2022年全国各省中考数学真题分类解析矩形

（2022•河北中考）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）A．依题意3×120＝x﹣120 B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤【解析】选B．由题意得出等量关系为：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和＝21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，∵已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，∴20x+3×120＝（20+1）x+120，∴A选项不正确，B选项正确；由题意：大象的体重为20×240+360＝5160斤，∴C选项不正确；由题意可知：一块条形石的重量＝2个搬运工的体重，∴每块条形石的重量是240斤，∴D选项不正确.（1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ 4 ；（2）设甲盒中都是黑子，共m（m＞2）个，乙盒中都是白子，共2m个．嘉嘉从甲盒拿出a（1＜a＜m）个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多（m+2a）个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有x（0＜x＜a）个白子，此时乙盒中有y个黑子，则yx的值为 1 ．【解析】（1）依题意有：a+8＝2（10﹣a），解得a＝4．答案：4；（2）依题意有：2m+a﹣（m﹣a）＝（m+2a）个，y＝a﹣（a﹣x）＝a﹣a+x＝x，yx =xx=1．答案：（m+2a），1．（2022•乐山中考）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为10 ．【解析】设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，解得：x＝2，∴5x＝5×2＝10，即正方形d的边长为10．答案：10列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m n＝1．【解析】设右下角方格内的数为x，根据题意可知：x﹣4+2＝x﹣2+n，解得n＝0，∴m n＝m0＝1（m≠0）．答案：1．。

（2022•泰安中考）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（）A．最高成绩是9.4环B．平均成绩是9环C．这组成绩的众数是9环D．这组成绩的方差是8.7【解析】选D．由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；平均成绩是110×（9.4×2+8.4+9.2×2+8.8+9×3+8.6）＝9（环），故选项B不合题意；这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；这组成绩的方差是110×[2×（9.4﹣9）2+（8.4﹣9）2+2×（9.2﹣9）2+（8.8﹣9）2+3×（9﹣9）2+（8.6﹣9）2]＝0.096，故选项D符合题意2（2022•南充中考）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解析】选B．由统计图可知，平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数是（9+9）÷2＝9（2022•广元中考）如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（）A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是8（2022•乐山中考）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（）A．88 B．90 C．91 D．92【解析】选C．李老师的综合成绩为：90×30%+92×60%+88×10%＝91（分）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解析】选D．由图可得：≈5，x A=4.9+5+5+5+5+5.1+5.17≈5，x B=4.4+5+5+5+5.2+5.3+5.47故反映出这两组数据之间差异不能反映出这两组数据之间差异，故选项A不符合题意；A和B的中位数和众数都相等，故不能反映出这两组数据之间差异，故选项B和C不符合题意；由图象可得，A种数据波动小，比较稳定，B种数据波动大，不稳定，能反映出这两组数据之间差异，故选项D 符合题意（2022•雅安中考）在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（）A．9.3，9.6B．9.5，9.4C．9.5，9.6D．9.6，9.8【解析】选C．这10次射击成绩从小到大排列是：8.8，9.0，9.2，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，9.8，∴中位数是（9.4+9.6）÷2＝9.5（环），9.6出现的次数最多，故众数为9.6环．（2022•抚顺中考）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（）A．甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定B．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数C．甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数D．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数【解析】选A.由图可得，甲射击10次的成绩分别为5，6，6，7，5，6，6，6，7，6；乙射击10次的成绩分别为9，5，3，6，9，10，4，7，8，9．甲的成绩起伏比乙的成绩起伏小，故A正确，符合题意；甲的众数是6，乙的众数是9，故B错误，不符合题意；甲的平均数为110×（5+6+6+7+5+6+6+6+7+6）＝6，乙的平均数为110×（9+5+3+6+9+10+4+7+8+9）＝7，故C错误，不符合题意；甲的中位数是6，乙的中位数是7.5，故D错误，不符合题意．（2022•扬州中考）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2＞S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）【解析】图表数据可知，甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，即甲的波动性较大，即方差大．答案：＞乙 28 25 26 24 22 25则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．【解析】甲的方差为：S 甲2=15[（32﹣25）2+（30﹣25）2+（25﹣25）2+（18﹣25）2+（20﹣25）2]＝29.6；乙的方差为：S 乙2=15[（28﹣25）2+（25﹣25）2+（26﹣25）2+（24﹣25）2+（22﹣25）2]＝4．∵29.6＞4，∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙． 答案：乙②87③94④91⑤90（专业评委给分统计表）记“专业评委给分”的平均数为x．（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；（2）对于该作品，问x的值是多少？（3）记“民主测评得分”为y，“综合得分”为S，若规定：①y=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；②S＝0.7x+0.3y．求该作品的“综合得分”S的值．【解析】（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50﹣40＝10（张），答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；（2）x=（88+87+94+91+90）÷5＝90（分）；答：x的值是90分；（3）①y=40×3+10×（﹣1）＝110（分）；②∵S＝0.7x+0.3y＝0.7×90+0.3×110＝96（分）．答：该作品的“综合得分”S的值为96分【解析】（1）a＝（1﹣20%﹣10%−410）×100＝30，∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，∴m=92+942=93；∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，∴b＝96，答案：30，96，93；（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是：1200×6+320=540（人），答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人（2022•河北中考）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．【解析】由题意得，甲三项成绩之和为：9+5+9＝23（分），乙三项成绩之和为：8+9+5＝22（分），∵23＞22，∴会录用甲；（2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：9×120360+5×360−120−60360+9×60360＝3+2.5+1.5＝7（分），三项成绩之加权平均数为：8×120360+9×360−120−60360+5×60360=83+4.5+56＝8（分），∵7＜8，∴会改变（1）的录用结果．（2022•天津中考）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为40 ，图①中m的值为10 ；（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．【解析】（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为：13÷32.5%＝40（人），m%=440×100%＝10%，即m＝10；答案：40，10；（Ⅱ）这组项数数据的平均数是：140×（1×13+2×18+3×5+4×4）＝2（项）；∵2出现了18次，出现的次数最多，∴众数是2项；把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，（2022•广东中考）为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8（1）补全月销售额数据的条形统计图．（2）月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？（3）根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销额定为多少合适？【解析】（1）补全统计图，如图，；（2）根据条形统计图可得，众数为：4，中位数为：7，平均数为：3×1+4×4+5×2+7×1+8×2+10×3+18×115=7（3）应确定销售目标为7万元，要让一半以上的销售人员拿到奖励．理由．【解析】（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8，故m=3.7+3.82=3.75；10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故n＝2.0；答案：3.75；2.0；（2）∵0.0424＜0.0669，∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是2.0，众数是2.0，∴B同学说法合理．答案：B；（3）∵一片长11cm，宽5.6cm的树叶，长宽比接近2，∴这片树叶更可能来自荔枝．C（30≤m＜40）xD（40≤m＜50）80E（50≤m≤60）y请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）求x的值；（2）这组数据的中位数所在的等级是D；（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数．【解析】（1）由题意得x＝200×20%＝40；（2）把200个学生平均每天阅读时间从小到大排列，排在中间的两个数均落在D等级，答案：D；（3）被抽查的200人中，不低于50分钟的学生有200﹣5﹣10﹣40﹣80＝65（人），1800×65200=585（人），答：估计受表扬的学生有585人．。

专题12 平行四边形与中位线一．选择题1.（2022·四川乐山）如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】B【分析】利用平行四边形ABCD 的面积公式即可求解．【详解】解：⊥DE ⊥AB ，BF ⊥AC ，⊥S 平行四边形ABCD =DE ×AB =2×12×AC ×BF ， ⊥4×6=2×12×8×BF ，⊥BF =3，故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD 的面积公式求垂线段的长是解题的关键． 2．（2022·浙江宁波）如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AC 的中点，E 为BD 上一点，F 为CE 中点．若AE AD =，2DF =，则BD 的长为（ ）A ．22B ．3C ．23D ．4【答案】D【分析】根据三角形中位线可以求得AE 的长，再根据AE ＝AD ，可以得到AD 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD 的长．【详解】解：⊥D 为斜边AC 的中点，F 为CE 中点，DF ＝2，⊥AE ＝2DF ＝4，⊥AE ＝AD ，⊥AD ＝4，在Rt ⊥ABC 中，D 为斜边AC 的中点，⊥BD ＝12AC ＝AD ＝4，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题关键是求出AD 的长． 3．（2022·四川眉山）在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则DEF 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16【答案】A【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC 的周长=2△DEF 的周长．【详解】⊥D ，E ，F 分别为各边的中点，⊥DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线， ⊥DE =12BC =3，EF =12AB =2，DF =12AC =4，⊥△DEF 的周长=3+2+4=9．故选：A ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 4．（2022·浙江绍兴）如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME，MF，NF，EN，MN ，⊥四边形ABCD 是平行四边形⊥OA =OC ，OB =OD⊥BE =DF ⊥OE =OF ⊥点E，F 时BD 上的点，⊥只要M，N 过点O ，那么四边形MENF 就是平行四边形⊥存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；只要MN =EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是矩形，⊥点E 、F 是BD 上的动点，⊥存在无数个矩形MENF ，故②正确；只要MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是菱形；⊥点E 、F 是BD 上的动点，⊥存在无数个菱形MENF ，故③正确；只要MN =EF ，MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．5．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC 中，8AB AC ==，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF AC ∥，GF AB ∥，则四边形AEFG 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．8【答案】C【分析】根据EF AC ∥，GF AB ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，从而得到FG =AE ，AG =EF ，再由EF AC ∥，可得⊥BFE =⊥C ，从而得到⊥B =⊥BFE ，进而得到BE =EF ，再据四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ），即可求解．【详解】解⊥⊥EF AC ∥，GF AB ∥，⊥四边形AEFG 是平行四边形，⊥FG =AE ，AG =EF ，⊥EF AC ∥，⊥⊥BFE =⊥C ，⊥AB =AC ，⊥⊥B =⊥C ，⊥⊥B =⊥BFE ，⊥BE =EF ，⊥四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ）=2（AE +BE ）=2AB =2×8=16．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．6．（2022·四川达州）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A ．B F ∠=∠ B ．DE EF =C ．AC CF=D ．AD CF =【答案】B【分析】利用三角形中位线定理得到DE ⊥AC 且DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理进行选择．【详解】解：⊥在⊥ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，⊥DE 是⊥ABC 的中位线，⊥DE ⊥AC 且DE =12AC ，A 、根据⊥B =⊥F 不能判定CF ⊥AD ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．B 、根据DE =EF 可以判定DF =AC ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．