重庆32中学2020届高三数学周练试题(二)文(无答案)

2020届重庆南开中学高三第三次教学质量检测考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}U =，{}2|30A x x x =∈-<Z ，则U A =ð（ ）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}3,4,5D ．{}2,3,4,5【答案】C【解析】化简集合A ，进而求补集即可. 【详解】∵{}1,2A =，又{1,2,3,4,5}U =， ∴U A =ð{}3,4,5，故选：C 【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数21aii+-为纯虚数，则实数a =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据复数的除法运算，化简得到2i 22i 1i 22a a a +-+=+-，再由题意，即可得出结果. 【详解】因为()2(1)22(2)221(1)(1)222+++++--+===+--+ai i ai a i a a a i i i i 为纯虚数， 所以202a-=，因此2a =. 故选C 【点睛】本题主要考查由复数的类型求参数，熟记复数的除法运算即可，属于基础题型. 3．已知两条直线10ax y +-=与420ax y --=垂直，则a =（ ） A ．±1B ．1C ．12D ．12±【答案】D【解析】根据题意知，斜率都存在，因此利用斜率之积等于1-即可求得a 的值. 【详解】由题意知两条斜率分别为12,4k a k a =-=， 又两条直线10ax y +-=与420ax y --=垂直，∴()1241k k a a ⋅=-⋅=-，214a ∴=， 即12a =±.故选：D . 【点睛】本题考查两直线垂直的性质，利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于1-，是基础题.4．已知3()sin 1,0f x a x bx a =++>，且()3f m =，则实数()f m -=（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．2【答案】A【解析】利用()()2f x f x +-=即可得到结果. 【详解】∵3()sin 1,f x a x bx =++ ∴()()2f x f x +-=，∴()()2f m f m +-=，又()3f m =， ∴()1f m -=-， 故选：A 【点睛】本题考查函数的对称性，考查转化能力，属于常考题型.5．“2m …”是直线20mx y m --+=不过第二象限的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分性与必要性的定义即可作出判断. 【详解】直线20mx y m --+=可化为：()21y m x -=-， 直线()21y m x -=-过定点()1,2，如图所示：∴“2m …”是直线20mx y m --+=不过第二象限的充要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分性与必要性，考查数形结合思想，属于基础题.6．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为BC ,CD 中点，则异面直线1C E 与1D F 所成角的余弦值为（ ） A ．3B ．35C ．12D ．45【答案】D【解析】首先找到异面直线的夹角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相应的值． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为BC ,CD 中点， 取AD 的中点为N ，连接1D N 、FN ， 易知：1D N ∥1C E ，∴1FD N ∠为异面直线1C E 与1D F 所成角， 设2BC =，则115,D N D F =2FN =，∴cos ∠FD 1N 45255==⋅⋅．∴异面直线1C E 与1D F 所成角的余弦值为45， 故选D【点睛】本题考查的知识点：异面直线的夹角，勾股定理的应用，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ） A ．150 B ．167C ．184D ．201【答案】C【解析】设第一个孩子分配到a 1斤锦，利用等差数列前n 项和公式得：8187812S a ⨯=+⨯7＝996，从而得到a 1＝65，由此能求出第八个孩子分得斤数． 【详解】解：设第一个孩子分配到a 1斤锦， 则由题意得：8187812S a ⨯=+⨯7＝996， 解得a 1＝65，∴第八个孩子分得斤数为a 8＝65+7×17＝184． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的第八项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．设实数a ，b 满足01a b <<<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab a b >+ B ．1ab a b +<+C ．b a ab >D ．b a a b >【答案】C【解析】利用反例法与指数函数的图象与性质即可作出判断.【详解】根据题意可设11,,42a b == 对于A ，1,8ab =3,4a b +=不成立；对于B ，91,8ab +=3,4a b +=不成立；对于D ，12,b a -=142a b -=，不成立；而对于C ，1,b a a ab >>成立， 故选：C 【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查反例法和指数函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题．9．若直线1y kx =+与1y x x=+相切，则实数k =（ ） A ．2 B ．34 C ．12D ．32【答案】B【解析】设切点为：0001,,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭求出1y x x=+在此点处的切线方程002211x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，对比1y kx =+，即可得到结果.【详解】设切点为：0001,,x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 21y 1x '=-， ∴1y x x=+在此点处的切线方程为： ()00200111y x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ，即002211x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-∴2001121k x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得0342k x ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 故选：B 【点睛】本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．10．已知点(,)x y 是区域4211x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩内任意一点，且z ax y =+仅在()3,1处取得最大值，则a 的范围为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值． 【详解】解：画出4211x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩可行域如图所示，其中A （1，0），B （3，1），C （1，3），若目标函数z ＝ax +y 仅在点（3，1）取得最大值， 由图知，直线z ＝ax +y 的斜率小于直线x+y ＝4的斜率， 即﹣a ＜﹣1， 解得a ∈（1，+∞）． 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．11．抛物线24y x =与过点()0P t ，的直线交于A ，B ，若存在横坐标为2的点Q 满足2AQ QB =u u u r u u u r，则t 的最大值为（ ）A ．2B ．3C．D【答案】D【解析】设直线AB 的方程为：x my t =+，代入抛物线方程可得：()222420x m t x t -++=，22121242,x x m t x x t +=+=，又有2AQ QB =u u u r u u u r可得1226x x +=，从而可得：()2493636881804t t m t m -++-+=，方程有解可得结果.【详解】设直线AB 的方程为：x my t =+，代入抛物线方程可得：()222420x m t x t -++=， 设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ），∴22121242,x x m t x x t +=+=由2AQ QB =u u u r u u u r可得：1226x x +=，联立方程：212124226x x m t x x ⎧+=+⎨+=⎩ ，可得2122846642x m t x m t⎧=+-⎨=--⎩， 又212x x t =，∴()2493636881804t t m t m -++-+=，此时0,∆≥ 即()22936368184804t t t -+∆=--⨯⨯≥，∴28360t -+≥，即t ≤， ∴t故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查转化能力与计算能力，属于中档题.12．由{}n a 排成的数表如下：数表中每一行均构成等差数列，各行的首项构成公比为2的等比数列；且第n 行的末项恰为前n 行的首项的和（例如312a a a =+）.若有4080a =，则{}n a 的前n 项和为（ ） A ．2n n - B ．2n n + C ．2n D ．122n +-【答案】B【解析】由题意知：1124212i i a a a a a --=++++L ，()1121221i i i a a d ----=-，从而得到()()1112121i i a d ---=-，即1a d =，由4080a =，得1a ，即可得到{}n a 的前n 项和.【详解】由题意知：1124212i i a a a a a --=++++L ， 第i 行：，()1121221i i i a a d ----=- 即()2112221i i a a a d --++⋯+=-，()()1112121i i a d --∴-=-， 1a d ∴=，又4080a =，3240864a a d ∴=-=，又53212a a =⋅， 12a ∴=， ∴ 数表{}n a ：2 4，68，10，12，14L2n a n ∴=，所以数列{}n a 的前n 项和为：()2222n n n n +=+， 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是等差数列和等比数列的综合的应用，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，是中档题.二、填空题13．数列满足{}n a 满足11(1)n n a a n n +=++，11a =，则10a =________.【答案】1910【解析】利用累加法及裂项相消法，即可得到结果. 