所以这是一个周期为3的周期数列，且a 1＋a 2＋a 3＝32，a 10＝12，所以S 10＝3×32＋12＝5. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π B.π2 C.π3 D.π6答案 D解析 由三视图知，该几何体为一圆锥被轴截面所截得的圆锥的一半，底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×π×12×1＝π6. 9．若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝|a －c |＝|b －c |，则|c |的最大值为( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1答案 B解析 作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，设向量a ，b 的夹角为α，由题意可得OA ＝OB ，BA ＝CA ＝CB ，可得△CAO ≌△CBO ，即有OC 垂直平分AB .设AB ＝t ，t ＝2sin α2， 等边△ABC 的高CH ＝32t ＝3sin α2， OH ＝cos α2， 则|c |＝CH ＋OH ＝3sin α2＋cos α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6， 当α2＋π6＝π2， 即当α＝2π3时，|c |取得最大值2. 10.如图，已知正三棱柱(底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱)ABC －A 1B 1C 1的体积为94，底面边长为 3.若点P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 因为AA 1⊥底面A 1B 1C 1，所以∠AP A 1为P A 与平面A 1B 1C 1所成的角，因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，所以∠AP A 1的大小等于P A 与平面ABC 所成的角的大小，所以111A B C S V ＝34×(3)2＝334，所以111ABC A B C V －＝AA 1×111A B C S V ＝334AA 1＝94，解得AA 1＝ 3.又点P 为底面正三角形A 1B 1C 1的中心，所以A 1P ＝23A 1D ＝23×3×sin 60°＝1.在Rt △AA 1P 中，tan ∠AP A 1＝AA 1A 1P ＝3，所以∠AP A 1＝π3，故选C.11．若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |>4成立的一个充分不必要条件是( )A ．|a ＋b |≥4B ．|a |≥4C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b <－4答案 D解析 由b <－4⇒|b |>4⇒|a |＋|b |>4知，充分性成立．由|a |＋|b |>4D /⇒b <－4知，必要性不成立．12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤7，x －y ≤－2，x －1≥0，则目标函数z ＝y x 的最大值为()A.95 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析 不等式组对应的平面区域如图(阴影部分，含边界)所示，z 的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，则由图象可知，OA 的斜率最大，OB 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，即A (1,6)， 此时OA 的斜率k ＝6，故选C.13．若4x ＋4y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1] 答案 D解析 由于4x ＋4y ≥24x ×4y ＝2x＋y ＋1， 所以2x ＋y ＋1≤1＝20，得x ＋y ＋1≤0，即x ＋y ≤－1.故选D.14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (－3)>f (2)C ．f (－1)>f (3)D ．f (－2)<f (－3)答案 C解析 因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，又f (x )在[0，＋∞)上是减函数，所以f (6)<f (|－3|)<f (|－2|)<f (|－1|)<f (0)，则f (－1)>f (3)，故选C.15．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 答案 A解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ， 即2x ±y ＝0.16．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF (如图①)．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE (如图②)．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( )①AC ∥平面BEF ；②B ，C ，E ，F 四点不可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ；④平面BCE 与平面BEF 可能垂直．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，在图中记AC 与BD 交点(中点)为O ，取BE 的中点为M ，连接MO ，MF ，易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC∥FM，又∵FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC∥平面BEF，故①正确；假设②中B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，所以AD∥EF，这与已知相矛盾，故B，C，E，F四点不可能共面，所以②正确；③在梯形ADEF中，易得FD⊥EF，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，即CD⊥EF，又CD⊥AD，AD，EF为平面ADEF内的相交直线，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，所以③正确；④延长AF至G使得AF＝FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG 于N，又平面BCE∩平面ABF＝BG，FN⊂平面ABF，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，前后矛盾，故④错误．