C 、根据AC =CF 不能判定AC ⊥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D 、根据AD =CF ，FD ⊥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．7．（2022·浙江丽水）如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点．若6AB =，8BC =，则四边形BDEF 的周长是（ ）A ．28B ．14C ．10D ．7【答案】B 【分析】首先根据D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，可判定四边形BDEF 是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDEF 的周长． 【详解】解：D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，EF ∴、ED 分别是ABC △的中位线，EF BC ∴∥，ED AB ∥且11==8=422EF BC ⨯，11==6=322ED AB ⨯， ∴四边形BDEF 是平行四边形，=4BD EF ∴=，3BF ED ==，∴四边形BDEF 的周长为：=3434=14BF BD ED EF ++++++，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF 是平行四边形是解决本题的关键．8．（2022·湖南怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形【答案】A【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n ﹣2）•180°=900°，解得n =7，⊥这个多边形的边数是7，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．9．（2022·四川南充）如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE AF =B ．EAF CBF ∠=∠C ．F EAF ∠=∠D ．CE ∠=∠【答案】C 【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：⊥多边形ABCDE 是正五边形，⊥该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =， ⊥5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ⊥ABF 是正三角形，⊥60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，⊥1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；⊥AB AE =，AB AF FB ==，⊥AE AF =，故A 选项正确；⊥60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，⊥F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．10．（2022·湖南湘潭）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（ ）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒【答案】C【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：⊥四边形ABCD 为平行四边形，⊥AB ∥CD ⊥⊥DCA ＝⊥CAB ，⊥BCD ∠=⊥DCA +⊥ACB ，40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒⊥BCD ∠=40º+80º=120º，故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．11．（2022·河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A 错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B 错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C 错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 12．（2022·湖南岳阳）下列命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．平行四边形的对角线互相垂直C ．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交D ．三角分别相等的两个三角形是全等三角形【答案】A【分析】根据对顶角性质判断A ，根据平行四边形的性质判断B ，根据三角形的内心定义判断C ，根据全等三角形的判定定理判断D ．【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A 符合题意；B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B 不符合题意；C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C 不符合题意；D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．13．（2022·河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A ．0αβ-=B ．0αβ-<C ．0αβ->D ．无法比较α与β的大小【答案】A【分析】多边形的外角和为360︒，△ABC 与四边形BCDE 的外角和均为360︒，作出选择即可．【详解】解：⊥多边形的外角和为360︒，⊥△ABC 与四边形BCDE 的外角和α与β均为360︒，⊥0αβ-=，故选：A ．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360︒是解答本题的关键．14．（2022·河南）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【分析】由菱形的性质可得出BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，再根据中位线的性质可得26BC OE ==，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：⊥四边形ABCD 为菱形，⊥BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，⊥OE =3，且点E 为CD 的中点，OE ∴是BCD △的中位线，⊥BC =2OE =6．⊥菱形ABCD 的周长为:4BC =4×6=24．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD =6．15．（2022·山东泰安）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC ∠=︒，2BC AB =．下列结论：①AB AC ⊥；②4AD OE =；③四边形AECF是菱形；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】通过判定ABE ∆为等边三角形求得60=︒∠BAE ，利用等腰三角形的性质求得30EAC ∠=︒，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【详解】解：点E 为BC 的中点，22BC BE CE ∴==，又2BC AB =，AB BE ∴=，60ABC ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，60BAE BEA ∴∠=∠=︒，30EAC ECA ∴∠=∠=︒，90BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒，即AB AC ⊥，故①正确；在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，AO CO =，CAD ACB ∴∠=∠，在AOF ∆和COE ∆中，CAD ACB OA OC AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AOF COE ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又AB AC ⊥，点E 为BC 的中点，AE CE ∴=，∴平行四边形AECF 是菱形，故③正确；AC EF ∴⊥，在Rt COE ∆中，30ACE ∠=︒，111244OE CE BC AD ∴===，故②正确； 在平行四边形ABCD 中，OA OC =，又点E 为BC 的中点，ΔΔΔ1124BOE BOC ABC S S S ∴==，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个，故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．16．（2022·山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．对角线互相平分的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A 错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B 错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C 错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题17．（2022·江苏扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ；第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN +=_____________． 【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】解：⊥已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ，⊥12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ⊥第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，⊥AM DM =，AN ND =，⊥MN AD ⊥，⊥MN BC ．⊥AM DM =，⊥MN 是ADC 的中位线，⊥12MP DB '=，12MN DC =． ⊥12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=，⊥()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．18．（2022·江苏连云港）如图，在ABCD 中，150ABC ∠=︒．利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BF ，使BE BF =；分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点G ；作射线BG 交DC于点H ．若1AD =，则BH 的长为_________． 【答案】2【分析】如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分⊥ABC ，即可证明⊥CBH =⊥CHB ，得到1CH BC ==，从而求出HM ，CM 的长，进而求出BM 的长，即可利用勾股定理求出BH 的长．【详解】解：如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分⊥ABC ，⊥⊥ABH =⊥CBH ，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥1BC AD AB CD ==∥，，⊥⊥CHB =⊥ABH ，⊥C =180°-⊥ABC =30°，⊥⊥CBH =⊥CHB ，⊥1CH BC ==，⊥12HM CH ==⊥CM ==，⊥BM BC CM =-=⊥BH ==【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH 的长是解题的关键．19．（2022·四川南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得,AC BC 两边中点的距离DE 为10m （如图），则A ，B 两点的距离是_______________m ．【答案】20【分析】根据题意得出DE 为∆ABC 的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：⊥点D 、E 为AC ，BC 的中点，⊥DE 为∆ABC 的中位线，⊥DE =10，⊥AB =2DE =20，故答案为：20．【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． 20．（2022·湖南株洲）如图所示，已知60MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则AEO ∠=_________度．【答案】48【分析】EAO ∠是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角EAO ∠，再利用OAE △的内角和180°，即可算出【详解】⊥四边形ABCDE 是正五边形，EAO ∠是一个外角 ⊥360725EAO ︒∠==︒ 在OAE △中：180180726048AEO EAO MON ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°21．（2022·四川遂宁）如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上．若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF 的边长为______．【答案】4【分析】连接BE ，根据正六边形的特点可得//BE AF ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】如图，连接BE ，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上 正六边形每个内角为360180=1202︒-︒，BE 为对称轴 180ABE BAF ∴∠+∠=︒//AF BE ∴则60ABE HAF ∠=∠=︒=FEB ∠则30AFH ∠=︒，正方形BMGH 的边长为66BH ∴=， 12AH AF =设AH x =，则26x x += 解得2x =24BA x ∴==故答案为：4 【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．22．（2022·浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是____ 度．【答案】135【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为：1080°÷8=135°，故答案为135.23．（2022·江西）正五边形的外角和等于_______◦．【答案】360【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.24．（2020·湖南湘西）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．【答案】6【分析】利用正多边形的外角和以及正多边形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵正多边形的外角和是360度，正多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．25．（2022·湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，()()()∴-⨯︒+⨯︒+-⨯︒⨯+-⨯︒=︒+︒⨯，52180318042180521803603609n解得6n =．故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．26．（2022·浙江台州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．【答案】10【分析】根据三角形中位线定理求出AB ，根据直角三角形的性质解答．【详解】解：∵E 、F 分别为BC 、AC 的中点，∴AB ＝2EF ＝20，∵∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴1102CD AB ==， 故答案为：10．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．27．（2022·湖北荆州）如图，点E ，F 分别在□ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，BC 于G ，H ．添加一个条件使⊥AEG ⊥⊥CFH ，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】AE CF =（答案不唯一）【分析】由平行四边形的性质可得：,A C ∠=∠ 证明,E F ∠=∠ 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 【详解】解： ABCD ，,,AB CD A C ∥,F E 所以补充：,AE CF =∴ ⊥AEG ⊥⊥CFH ，故答案为：AE CF =（答案不唯一）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键．28．（2022·江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【答案】10【分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设AC 与MN 的交点为O ，根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，AO OC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAO OCE ∴∠=∠，又AOF COE ∠=∠，AO CO = ，AOF COE ∴≌，AF EC ∴=，AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形， MN 垂直平分AC ，EA EC ∴=，∴四边形AECF 是菱形，AB AC ⊥，MN AC ⊥，EF AB ∴∥，1BE OCEC AO∴==，E ∴为BC 的中点，Rt ABC △中， 3AB =，4AC =，5BC ∴，1522AE BC ==， ∴四边形AEC F 的周长为410AE =．