【详解】 ∵1111,(1)1n n n a a a n n n n +⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭∴10911,910a a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭9811,,89a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭K 2111,2a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴101111111910892a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11921010=-= 故答案为：1910【点睛】本题考查通项公式的求法，涉及累加法、裂项相消法，考查学生转化能力与计算能力，属于常考题型.14．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则xy 的最小值为________. 【答案】8【解析】利用2xy x y =+≥xy 的取值范围. 【详解】∵正实数x ，y 满足2x y xy +=，∴2xy x y =+≥2x y =时，等号成立，∴8xy ≥，∴xy 的最小值为8， 故答案为：8 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，考查变形能力与计算能力，属于常考题型.15．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值，则(2)(4)f f θθ-=________.【解析】由题意可得2,32k k Z ππωπθ+=+∈，代入(2)(4)f f θθ-即可得到结果．【详解】∵函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值， ∴2,32k k Z ππωπθ+=+∈即2,6k k Z πωπθ=+∈，∴(2)(4)sin 2sin 433f f ππθθωθωθ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 4sin 803k k ππππ⎛⎫+-+=⎪== ⎝⎭，【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换，考查学生的运算能力，属于基础题．16．已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足0a b ⋅=r r ，a c b c ⋅=⋅r r r r，且||2a b -=r r ，则a c c⋅r r r的最大值为________. 【答案】1【解析】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m =r ()0,,b n m =r 、n>0,(),c x y =r， 可得224mx ny m n -=⎧⎨+=⎩，而a c c ⋅r rr =，利用均值不等式即可得到结果．【详解】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m =r ()0,,b n m =r 、n>0,(),c x y =r， ∴2204mx ny m n -=⎧⎨+=⎩ ，∴a c c===⋅r r r ， 而()(22222222221111111221444n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1≤，即a c c ⋅r rr 的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标运算，均值不等式，考查转化能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2,1)m a =u r，(cos cos ,sin cos )n b A a B C B =--r ，且m n u r r∥.（1）求A ；（2）若4b =，2a =，求ABC V 的面积 【答案】（1）6A π=或56π（2）【解析】（1）由题意可得cos cos 2(sin cos )b A a B a C B -=-，结合正弦定理可得1sin 2A =，从而得到结果； （2）由于a b <，所以6A π=，结合余弦定理可得c（1）因为m n u r r∥，则cos cos 2(sin cos )b A a B a C B -=-sin cos 2sin sin sin cos B A A C A B =-sin()2sin sin A B A C +=从而1sin 2A =，566A ππ=或（2）由于a b <，所以6A π=，又余弦定理：2244cos 242c A c +-==⋅⋅，解得c所以面积为14sin 26π⋅⋅=【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，由三角函数值班求角，正余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合运用．18．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ，2a ，5a 成等比数列，且416S =.（1）求n a ； （2）若数列{}n b 满足3122482n n b b b b n +++⋯+=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-（2）1(23)26n nT n +=-⋅+【解析】（1）由题意列出基本量的方程组，即可得到通项公式； （2）利用3122482n n b b b b n +++⋯+=可得2nn b =，结合错位相减法可得结果． 【详解】（1）()()22152111,4a a a a a d a d ⋅=⋅+=+解得12d a =，而411434162S a d a ⨯=+=， 所以11a =，2d =，21n a n =- （2）由于3122482n n b b b b n ++++=L ，则311211(2)2482n n b b b b n n --++++=-L …. 相减得1(2)2nn b n =…，又有12b =，从而2n n b =.则123123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ，23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，相减得：()12311122222(21)26(23)2nn n n T n n ++-=⋅+⋅+++--⋅=---⋅L得1(23)26n nT n +=-⋅+本题考查求等差数列的通项公式，考查采用错位相减法求数列的前n 项和，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用，属于中档题．19．某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g ）作为质量指标值．由检测结果得到如下频率分布直方图． 分组频数 频率 [)45,47 8[)47,49[]49,51(]5153，16 0.16(]5355，4 0.04 合计 1001（1）求图中a b ，的值；（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间[)4749，和(]5153，内为合格品，重量在区间[]4951，内为优质品．已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元．以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布．若这批零件共m 件()*100m m N>∈，，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出．仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由．【答案】（1）0.24,0.04a b ==；（2）当1815m ≥时，选方案一；当1814m ≤时，选方案二．【解析】（1）根据题中数据，得到0.080.042b ==，根据频率之和为1，进而可求出结果；（2）根据题中条件，得到两种方案下的总收入，比较两收入的大小，即可得出结果. 【详解】（1）根据题中数据可得：0.080.042b ==， 又频率之和为1， 则10.120.080.040.020.242a =----=； （2）该工厂若选方案一：可收入()()12150510012201502540m m -⨯-⨯-⨯=-元； 若选方案二：一件产品的平均收入为200.121500.42000.485148.6-⨯+⨯+⨯-=元， 故总收入148.6m 元；21502540148.618147m m m ->⇒>，故当1815m ≥时，选方案一； 当1814m ≤时，选方案二． 【点睛】本题主要考查补全频率分布直方图，以及由频率分布直方图解决实际问题，熟记频率的性质即可，属于常考题型.20．已知离心率为12的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P为椭圆上异于长轴顶点的动点.当2PF x ⊥轴时，12PF F △面积为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）12F PF ∠的内角平分线交x 轴于Q ，求OP OQ ⋅u u u r u u u r的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=（2）[0,1)【解析】（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C 的方程；（2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-,利用点到直线的距离，建立等量关系，从而得到014t x =，表示目标即可. 【详解】（1）213222b c a ⋅⋅=，2a c =，b =，解得1c =，2a =，b =22143x y +=. （2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-设(,0)Q t=，2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=，由于(1,1)t ∈-，0(2,2)x ∈-，则()()0011(1)4(1)422t x t x +⋅-=-⋅+. 化简得014t x =；则201[0,1)4OP OQ x ⋅=∈u u u r u u u r .【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数22113()ln 222f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的极值点；（2）若()f x 极大值大于1，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）)a ∈⋃+∞ 【解析】（1）求出导函数1()()ln 2f x x a x ⎛⎫=-- ⎝'⎪⎭，分类讨论明确函数的单调性，从而得到函数()f x 的极值点； （2）由（1），0a ≤和a =a >0a <<分别利用()f x 极大值大于1，建立不等关系即可. 