故选B.17．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0答案A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a， 双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a， 所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32， 所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ， 所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12 x ， 即x ±2y ＝0.故选A.18．已知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0，b ，c ∈R )在(0,2)内有两个实根，若⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，25a ＋10b ＋4c ≥4，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C.94 D.1625答案 D解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x －p )(x －q )，∵⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，25a ＋10b ＋4c ≥4，∴f (0)＝c ≥1，f (2.5)≥1， ∴apq ≥1，a (2.5－p )(2.5－q )≥1，∴a 2pq (2.5－p )(2.5－q )≥1，即a 2≥1pq (2.5－p )(2.5－q )， 又p ·(2.5－p )·q ·(2.5－q )≤625256， 当且仅当p ＝q ＝1.25时，等号成立．∴a 2≥256625，即a ≥1625，a 的最小值为1625. 二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是________；最大值是________．答案 π 1解析 f (x )＝－cos 2x ，T ＝π，f (x )max ＝1.20．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝________. 答案 1534解析 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即49＝25＋AC 2－2×5×AC ×⎝⎛⎭⎫－12， 则AC 2＋5AC －24＝0，解得AC ＝3.故△ABC 的面积S ＝12×5×3×sin 120°＝1534. 21．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则T n ＝________.答案 23(4n －1) 解析 由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n －1)＝3n －1， 当n ＝1时，也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，T n ＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 22．偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫1515，33 解析 因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)，即k (x ＋1)－y ＝0(k >0)过定点(－1,0)．因为函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象及直线k (x ＋1)－y ＝0(k >0)如图所示，则由图易得|AB |＝22－1＝3，|AC |＝42－1＝15，tan ∠BAx ＝13＝33，tan ∠CAx ＝115＝1515， 则要使直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1515，33. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋3cos x )－32，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的值域．解 f (x )＝cos x (sin x ＋3cos x )－32 ＝sin x cos x ＋32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． ⎝⎛⎭⎫注：或者写成单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) (3)x ∈R ，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即f (x )∈[－1,1]． 24．(10分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，|MF 1|＝433. (1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋2交椭圆于A ，B 两点，求△ABO (O 为坐标原点)面积的最大值．解 (1)由已知得c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2， 可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1. 设点M 在第一象限，因为MF 2⊥x 轴，可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c ， 由|MF 1|＝4c 2＋43c 2＝433，解得c ＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入椭圆，可得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由Δ>0，可得3k 2－2>0，则有x 1＋x 2＝－12k 2＋3k 2，x 1x 2＝62＋3k 2， 所以|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2. 