故答案为：10．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．29．（2022·湖南邵阳）如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，顶点B 在ODEF 的边DE 上，已知140∠=︒，则2∠=_________．【答案】110º【分析】先根据等腰三角形的性质求出⊥ABC 的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出⊥2+⊥ABE =180º，代入求解即可．【详解】解：⊥ABC 是等腰三角形，⊥A =120º，⊥⊥ABC =⊥C =(180º-⊥A )÷2=30º，⊥四边形ODEF 是平行四边形，⊥OF ∥DE ，⊥⊥2+⊥ABE =180º，即⊥2+30º+40º=180º，⊥⊥2=110º．故答案为：110º．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．30．（2022·甘肃武威）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：需添加的一个条件是⊥A =90°，理由如下：⊥AB ⊥DC ，AD ⊥BC ，⊥四边形ABCD 是平行四边形，又⊥⊥A =90°，⊥平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：⊥A =90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．31．（2022·山东滨州）如图，在矩形ABCD 中，5,10AB AD ==．若点E 是边AD 上的一个动点，过点E 作EF AC ⊥且分别交对角线AC ，直线BC 于点O 、F ，则在点E 移动的过程中，AF FE EC ++的最小值为________． 【答案】25552+ 【分析】过点D 作BM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，当N 、E 、C 三点共线时，AF FE EC CN AN ++≥+，分别求出CN 、AN 的长度即可．【详解】过点D 作DM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，∴四边形ANEF 是平行四边形，∴,AN EF AF NE ==，∴当N 、E 、C 三点共线时，AF CE +最小，四边形ABCD 是矩形，5,10AB AD ==，10,5,,90AD BC AB CD AD BC ABC ∴====∠=︒∥，AC ∴=∴四边形EFMD 是平行四边形，DM EF ∴=，DM EF AN ∴==，EF AC ⊥，,DM AC AN AC ∴⊥⊥，90CAN ∴∠=︒，90MDC ACD ACD ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠，MDC ACB ∴∠=∠，tan tanMDC ACB∴∠=∠，即MC ABCD BC=，52MC∴=，在Rt CDM中，由勾股定理得DM AN===，在Rt ACN中，由勾股定理得252CN==，AF FE EC CN AN ++≥+，∴AF FE EC++≥，AF FE EC ∴++【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．三、解答题32．（2022·浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【答案】赞成小洁的说法，补充,OA OC=证明见解析【分析】先由OB＝OD，,OA OC=证明四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．【详解】解：赞成小洁的说法，补充.OA OC=证明：⊥OB＝OD，,OA OC=∴四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，⊥四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键． 33．（2022·浙江温州）如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E ，F 分别是,AC AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．(1)求证：四边形DEFG 是平行四边形．(2)当5AD =，5tan 2EDC ∠=时，求FG 的长． 【答案】(1)见解析【分析】（1）根据E ，F 分别是AC ，AB 的中点，得出EF BC ∥，根据平行线的性质，得出FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，结合O 是DF 的中点，利用“AAS”得出EFO GDO △≌△，得出EF GD =，即可证明DEFG 是平行四边形；（2）根据AD BC ⊥，E 是AC 中点，得出12DE AC EC ==，即可得出5tan tan 2C EDC =∠=，即52AD DC =，根据5AD =，得出CD =2，根据勾股定理得出AC 的长，即可得出DE ，根据平行四边形的性，得出FG DE ==(1)解：（1）⊥E ，F 分别是AC ，AB 的中点，⊥EF BC ∥，⊥FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，⊥O 是DF 的中点，⊥FO DO =，⊥()EFO GDO AAS ≌，⊥EF GD =，⊥四边形DEFG 是平行四边形．(2)⊥AD BC ⊥，E 是AC 中点， ⊥12DE AC EC ==，⊥EDC C ∠=∠， ⊥5tan tan 2C EDC =∠=， ⊥52AD DC =， ⊥5AD =，⊥2CD =，⊥1122DE AC ====． ⊥四边形DEFG 为平行四边形，⊥FG DE == 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明EFO GDO △≌△，是解题的关键．34．（2022·云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，⊥BDF =90°(1)求证：四边形ABDF 是矩形；(2)若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．【答案】(1)见解析；(2)18．【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得ABE △⊥DFE △，即可得到AB =DF ，从而证明四边形ABDF 是平行四边形，再根据⊥BDF =90°即可证明四边形ABDF 是矩形；（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB =DF =3，AF =4，由平行四边形性质求得CF =6，最后利用梯形的面积公式计算即可．(1)证明：⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥AB ⊥CD ，即AB ⊥CF ，⊥⊥BAE =⊥FDE ，⊥E 为线段AD 的中点，⊥AE =DE ，又⊥⊥AEB =⊥DEF ，⊥ABE △⊥DFE △（ASA ），⊥AB =DF ，又⊥AB ⊥DF ，⊥四边形ABDF 是平行四边形，⊥⊥BDF =90°，⊥四边形ABDF 是矩形；(2)解：由（1）知，四边形ABDF 是矩形，⊥AB =DF =3，⊥AFD =90°，⊥在Rt ADF 中，4AF =，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥AB =CD =3，⊥CF =CD +DF =3+3=6， ⊥()()113641822S AB CF AF =+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．35．（2022·四川凉山）在Rt ⊥ABC 中，⊥BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ⊥BC 交CE 的延长线于点F ．(1)求证：四边形ADBF 是菱形；(2)若AB ＝8，菱形ADBF 的面积为40，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）证△AEF ⊥⊥DEC （AAS ），得△AEF ⊥⊥DEC （AAS ），再证四边形ADBF 是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD =BD =12BC ，即可由菱形判定定理得出结论；（2）连接DF 交AB 于O ，由菱形面积公式S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，求得OD 长，再由菱形性质得OA =OB ，证得OD 是三角形的中位线，由中位线性质求解可．(1)证明：⊥E 是AD 的中点，⊥AE =DE⊥AF ∥BC ，⊥⊥AFE =⊥DCE ，在△AEF 和△DEB 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AEF ⊥⊥DEC （AAS ），⊥AF =CD ，⊥D 是BC 的中点，⊥CD =BD ，⊥AF =BD ，⊥四边形ADBF 是平行四边形，⊥⊥BAC =90°，⊥D 是BC 的中点，⊥AD =BD =12BC ，⊥四边形ADBF 是菱形；(2)解：连接DF 交AB 于O ，如图 由（1）知：四边形ADBF 是菱形，⊥AB ⊥DF ，OA =12AB =12×8=4， S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，⊥182DF ⨯=40， ⊥DF =10，⊥OD =5，⊥四边形ADBF 是菱形，⊥O 是AB 的中点,⊥D 是BC 的中点，⊥OD 是⊥BAC 的中位线，⊥AC =2OD =2×5=10．答：AC 的长为10．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．36．（2022·四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝ ， EF ＝ ；(2)进一步观察，我们还会发现EF ⊥AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．【答案】(1)CD ，AD ；(2)见解析；(3)EF 于BC 之间的距离为64cm ．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD 的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC 是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH 的长，再证明△BCH ⊥⊥BGE ，得到BH CH BE EG=，代入数值求解EG ，即可得到答案． (1)解：⊥ 把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．。

（2022•怀化中考）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y =a−1x（a ＞1）的图象于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】选D ．设点B 的坐标为（a ，a−1a），∵S △BCD ＝5，且a ＞1，∴12×a ×a−1a =5，解得：a ＝11， 经检验，a ＝11是原分式方程的解.（2022•扬州中考）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁（2022•德阳中考）一次函数y＝ax+1与反比例函数y=−ax在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解析】选B．分两种情况：（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y=−ax图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=−ax图象在第一、三象限，故B选项正确．1501（2022•宿迁中考）如图，点A在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1 B．√2 C．2√2 D．4【解析】选C．∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，2a ），∴OA=√a2+4a2，∵(a−2a )2≥0，即：a2+4a2−4≥0，∴a2+4a2≥4，∴当a2=4a2时，OA有最小值，解得a1=√2，a2=−√2（舍去），∴A点坐标为（√2，√2），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB=√2OA＝2√2．（2022•十堰中考）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）和y =k2x（k 2＞0）的图象上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【解析】选B ．连接AC 交BD 于E ，延长BD 交x 轴于F ，连接OD 、OB ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝BE ＝CE ＝DE ， 设AE ＝BE ＝CE ＝DE ＝m ，D （3，a ），∵BD ∥y 轴，∴B （3，a +2m ），A （3+m ，a +m ）， ∵A ，B 都在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，∴k 1＝3（a +2m ）＝（3+m ）（a +m ）， ∵m ≠0，∴m ＝3﹣a ，∴B （3，6﹣a ）， ∵B （3，6﹣a ）在反比例函数y =k 1x（k 1＞0）的图象上，D （3，a ）在y =k 2x（k 2＞0）的图象上，∴k 1＝3（6﹣a ）＝18﹣3a ，k 2＝3a ， ∴k 1+k 2＝18﹣3a +3a ＝18.（2022•娄底中考）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的有（ ）①点P 、Q 在反比例函数y =mx 的图象上； ②△AOB 为等腰直角三角形； ③0°＜∠POQ ＜90°；④∠POQ 的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【解析】选D ．∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），则m •1＝1•m ＝m ， ∴点P 、Q 在反比例函数y =m x 的图象上，故①正确；设直线PQ 为y ＝kx +b ，则{mk +b =1k +b =m ，解得{k =−1b =m +1，∴直线PQ 为y ＝﹣x +m +1，当y ＝0时，x ＝m +1；当x ＝0时，y ＝m +1，∴A （m +1，0），B （0，m +1），∴OA ＝OB ， ∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，故②正确；∵点P （m ，1）、Q （1，m ）（m ＞0且m ≠1），∴P 、Q 都在第一象限，∴0°＜∠POQ ＜90°，故③正确； ∵直线OP 为y =1m x ，直线OQ 为y ＝mx ，∴当0＜m ＜1时，∠POQ 的值随m 的增大而减小，当m ＞1时，∠POQ 的值随m 的增大而增大，故④错误.（2022•邵阳中考）如图是反比例函数y =1x的图象，点A （x ，y ）是反比例函数图象上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．2D ．32【解析】选B ．∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，（2022•贺州中考）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y=bx的图象为（）A．B．C．D．【解析】选A．根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k＞0、b＞0．所以﹣k＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质．（2022•龙东中考）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y =3x的图象上，顶点A 在反比例函数y =k x的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 【解析】选D ．设B （a ，3a ），∵四边形OBAD 是平行四边形，∴AB ∥DO ，∴A （ak3，3a），∴AB ＝a −ak3，∵平行四边形OBAD 的面积是5，∴3a（a −ak3）＝5，解得k ＝﹣2.（2022•内江中考）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y =8x和y =k x的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【解析】选D ．设点P （a ，b ），Q （a ，ka ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ =−ka ，∴PQ ＝PM +MQ ＝b −ka．（2022•桂林中考）如图，点A 在反比例函数y =kx的图象上，且点A 的横坐标为a （a ＜0），AB ⊥y 轴于点B ，若△AOB 的面积是3，则k 的值是 ﹣6 ．【解析】设点A 的坐标为（a ，ka），∵△AOB 的面积是3，∴−a⋅ka2=3，解得k ＝﹣6，答案：﹣6．（2022•玉林中考）如图，点A 在双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）上，点B 在直线l ：y ＝mx ﹣2b （m ＞0，b ＞0）上，A 与B 关于x 轴对称，直线l 与y 轴交于点C ，当四边形AOCB 是菱形时，有以下结论： ①A （b ，√3b ）；②当b ＝2时，k ＝4√3 ；③m =√33；④S 四边形AOCB ＝2b 2； 则所有正确结论的序号是 ①②③ ．