【详解】131()()ln ()ln 222f x x a x x a x a x a x ⎛⎫=-+--+=-- ⎝'⎪⎭（1）0a ≤时，()f x 在单减，)+∞单增，极小值点为x =0a <<()f x 在(0,)a 单增，(a 单减，)+∞单增，极小值点为x =极大值点为x a =；a =()f x 在(0,)+∞单增，无极值点；a >()f x 在单增，)a 单减，(,)a +∞单增，极小值点为x a =，极大值点为x =（2）由（1），0a ≤和a =当a >14e f =>，解得4a >，3104e ⎫==-<⎪⎭，所以a >当0a <<21()(2ln )12f a a a =->，得222ln a a->，令2t a =，则12()2ln 2g t t t =--22124()22tg t t t t'-=-+=，()g t 在4t =取得极大值(4)0g >，且(1)0g =.而a t e <,而()g t 在(1,)e 单增，所以()0g t >解为(1,)e ，则a ∈.综上)a ∈⋃+∞. 【点睛】本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．22．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+，以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，过圆C 的圆心C 作倾斜角,2πααπ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l .（1）写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）直线l 分别与x ，y 轴交于A ，B ，求||||CA CB ⋅最大值和ABO V 面积的最小值.【答案】（1）圆C 的普通方程为2242x y x y +=+，圆心为()2,1，2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t为参数）（2）||||CA CB ⋅无最大值，面积最小为4 【解析】（1）由题意圆C 的普通方程和直线l 的参数方程； （2）分别令0x =，0y =得12cos t α=-，21sin t α=-，表示||||CA CB ⋅与ABO V 面积，借助三角知识与重要不等式即可得到结果. 【详解】（1）圆C 的普通方程为2242x y x y +=+，圆心为()2,1直线l 的参数方程为()2cos 1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数 （2）分别令0x =，0y =得12cos t α=-，21sin t α=-，124sin 2CA CB t t α⋅==，当|sin 2|α最小时取最大，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，|sin 2|(0,1]α∈.所以，无最大值.0x =时，11sin y t α=+，=0y 时22cos x t α=+，则ABO V 面积为12cos sin 122sin cos αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11224tan 2tan αα⎡⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(44)42+=…， tan 2α=-时取等号.【点睛】本题考查圆的普通方程，直线的参数方程的求法，考查代数式的最大值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23．()|||12|f x x a x a =-++-. （1）若(2)2f …，求a 的取值范围；（2）设（1）中a 的最小值为M ，若|2|m n M +…,||m n M -…，求证：|21|3m n ++…. 【答案】（1）713a 剟（2）证明见解析 【解析】（1）利用零点分段法解含有绝对值的不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式，证明不等式即可．【详解】（1）(2)|2||32|2f a a =-+-… 32a …时，33a …，1a …，∴312a 剟 322a <<时，3a ≤，∴322a << 2a ≥时，，33a …，73a …，∴723a 剟 综上713a 剟 （2）|2|1m n +…，||1m n -…，则|2||2||2|||2m n m n m n m n m n +=++-++-剟，所以：|21||2|13m n m n ++++剟 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与证明，考查运算能力与转化能力，属于中档题．。

2020年重庆市高考数学三模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数z满足z⋅i=2+i，则复数z等于()A. 1−2iB. −2−iC. −1+2iD. 1+2i2.设x∈R，则“|x−1|≤1”成立的必要不充分条件是A. 0≤x≤2B. x≤2C. 0<x<2D. x>03.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=32，则a3=()A. 325B. 2 C. 4√2 D. 5324.已知双曲线kx2−y2=1(k>0)的一条渐近线与直线x−2y−3=0平行，则双曲线的离心率是()A. √52B. √3C. 4√3D. √55.(x−1x+1)5展开式中的常数项为()A. 1B. 11C. −19D. 516.已知单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则向量e2⃗⃗⃗ −2e1⃗⃗⃗ 在e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 方向上的投影是()A. √32B. −√32C. 12D. −127.执行如图的程序框图，若输出的S的值为55，则判断框内应填入()A. n≥6？B. n≤6？C. n≥5？D. n≥7？8.定义在R上的奇函数f(x)，若f(x+1)为偶函数，且f(−1)=2，则f(12)+f(13)的值等于()A. 2B. 1C. −1D. −29.已知tanθ=3，则cos2θ=()A. 3√1010B. √1010C. 910D. 11010.已知直线l:mx+ny=0，当m，n∈{1,2，3，4，5，6}时，所得到的不同直线的条数是()A. 22B. 23C. 24D. 2511.在三棱锥S−ABC中，侧棱SC⊥平面ABC，SA⊥BC，SC=1，AC=2，BC=3，则此三棱锥的外接球的表面积为()A. 14πB. 12πC. 10πD. 8π12.已知函数f(x)={−x 2+4x−3,x≤1lnx,x>1，若|f(x)|+a≥ax，则a的取值范围是()A. [−2,0]B. [−2,1]C. (−∞,−2]D. (−∞,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2).若P(ξ>2)=0.023，则P(−2≤ξ≤2)=______．14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x−9都相切，则a的值为________．15.已知实数x，y满足{x≤3x−2y−2≥02x+y≥4，则z=3x+y的最大值为________．16.抛物线y2=4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的坐标为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.己知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为万，点(5π24,0)为它的图象的一个对称中心．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f(−A2)=√2，a=3，求b+c的最大值．18.如图，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是梯形，∠EFA=∠FAB=90°，平面ABCD⊥平面ABEF，EF=FA=AD=12AB=1，点M是DF的中点．(1)求证：BF//平面AMC；(2)求二面角C−AE−B的余弦值．19.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]频数102030201010支持“新农村建设”311261262(1)根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持不支持合计(2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望．参考数据：P(K2≥k)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其短轴为2，离心率为√22．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设椭圆E的右焦点为F，过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21.已知函数f(x)=e x+ax2(a∈R,e为自然对数的底数)．(Ⅰ)当a=−e2时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cost,y =2sint,(t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l 的直角坐标方程为y =√3x ． (1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为ρ+8cosθ=0，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与C 1在第一象限的交点为B ，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|x −1|−2|x +1|的最大值为t ．(1)求实数t 的值；(2)若g(x)=f(x)+2|x +1|，设m >0，n >0，且满足1m +12n =t ，求证：g(m +2)+g(2n)⩾2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．根据复数的四则运算求解即可．【解答】解：因为z⋅i=2+i，所以z=2+ii =−i(2+i)−i2=1−2i．故选A．2.答案：B解析：【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行转化求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合集合关系进行转化是解决本题的关键．解析：解：由|x−1|≤1得−1≤x−1≤1，即0≤x≤2，对应集合为[0,2]，则“|x−1|≤1”成立的必要不充分条件对应的集合A⊋[0,2]，则x≤2满足条件．故选：B．3.答案：A解析：【分析】根据等差数列的性质，S5=5a3，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：根据等差数列的性质，S5=5(a1+a5)2=5a3,∴a3=S55=325．故选：A ．4.答案：A解析： 【分析】利用已知条件求出双曲线方程中k 的值，然后求解离心率即可，本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力． 【解答】解：双曲线kx 2−y 2=1(k >0)的一条渐近线与直线x −2y −3=0平行， 可得双曲线的渐近线的斜率为：±12，即±√k =±12，解得k =14， 双曲线kx 2−y 2=1为：x 24−y 2=1，得a =2，b =1，c =√5，∴双曲线的离心率为：√52． 故选：A ．5.答案：B解析： 【分析】本题考查二项式系数的性质，属于基础题． 