因为直线y ＝kx ＋2与y 轴交点的坐标为(0,2)，所以△OAB 的面积S ＝12×2×|x 1－x 2| ＝218k 2－123k 2＋2＝26×(3k 2－2)3k 2＋2， 令3k 2－2＝t ，由3k 2－2>0知t ∈(0，＋∞)，所以S ＝26t t ＋4＝26t t 2＋8t ＋16＝26t ＋16t＋8≤62，当且仅当t ＝16t，即t ＝4时等号成立． 所以当t ＝4时，△ABO 的面积取得最大值62. 25．(11分)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则称x 0为函数f (x )的局部对称点．(1)若a ，b ∈R 且a ≠0，证明：函数f (x )＝ax 2＋bx －a 必有局部对称点；(2)若函数f (x )＝2x ＋c 在区间[－1,2]上有局部对称点，求实数c 的取值范围．(1)证明 由f (x )＝ax 2＋bx －a ，得f (－x )＝ax 2－bx －a ，代入f (x )＋f (－x )＝0，得(ax 2＋bx －a )＋(ax 2－bx －a )＝0，得到关于x 的方程ax 2－a ＝0(a ≠0)，其中Δ＝4a 2，由于a ∈R 且a ≠0，所以Δ＞0恒成立，所以函数f (x )＝ax 2＋bx －a (a ，b ∈R ，a ≠0)必有局部对称点．(2)解 方程2x ＋2－x ＋2c ＝0在区间[－1,2]上有解， 于是－2c ＝2x ＋2－x .设t ＝2x (－1≤x ≤2)，则12≤t ≤4，－2c ＝t ＋1t ，其中2≤t ＋1t ≤174， 所以－178≤c ≤－1.即c ∈⎣⎡⎦⎤－178，－1.。

2022年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷04一、单选题(本大题共18小题，每小题3分，共54分) 1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x ∈R}则P∩Q 等于 A ．{﹣2，﹣1，0，1，2}B ．{3，4}C ．{1，2}D ．{1} 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：依题意，共同元素为{}1,2. 2．函数()4ln 1xf x x x-=++的定义域为（ ） A ．()1,4- B ．()(]1,00,4-⋃ C ．()()1,00,4- D ．(]1,4-【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数为正数、分母不为零以及偶次根式的被开方非负列式可得结果. 【详解】要使函数有意义，则有10400x x x +>⎧⎪-≥⎨⎪≠⎩解得14x -<≤且0x ≠.所以函数()f x 的定义域为(1,0)(0,4]-. 故选：B3．在同一坐标系中，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的图象和性质判断即可. 【详解】解：由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭中的底数1012<<，所以为减函数，所以排除BC ， 由于2log y x =中的底数21>，所以为增函数，所以排除D ， 故选：A.4．若α为钝角，4sin 5α，则cos α=（ ） A ．15-B ．15C ．35D ．35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系式22cos sin 1αα+=求解. 【详解】α为钝角，4sin 5α，3cos 5α∴==-.故选：D.5．若()()12212,a e me m R b e e m =-∈=--与平行则的值是（ ） A ．m=0 B ．m= -1C ．m=12D ．m= -2【答案】C 【解析】 【详解】∵2112(2)2b e e e e =--=-又∵()()12212a e me m R b e e =-∈=--与平行 ∴121m-=-，即12m =6．图所示几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】直接根据三视图定义得到答案. 【详解】根据图形知：几何体的左视图是A 选项. 故选：A.7．函数221()x f x x+=．A ．是奇函数且在区间2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增B ．是奇函数且在区间2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减 C ．是偶函数且在区间2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增D ．是偶函数且在区间2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减 【答案】A 【解析】 【详解】由222()121()()x x f x f x x x -++-==-=--可知()f x 是奇函数，排除C ，D ， 且()()819212,13221f f ++====，由(2)(1)f f >可知B 错误，故选A ． 8．不等式22150x x -++≤的解集为（ ）A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B 【解析】 【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集； 【详解】解：依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥故选：B ．9．已知函数()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若x ∀∈R ，()()29430f mx f x +-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)21,+∞ B ．[)13,+∞C ．27,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)15,+∞【答案】C 【详解】解：因为()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，所以函数图象如下所示：由函数图象可知函数为定义域R 上单调递减的奇函数，当0x ≥时()2f x x =-，则()()()223399f x x x f x =-=-=，当0x <时()2f x x =，则()()()223399f x x x f x ===，所以()()39f x f x =，因为x ∀∈R ，()()29430f mx f x +-≤恒成立，即x ∀∈R ，()()()()2943934912f mx f x f x f x ≤--=-=-恒成立，所以2912mx x ≥-恒成立，即29120mx x -+≥恒成立，当0m =，显然不成立，当0m ≠时，则，解得2716m ≥，即27,16m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭； 故选：C10．