【解析】如图，①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，∴C（0，﹣2b），∴OC＝2b，∵四边形AOCB是菱形，∴AB＝OC＝OA＝2b，∵A与B关于x轴对称，∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，∴OD=√(2b)2−b2=√3b，∴A（√3b，b）；故①正确；②当b＝2时，点A的坐标为（2√3，2），∴k＝2√3×2＝4√3，故②正确；③∵A（√3b，b），A与B关于x轴对称，∴B（√3b，﹣b），∵点B在直线y＝mx﹣2b上，∴√3bm﹣2b＝﹣b，∴m=√33，故③正确；④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•√3b＝2√3b2，故④不正确；所以本题结论正确的有：①②③.答案：①②③．（2022·安徽中考）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y=1x 的图象经过点C，y=kx（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．【解析】由题知，反比例函数y=1x的图象经过点C，设C点坐标为（a，1a），作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a，即B（3a，1a），∵y=kx（k≠0）的图象经过点B，∴k＝3a•1a=3，答案：3．（2022•江西中考）已知点A在反比例函数y=12（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三x角形，且腰长为5，则AB的长为5或2√5或√10．【解析】当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，12）（a＞0），B（5，0），a∵OA＝5，)2=5，∴√a2+(12a解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=√(3−5)2+42=2√5或AB=√(4−5)2+32=√10；综上所述，AB的长为5或2√5或√10．答案：5或2√5或√10．（2022•绍兴中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=k（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．x【解析】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG =12DQ ＝2，EG =12EQ =32，∴四边形HFGO 的面积为2（a +32）， ∴k ＝4a ＝2（a +32），解得：a =32，∴k ＝6． 答案：6．（2022•舟山中考）如图，在直角坐标系中，△ABC 的顶点C 与原点O 重合，点A 在反比例函数y =kx （k ＞0，x ＞0）的图象上，点B 的坐标为（4，3），AB 与y 轴平行，若AB ＝BC ，则k ＝ 32 ．【解析】∵点B 的坐标为（4，3），C （0，0），∴BC =√42+32=5，∴AB ＝BC ＝5， ∵AB 与y 轴平行，∴A （4，8），把A （4，8）代入y =kx 得：8=k4，解得k ＝32. 答案：32．（2022•株洲中考）如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数y =kx的图象经过点C ，则k 的值为 3 ．【解析】设BC 交x 轴于E ，如图：∵x 轴为矩形ABCD 的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6， ∴四边形DOEC 是矩形，且矩形DOEC 面积是3， 设C （m ，n ），则OE ＝m ，CE ＝n ， ∵矩形DOEC 面积是3， ∴mn ＝3，∵C 在反比例函数y =kx的图象上，∴n =km，即k ＝mn ，（2022•凉山州中考）如图，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB 的面积为3，则k＝6．【解析】由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y=k x（x＞0）的图象上，∴12OB•AB＝3，即OB•AB＝6，∴k＝6，答案：6（2022•湖州中考）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是y=−3x．【解析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．∵tan∠ABO=AOOB=3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a，∵四边形ABCD是正方形，（2022•宁波中考）如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点B ，D都在函数y =6√2x（x ＞0）的图象上，BE ⊥x 轴于点E ．若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为9√2时，EFOE的值为12，点F 的坐标为 （3√32，0） ．【解析】如图，作DG ⊥x 轴于G ，连接OD ，设BC 和OD 交于I ， 设点B （b ，6√2b ），D （a ，6√2a），【解析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°，设OC＝b，则BC=√3b，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，√3b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣2b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣2b）＝2b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN=12AN=b﹣5，AD=√32AN=√3b﹣5√3，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣b，∴A（15﹣b，√3b﹣5√3），∵A、B两点都在反比例函数数y=kx（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣b）（√3b﹣5√3）＝b•√3b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•√3b＝9√3.答案：9√3．（2022•广元中考）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y=kx的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是﹣4 ．【解析】过B作BD⊥OA于D，∵点B 在反比例函数y =kx 的图象上，∴设B （﹣m ，n ），点B 在第二象限内，∵△OAB 的面积为6，∴OA =12n，∴A （−12n，0），∵点C 是AB 的中点，∴C （−mn+122n，n2），∵点C 在反比例函数y =kx 的图象上，∴−mn+122n•n 2=−mn ，∴﹣mn ＝﹣4，∴k ＝﹣4.答案：﹣4．（2022•山西中考）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p （Pa ）是它的受力面积S （m 2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S ＝0.25m 2时，该物体承受的压强p 的值为 400 Pa ．【解析】设p =kS ，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k ＝100，∴p =100S，当S ＝0.25m 2时，物体所受的压强p =1000.25=400（Pa ）. 答案：400（2022•随州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y =kx 的图象在第一象限交于点C ，若AB ＝BC ，则k 的值为 2 ．【解析】过点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（2022•乐山中考）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k＝ 3 ．【解析】设BC与x轴交于点E，连接DE、OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴S△ODE＝S△EBC，S△ADE＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE=3 2，∴k＝3，答案：3．（2022•毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数y =kx （x ＞0，k ＞0）的图象经过点C ，E ．若点A （3，0），则k 的值是 4 ．【解析】设C （m ，km ），∵四边形ABCD 是正方形，∴点E 为AC 的中点，∴E （m+32，k 2m），∵点E 在反比例函数y =kx上，∴m+32×k 2m=k ，∴m ＝1，作CH ⊥y 轴于H ，∴CH ＝1，∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠OBA ＝∠HCB ， ∵∠AOB ＝∠BHC ，∴△AOB ≌△BHC （AAS ）， ∴BH ＝OA ＝3，OB ＝CH ＝1，∴C （1，4），∴k ＝4，（2022•黔东南州中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2√2，则k＝−32．【解析】如图，过点A作AE⊥BC于E，∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，∴CE＝BE，∴AE=12BC=√2，∴A（0，√2），C（−√2，2√2），∵D是AC的中点，∴D（−√22，3√22），∴k=−√22×3√22=−32．答案：−3 2．（2022•齐齐哈尔中考）如图，点A是反比例函数y=kx（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k＝﹣4．【解析】连接OA，如图所示：∵AB⊥y轴，∴AB∥OC，∵D是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADO，（2022•鄂州中考）如图，已知直线y＝2x与双曲线y=kx（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA=√5，则k的值为2．【解析】设A（x，y），∵点A在直线y＝2x上，且OA=√5，∴A点坐标为（1，2），∵点A在双曲线y=kx（x＞0）上，∴2＝k，答案：2．（2022•威海中考）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为24．【解析】作CE⊥OB于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠OBA+∠CBE＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠CEB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OA＝BE，OB＝CE，∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．∴OA＝2，OB＝4，∴BE＝2，CE＝4，∴C（4，6），∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，∴k＝4×6＝24，答案：24．（2022•梧州中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y2=mx的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），∴﹣1×n＝（﹣2）×2，∴n＝4．∴B（4，﹣1）．由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B的部分满足y1＜y2，∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．答案：﹣2＜x＜0或x＞4．【解析】∵反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，∴1×6＝3b，∴b＝2，∴B（3，2），设直线AB的解析式为y＝mx+n，{m+n=63m+n=2，解得：{m=−2n=8，∴y＝﹣2x+8，令y＝0，﹣2x+8＝0，解得：x＝4，∴C（4，0），∵AB=√(1−3)2+(6−2)2=2√5，BC=√(3−4)2+(2−0)2=√5，AD•BC＝AB•DO，∴AD•√5=2√5•DO，∴AD＝2DO，∴S1＝2S2，∴S1﹣S2＝S2，∵S1+S2＝S△AOC，∴S1﹣S2＝S2=13S△AOC=13×12×4×6＝4．答案：4．（2022•内江中考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y=2x的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是23＜m＜2．【解析】过点P作P A∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如图，∵P （2，3），反比例函数y =2x ， ∴A （23，3），B （2，1）．∵一次函数y 的值随x 值的增大而增大， ∴点Q （m ，n ）在A ，B 之间， ∴23＜m ＜2．答案：23＜m ＜2．（2022•武威中考）如图，B ，C 是反比例函数y =kx （k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA ＝AD ，CD ＝3．（1）求此反比例函数的表达式； （2）求△BCE 的面积．【解析】（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，∴x ＝1， 即直线y ＝x ﹣1与x 轴交于点A 的坐标为（1，0）， ∴OA ＝1＝AD ，又∵CD ＝3，∴点C 的坐标为（2，3）， 而点C （2，3）在反比例函数y =kx 的图象上， ∴k ＝2×3＝6，∴反比例函数的图象为y =6x ； （2）方程组{y =x −1y =6x的正数解为{x =3y =2，∴点B 的坐标为（3，2）， 当x ＝2时，y ＝2﹣1＝1，∴点E 的坐标为（2，1），即DE ＝1， ∴EC ＝3﹣1＝2，∴S △BCE =12×2×（3﹣2）＝1.（2022•连云港中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数y =kx （k ≠0）的图象交于P 、Q 两点．点P （﹣4，3），点Q 的纵坐标为﹣2． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求△POQ 的面积．【解析】（1）将点P （﹣4，3）代入反比例函数y =kx 中，解得：k ＝﹣4×3＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为：y =−12x ；当y ＝﹣2时，﹣2=−12x ，∴x ＝6，∴Q （6，﹣2），将点P （﹣4，3）和Q （6，﹣2）代入y ＝ax +b 中得：{−4a +b =36a +b =−2，解得：{a =−12b =1，∴一次函数的表达式为：y =−12x +1；（2）如图，y =−12x +1，当x ＝0时，y ＝1，∴OM ＝1，∴S △POQ ＝S △POM +S △OMQ =12×1×4+12×1×6＝2+3＝5．（2022•江西中考 ）如图，点A （m ，4）在反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上，点B 在y 轴上，OB ＝2，将线段AB 向右下方平移，得到线段CD ，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且OD ＝1． （1）点B 的坐标为 （0，2） ，点D 的坐标为 （1，0） ，点C 的坐标为 （m +1，6） （用含m 的式子表示）；（2）求k 的值和直线AC 的表达式．【解析】（1）由题意得：B （0，2），D （1，0），由平移可知：线段AB 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，（2022•遂宁中考）已知一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2．（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；（2）求出点C 的坐标，并根据图象写出当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围； （3）若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积．【解析】（1）∵B 点的横坐标为﹣2且在反比例函数y 2=6x 的图象上，∴y 2=6−2=−3， ∴点B 的坐标为（﹣2，﹣3），∵点B （﹣2，﹣3）在一次函数y 1＝ax ﹣1的图象上， ∴﹣3＝a ×（﹣2）﹣1，解得a ＝1， ∴一次函数的解析式为y ＝x ﹣1，∵y ＝x ﹣1，∴x ＝0时，y ＝﹣1；x ＝1时，y ＝0； ∴图象过点（0，﹣1），（1，0）， 函数图象如右图所示；（2）{y =x −1y =6x，解得{x =3y =2或{x =−2y =−3，∵一次函数y 1＝ax ﹣1（a 为常数）与反比例函数y 2=6x 交于B 、C 两点，B 点的横坐标为﹣2， ∴点C 的坐标为（3，2），由图象可得，当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜3； （3）∵点B （﹣2，﹣3）与点D 关于原点成中心对称，∴点D （2，3），作DE ⊥x 轴交AC 于点E ， 将x ＝2代入y ＝x ﹣1，得y ＝1， ∴S △ACD ＝S △ADE +S △DEC =(3−1)×(2−1)2+(3−1)×(3−2)2=2，即△ACD 的面积是2．（2022•自贡中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =nx 的图象相交于A （﹣1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B 作直线l ∥y 轴，过点A 作AD ⊥l 于点D ，点C 是直线l 上一动点，若DC ＝2DA ，求点C 的坐标．