类比二项展开式的通项处理即可． 【解答】解：依题意，(x −1x +1)5展开式中r 个因式选择x ，s 个因式选择−1x ，则展开项为：T =C 5r x r C 5−r s (−1)s x −s =C 5r C 5−r s (−1)s x r−s ，要使该项为常数，则r =1， ①当r =s =0时，对应常数为1；②当r =s =1时，对应常数为−C 51×C 41=−20； ③当r =s =2时，对应常数为C 52×C 32=30； 所以展开式的常数项为1−20+30=11． 故选B ．6.答案：B解析：解：∵单位向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°， ∴e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =12，∴(e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ )⋅(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )=−e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2−2e 1⃗⃗⃗ 2=−32，|e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ |=√12=√3∴向量e2⃗⃗⃗ −2e1⃗⃗⃗ 在e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 方向上的投影是−32√3=−√32故选：B．根据向量积的定义及向量投影的定义，代入即可求解．本题主要考查了平面向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．7.答案：A解析：【分析】本题考查程序框图，考查循环结构，属于基础题．根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=55，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：模拟程序的运行，可得：n=1，S=0，执行循环体，S=1，n=2，不满足条件，执行循环体，S=5，n=3，不满足条件，执行循环体，S=14，n=4，不满足条件，执行循环体，S=30，n=5，不满足条件，执行循环体，S=55，n=6，由题意，此时满足条件，退出循环，输出的S结果为55，则判断框内应填入n≥6？．故选A．8.答案：D解析：【分析】本题考查抽象函数的求值，注意分析函数的周期性，属于中档题．根据f(x+1)为偶函数，及函数的奇偶性可得函数f(x)为周期为4的周期函数；由此分析f(12)与f(13)的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，若f(x+1)为偶函数，则f(x+1)=f(−x+1)，即f(−x)=f(x+2)，又由函数f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，则有f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)为周期为4的周期函数，又由f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，则f(12)=f(0)=0，f(13)=f(1)=−f(−1)=−2，则f(12)+f(13)=0+(−2)=−2，故选D．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解答】解：tanθ=sinθcosθ=3，⇒sinθ=3cosθ，⇒sin2θ=9cos2θ，⇒1−cos2θ=9cos2θ，⇒cos2θ=110，故选D．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查古典概型的概率的计算，根据古典概型的概率公式求出相应事件的个数，即可得到结论．注意分类讨论，当m，n相等，与不相等时的两种情况．【解答】解：当m，n相等时，有1种情况．当m，n不相等时，有A62=6×5=30种情况，又12=24=36，21=42=63，23=46，13=26，32=64，31=62，因此可得到1+30−8=23条不同的直线．故选B．11.答案：A解析：【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，证明SC，AC，BC两两垂直是关键．证明SC，AC，BC两两垂直，将三棱锥S−ABC扩充为长方体，对角线为三棱锥的外接球的直径，求出对角线长，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．【解答】由题意，侧棱SC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SC⊥BC，∵SA⊥BC，SA∩SC=S，∴BC⊥平面SAC，∴SC，AC，BC两两垂直，将三棱锥S−ABC扩充为长方体，则对角线长为√1+4+9=√14，∴三棱锥的外接球的半径为√14，2∴三棱锥的外接球的表面积为4π⋅(√14)2=14π，2故选A．12.答案：A解析：解：|f(x)|+a≥ax即为|f(x)|≥a(x−1)，作出函数y=|f(x)|的图象和直线y=a(x−1)，直线恒过定点(1,0)，当a=0时，直线为y=0，即有y=|f(x)|的图象恒在直线的上方；当a<0，且直线和y=|f(x)|的图象相切时，由y=a(x−1)和y=x2−4x+3(x<1)，联立，可得x2−(4+a)x+3+a=0，由△=0，即(4+a)2−4(3+a)=0，解得a=−2．由图象即可得到−2≤a<0．综上可得a的范围是[−2,0]．故选：A．由题意可得|f(x)|≥a(x−1)，作出函数y=|f(x)|的图象和直线y=a(x−1)，直线恒过定点(1,0)，讨论a=0，a<0时，直线与抛物线相切的条件：判别式为0，解方程可得a=−2，通过图象即可得到所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，同时考查直线和抛物线相切的条件：判别式为0，以及运算能力，属于中档题．13.答案：0.954解析：【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、正态曲线的对称性及对称区间的概率相等，属于基础题，根据随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)，得到正态曲线关于x =0对称，根据P(ξ>2)=0.023，得到对称区间上的概率，从而可求P(−2≤ξ≤2). 【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)， ∴正态曲线关于x =0对称， ∵P(ξ>2)=0.023， ∴P(ξ<−2)=0.023∴P(−2≤ξ≤2)=1−0.023−0.023=0.954， 故答案为0.954．14.答案：−2564或−1解析： 【分析】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题． 【解答】解：设直线与曲线y =x 3的切点坐标为(x 0,y 0)， 则{y 0=x 03y 0x 0−1=3x 02，则切线的斜率k =3x 02=0或k =274， 若k =0，此时切线的方程为y =0， 由{y =0y =ax 2+154x −9， 消去y ，可得ax 2+154x −9=0，其中△=0，即(154)2+36a =0， 解可得a =−2564；若k =274，其切线方程为y =274(x −1)，由{y =274(x −1)y =ax 2+154x −9 消去y 可得ax 2−3x −94=0， 又由△=0，即9+9a =0， 解可得a =−1． 故a =−2564或−1， 故答案为−2564或−1．15.答案：192解析： 【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，属于基础题．作出满足约束条件的可行域，判断使目标函数取得最大值的点，然后求解目标函数的最大值即可． 【解答】解：作出可行域如图，由图可知平移直线至A 点时，z =3x +y 有最大值， 联立{x =3x −2y −2=0，解得x =3,y =12，∴A(3,12)，此时z max=3×3+12=192．16.答案：(4,0)解析：【分析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查两直线垂直的条件和中点坐标公式的运用，属于中档题．设AB的中点为H，求出准线方程，设A，B，H在准线上的射影分别为A′，B′，H′，运用抛物线的定义可得H的横坐标为2，设出直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得k的范围，由中点坐标公式解得k=−2，再求直线AB的中垂线方程，令y=0，即可得到所求值．【解答】解：设AB的中点为H，抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为x=−1，设A，B，H在准线上的射影分别为A′，B′，H′，则|HH′|=12(|AA′|+|BB′|)，由抛物线的定义可得，|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，|AF|+|BF|=6，即为|AA′|+|BB′|=6，|HH′|=12×6=3，即有H的横坐标为2，设直线AB：y=kx+3，代入抛物线方程，可得k2x2+(6k−4)x+9=0，即有判别式(6k−4)2−36k2>0，解得k<13且k≠0，又x1+x2=4−6k2k2=4，解得k=−2或12(舍去)，则直线AB：y=−2x+3，AB的中点为(2,−1)，AB的中垂线方程为y+1=12(x−2)，令y=0，解得x=4，故答案为(4,0).17.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)的最小正周期T=π，∴ω=2，∵(5π24,0)为f(x)的图象的对称中心，∴2×5π24+φ=kπ+π2 且0<φ<π2∴φ=π12∴f(x)=2cos(2x+π12)，…(4分)∴令2kπ−π≤2x+π12≤2kπ，可解得：kπ−13π24≤x≤kπ−π24，k∈Z．故f(x)单调递增区间为：[kπ−13π24,kπ−π24]k∈Z.…(6分)(Ⅱ)∵f(−A2)=2cos(A−π12)=√2∴cos(A−π12)=√22，∵−π12<A−π12<11π12 ∴A−π12=π4∴A=π3，…(9分)∵a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−3bc，∴(b+c)2=9+3bc≤9+3(b+c2)2，∴b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号．故b+c的最大值为6…(12分)解析：(Ⅰ)由已知及周期公式可求ω，由(5π24,0)为f(x)的图象的对称中心，且0<φ<π2可求φ，可得函数解析式，令2kπ−π≤2x+π12≤2kπ，即可解得f(x)的单调递增区间(Ⅱ)由f(−A2)=√2结合A的范围可求得A的值，由余弦定理可求得：a2=(b+c)2−3bc，从而有(b+c)2=9+3bc≤9+ 3(b+c2)2，利用基本不等式即可求得b+c的最大值．本题主要考查了余弦定理，基本不等式的应用，考查了三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18.答案：(1)证明：连接BD，交AC于点G，∴点G是BD的中点．∵点M是DF的中点，∴MG是△BDF的中位线．又∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ， ∴BF//平面AMC ；(2)解：∵四边形ABEF 是梯形，∠EFA =∠FAB =90°，∴AB ⊥AF ． 又四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， ∴AD ⊥平面ABEF ．以A 为原点，以AF 、AB 、AD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∴A(0,0，0)，C(0,2，1)，E(1,1，0)，D(0,0，1)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面ACE 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0，令x =1，则n⃗ =(1,−1,2)． 又AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)是平面ABE 的一个法向量， ∴cos <n ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×1=√63． 由图可知，二面角C −AE −B 为锐角． ∴二面角C −AE −B 的余弦值是√63．解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．(1)连接BD ，交AC 于点G ，由点G 是BD 的中点，可得BF//MG ，再由线面平行的判定定理可得BF//平面AMC ；(2)由四边形ABEF 是梯形，∠EFA =∠FAB =90°，得AB ⊥AF ，又四边形ABCD 是矩形，得AD ⊥AB ，由面面垂直的性质可得AD ⊥平面ABEF.则可以以A 为原点，以AF 、AB 、AD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ACE 与平面ABE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C −AE −B 的余弦值．19.答案：解：(1)2×2列联表K 2=60×40×60×40≈2.778<3.841，所以没有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异．(2)由题可知，ξ所有可能取值有0，1，2，3，4.且观众支持“新农村建设”的概率为60100=35，因此ξ～B(4,35)，P(ξ=0)=C 40(25)4=16625，P(ξ=1)=C 41(35)1(25)3， P(ξ=2)=C 42(35)2(25)2=216625，P(ξ=3)=C 43(35)3(25)1=216625，P(ξ=4)=C 44(35)4(35)4=81625，所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望为E(ξ)=4×55．解析：本题考查独立性检验、期望和方差及离散型随机变量及其分布列，属于一般难度题． (1)代入公式即可．(2)由题可知，ξ所有可能取值有0，1，2，3，4.且观众支持“新农村建设”的概率为60100=35，因此ξ～B(4,35)，分别求出概率，得出分布列．20.答案：解：(Ⅰ)由题意可知：2b =2，b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，则a =√2， ∴椭圆的标准方程：x 22+y 2=1；(Ⅱ)设直线MN 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)．{y =k (x −2)x 22+y 2=1，消去y 整理得：(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2=0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=8k 21+2k2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，k 1+k 2=y 1x 1−1+y 2x 2−1=k (x 1−2)x 1−1+k (x 2−2)x 2−1=k [2−x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=k [2−8k 21+2k 2−28k 2−21+2k 2−8k 21+2k 2+1]=0，∴k 1+k 2=0为定值．解析：(Ⅰ)由椭圆的性质2b =2，离心率e =ca=√1−b 2a 2=√22，求得a ，求得椭圆方程；(Ⅱ)设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k 1+k 2的值． 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)当a =−e 2时，f(x)=e x −e2x 2，故f′(x)=e x −ex ，设g(x)=f′(x)=e x −ex ，则g′(x)=e x −e ， 当x <1时，e x <e ，故g′(x)<0，g(x)递减， 当x >1时，e x >e ，故g′(x)>0，g(x)递增， 故g(x)≥g(1)=e −e =0，即f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R 递增， 函数f(x)在E 递增，无递减区间；(Ⅱ)令ℎ(x)=f(x)−(x +1)=e x +ax 2−x −1(x ≥0)， 则ℎ′(x)=e x +2ax −1，且ℎ(0)=ℎ′(0)=0， 记p(x)=e x +2ax −1，(x ≥0)，则p′(x)=e x +2a ， ①当2a ≥−1，即a ≥−12时，p′(x)≥p′(0)≥0恒成立， 故函数p(x)在[0,+∞)递增，即函数ℎ′(x)在[0,+∞)递增， 故ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0，ℎ(x)递增，故ℎ(x)≥ℎ(0)=0，即f(x)≥x +1恒成立； ②当2a <−1即a <−12时， 由p′(x)<0，得x <ln(−2a)， 故函数p(x)在(0,ln(−2a))递减， 即函数ℎ′(x)在(0,ln(−2a))递减， 故ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，故函数ℎ(x)在(0,ln(−2a))递减，故当x ∈(0,ln(−2a))时，ℎ(x)<ℎ(0)=0， 显然f(x)≥x +1不能恒成立， 综上，a 的范围是[−12,+∞)．解析：(Ⅰ)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)令ℎ(x)=f(x)−(x +1)=e x +ax 2−x −1(x ≥0)，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：(1)由C 1的参数方程为{x =costy =2sint (t 为参数)，得x 2+y 24=1，则ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ4=1，即1ρ2=cos 2θ+sin 2θ4；(2)由题意，C 2：ρ=−8cosθ,l ：θ=π3． 得ρA =−8cos π3=−4，由1ρB2=cos 2π3+14sin 2π3=716，得ρB =√7，∴|AB|=4√77+4．解析：(1)化参数方程为普通方程，再化直角坐标方程为极坐标方程；(2)化直线l 的直角坐标方程为极坐标方程，分别代入曲线C 2与C 1的极坐标方程，求解ρA ，ρB 的值，则|AB|可求．本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查计算能力，是中档题． 23.答案：解：(1)∵f (x )={−x −3, x ≥1−3x −1, −1<x <1x +3, x ≤−1，∴f (x )的最大值为f (−1)=2，因此t =2． (2)∵g (x )=|x −1|，1m +12n =2，则g(m +2)+g(2n)=|m +1|+|2n −1|≥|m +1+2n −1|=|m +2n |=|12(m +2n )(1m +12n )|=|12(2+2n m +m 2n)| ≥|12(2+2√2n m·m 2n)|=|12×4|=2，当且仅当2nm =m2n ，即m 2=4n 2又1m +12n =2，即m =2,n =1时取等号． ∴g(m +2)+g(2n)⩾2．解析：本题考查绝对值不等式，属于中档题．(1)由已知可得f(x)={−x−3, x≥1−3x−1, −1<x<1x+3, x≤−1，利用一次函数的单调性即可得出．(2)由(1)得g(x)=|x−1|，1m +12n=2，则g(m+2)+g(2n)=|m+1|+|2n−1|≥|m+1+2n−1|=|m+2n|，而|m+2n|=|12(m+2n)(1m+12n)|=|12(2+2nm+m2n)|，再利用基本不等式的性质即可得出．。

2020年重庆高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.若复数满足，则（ ）．A. B. C. D.3.下列说法正确的是（ ）．A.“若，则”的否命题为“若，则”B.命题与至少有一个为真命题C.“ ，”的否定为”，D.“这次数学考试的题目真难”是一个命题4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了位英语学习者进行调查，经过计算的观测值为，根据这一数据分析，下列说法正确的是：附：A.有以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B.有以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C.有以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D.在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：，，，，，，，，，在数学上，斐波那契数列定义如下：，（，)．随着的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为平方分米，则该长方形的长应该是（ ）．A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米6.在的展开式中，常数项为（ ）．A.B.C.D.7.已知，，，则的取值范围是（ ）．A.B.C.D.8.函数的部分图象是（ ）．A.B.C.D.9.定义在上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数的值为（ ）．A.B.C.D.10.已知抛物线（）的焦点为，以为圆心、为半径的圆交抛物线于，两点，以线段为直径的圆经过点，则点到直线的距离为（ ）．A.B.C.D.11.已知的面积为，角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）．A.B.C.D.12.已知，，，四点均在球的球面上，是边长为的等边三角形，点在平面上的射影为的中心，为线段的中点，若，则球的表面积为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，若，则实数．正视图俯视图侧视图14.已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格是边长为的正方形，则该几何体的体积为 ．15.已知公差不为的等差数列中，，，依次成等比数列，若，，，，，，，成等比数列，则．16.若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知函数．