已知1cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78- B ．78 C ．716D ．716-【答案】B 【详解】∵1cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2sin 2sin 2cos 212cos 66266πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2171248⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：B.11．已知,R αβ∈，“tan tan αβ=”是“π,k k αβ=+∈Z ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合函数tan y x =的周期分别判断充分性与必要性是否成立. 【详解】当tan tan αβ=时，由于函数tan y x =的周期为π，所以可得π,k k αβ=+∈Z ，即充分性满足；当3,22ππαβ==时，其正切值不存在，所以π,k k αβ=+∈Z 推不出tan tan αβ=，不满足必要性，所以“tan tan αβ=”是“π,k k αβ=+∈Z ”的充分不必要条件. 故选：A12．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数cos 2y x =的图象上的所有点沿x 轴A ．向右平移4π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向左平移2π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】根据sin 2cos(2)2x x π=-及平移变换的规则可得正确的选项.【详解】因为sin 2cos(2)2x x π=-，所以由cos2y x =图像平移到cos(2)2y x π=-，只需向右平移4π个单位． 故选：A.13．已知二次函数221y x ax =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),23,-∞⋃+∞ B ．[]2,3 C ．(][),32,-∞-⋃-+∞ D ．[]3,2--【答案】A 【解析】 【分析】结合图像讨论对称轴位置可得. 【详解】 由题知，当222a --≤或232a--≥，即2a ≤或3a ≥时，满足题意. 故选：A14．已知向量1a =，3a b +=，26a b -=，则23a b +=（ ）A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】由已知平方可得232b =，14⋅a b =，再对23a b +平方即可求出.【详解】因为1a =，3a b +=，26a b -=，平方可得21a =，2223a a b b +⋅+=，22446a a b b -⋅+=， 解得232b =，14⋅a b =，故22231412349124912242a b a b a b +=++⋅=+⨯+⨯=，∴82232a b +=. 故选：D ．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值为（ ）A 10B 26C 15D 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接11A C 交11B D 于点O ，连接BO ，证明1OC ⊥平面11BB D D ，则1C BO ∠为则1BC 与平面11BB D D 所成角，在1Rt BOC △中，求出1C BO ∠即可. 【详解】解：连接11A C 交11B D 于点O ，连接BO ，由2AB BC ==，可得1111D C B A 为正方形即111OC B D ⊥， 由长方体的性质可知1BB ⊥面1111D C B A ，1OC ⊂面1111D C B A ，所以11OC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=， ∴1OC ⊥平面11BB D D ，则1C BO ∠为则1BC 与平面11BB D D 所成角， 在1Rt BOC △中，12OC =，15,3BC OB ==， ∴11315cos 55OB OBC BC ∠===， 即1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值为155. 故选：C.16．若0,0,1x y x y >>+=，且14m x y+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{}3m m <B ．{}6m m <C ．{}5m m <D ．{}9m m <【答案】D 【解析】 【分析】结合“1”的代换，利用基本不等式求得14x y+的最小值后可得m 的范围．【详解】因为0,0,1x y x y >>+=，所以141444()5529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即12,33x y ==时等号成立，所以9m <．即m 的范围是{|9}m m <．故选：D ．17．平面向量,a b 满足4a =，a 与a b -的夹角为120，记()()1m ta t b t =+-∈R ，当m 取最小值时，a m ⋅=（ ） A ．23 B ．12C ．43D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，作出图象，根据平面向量基本定理可知,,m a b 起点相同，终点在直线AB 上，可知min 23m =且,30a m <>=，由向量数量积定义可求得结果. 【详解】设OA a =，OB b =，则a b BA -=，如图所示，a 与ab -的夹角为120，120OAB ∴∠=，60OAC ∠=；()()1m ta t b t =+-∈R 且()11t t +-=，,,m a b ∴起点相同时，终点共线，即在直线AB 上，∴当m AB ⊥时，m 最小，又4a =，min 23m ∴=,30a m <>=，42312a m ∴⋅=⨯=. 故选：B.18．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，若()()036f f +=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．72-D ．52【答案】C 【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()11f x f x -+=+①， 因为()2f x +是奇函数，所以()()22f x f x -+=-+②． 