【解析】（1）∵A （﹣1，2）在反比例函数y =nx 的图象上，∴n ＝2×（﹣1）＝﹣2， ∴其函数解析式为y =−2x ；∵B （m ，﹣1）在反比例函数的图象上， ∴﹣m ＝﹣2，∴m ＝2，∴B （2，﹣1）．∵A （﹣1，2），B （2，﹣1）两点在一次函数y ＝kx +b 的图象上， ∴{−k +b =22k +b =−1，解得{k =−1b =1， ∴一次函数的解析式为：y ＝﹣x +1； （2）∵直线l ∥y 轴，AD ⊥l ， ∴AD ＝3，D （2，2）， ∵DC ＝2DA ，∴DC ＝6，∵点C 是直线l 上一动点，∴C （2，8）或（2，﹣4）.【解析】（1）∵点C（2，2）在反比例函数y=kx （k≠0，x＞0）的图象上，∴2=k2，解得k＝4，∵BD＝1．∴点D的纵坐标为1，∵点D在反比例函数y=4x （k≠0，x＞0）的图象上，∴1=4x，解得x＝4，即点D的坐标为（4，1）；（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．（2022•温州中考）已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．【解析】（1）把点（3，﹣2）代入y=kx （k≠0），得﹣2=k3，解得：k＝﹣6，∴反比例函数的表达式为y=−6x，补充其函数图像如下：（2）当y＝5时，−6x =5，解得：x=−65，∴当y≤5，且y≠0时，x≤−65或x＞0.（2）根据函数图象，直接写出不等式kx +b ＞4x 的解集；（3）若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求△ABC 的面积．【解析】（1）∵反比例函数y =4x 的图象过点A （1，m ），B （n ，﹣2），∴4m =1，n =4−2， 解得m ＝4，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2）， ∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过A 点和B 点， ∴{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2， ∴一次函数的表达式为y ＝2x +2， 描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx +b ＞4x 的解集为：﹣2＜x ＜0或x ＞1； （3）由题意作图如下：由图知△ABC 中BC 边上的高为6，BC ＝4，∴S △ABC =12×4×6=12．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx +b ＜4x 的解集；（3）一次函数y ＝kx +b 的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求△OAC 的面积． 【解析】（1）∵（m ，4），（﹣2，n ）在反比例函数y =4x 的图象上， ∴4m ＝﹣2n ＝4，解得m ＝1，n ＝﹣2，∴A （1，4），B （﹣2，﹣2），把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y ＝kx +b 中得{k +b =4−2k +b =−2，解得{k =2b =2，∴一次函数解析式为y ＝2x +2．画出函数y ＝2x +2图象如图；（2）由图象可得当0＜x ＜1或x ＜﹣2时，直线y ＝﹣2x +6在反比例函数y =4x 图象下方， ∴kx +b ＜4x 的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．（3）把y ＝0代入y ＝2x +2得0＝2x +2，解得x ＝﹣1，∴点C 坐标为（﹣1，0），∴S △AOC =12×1×4=2．（2022•株洲中考）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在函数y 1=2x（x ＜0）、y 2=kx （x ＞0，k＞0）的图象上，点C 在第二象限内，AC ⊥x 轴于点P ，BC ⊥y 轴于点Q ，连接AB 、PQ ，已知点A 的纵坐标为﹣2．（1）求点A 的横坐标；（2）记四边形APQB 的面积为S ，若点B 的横坐标为2，试用含k 的代数式表示S ．【解析】（1）∵点A 在函数y 1=2x（x ＜0）的图象上，点A 的纵坐标为﹣2，（2022•泰安中考）如图，点A 在第一象限，AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA ＝2√5，tan A =12，反比例函数y =kx 的图象经过OA 的中点B ，与AC 交于点D ． （1）求k 值；（2）求△OBD 的面积．【解析】（1）∵∠ACO ＝90°，tan A =12， ∴AC ＝2OC ， ∵OA ＝2√5，由勾股定理得：（2√5）2＝OC 2+（2OC ）2， ∴OC ＝2，AC ＝4，∴A （2，4）， ∵B 是OA 的中点，∴B （1，2）， ∴k ＝1×2＝2； （2）当x ＝2时，y ＝1， ∴D （2，1），∴AD ＝4﹣1＝3， ∵S △OBD ＝S △OAD ﹣S △ABD =12×3×2−12×3×1＝1.5象限内的反比例函数图象上一点，Q 是平面内一点，当四边形ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．【解析】（1）∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象过点A ， ∴4＝﹣2a +6， ∴a ＝1， ∴点A （1，4），∵反比例函数y =kx的图象过点A （1，4）， ∴k ＝1×4＝4；∴反比例函数的解析式为：y =4x， 联立方程组可得：{y =4x y =−2x +6，解得：{x 1=1y 1=4，{x2=2y 2=2， ∴点B （2，2）；（2）如图，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，过点C 作CF ⊥y 轴于F ，∴AE ∥CF ， ∴△AEH ∽△CFH ， ∴AE CF =AH CH =EH FH，当AH CH=12时，则CF ＝2AE ＝2，∴点C （﹣2，﹣2）， ∴BC =√(2+2)2+(2+2)2=4√2，当AH CH=2时，则CF =12AE =12，∴点C （−12，﹣8），∴BC =√(2+12)2+(2+8)2=5√172， 综上所述：BC 的长为4√2或5√172；（3）如图，当∠AQP ＝∠ABP ＝90°时，设直线AB 与y 轴交于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于F ，设BP 与y 轴的交点为N ，连接BQ ，AP 交于点H ，∵直线y ＝﹣2x +6与y 轴交于点E ，∴点E （0，6）， ∵点B （2，2），∴BF ＝OF ＝2，∴EF ＝4， ∵∠ABP ＝90°，∴∠ABF +∠FBN ＝90°＝∠ABF +∠BEF ， ∴∠BEF ＝∠FBN ， 又∵∠EFB ＝∠ABN ＝90°， ∴△EBF ∽△BNF ， ∴BF EF=FN BF，∴FN =2×24=1，∴点N （0，1）， ∴直线BN 的解析式为：y =12x +1，联立方程组得：{y =4x y =12x +1，解得：{x 1=−4y 1=−1，{x2=2y2=2， ∴点P （﹣4，﹣1），∴直线AP 的解析式为：y ＝x +3， ∵AP 垂直平分BQ ，∴设BQ 的解析式为y ＝﹣x +4，∴x +3＝﹣x +4，∴x =12，∴点H （12，72），∵点H 是BQ 的中点，点B （2，2）， ∴点Q （﹣1，5）．的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵一次函数y ＝x +1经过点A （m ，2）， ∴m +1＝2，∴m ＝1，∴A （1，2），∵反比例函数y =k x经过点（1，2），∴k ＝2， ∴反比例函数的解析式为y =2x；（2）由题意，得{y =x +1y =2x，解得{x =−2y =−1或{x =1y =2， ∴B （﹣2，﹣1），∵C （0，1），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×1×2+12×1×1＝1.5；（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．（2022•德阳中考）如图，一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，且点A 的横坐标为﹣2．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B 的坐标是（﹣3，0），若点P 在y 轴上，且△AOP 的面积与△AOB 的面积相等，求点P 的坐标．【解析】解（1）∵一次函数y =−32x +1与反比例函数y =kx的图象在第二象限交于点A ，点A 的横坐标为﹣2，当x ＝﹣2时，y =−32×（﹣2）+1＝4，∴A （﹣2，4），∴4=k−2，∴k ＝﹣8，（2022•泸州中考）如图，直线y =−32x +b 与反比例函数y =12x的图象相交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为6．（1）求b 的值；（2）若点C 是x 轴上一点，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标．【解析】（1）∵点A 在反比例函数y =12x上，且A 的纵坐标为6， ∴点A （2，6），∵直线y =−32x +b 经过点A ，∴6=−32×2+b ，∴b ＝9；（2）如图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，设点C （a ，0），∵直线AB 与x 轴的交点为D ， ∴点D （6，0），由题意可得：{y =−32x +9y =12x ， ∴{x 1=2y1=6，{x2=4y 2=3， ∴点B （4，3），∵S △ACB ＝S △ACD ﹣S △BCD ，2022•南充中考）如图，直线AB 与双曲线交于A （1，6），B （m ，﹣2）两点，直线BO 与双曲线在第一象限交于点C ，连接AC ．（1）求直线AB 与双曲线的解析式． （2）求△ABC 的面积．【解析】（1）设双曲线的解析式为y =k x，∵点A （1，6）在该双曲线上，∴6=k 1，解得k ＝6， ∴y =6x，∵B （m ，﹣2）在双曲线y =6x上， ∴﹣2=6m，解得m ＝﹣3， 设直线AB 的函数解析式为y ＝ax +b ，{a +b =6−3a +b =−2，解得{a =2b =4，即直线AB 的解析式为y ＝2x +4；（2）作BG ∥x 轴，FG ∥y 轴，FG 和BG 交于点G ，作BE ∥y 轴，F A ∥x 轴，BE 和F A 交于点E ，如右图所示， 直线BO 的解析式为y ＝ax ，∵点B （﹣3，﹣2），∴﹣2＝﹣3a ，解得a =23， ∴直线BO 的解析式为y =23x ， {y =23xy =6x，解得{x =3y =2或{x =−3y =−2， ∴点C 的坐标为（3，2），∵点A （1，6），B （﹣3，﹣2），C （3，2）， ∴EB ＝8，BG ＝6，CG ＝4，CF ＝4，AF ＝2，AE ＝4，∴S △ABC ＝S 矩形EBGF ﹣S △AEB ﹣S △BGC ﹣S △AFC ＝8×6−4×82−6×42−4×22＝48﹣16﹣12﹣4＝16．（2022•杭州中考）设函数y 1=k 1x，函数y 2＝k 2x +b （k 1，k 2，b 是常数，k 1≠0，k 2≠0）． （1）若函数y 1和函数y 2的图象交于点A （1，m ），点B （3，1）， ①求函数y 1，y 2的表达式；②当2＜x ＜3时，比较y 1与y 2的大小（直接写出结果）．（2）若点C （2，n ）在函数y 1的图象上，点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在函数y 1的图象上，求n 的值． 【解析】（1）把点B （3，1）代入y 1=k 1x ，3=k11，解得：k 1＝3， ∴函数y 1的表达式为y 1=3x，把点A （1，m ）代入y 1=3x ，解得m ＝3，把点A （1，3），点B （3，1）代入y 2＝k 2x +b ，{3=k 2+b 1=3k 2+b ，解得{k 2=−1b =4，∴函数y 2的表达式为y 2＝﹣x +4； （2）如图，当2＜x ＜3时，y 1＜y 2；（3）由平移，可得点D 坐标为（﹣2，n ﹣2）， ∴﹣2（n ﹣2）＝2n ，解得：n ＝1， ∴n 的值为1【解析】（1）把A （a ，2）的坐标代入y =23x ，即2=−23a ，解得a ＝﹣3，∴A （﹣3，2），又∵点A （﹣3，2）是反比例函数y =kx的图象上，∴k ＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y =−6x；（2）∵点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3， ∴﹣3＜m ＜0或0＜m ＜3， 当m ＝﹣3时，n =−6−3=2，当m ＝3时，n =−63=2， 由图象可知，若点P （m ，n ）在该反比例函数图象上，且它到y 轴距离小于3，n 的取值范围为n ＞2或n ＜﹣2（2022•黄冈中考）如图，已知一次函数y 1＝kx +b 的图象与函数y 2=mx（x ＞0）的图象交于A （6，−12），B （12，n ）两点，与y 轴交于点C ．将直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到直线DE ，DE 与y 轴交于点F ．（1）求y 1与y 2的解析式；（2）观察图象，直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围；（3）连接AD ，CD ，若△ACD 的面积为6，则t 的值为 2 ．【解析】（1）将点A （6，−12）代入y 2=mx 中，∴m ＝﹣3，∴y 2=−3x，∵B （12，n ）在y 2=−3x中，可得n ＝﹣6，∴B （12，﹣6）， 将点A 、B 代入y 1＝kx +b ，∴{12k +b =−66k +b =−12，解得{k =1b =−132，∴y 1＝x −132； （2）∵一次函数与反比例函数交点为A （6，−12），B （12，﹣6），∴12＜x ＜6时，y 1＜y 2；（3）在y 1＝x −132中，令x ＝0，则y =−132，∴C （0，−132），∵直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度，∴直线DE 的解析式为y ＝x −132+t ，∴F 点坐标为（0，−132+t ），过点F 作GF ⊥AB 交于点G ，连接AF ，直线AB 与x 轴交点为（132，0），与y 轴交点C （0，−132），∴∠OCA ＝45°，∴FG ＝CG ，∵FC ＝t ，∴FG =√22t ， ∵A （6，−12），C （0，−132），∴AC ＝6√2， ∵AB ∥DF ，∴S △ACD ＝S △ACF ，∴12×6√2×√22t ＝6，∴t ＝2. 答案：2．（2022•宜宾中考）如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，与反比例函数y =kx （x ＞0）的图象交于点C 、D ．若tan ∠BAO ＝2，BC ＝3AC ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△OCD 的面积．【解析】（1）在Rt △AOB 中，tan ∠BAO =OBOA =2， ∵A （4，0），∴OA ＝4，OB ＝8，∴B （0，8），∵A ，B 两点在直线y ＝ax +b 上，∴{b =84a +b =0，∴{a =−2b =8，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +8， 过点C 作CE ⊥OA 于点E ，∵BC ＝3AC ，∴AB ＝4AC ，∴CE ∥OB ，∴CEOB =ACAB =14，∴CE ＝2，∴C （3，2），∴k ＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y =6x；（2）由{y =−2x +8y =6x，解得{x =1y =6或{x =2y =3，∴D （1，6），过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∴S △OCD ＝S △AOB ﹣S △BOD ﹣S △COA =12•OA •OB −12•OB •DF −12•OA •CE =12×4×8−12×8×1−12×4×2＝8（2022•广元中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图象与函数y =kx （x ＞0）的图象相交于点B （1，6），并与x 轴交于点A ．点C 是线段AB 上一点，△OAC 与△OAB 的面积比为2：3．（1）求k 和b 的值；（2）若将△OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到△OA ′C ′，判断点A ′是否在函数y =kx （x ＞0）的图象上，并说明理由．【解析】（1）∵函数y ＝x +b 的图像与函数y =kx （x ＞0）的图像相交于点B （1，6），∴6＝1+b ，6=k1，∴b ＝5，k ＝6；（2）点A ′不在函数y =kx（x ＞0）的图像上，理由如下：过点C 作CM ⊥x 轴于M ，过点B 作BN ⊥x 轴于N ，过A ′作A ′G ⊥x 轴于G ， ∵点B （1，6），∴ON ＝1，BN ＝6， ∵△OAC 与△OAB 的面积比为2：3， ∴S △OACS△OAB=12OA⋅CM 12OA⋅BN =23，∴CM BN =23，∴CM =23BN ＝4，即点C 的纵坐标为4，把y ＝4代入y ＝x +5得：x ＝﹣1，∴C （﹣1，4）， ∴OC ′＝OC =√OM 2+CM 2=√12+42=√17， ∵y ＝x +5中，当y ＝0时，x ＝﹣5，∴OA ＝5， 由旋转的性质得：△OAC ≌△OA ′C ′，∴12OA •CM =12OC •A ′G ，∴A ′G =OA⋅CM OC=5×4√17=20√1717在Rt △A ′OG 中，OG =√OA 2−A ′G 2=√52−(20√1717)2=5√1717， ∴点A ′的坐标为（5√1717，20√1717）， ∵5√1717×20√1717≠6，∴点A ′不在函数y =k x（x ＞0）的图像上．（2022•岳阳中考）如图，反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积；（3）请结合函数图象，直接写出不等式k x ＜mx 的解集．【解析】（1）把点A （﹣1，2）代入y =kx（k ≠0）得：2=k −1，∴k ＝﹣2，∴反比例函数的解析式为y =−2x；（2）∵反比例函数y =kx （k ≠0）与正比例函数y ＝mx （m ≠0）的图象交于点A （﹣1，2）和点B ，∴B （1，﹣2），∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴C （1，2），∴CD ＝2，∴S △ABC =12×2×(2+2)=4；（3）根据图象得：不等式kx＜mx 的解集为x ＜﹣1或0＜x ＜1.