求函数的单调性．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．频率组距身高（单位：）（1）12（2）18.国庆周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高(单位：)在区间内．现从全体受阅女兵中随机抽取人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为，最后三组的频率之和为．请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．根据样本数据，可认为受阅女兵的身高（）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．求．若从全体受阅女兵中随机抽取人，求这人中至少有人的身高在以上的概率．参考数据：若，则，，，，，．19.如图，在四棱锥中，，，，，，．过直线的平面分别交棱，于，两点．（1）（2）求证：．若直线与平面所成角为，且，，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．求椭圆的方程．过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，点满足（为坐标原点），直线与椭圆的另一个交点为，若，求的值．（1）（2）21.已知函数，．讨论的单调性．若不等式对恒成立，求的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，且直线与曲线有两个不同的交点．求实数的取值范围．已知为曲线上一点，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的直角坐标．（1）（2）23.已知函数的最小值为．求的值．若实数，满足，求的最小值．【答案】解析:由得，即，∴，又，∴．选．解析:由，得，∴．故选．解析:因为，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关．故选.解析:由题意，随着的增大，越来越逼近黄金分割，以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，∵某“最美长方形”的面积约为平方分米，，，又由，B 1.C 2.B 3.D 4.B 5.∴，∵，，∴该长方形的长应该为厘米，故选：．解析:求的展开式中，常数项即求的展开式中，含的项，令即，∴常数项为．故选：．解析:由题意知：，当且仅当．即，时，等式成立．∴的取值范围是．故选．解析:函数定义域为，是奇函数，排除，因为时，，则排除，因为趋近于时，趋近于，排除，综上所述：选择．解析:由为奇函数知，所以，即，C 6.C 7.A 8.B 9.所以，所以，是周期为的函数，故，即，所以．故选．解析:由题意知，∴，设点，由题意，即，∴，，故所求距离有．故选．解析:由，得，则，又，∴，由，得，由正弦定理可知，即，，∴C 10.D 11.，∴．选．解析:设的中心为，延长交于点，则为的中点，连接．由题意知，平面，，由三垂线定理可得，又，∴平面，又为正三棱锥，∴，，两两垂直，故三棱锥可以看作，，为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由可得，故正方体的外接球直径为，所以球的表面积．故选．解析:∵，，∴，，∵，∴，∴，填．解析:由三视图可知该几何体是一个长方体挖去了一个球．几何体如图所示：C 12.13.14.（1），填．解析:设公差为，由，，依次成等差数列得，∴，即，∴，∴，，故此等比数列首项为，公比为，因此，，所以．故答案为：．解析:函数求导得，又，得，由题意知区间内存在两数之积为，故只需，即，填．解析:15.16.（1）在上单增，在上单减，．（2）．17.（2）（1），由，，得，，∴在上单增，在上单减，．由，则．又因为，所以，则，即．由正弦定理得，即，∴．又，∴，∴，∴．解析:由题意知，五组频率依次为，，，，．故．．（1）．12（2）．．18.12（2）（1）（2）由题意知，，．．．故人中至少有人的身高在以上的概率：．解析:∵，平面，平面，∴平面，又平面平面，∴，取中点，连接，则为平行四边形，∴，又，，∴，∴，∴，又，∴平面，∴平面，∴，由知平面，∴即为直线与平面所成角，∴，∴，即，又，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）∴，分别为，的中点，取中点，连接，则，由平面可得，故平面，以为原点，，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，，设平面的法向量为，则，令得，显然是平面的一个法向量，∴，由题知二面角的余弦值为．解析:由题知，故，又，∴，，∴椭圆的方程为．设，，由得，由得，∴，，（1）．（2）．20.（1）（2），又点在椭圆上，故，即，∴，由题意知直线，与椭圆的方程联立得，则，，∴，∴，解得或，又，不重合，∴，故．解析:定义域为，，当时，，在上单调递增，当时，令，得，令，得，∴在上单调递增，上单调递减．由可得，∴，令，（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，上单调递减．（2）．21.（1）（2）（1），，若，即，则存在，使得当时，，∴单调递减，∴，与题意矛盾，故，当时，由得，∴在单调递增，∴，∴在单调递增，∴，符合题意，∴，综上所述，的取值范围是．解析:曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为，由直线与圆有两个交点知，解得．设圆的圆心为，由圆的参数方程可设，由题设，∴，或，，故点或．解析:，又，∴，当且仅当时等号成立．故．（1）．（2）或．22.（1）．（2）．23.（2）由与柯西不等式得：，当且仅当，时等号成立，∴．故的最小值为．。

2020年重庆忠州中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC=3DF，设=，=，则=（）A．+B．+C．+D．+参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与运算性质，即可得出结论．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC=3DF，∴==（﹣）=（﹣），∴=﹣=+，设=， =，则=+=（+）+（﹣）=+=+．故选：B．2. 若，且，则下列结论正确的是A. B.C. D.参考答案：D3. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16参考答案：D本题考查了考生对实际问题的理解，具体是对函数的定义域的理解，难度中等.由题意可知，解得，故应选D .4. 双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C)(D)参考答案：A略5. 按1，3，6，10，15，…的规律给出2014个数，如图是计算这2014个数的和的程序框图，那么框图中判断框①处可以填入（）A．i≥2014B．i＞2014 C．i≤2014D．i＜2014参考答案：B6. 三棱锥的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：B7. 已知a，b∈R，条件p：“a＞b＞0”，条件q：“2a＞2b+1”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及指数函数的性质判断即可．【解答】解：由条件p：“a＞b＞0”，再根据函数y=2x是增函数，可得 2a＞2b，故条件q：“2a＞2b+1”不一定成立，故充分性不成立．但由条件q：“2a＞2b+1”成立，能推出2a＞2b，得：a＞b，条件p：“a＞b＞0”不成立，例如由 22＞20+1 成立，不能推出0＞0，故必要性不成立．故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D．8. 关于的不等式的解集为（）A．（—1，1）B．C． D．参考答案：A9. 函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B10. 定义在R上的函数f（x）满足：f (x)+ (x)>l，f (0)=4，则不等式e x f(x)>e x +3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在长方形中，为的三等分点（靠近处），为线段上一动点（包括端点），现将沿折起，使点在平面内的射影恰好落在边上，则当运动时，二面角平面角余弦值的变化范围为．参考答案：12. 已知函数的图像向左平移个单位长度后关于原点对称，则的值等于．参考答案：113. 若点（2，8）在幂函数的图象上，则此幂函数为 .参考答案：14. 函数的最大值是。

2020年重庆市高三学业抽测（第二次）文科数学一、选择题：1. 已知集合22{|230},{|log 1}A x x x B x x =--≤=>，则=B A YA ．(2)+∞，B ．]3,2(C ．]3,1[- D. ),1[+∞- 2. 欧拉公式i cos isin xe x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里 非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，7πi 5e 表示的复数位于复平面中的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如下图，测试成绩的分组为[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是A ．350B ．500C ．600D ．10004．已知点1(2,)8在幂函数()nf x x =的图象上，设3()3a f =，(ln π)b f =，2()2c f =， 则a ，b ，c 的大小关系为A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<5. 已知点22(sin,cos )33P ππ落在角θ的终边上，且02θπ∈（，），则θ的值为 A ．3π B ．23π C ．53π D ．116π6. 已知:p x k ≥，2:11q x <+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-7. 某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A ，2人来自社区B ，2人来自社区C ．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为频率 组距0.005 0.01 分) 0.0075 0.0125 0.015 10 30 50 70 90 110 130 150 0.0025(第3题图)A ．35B ．34C ．710 D ．458.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->, 1()2f x =, 2()2f x =-,且12||x x -最小值为2π,若将()y f x =的图象沿x 轴向左平移ϕ(0)ϕ>个单位，所得图象关于原点对 称，则实数ϕ的最小值为 A.12πB.6π C.3π D.712π 9. 设实数x 、y满足y =54y x +-的最大值为 A ．12- B ．2- C ．12 D ．210. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线C 交于M ，N 两点，若4PF MF =u u u r u u u r，则||MN =A ．32B ．3C ．92D ．911. 