令1x =，由①得：()()024f f a b ==+， 由②得：()()()31f f a b =-=-+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a +-+=⇒=， 令0x =，由②得：()()()22208f f f b =-⇒=⇒=-，所以当[]1,2x ∈时，()228f x x =-，111711222232f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C ．二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．已知幂函数()f x x α=的图像过点，则α=________，(16)f =_________． 【答案】 124【详解】由题意知，2α=12α=，所以12()f x x =，可知12(16)16=4f =. 故答案为：12；420．在△ABC 中，若b ＝2，c ＝C ＝23π，则a ＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用余弦定理直接求解可得. 【详解】∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，223∴（）＝a 2＋22－2a ×2×cos 23π， ∴a 2＋2a －8＝0，即(a ＋4)(a －2)＝0，∴a ＝2或a ＝－4(舍去)．∴a ＝2．故答案为：221．已知平面向量()()1,1,,2a b t =-=，若()a b a +⊥，则t =__________.【答案】0【详解】解：因为()()1,1,,2a b t =-=，所以()()()1,1,21,1a b t t +=-+=+，又()a b a +⊥，所以()()()11110a b a t +⋅=⨯++⨯-=，解得0=t ；故答案为：022．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,A D C D 的中点，若点,,N P M 分别为线段11,,BD EF BC 上的动点，则PM PN +的最小值为___________.【答案】1【详解】如上图所示，当P 点运动时，M 位于EF 中点时，PM 最小；若BN BQ =，则BPN BPQ ≅，即PN PQ =，当,,M P Q 三点共线时，PM PQ +最小，即PM PN +最小，此时1PM PN += 故答案为：1三、解答题(本大题共3小题，共31分)23（10分）．已知函数f （x ）＝sin x .（1）判断f （x ）是否是三角函数，并求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求f （x ）的单调递增区间.【答案】（1）f （x ）是三角函数，1；（2）222,2()k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）f （x ）是三角函数，代入数据，即可得答案.（2）根据正弦函数的性质，即可得答案.【详解】 （1）f （x ）是三角函数，=sin 122f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）f （x ）的单调递增区间为222,2()k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦24（10分）．如图，三棱锥P ABC -中，AC CB PA PC ===，120ACB ∠=︒，90BCP ∠=︒.(1)证明：平面PAB ⊥平面ABC ；(2)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）若,D E 分别是,AB BP 中点，连接,,CD DE EC ，由已知条件及勾股定理可得DE CD ⊥、CD AB ⊥，根据线面垂直的判定和面面垂直的判定即可证结论.（2）由（1）可得PA PB ⊥，结合面面垂直的性质求P 到面ABC 的距离，由等体积法P ABC B PAC V V --=求B 到面PAC 的距离，进而求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.(1)如下图，若,D E 分别是,AB BP 中点，连接,,CD DE EC ，令2AC CB PA PC ====，由90BCP ∠=︒，即△CBP 为等腰直角三角形，则2CE在等腰△ACB 中120ACB ∠=︒，可得 1CD =且CD AB ⊥，又112DE PA ==， 所以222DE CD CE +=，即DE CD ⊥，又DE AB D ⋂=且,DE AB ⊂面PAB ， 所以CD ⊥面PAB ，而CD ⊂面ABC ，故平面PAB ⊥平面ABC .(2)由（1）知：22PB =23AB =222PA PB AB +=，即PA PB ⊥，若h 为P 到AB 上的高，则h AB PA PB ⋅=⋅，可得26h =， 又面PAB ⊥面ABC ，且面PAB ⋂面ABC AB =，易知P 到面ABC 的距离为26h . 所以211261222sin1203323P ABC ABC V h S -=⋅=⨯⨯︒=P ABC B PAC V V --=，212sin 6032PAC S =⨯⨯︒= 若B 到面PAC 的距离为d ，则12233d 26d =2PB = 所以直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值263322d PB ==⨯.25（11分）．已知函数()()()2f x x x a a R =-+∈，(1)当1a =时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间[]4,1-的值域；(2)当[]3,3x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的表达式．【答案】(1)①(],1-∞-，1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；②[]18,0-；(2)()23,44,443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩【分析】(1)①分别在1x ≤-与1x >-时，结合二次函数单调性即可得解；②利用①中单调性确定最值点，求出最值即可作答.(2)分别在3,2,23a a a -≥-≤<-<三种情况下，结合二次函数对称轴位置与端点值的大小关系确定最大值即可作答.