【解析】（1）设反比例函数y 2=k x ，把A （2，2）代入，得：2=k 2， 解得：k ＝4， ∴y 2=4x，由{y =xy =4x ，解得：{x 1=2y 1=2，{x 2=−2y 2=−2，∴B （﹣2，﹣2），由图象可知：当y 1＜y 2时，x ＜﹣2或0＜x ＜2；注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B 的坐标． （2）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ， ∵A （2，2）， ∴AE ＝OE ＝2，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∴∠AOE ＝45°，OA =√2AE ＝2√2， ∵四边形ACBD 是菱形， ∴AB ⊥CD ，OC ＝OD ，∴∠DOF ＝90°﹣∠AOE ＝45°， ∵∠DFO ＝90°，∴△DOF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝OF ，∵菱形ACBD 的周长为4√10， ∴AD =√10，在Rt △AOD 中，OD =√AD 2−OA 2=√(√10)2−(2√2)2=√2， ∴DF ＝OF ＝1， ∴D （1，﹣1），由菱形的对称性可得：C （﹣1，1）， 设直线AD 的解析式为y ＝mx +n ， 则{m +n =−12m +n =2，解得：{m =3n =−4， ∴AD 所在直线的解析式为y ＝3x ﹣4；同理可得BC 所在直线的解析式为y ＝3x +4，AC 所在直线的解析式为y =13x +43，BD 所在直线的解析式为y =13x −43．（2022•苏州中考）如图，一次函数y ＝kx +2（k ≠0）的图象与反比例函数y =m x（m ≠0，x ＞0）的图象交于点A （2，n ），与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C （﹣4，0）．（1）求k 与m 的值；（2）P （a ，0）为x 轴上的一动点，当△APB 的面积为72时，求a 的值．【解析】（1）把C （﹣4，0）代入y ＝kx +2，得k =12，∴y =12x +2，把A （2，n ）代入y =12x +2，得n ＝3，∴A （2，3），把A （2，3）代入y =m x ，得m ＝6，∴k =12，m ＝6；（2）当x ＝0时，y ＝2，∴B （0，2），∵P （a ，0）为x 轴上的动点，∴PC ＝|a +4|，∴S △CBP =12•PC •OB =12×|a +4×2＝|a +4|，S △CAP =12PC •y A =12×|a +4|×3，∵S △CAP ＝S △ABP +S △CBP ，∴32|a +4|=72+|a +4|，（2022•乐山中考）如图，已知直线l ：y ＝x +4与反比例函数y =k x（x ＜0）的图象交于点A （﹣1，n ），直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【解析】∵点A （﹣1，n ）在直线l ：y ＝x +4上，∴n ＝﹣1+4＝3，∴A （﹣1，3），∵点A 在反比例函数y =kx （x ＜0）的图象上，∴k ＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y =3x ；（2）易知直线l ：y ＝x +4与x 、y 轴的交点分别为B （﹣4，0），C （0，4），∵直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x ＝﹣1对称，∴直线l ′与x 轴的交点为E （2，0），设l ′：y ＝kx +b ，则{3=−k +b 0=2k +b， 解得：{k =−1b =2， ∴l ′：y ＝﹣x +2，∴l ′与y 轴的交点为D （0，2），∴S 阴影部分＝S △BOC ﹣S △ACD =12×4×4−12×2×1＝7．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【解析】（1）把A （3，1）代入y =m x 得：1=m3，∴m ＝3，∴反比例函数关系式为y =3x ；把B （﹣1，n ）代入y =3x 得： n =3−1=−3，∴B （﹣1，﹣3），将A （3，1），B （﹣1，﹣3）代入y ＝kx +b 得：{3k +b =1−k +b =−3，解得{k =1b =−2， ∴一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；答：反比例函数关系式为y =3x ，一次函数的关系式为y ＝x ﹣2；（2）在y ＝x ﹣2中，令x ＝0得y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），设M （m ，3m ），N （n ，n ﹣2），而O （0，0）， ①以CO 、MN 为对角线时，CO 、MN 的中点重合，∴{0+0=m +n −2+0=3m +n −2， 解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；②以CM 、ON 为对角线，同理可得：{0+m =n +0−2+3m =n −2+0，解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M （√3，√3）或（−√3，−√3）；③以CN 、OM 为对角线，同理可得：（2022•眉山中考）已知直线y＝x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M（2，a）．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．【解析】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），∴a＝2，∴将M（2，2）代入y=kx中，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y=4 x；（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（1，m）在y=4x的图象上，∴m＝4，∴A（1，4），由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；（3）【解析】：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．由（1）知，反比例函数的解析式为y=4 x，∵点A（n，﹣1）在y=4x的图象上，（2022•台州中考）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y ＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【解析】（1）由题意设：y=k x，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y=12 x；（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．【解析】（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y=8 x；（2）如图，直线m即为所求．（3）∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB．【解析】（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；答案：函数有最大值为4，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②假设x 1=−12，则y 1＝1，∵x 1+x 2＝0，∴x 2=12，∴y 2＝﹣8，∴y 1+y 2＝0不一定成立，答案：不一定；（2）①设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，则{−k +b =44k +b =−1，解得{k =−1b =3，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3， 当n ＝3时，直线l 的解析式为y ＝﹣x +3﹣3＝﹣x ，设直线AB 与y 轴交于C ，则S △P AB ＝S △AOB ，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×OC ×1+12×OC ×4=12×3×5=152，∴△P AB 的面积为152； ②设直线l 与y 轴交于D ，∵l ∥AB ，∴S △P AB ＝S △ABD ，由题意知，CD ＝n ，∴S △ABD ＝S △ACD +S △BCD .=12CD ×5 =52n ．∴△P AB 的面积为5n 2．（1）求m 的值和点D 的坐标；（2）求DF 所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF 的另一交点为点G ，求S △EFG ．【解析】（1）过A 点作AH ⊥BO 于H ，∵△ABO 是等腰直角三角形，A （m ，2），∴OH ＝AH ＝2，∴m ＝2，由平移可得D 点纵坐标和A 点纵坐标相同，设D （n ，2），∵D 在y =8x图像上，∴n ＝4，∴D （4，2）．（2）过D 作DM ⊥EF 于M ，∵△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DFM ＝45°，∴DM ＝MF ＝2，由D （4，2）得F （6，0），设直线DF 的表达式为：y ＝kx +b ，将F （6，0）和D （4，2）代入得：{2=4k +b 0=6k +b ，解得：{k =−1b =6，∴直线DF 的表达式为y ＝﹣x +6． （3）延长FD 交y =8x 图像于点G ，{y =−x +6y =8x ，解得：{x 1=4y 1=2，{x 2=2y 2=4，∴G （2，4）， 由（1）得EF ＝BO ＝2HO ＝4，∴S △EFG =12EF •G y =12×4×4＝8．。

（2022•雅安中考）如图，已知⊙O 的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 为（ ）A ．3√3B ．32C ．3√32D ．3【解析】选C ．连接OC ，OD ，∵正六边形ABCDEF 是圆的内接多边形，∴∠COD ＝60°，∵OC ＝OD ，OG ⊥CD ，∴∠COG ＝30°，∵⊙O 的周长等于6πcm ，∴OC ＝3cm ，∴OG ＝3cos30°=32√3cm.（2022•成都中考）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）A ．√3B ．√6C ．3D ．2√3【解析】选C ．连接OB 、OC ，如图：∵⊙O 的周长等于6π，∴⊙O 的半径OB ＝OC =6π2π=3， ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC =360°6=60°， ∴△BOC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC ＝3，即正六边形的边长为3，A ．4，π3B ．3√3，πC ．2√3，4π3D ．3√3，2π【解析】选D ．连接OB 、OC ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BOC =360°6=60°， ∵OB ＝OC ，∴△BOC 为等边三角形，∴BC ＝OB ＝6，∵OM ⊥BC ，∴BM =12BC ＝3，∴OM =√OB 2−BM 2=√62−32=3√3，BC ̂的长为60π×6180=2π，（2022•宿迁中考）如图，在正六边形ABCDEF 中，AB ＝6，点M 在边AF 上，且AM ＝2．若经过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长是 4√7 ．【解析】如图，设正六边形ABCDEF 的中心为O ，过点M 、O 作直线l 交CD 于点N ，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l 被正六边形所截的线段长是MN ，连接OF ，过点M 作MH ⊥OF 于点H ，连接OA ，（2022•绥化中考）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为12度．【解析】如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．答案：12．=108°，即∠ABC＝108°；【解析】（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=(5−2)×18025（2）△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，由题意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，×2=144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵∠AOD=360°5∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．。

2022年全国中考试卷解析版分类汇编-图形的镶嵌与图形的设计1.下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A、正三角形B、正方形C、正五边形D、正六边形【答案】B【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．∴不能铺满地面的是正五边形．故选C．【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．2.（2011湖北十堰，8，3分）现有边长相同的正三角、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（）A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形考点：平面镶嵌（密铺）。

专题：几何图形问题。

分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解答：解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，由于90m+120n=360，得m=4﹣n，明显n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；B、正三角形和正方形内角分别为60°、90°，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，由于60°×2+120°×2=360°，故能铺满；D、正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°、90°、120°，由于60°+90°+90°+120°=360°，故能铺满．故选A．点评：考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，能够记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．3.（2011湖南岳阳，6，3）小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老总告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她举荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（）A、 B、 C、 D、【答案】B【考点】平面镶嵌（密铺）．【专题】几何图形问题．【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判定，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．【解答】解：A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满正；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形和正八角形内角分别为120°、135°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正八边形、正五边形内角分别为135°、108°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满．故选B．【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），解决此类题，能够记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．4.（2010福建泉州，6，3分）下列正多边形中，不能铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形考点平面镶嵌（密铺）分析分别求出所给图形的内角，依照密铺的性质进行判定即可．解答解：A、∵正三角形的内角是60°，6×60°=360°，∴正三角形能铺满地面，故本选项正确；B、∵正方形的内角是90°，4×90°=360°，∴正方形能铺满地面，故本选项正确；C、∵正六边形的内角是120°，3×120°=360°，∴正六形能铺满地面，故本选项正确；D、∵正七形的内角是，，同任何一个正整数相乘都不等于360°，∴正，七边形不能铺满地面，故本选项错误．故选D．点评本题考查的是平面镶嵌的性质，解这类题目时要依照组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．5.（2011•贵阳9,3分）有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留间隙、不重叠地铺设的地砖有（）A、4种B、3种C、2种D、1种考点：平面镶嵌（密铺）。