已知(34)2,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩对任意1x ，2(,)x ∈-∞+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，那么实数a 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．4(,2]3D ．4(,4]312. 两球1O 和2O 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为A．3(2π B．4(2π C．6(2π D．12(2π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13. 设非零向量,a b r r 满足()a a b ⊥-r r r ，且||2||b a =r r，则向量a r 与b r 的夹角为________． 14. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h (单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系式24.9 6.510h t t =-++，则该运动员在2t =时的瞬时速度是 (/)m s ．15. 设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin cos sin a B C b A C c +=，则ABC △外接圆的面积是 ．16. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ,若12||2||MF MF =,则双曲线C 的离心率为 ． 三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.（本小题满分为12分）一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：（Ⅰ）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程ˆˆy bxa =+中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ，，参考数据：514195i ii x y ==∑，．18．（本小题满分为12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31log ()n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．x y y x y x 7.71221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$$a y bx =-$521453.75i i x ==∑19.（本小题满分为12分）如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：FD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若三棱锥B ADF -的体积为13， 求点A 到面BDF 的距离．（第19题图）20.（本小题满分为12分）已知函数，．(为自然对数的底数)（Ⅰ）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（Ⅱ）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知圆22:(2)24C x y ++=与定点(2,0)M ，动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ,且与曲线E 交于,A B 两点，P 为直线3x =上的一点，若ABP∆为等边三角形，求直线l 的方程.ABCD ⊥ADEF ABCD ADEF AF DE ∥AF FE ⊥222AF EF DE ===()()xf x e ax a =+∈R ()ln xg x e x =e 0x ≥()0f x >a 1a =-()()()M x g x f x =-[1,]e（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为(2,0)，直线和曲线交于、两点，求的值．23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）已知2()2f x x a =+.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()15f x x +-≥的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式23()2x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.xOy l t O x C l C M l C A B 11||||MA MB +文科数学参考答案及评分意见一、选择题：15:;610:;1112:DCBCD BDAAC DD :::．二、填空题：13. 14．13.1- 15．π416三、解答题：17．解：（Ⅰ）由表中数据，计算，1(120110907060)905y =++++=， (2)分则5152221419559.59032453.7559.5i ii ii x y nx ybxnx==--⨯⨯===--⨯-∑∑$，$90329.5394a y bx =-=+⨯=$， 所以关于的线性相关方程为$32394y x =-+．.......................................6分（Ⅱ）设定价为元，则利润函数为(32394)(7.7)y x x =-+-，其中，..............8分 则232640.43033.8y x x =-+-，所以640.4102(32)x =-≈⨯-（元），........................11分为使得销售的利润最大，确定单价应该定为元．.......................................12分 18．解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，所以2n ≥，121n n a S -=+，..........................2分 两式相减化简得13n n a a +=(2)n ≥，...................................................4分 又11a =，所以23a =，213a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以13n n a -=．........................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知31log ()n n n b a a +=g 13log 3321n nn -=⨯=-，所以2(121)2n n n T n +-==，.....8分3π1(8.599.51010.5)9.55x =⨯++++=y x x 7.7x ≥10所以22212111111111......1...121223(1)n T T T n n n+++=+++<++++⋅⋅-....................10分 11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-．........................................12分19．解：（Ⅰ）证明：作DHAF ⊥于H ，∵，， ∴，∴，...............2分∵，∴，∴，∴，即，................4分∵面面，为两个面的交线，∴面．.....................6分 （Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，，所以，又AD DF ==.............9分∴，2BDF S =V ，设点A 到面BDF 的距离为h ,则11332h =⨯，3h =．..12分 20．解：（Ⅰ）∵对于任意实数，恒成立， ∴若，则为任意实数时，恒成立；....................................1分若，恒成立，即在上恒成立，......................2分设，则，.....................................3分 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以当时，取得最大值，，所以的取值范围为，综上，对于任意实数，恒成立的实数的取值范围为．...............5分AF FE ⊥222AF EF DE ===1HF DH==45HDF ∠=︒2AF =1AH=45ADH ∠=︒90ADF ∠=︒DFAD ⊥ABCD ⊥ADEF AD FD ⊥ABCD ABCD ⊥ADEFAB AD⊥AB ⊥ADEF111||1||333B ADF ADF V S AB AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=1AB=BD =0x ≥()0f x >0x =()0xf x e=>0x >()0xf x e ax =+>xe a x >-0x >()x e Q x x =-22(1)()x x xxe e x e Q x x x--⋅'=-=(0,1)x ∈()0Q x '>()Q x (0,1)(1,)x ∈+∞()0Q x '<()Q x (1,)+∞1x =()Q x max ()(1)Q x Q e ==-a (,)e -+∞0x ≥()0f x >a (,)e -+∞（Ⅱ）依题意，，所以，....................................6分设，则，.......................................8分 当，，故在上单调增函数， 因此在上的最小值为，即，.................10分 又，所以在上，，所以在上是增函数，即在上不存在极值．.............12分 21．解：（Ⅰ）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，.................................3分 所以故轨迹方程为：． .................................................5分（Ⅱ）直线的方程为，联立 消去得. 直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，，则有， ..................7分 ()ln xx M x e x e x =-+1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x'=+-+=+-⋅+1()ln 1h x x x =+-22111()x h x x x x-'=-+=[1,]x e ∈()0h x '≥()h x [1,]e()h x [1,]e (1)0h=1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=0x e >[1,]e 1()(ln 1)10xM x x e x'=+-⋅+>()M x [1,]e ()()()M x g x f x =-[1,]e I r I ||IC r =||IM r =||||IC IM+=I ,C M 2a c ==b =E 22162x y +=l (2)y k x =-2212(62)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()222231601212k x k x k +--+=(2)y k x =-(2,0)0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 21221231k x x k +=+212212631k k x x -⋅=+21221)|||31k AB x x k +=-==+设的中点为，则，，直线的斜率为（由题意知0k ≠），又P 为直线上的一点，所以 ,......................................9分 当为等边三角形时，,解得，即直线的方程为或．.......................12分22．