(1)当1a =时，()()222,1212,1x x x f x x x x x x ⎧-++≤-=-+=⎨-->-⎩， ①当1x ≤-时，()22f x x x =-++在(],1-∞-上单调递增，当1x >-时，()22f x x x =--在1(1,)2-上单调递减，在1[,)2+∞上单调递增； 所以()f x 的单调递增区间为(],1-∞-，1[,)2+∞. ②由①知：()f x 在[]4,1--上单调递增，在1(1,)2-上单调递减，在1(,1]2上单调递增， 于是有()()min 1min{4,()}2f x f f =-，()()()max max{1,1}f x f f =-， 而()418f -=-，1)(294f =-，()10f -=，12f ，则()min 18f x =-，()max 0f x =，所以()f x 在[]4,1-上的值域为[]18,0-.(2)依题意，()()()()()()()22222,222,x x a x a x a x a f x x x a x a x a x a ⎧-+=+--≥-⎪=⎨--+=-+-+<-⎪⎩， ①当3a -≥，即3a ≤-时，()()222f x x a x a =-+-+，对称轴为2522a x -=≥， 当232a -≥，即4a ≤-时，()f x 在[]3,3-上单调递增，max ()()(3)3g a f x f a ===--， 当52322a -≤<，即43a -<≤-时，()f x 在23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，2max 244()()()24a a a g a f x f -++===，②当2a -≤，即2a ≥-时，若[]3,2x ∈-有()0f x ≤，若(]2,3x ∈有()0f x >，因当(]2,3x ∈时，()()222f x x a x a =+--，对称轴222a x -=≤， 则()f x 在(]2,3上单调递增，()()max ()33g a f x f a ===+，③当23a <-<，即32a -<<-时，25222a -<<， ()f x 在23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(],3a -上单调递增， ()()2max244()max 3,max 3,24a a a g a f x f f a ⎧⎫⎧-⎫++⎛⎫===+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭， 若24434a a a +++≥，即2a -<-时，()3g a a =+， 若24434a a a +++<，即3a -<<-时，()2444a a g a ++=， 综上所述：()23,44,443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩。

浙江省普通高中学业水平考试卷四一、选择题1．命题00:0,340p x x ∃>->，则命题p 的否定为（ ）A ．00,340o x x ∃>-≤B ．000,340x x ∀≤-≤C ．0,340x x ∀>-<D ．0,340x x ∀>-≤2．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,7A =，集合{}1,2,4,6,7B =，则UA B ⋂=（ ）A ．{}2,3B ．{}3,5C ．{}3,4D ．{}2,73．函数()()3xf x =在区间[]1,2上的最大值是（ ）A ．33B ．3C ．3D ．234．如图，角α的终边与单位圆交于点M ，M 的纵坐标为45，则cos α=（ ） A ．35B ．35C ．45 D ．45-5．椭圆2222kx y +=的一个焦点是(1,0)，那么k =（ ）A ．5-B ．-1C ．1D ．56．已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b =（ ）A ．31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．133,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,07．关于x 的不等式13x x +-≥的解集是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)2,+∞C ．(],1-∞-∪[)2,+∞ D ．[-1，2]4,x y+≤⎧⎪．在ABC中,∠,B,C∠所对的边分别为3B．4．已知三棱柱ABC正视图和俯视图如图所示，则其左视图是（A．B．C．D．30．已知2122x-⎛=⎝15．若函数()2()4mxf x n=-的大致图象如下图所示，则（）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>，若22F P PM =，且∠C ．3两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于坐标为 ___________.22．在ABC ∆中，AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（1）求抛物线C 的标准方程；25．（本小题满分11分）。

2024年7月浙江省金华市高二数学学考模拟卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A={x|x<3}，B={2,5}，则A∩B等于( )A. {2}B. {2,5}C. {x∣2<x<3}D. {x∣x<5}2.函数f(x)=11−4x的定义域是( )A. [1,+∞)B. (−∞,14)C. (0,14)D. (1,+∞)3.若复数z满足z=−3+4i，则|z|=( )A. 1B. 5C. 7D. 254.已知a=(2−k,3)，b=(2,4)，a⊥b，则实数k=( )A. 12B. 72C. 8D. −45.已知α∈(0,π)，且满足cos2αsin(α−π4)=25，则tanα=( )A. −34B. −43C. 34D. 436.若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为( )A. 15πB. 21πC. 28πD. 63π7.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A. 18B. 38C. 58D. 788.2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的( )A. 6倍B. 102倍C. 103倍D. 106倍9.不等式52x−2⋅5x−3<0的解集是( )A. (−∞,log53)B. (log53,+∞)C. (−1,log53)D. (0,log53)10.若函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)在区间[−π4,π4]上单调递增，则ω的取值范围是( )A. (0,103]B. (0,23]C. [23,103]D. [103,+∞)11.已知函数为f(x)={−x 2−2ax−a,x <0e x +ln (x +1),x ≥0，在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)12.已知正三棱台ABC−A 1B 1C 1的体积为523，AB =6，A 1B 1=2，则A 1A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A. 12B. 1C. 2D. 3二、多选题：本题共4小题，共20分。