全等三角形一、选择题1．(四川资阳，第6题3分)以下命题中，真命题是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C．对角线垂直的梯形是等腰梯形D．对角线相等的菱形是正方形考点：命题与定理．分析：利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、有可能是等腰梯形，故错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；D、正确，应选D．点评：此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．2.（2014•毕节地区，第5题3分）以下表白正确的选项是（）3．（2014·台湾，第9题3分）如图，坐标平面上，△ABC与△DEF 全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB＝BC＝5．若A 点的坐标为(﹣3，1)，B 、C 两点在方程式y ＝﹣3的图形上，D 、E两点在y 轴上，则F 点到y 轴的距离为何？( )A ．2B ．3C ．4D ．5分析：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ．由AB ＝BC ，△ABC ≌△DEF ，就可以得出△AKC ≌△CHA ≌△DPF ，就可以得出结论．解：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ． ∴∠DPF ＝∠AKC ＝∠CHA ＝90°． ∵AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠BC A ． 在△AKC 和△CHA 中。

⎩⎨⎧∠AKC ＝∠CHA ，AC ＝CA ，∠BAC ＝∠BCA ．∴△AKC ≌△CHA (ASA )，∴KC ＝H A ．∵B 、C 两点在方程式y ＝﹣3的图形上，且A 点的坐标为(﹣3，1)， ∴AH ＝4．∴KC ＝4． ∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠BAC ＝∠EDF ，AC ＝DF ． 在△AKC 和△DPF 中，⎩⎨⎧∠AKC ＝∠DPF ，∠BAC ＝∠EDF ， AC ＝DF ．∴△AKC ≌△DPF (AAS )，∴KC ＝PF ＝4． 应选C ．点评：此题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．4. （2014•益阳，第7题，4分）如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件是（ ）（第1题图）A．A E=CF B．B E=FD C．B F=DE D．∠1=∠2考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．解答：解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；应选：A．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．5. （江苏南京，第6题，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）（第2题图）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。

2022年中考数学精选真题41 矩形 A一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ）A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC=BD2．（3分）（2022·淮安）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB=10，则DE的长是（ ）A．8B．6C．5D．43．（3分）（2022·聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等4．（3分）（2022·绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE ＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋3．则四边形EFGH的周长为（ ）A．4(2+6)B．4(2+3+1)C．8(2+3)D．4(2+6+2) 5．（3分）（2022·菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC=36°，则∠D1AD=（ ）A．48°B．66°C．72°D．78°6．（3分）（2022·包头）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连接OC，若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）A．2OC=5EF B．5OC=2EF C．2OC=3EF D．OC=EF7．（3分）（2022·湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）A．BD=10B．HG=2C．EG∥FH D．GF⊥BC8．（3分）（2022·达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3BF，BE=4，则AD的长为（ ）A．9B．12C．15D．189．（3分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE=3，EF=1．以下结论正确的个数是（ ）①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为(―4，―2)；④BD=63；⑤矩形ABCD 的面积为242．A．2个B．3个C．4个D．5个10．（3分）（2022·连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D 恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=43AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG.5其中正确的是（ ）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE=1，则FG= ．12．（3分）（2022·青海）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD 和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．13．（3分）（2022·台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．14．（3分）（2021·盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△E C′F，连接A C′，当BE= 时，△AE C′是以AE为腰的等腰三角形.15．（3分）（2022·宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是 .16．（3分）（2021·福建）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，点E，F分别是边AB，BC 上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点.现给出以下结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB，BC的距离一定相等；③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边AB的距离的最大值为22.其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)17．（8分）（2022·鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD.（1）（4分）求证：DF=CF；（2）（4分）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积.18．（8分）（2022·苏州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F.（1）（4分）求证：△DAF≌△ECF；（2）（4分）若∠FCE=40°，求∠CAB的度数.19．（8分）（2021·徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C，A两点重合.点D落在点G处.已知AB=4，BC=8.（1）（4分）求证：ΔAEF是等腰三角形；（2）（4分）求线段FD的长.20．（8分）（2021·雅安）如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB=OD，其对角线AC，BD交于点E.（1）（4分）求证：△OAF≌△DAB；的值.（2）（4分）求DFAF21．（10分）（2022·威海）如图：（1）（6分）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；②求四边形AGCH的面积．（2）（4分）如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝25，BC＝7，CF＝5，求四边形AGCH 的面积．22．（10分）（2022·常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE=FC，G 是AF的中点，GE交BC于O，连接GD.（1）（5分）当四边形ABCD是矩形时，如图，求证：①GE=GD；②BO⋅GD=GO⋅FC.（2）（5分）当四边形ABCD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明. 23．（10分）（2021·日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=23，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD 于点F．（1）（2分）实验探究：在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到= ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ．结论：①AEDF（2）（4分）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．（3）（2分）拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 ．24．（10分）（2021·荆州）在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C 重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG.（1）（6分）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC=90°，延长GF交AB于H，连接CH.①求证：△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC.（2）（4分）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF=90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】112．【答案】613．【答案】814．【答案】78 或 4315．【答案】52π16．【答案】①②④17．【答案】（1）证明：在△DCF 和△DCO 中，∠DCF =∠DCO CD =CD ∠CDF =∠CDO，∴△DCF ≌△DCO （ASA ），∴DF=DO ，CF=CO ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC =OD =12AC =12BD ，∴DF=CF=OC=OD（2）解：∵△DCF ≌△DCO ，∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，又∵OD=OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴CD=OD=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴BC=CD⋅tan∠BDC=63，∴S矩形ABCD=BC⋅CD=36318．【答案】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°.在△DAF和△ECF中，∠DFA=∠EFC，∠D=∠E，DA=EC，∴△DAF≌△ECF.（2）解：∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF=∠ECF=40°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°.∴∠EAB=∠DAB―∠DAF=90°―40°=50°，∵∠FAC=∠CAB，∴∠CAB=25°.19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC∴∠FEC=∠AFE因为折叠，则∠FEC=∠AEF∴∠AEF=∠AFE ∴ΔAEF是等腰三角形（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC=8，CD=AB=4，∠D=90°设FD=x，则AF=AD―x=8―x因为折叠，则FG=x，AG=CD=4，∠G=∠D=90°在Rt△AGF中FG2=AF2―AG2即x2=(8―x)2―42解得： x =3∴ FD =320．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形∴E 为BD 中点∵OB =OD∴OE ⊥BD∴∠FDE +∠DFE =90°又∵△OAD 为等腰直角三角形∴∠OAF =∠DAB =90° ， AO =AD∴∠FDE +∠DBA =90°∴∠DFE =∠DAB∵∠DFE =∠OFA∴∠OFA =∠DBA在 △OAF 与 △DAB 中∠OFA =∠DBA ∠OAF =∠DAB AO =AD∴△OAF≌△DAB(AAS) ；（2）解：设 AO =AD =x∵△OAD 为等腰直角三角形∴OD =OB =2x ， AB =2x ―x ， ∠OAF =∠DAB =90°∵OE ⊥BD∴∠DEF =90°∴∠DEF =∠DAB又∵∠EDF =∠ADB∴△DEF ∽△DAB∴DE DA =DF DB∵AB =2x ―x ， AD =x∴DB =(2x ―x)2+x 2=(4―22)x 2∵E 是DB 中点∴DE =12DB =12(4―22)x 2=(4―22)x 24∴(4―22)x 24 x =DF(4―22)x2∴DF=(2―2)x∴DF AF =(2―2)xx―(2―2)x=2―22―1=2.21．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD，四边形AECF都是矩形∴AH//CG，AG//HC∴四边形AHCG为平行四边形∵∠D=∠F=90°，∠AHE=∠CHD，AE=DC∴△AEH≌△CDH(AAS)∴AH=HC∴四边形AHCG为菱形；②设AH=CG=x，则DH=AD-AH=8-x在Rt△CDH中H C2=D H2+D C2即x2=(8―x)2+16解得x=5∴四边形AHCG的面积为5×4=20；（2）解：由图可得矩形ABCD和矩形AFCE对角线相等∴A C2=A B2+B C2=A E2+E C2=69∴EC=8设AH=CG=x则HD=7-x在Rt△AEH中，EH=AH2―AE2=x2―5在Rt△CDH中，CH=DH2+DC2=(7―x)2+20∵EC=EH+CH=8∴x=3∴四边形AGCH的面积为3×25=65．22．【答案】（1）证明：①证明过程：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠DAF=45°∴△ABF为等腰直角三角形∴AB=BF∵BE=FC∴AB+BE=BF+CF，即AE=BC=AD∵AG=AG∴△ADG≌△AEG∴GE=GD②证明：连接BG，CG，∵G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC∴BG=AG=FG∵AF平分∠BAD，△ABF为等腰直角三角形，∴∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG∴△ADG≌△BCG∴∠ADG=∠BCG∵△ADG≌△AEG∴∠E=∠ADG∴∠E=∠BCG∵∠BOE=∠GOC∴△BOE∽△GOC∴BOBE=GOGC=GOGD=BOCF ∴BO⋅GD=GO⋅FC（2）解：作DM⊥BC交BC于M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，如图所示∴∠DMB=90°=∠GNM=∠GND=∠DMC 由（1）同理可证：△ADG≌△AEG∴∠E=∠ADG∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠ADM=∠DMC=90°∴BC∥GN∥AD∵G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得DN=MN∴DG=MG，∴∠GDM=∠GMD，∴∠ADG=∠BMG=∠E∵∠BOE=∠GOM∴△BOE∽△GOM∴BOBE=GOGM=GOGD=BOCF ∴BO⋅GD=GO⋅FC23．【答案】（1）32；30°（2）解：结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将ΔBEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE =∠DBF ，又∵BE BF =AB DB =32，∴ΔABE ∽ΔDBF ，∴AE DF =BE BF =32，∠BDF =∠BAE ，又∵∠DOH =∠AOB ，∴∠ABD =∠AHD =30°，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30°．（3）133+398或133―39824．【答案】（1）解：①证明：在矩形ABCD 中，∠BAD=∠D=90° ∴∠DCG+∠DGC=90°又∵∠FGC=90°∴∠AGH+∠DGC=90°∴∠DCG=∠AGH∴△CDG ~ △GAH②设EF=x∵△AEF 沿EF 折叠得到△GEF ∴AE=EG∵EF ⊥AD∴∠AEF=90°=∠D∴EF//CD//AB ∴△AEF ~ △ADC∴EF CD = AE AD∴EF AE = CD AD = 24 = 12∴AE=EG=2x∴AG=4x∵AE=EG ，EF//AB∴EF AH = EG AG = 12∴AH=2EF=2x∵△CDG ~ △GAH∴AG DC = AHDG= HGCG∴4x2= 2x4―4x= HGCG∴x= 34∴4x2= 32= HGCG∵∠FCG=90°∴tan∠GHC= CGHG = 23（2）解：不全等理由如下：在矩形ABCD中，AC= AB2+AD2= 22+42= 25由②可知：AE=2EF∴AF= AE2+EF2= 5EF由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC∴△AEF ~△ACG∴AE AC = AFAG∴2EF25= 54∴EF= 54∴AE= 52，AF= 545∴FC=AC-AF=2 5- 545= 345∴AE ≠FC，EF ≠FC ∴不全等。