解：（Ⅰ）将222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中参数消去得20x y --=，............................2分 将代入2sin 8cos ρθθ=，得28y x =，∴直线和曲线的直角坐标方程分别为20x y --=和28y x =．........................5分 （ii ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得2320t --=， 设、两点对应的参数为、，则，，且12t t +=1232t t =-，∴16，.............................. ..........8分 ∴12=．..............................10分 23.解:（Ⅰ）当时，()|1||24||1|5f x x x x +-=++-≥，则得； .................................................2分AB 00(,)Q x y 202631k x k =+02231k y k =-+PQ 1k-3x =3P x =2023(1)|||31P k PQ x x k +=-=+ABP ∆||||2PQ AB =223(1)31k k +=+1k =±l 20x y --=20x y +-=t cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩l C l C A B 1t 2t 1||||MA t =2||||MB t =1212||||||8t t t t +=-==1212121212||||||11111||||||||||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+===2a =22415x x x <-⎧⎨---+≥⎩83x ≤-得； ..................................................3分 得， ....................................................4 分 所以的解集为....................................5分（Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，又因为，................................7分 要使原不等式恒成立，则只需， 由得所以实数的取值范围是. ...................................................10分212415x x x -≤≤⎧⎨+-+≥⎩01x ≤≤12415x x x >⎧⎨++-≥⎩1x >()15f x x +-≥8(,][0,)3-∞-+∞U x 23()2x f x a +-<22322x x a a +-+<2222322323x x a x x a a +-+≤+--=-232a a -<2232a a a -<-<13a <<a (1,3)。

重庆第三十二中学2020年高三数学理月考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点和在直线的同侧，则直线倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域、直线的倾斜角和斜率.因为点和在直线的同侧,所以,解得,所以直线斜率,所以直线倾斜角的取值范围是,故选D.2. 设，则“” 是“且”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件参考答案：B3. 过点(3,1)作圆的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为（）A．B．C．D．参考答案：A4. 已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程;⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=，MN的中点到Y轴的距离为，求椭圆的方程.参考答案：．解：⑴设E（x，y），D（x0，y0）∵ABCD是平行四边形，∴，∴（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）∴（x0+6，y0）=(2x+4，2y)∴又即：∴□ABCD对角线交点E的轨迹方程为⑵设过A的直线方程为以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2设椭圆方程为，即…………………（*）将代入（*）得即设M（x1，y1），N（x2，y2）则∵MN中点到Y轴的距离为，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，∴MN中点也在Y轴的左侧。

∴，∴∴∵∴∴即∴∴∴，，∵，∴∴∴所求椭圆方程为略5. 已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则（）A.{1}B.{3,5}C.{1,6}D.{1,3,5,6}参考答案：B6. 函数的部分图像大致为参考答案：C由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排除D；当时，，排除A.故选C.7.A．-l B．0 C． D．1参考答案：B8. 已知集合,集合,那么集合A∩B= ( )A. [2,4]B. [3,4]C. {2,3,4}D. {3,4}参考答案：D【分析】由交集的定义即得解.【详解】集合,集合,由交集的定义：故选：D【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.9. 对于任意，，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B．2 C. D．3参考答案：B10. 空气质量指数AOI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AOI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（）A. 该地区在该月2日空气质量最好B. 该地区在该月24日空气质量最差C. 该地区从该月7日到12日AOI持续增大D. 该地区的空气质量指数AOI与这段日期成负相关参考答案：D【分析】利用折线图对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A, 由于2日的空气质量指数AOI最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确；对于选项B, 由于24日的空气质量指数AOI最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确；对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日AOI持续增大，所以该选项正确；对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数AOI与这段日期成正相关，所以该选项错误.故选：D【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知＝1－mi，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m的值为＿＿＿＿参考答案：212. 已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数C的值为．参考答案：913. 计算：．参考答案：114. 已知向量，，满足，且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，，则的值为．参考答案：；15. 已知，则 .参考答案：∵，∴，由正切的二倍角公式，∴答案16. 二项式(x3－)5的展开式中的常数项为.参考答案：－1017. 已知函数f(x)=，若存在x∈N*使得f（x）≤2成立，则实数a的取值范围为．参考答案：（﹣∞，﹣15]【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，运用基本不等式求得到成立的条件，再由x的范围，可得最小值，运用存在性问题的解法，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：f（x）≤2，即为≤2，由x∈N*，可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，由3x+≥2 =12，当且仅当x=2?N，由x=2可得6+12=18；x=3时，可得9+8=17，可得3x+的最小值为17，由存在x∈N*使得f（x）≤2成立，可得2﹣a≥17，解得a≤﹣15．故答案为：（﹣∞，﹣15]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

学校班级考号姓名_________________ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆重庆三十二中学高2020级文科数学周练答题卷（五） 第Ⅱ卷 一、选择题：请将题卷上的选择题答案填在相应的空格内（5⨯10=50）二、填空题：本大题有五个小题，每小题5分，共25分（5⨯5=25） 11. . 12. . 13. . 14. ___ _. 15. .三、解答题：本大题有六个小题，共75分，要求写出必要的解答过程. 16、（13分）已知集合2{|230}A x x x =--≤,{|33,}B x m x m m R =-≤≤+∈。

（1）若[2,3]A B ⋂=,求m 的值； （2）若A B ⊆,求m 的取值范围。

17、（13分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈．（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T 。

18、（13分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c =++． （1）求A ；（2）设a =S 为△ABC 的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值。

19、（12分）设()()256ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6。

（1）确定a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值。

20、（12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .（1）求n a 及n S ；（2）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T 。