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。

，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。

表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。

【学考模拟】浙江省2024年7月普通高中学业水平测试仿真模拟数学试卷❖一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则复数Z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知，，则在上的投影向量为()A.B.C.D.3.已知函数的定义域为集合A ，值域为集合B ，则()A. B.C. D.4.已知，为钝角，且，，则()A.B.C.D.5.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制先胜4局者胜，比赛结束，已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为()A.B. C.D.6.已知向量，，且，则实数t 的值为()A.3B.C. D.27.用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积()A.B.C. D.8.若m 满足，则m 的值为()A.1B.2C.D.09.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为单位：天，铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，，开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为()A. B.C.D.10.设a ，b 为实数，则“”是“”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.设的内心为I ，而且满足，则的值是()A.B.C.D.12.一个顶点为P ，底面中心为O 的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面ABCD 与该圆锥底面平行，A ，B ，C ，D 这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是()A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共16分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

13.已知幂函数，其中a ，，则下列说法正确的是()A. B.若时，C.若时，关于y 轴对称D.恒过定点14.饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET ”.随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班班，B 班月份每天产生饮料瓶的数目单位：个，并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是()A.A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41B.B班5月产生饮料瓶数的第75百分位数C.已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间D.15.已知函数，则下列说法正确的是()A.的图像是中心对称图形B.的图像是轴对称图形C.是周期函数D.存在最大值与最小值16.已知函数则关于x的方程根的个数可能是()A.0个B.1个C.2个D.3个三、填空题：本题共4小题，共15分。

2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学模拟试题A ．()e ln xf x x =⋅C ．()e ln xf x x=+()0,πα∈A ．．．．．已知函数()e 2x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩的方程()f x a =有两解，．1ea =B ea =D ．如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱C D ''的中点，过,,A D BC '''分别交于点A ．存在点H ，使得AE ⊥B ．线段D G '的长度的最大值是C ．当点F 与点C 重合时，多面体D ．点D 到截面AEF 的距离的最大值是19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为20．已知函数()12e2x f x x x -=+-，则使得四、解答题（本大题共3小题，共21．已知函数()22cos sin 2f x x x ⎛=+ ⎝(1)求AA '的长；(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角23．已知函数()(2f x x x =+(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；16．BD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解【详解】为原点，DC 为y 轴，DA 为x 轴，DD )()()('2,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,2E D D ()()'2,1,2,,2,2,AE D H p =-=- 点不在线段BC 上，错误；平面//ABCD 平面''''A B C D ，GE AH 、GE ，此时1m =，88,5489x DO ==-+梯形AFEG 的高()22252⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭四棱锥D AFEG -的体积D AFEG V -由②③式可知，当42255m ==⨯时，故选：BD.23．(1)单调递减区间为10,⎛ ⎝(2)(][),31,-∞-⋃+∞【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；（2）不妨令12x x <，则(f。