（2022·安徽中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】选D．∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，∴两直线的交点的横坐标为1，若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴；若a＜0，则一次函数y＝ax+a2是减函数，交y轴的正半轴，y＝a2x+a是增函数，交y轴的负半轴，且两直线的交点的横坐标为1.（2022•泸州中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan ∠ABE =43．若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为（ ）A ．y ＝3xB ．y =−34x +152C ．y ＝﹣2x +11D ．y ＝﹣2x +12【解析】选D ．连接OB ，AC ，它们交于点M ，连接AE ，BF ，它们交于点N ，则直线MN 为符合条件的直线l ，如图，∵四边形OABC 是矩形，∴OM ＝BM ．∵B 的坐标为（10，4），∴M （5，2），AB ＝10，BC ＝4．∵四边形ABEF 为菱形，BE ＝AB ＝10．过点E 作EG ⊥AB 于点G ，在Rt △BEG 中，∵tan ∠ABE =43，∴EG BG =43， 设EG ＝4k ，则BG ＝3k ，∴BE =√EG 2+BG 2=5k ，∴5k ＝10，∴k ＝2，∴EG ＝8，BG ＝6，∴AG ＝4．∴E （4，12）．∵B 的坐标为（10，4），AB ∥x 轴，∴A （0，4）．∵点N 为AE 的中点，∴N （2，8）．设直线l 的解析式为y ＝ax +b ，∴{5a +b =22a +b =8，解得：{a =−2b =12，A ．青海湖水深16.4m 处的压强为188.6cmHgB ．青海湖水面大气压强为76.0cmHgC ．函数解析式P ＝kh +P 0中自变量h 的取值范围是h ≥0D ．P 与h 的函数解析式为P ＝9.8×105h +76【解析】选A ．由图象可知，直线P ＝kh +P 0过点（0，68）和（32.8，309.2），∴{P 0=6832.8k +P 0=309.2，解得{k ≈7.4P 0=68． ∴直线解析式为：P ＝7.4h +68．故D 错误，不符合题意；∴青海湖水面大气压强为68.0cmHg ，故B 错误，不符合题意；根据实际意义，0≤h ≤32.8，故C 错误，不符合题意；将h ＝16.4代入解析式，∴P ＝7.4×16.4+68＝188.6，即青海湖水深16.4m 处的压强为188.6cmHg ，故A 正确，符合题意．（2022•抚顺中考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象分别为直线l 1和直线l 2，下列结论正确的是（ ）A ．k 1•k 2＜0B ．k 1+k 2＜0C ．b 1﹣b 2＜0D ．b 1•b 2＜0【解析】选D ．∵一次函数y ＝k 1x +b 1的图象过一、二、三象限，∴k 1＞0，b 1＞0，∵一次函数y ＝k 2x +b 2的图象过一、三、四象限，∴k 2＞0，b 2＜0，∴A 、k 1•k 2＞0，故A 不符合题意；B 、k 1+k 2＞0，故B 不符合题意；C 、b 1﹣b 2＞0，故C 不符合题意；D 、b 1•b 2＜0，故D 符合题意.（2022•德阳中考）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是k≤﹣3或k≥13．【解析】当k＜0时，∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），A（﹣2，3），∴﹣2k+k＝3，∴k＝﹣3；∴k≤﹣3；当k＞0时，∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），B（2，1），∴2k+k＝1，∴k=13．∴k≥13；综上，直线与线段AB有交点时，猜想k的取值范围是：k≤﹣3或k≥1 3．答案：k≤﹣3或k≥1 3．（2022•丽水中考）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km ，货车行驶时的速度是60km /h ．两车离甲地的路程s （km ）与时间t （h ）的函数图象如图．（1）求出a 的值；（2）求轿车离甲地的路程s （km ）与时间t （h ）的函数表达式；（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【解析】（1）∵货车的速度是60km /h ，∴a =9060=1.5（h ）；（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），设直线的表达式为s ＝kt +b ，把（1.5，0），（3，150）代入得：{1.5k +b =03k +b =150， 解得{k =100b =−150， ∴s ＝100t ﹣150；（3）由图象可得货车走完全程需要33060+0.5＝6（h ），∴货车到达乙地需6h ，∵s ＝100t ﹣150，s ＝330，解得t ＝4.8，∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h ），∴货车还需要1.2h 才能到达.答：轿车比货车早1.2h 到达乙地．（2022•成都中考）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km /h ，乙骑行的路程s （km ）与骑行的时间t （h ）之间的关系如图所示．（1）直接写出当0≤t ≤0.2和t ＞0.2时，s 与t 之间的函数表达式；（2）何时乙骑行在甲的前面？【解析】（1）当0≤t ≤0.2时，设s ＝at ，把（0.2，3）代入解析式得，0.2a ＝3，解得：a ＝15，∴s ＝15t ；当t ＞0.2时，设s ＝kt +b ，把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，得{0.5k +b =90.2k +b =3，解得{k =20b =−1， ∴s ＝20t ﹣1，事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． （1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB ，AB 分别表示大巴、轿车离开学校的路程s （千米）与大巴行驶的时间t （小时）的函数关系的图象．试求点B 的坐标和AB 所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a 小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a 的值．【解析】（1）设轿车出发后x 小时追上大巴， 依题意得：40（x +1）＝60x ，解得x ＝2． ∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），答，轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米； （2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米， ∴大巴行驶了13小时， ∴B （3，120）， 由图象得A （1，0），设AB 所在直线的解析式为y ＝kt +b ， ∴{k +b =03k +b =120，解得{k =60b ==60， ∴AB 所在直线的解析式为y ＝60t ﹣60；（3）依题意得：40（a +1.5）＝60×1.5，解得a =34． ∴a 的值为34【解析】（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣8，19），B （6，5）代入，得{−8k +b =196k +b =5，解得{k =−1b =11，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +11；（2）①由题意直线y ＝mx +n 经过点（2，0），∴2m +n ＝0；②∵线段AB 上的整数点有15个：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）． 当射线CD 经过（2，0），（﹣7，18）时，y ＝﹣2x +4，此时m ＝﹣2，符合题意， 当射线CD 经过（2，0），（﹣1，12）时，y ＝﹣4x +8，此时m ＝﹣4，符合题意， 当射线CD 经过（2，0），（1，10）时，y ＝﹣10x +20，此时m ＝﹣10，符合题意， 当射线CD 经过（2，0），（3，8）时，y ＝8x ﹣16，此时m ＝8，符合题意， 当射线CD 经过（2，0），（5，6）时，y ＝2x ﹣4，此时m ＝2，符合题意， 其他点都不符合题意．综上所述，符合题意的m 的值有5个.（2022•衡阳中考）冰墩墩（BingDwenDwen ）、雪容融（ShueyRhonRhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元． （1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【解析】（1）设冰墩墩的进价为x 元/个，雪容融的进阶为y 元/个， 由题意可得：{15x +5y =1400x +y =136，解得{x =72y =64，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个； （2）设冰墩墩购进a 个，则雪容融购进（40﹣a ）个，利润为w 元， 由题意可得：w ＝28a +20（40﹣a ）＝8a +800， ∴w 随a 的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍， ∴a ≤1.5（40﹣a ）， 解得a ≤24，∴当a ＝24时，w 取得最大值，此时w ＝992，40﹣a ＝16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元（2022·新疆生产建设兵团中考）A ，B 两地相距30km ，甲、乙两人分别开车从A 地出发前往B 地，其中甲先出发1h ．如图是甲，乙行驶路程y 甲（km ），y 乙（km ）随行驶时间x （h ）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：（1）填空：甲的速度为 60 km /h ；（2）分别求出y 甲，y 乙与x 之间的函数解析式； （3）求出点C 的坐标，并写出点C 的实际意义．【解析】（1）甲的速度为：300÷5＝60（km /h ）， 答案：60；（2）由（1）可知，出y 甲与x 之间的函数解析式为y 甲＝60x （0＜x ≤5）；设y 乙与x 之间的函数解析式为y 乙＝kx +b ，根据题意得：{k +b =04k +b =300，解得{k =100b =−100，∴y 乙＝100x ﹣100（1＜x ≤3）； （3）根据题意，得60x ＝100x ﹣100， 解得x ＝2.5， 60×2.5＝150（km ），∴点C 的坐标为（2.5，1500），故点C 的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了150km（3）求线段MN 的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）【解析】（1）由图象知：当x ＝0时，y ＝1200， ∴A 、B 两地之间的距离是1200米；由图象知：乙经过20分钟到达A ，∴乙的速度为120020=60（米/分）．答案：1200；60；（2）由图象知：当x =607时，y ＝0，∴甲乙二人的速度和为：1200÷607=140（米/分）， 设甲的速度为x 米/分，则乙的速度为（140﹣x ）米/分， ∴140﹣x ＝＝60，∴x ＝80．∴甲的速度为80（米/分）， ∵点M 的实际意义是经过c 分钟甲到达B 地，∴c ＝1200÷80＝15（分钟），∴a ＝60×15＝900（米）．∵点M 的实际意义是经过20分钟乙到达A 地，∴b ＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）； 答案：900；800；15；（3）由题意得：M （15，900），N （20，800）， 设直线MN 的解析式为y ＝kx +n ，∴{15k +n =90020k +n =800，解得：{k =−20n =1200，∴直线MN 的解析式为y ＝﹣20x +1200； （4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第647分钟两人相距80米．理由：①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米）， ∴1120÷140＝8（分钟）；②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米）， ∴1280÷140=647（分钟）． 综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第647分钟两人相距80米．（2）当15≤x ≤45时，请直接写出y 关于x 的函数表达式； （3）当小明离家2km 时，求他离开家所用的时间．【解析】（1）小明家离体育场的距离为2.5km ，小明跑步的平均速度为2.515=16km /min ；答案：2.5，16；（2）如图，B （30，2.5），C （45，1.5），设BC 的解析式为：y ＝kx +b ，则{30k +b =2.545k +b =1.5，解得：{k =−115b =4.5， ∴BC 的解析式为：y =−115x +4.5， ∴当15≤x ≤45时，y 关于x 的函数表达式为：y ={2.5(15≤x ≤30)−115x +4.5(30＜x ≤45)； （3）当y ＝2时，−115x +4.5＝2，∴x =752，2÷16=12， ∴当小明离家2km 时，他离开家所用的时间为12min 或752min ．50（2022•龙东中考）为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后立即返回A 市．两车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）之间的函数图象如图所示． （1）甲车速度是 100 km /h ，乙车出发时速度是 60 km /h ；（2）求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．【解析】（1）由图象可得，甲车的速度为：500÷5＝100（km /h ）， 乙车出发时速度是：300÷5＝60（km /h ）， 答案：100，60；（2）乙车返回过程中，设乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式是y ＝kx +b ， ∵点（9，300），（12，0）在该函数图象上， ∴{9k +b =30012k +b =0，解得{k =−100b =1200， 即乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式是y ＝﹣100x +1200； （3）设乙车出发m 小时，两车之间的距离是120km ，（2022•包头中考）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x 天（x 取整数）时，日销售量y （单位：千克）与x 之间的函数关系式为y ={12x ，0≤x ≤10−20x +320，10＜x ≤16，草莓价格m （单位：元/千克）与x 之间的函数关系如图所示．（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；（2）求当4≤x ≤12时，草莓价格m 与x 之间的函数关系式；（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？【解析】（1）∵当10≤x ≤16时，y ＝﹣20x +320，∴当x ＝14时，y ＝﹣20×14+320＝40（千克）.答：第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．（2）当4≤x ≤12时，设草莓价格m 与x 之间的函数关系式为m ＝kx +b ，∵点（4，24），（12，16）在m ＝kx +b 的图象上，∴{4k +b =2412k +b =16，解得：{k =−1b =28，∴函数解析式为m ＝﹣x +28． （3）当0≤x ≤10时，y ＝12x ，∴当x ＝8时，y ＝12×8＝96，当x ＝10时，y ＝12×10＝120；当4≤x ≤12时，m ＝﹣x +28，∴当x ＝8时，m ＝﹣8+28＝20，当x ＝10时，m ＝﹣10+28＝18∴第8天的销售金额为：96×20＝1920（元），第10天的销售金额为：120×18＝2160（元），∵2160＞1920，∴第10天的销售金额多．（2022·牡丹江中考）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 1.9小时；（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？【解析】（1）1.9；（2）设直线EF的解析式为y乙＝kx+b，∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，（2022•吉林中考）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y （℃）与加热时间x （s ）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是 20 ℃．（2）求乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 65 ℃．【解析】（1）由图象得x ＝0时y ＝20，∴加热前水温是20℃，答案：20．（2）设乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（0，20），（160，80）代入y ＝kx +b 得{20=b 80=160k +b， 解得{k =38b =20， ∴y =38x +20．（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80=12℃/s ，∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷12=120s ， 将x ＝120代入y =38x +20得y ＝65，答案：65。