1.明确求定义域的依据
求定义域的依据有：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数
非负，0指数幂的底数不为0，如本例中的分母不为0，即
2x-1≠0.
2.重视常用代数变形方法的应用
如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变
形技巧的应用.如本例中对
1 2x
的变1 形用到了通分，对
12
2x 2x
的1变形用到了分子分母同乘以2x.
【解析】1.由32x－1－1≥0得32x－1≥3－2.
9
因为函数y=3x在R上是增函数,
所以2x－1≥－2故x≥－1 .
2
所以函数 y 32x的－1－定1义域为［
9
答案：［－1+, ∞)
2
+∞－).1 ,
2
2.(1)( )5－0.24与
6
(5可)－以14 看作函数y=( )x的5两个函数值.由
1
3.强化定义域优先的意识 解答函数问题始终是在定义域内进行的，如本例中定义域为 {x∈R|x≠0}，所以第(3)问要分别证明x＞0,x＜0时都有 f(x)＞0.
【类题试解】已知函数f(x)=2ax+2(a为常数)， (1)求函数f(x)的定义域． (2)若a＞0，试证明函数f(x)在R上是增函数. (3)当a=1时，求函数y=f(x),x∈(－1,3］的值域．
类型 二 指数函数单调性的综合应用
【典型例题】
1.函数 y 32x－1－1 的定义域为______.
9
2.比较下列各组数的大小：
(1)(
5
)－0.24
与(
5
－1
)4
.
6
6
(2)1.90.3与1.92.3.
(3)
(
3
)
1 2
与(11)13
.
5
9
【解题探究】1.利用指数函数的单调性求解不等式的依据是 什么？ 2.利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是什么？
【解题探究】1.当函数解析式中含有绝对值符号时，处理函 数图象问题的一般思路是什么？ 2.已知函数f(x)的图象，如何用变换的方法画出函数f(x±a)(a ＞0),f(x)±b(b＞0),f(|x|),-f(x)的图象?
探究提示： 1.一般思路：去绝对值符号，化为分段函数处理. 2.由函数f(x)的图象画函数f(x±a)(a＞0)的图象，遵循“左加 右减”的法则；画函数f(x)±b(b＞0)的图象,遵循“上加下减” 的法则;画函数f(|x|)的图象，可将函数y=f(x)，y轴右侧的图 象沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧的图象，并保留y=f(x)在 y轴右侧部分的图象；画函数-f(x)的图象，根据f(x)的图象与 -f(x)的图象关于x轴对称画出.
【规范解答】(1)由2x－1≠0得2x≠20，故x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.① ……………… 2分
(2)函数f(x)是偶函数.
…………………… 3分
理由如下：
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，
∵
f
x
x(
1 2x－1
1) 2
x…2…x …1 …②…，………
2 2x－1
1 1
1
2
3x
, 1
∵3x＞0⇒3x+1＞1⇒0＜ 2 ＜2⇒-2＜
3x 1
＜2 0,
3x 1
∴-1＜1- ＜2 1,即f(x)的值域为(-1,1).
3x 1
【拓展提升】 1.判定函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则 如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也 不是偶函数. (2)正确利用变形技巧 耐心分析f(x)和f(-x)的关系，必要时可利用f(x)±f(-x)=0判定.
【互动探究】根据题2中的条件，画出函数y=|2x－1|的图象， 并说明它是由函数y＝2x的图象经过怎样的变换得到．
【解析】如图所示，
函数y=2x的图象向下平移1个单位得到函数y=2x－1的图象， 再将所得图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴 下方部分，并保留x轴上方部分即可得到函数y=|2x－1|的图象.
【拓展提升】 1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)常见的两种图象变换 (1)平移变换(φ＞0),如图1所示.
(2)对称变换,如图2所示.
2.两类常见的翻折变换 (1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象的x轴下方 部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留 y=f(x)的x轴上方部分即可得到. (2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象右侧部分沿 y轴翻折到y轴左侧替代原y轴左侧部分并保留y=f(x)在y轴右 侧部分即可得到.
y 2－1在x(11(3－,+x) ∞)上为增函数.
2.(1)定义域为R．令t＝2x(t＞0)，y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1， ∴ 值域为{y|y＞1}． t＝2x的底数2＞1，故t＝2x在x∈R上单调递增；而y＝t2＋2t＋1 在t∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y＝4x＋2x＋1＋1在R上单调递 增．
(2)定义域为R．令t＝x2－3x＋2＝(x 3)2 t∈1 ,［ +∞ 1).,
24
4
∴值域为(0, ］4 3.
∵y=( 1)t在R上为减函数,
3
∴y= (1)x2在3x(2-∞, )上为3 增函数，在(
3
2
+∞)上3 ,为减函数.
2
【拓展提升】 1.指数型复合函数的单调性的求解步骤 (1)求定义域:依据题意明确研究范围. (2)拆分: 把原函数拆分成几个基本函数. (3)定性质:分层逐一求单调性. (4)下结论:根据复合函数的单调性法则，即“同增异减”, 得 出原函数的单调性.
3x2 1 3x1 1
2
2
2 3x2 3x1
f
x2
f
x1
3x2
1
3x1
1
(1
3x2
) 1
(1
3x1
) 1
3x1 1
. 3x2 1
∵x1＜x2,∴ 3x2 3x1＞0,3x1 1＞0,3x2 1＞0,
∴f(x2)＞f(x1),∴f(x)为R上的增函数.
(3)
f
x
3x 3x
a
(a＞0且a≠1)等.
2.比较幂值大小的三种类型及处理方法
类型 三 指数函数性质的综合应用问题
【典型例题】
1.已知函数
f
x
m 2x－1 2x 1
为奇函数，则m的值等于______.
2.(2013·福州高一检测)已知函数
f
x
3x 3x
1. 1
(1)证明f(x)为奇函数.
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明.
【解析】1.选D.当x＞0时，y=ax(0<a<1)； 由此可以画出函数在y轴右侧的图象. 当x＜0时，y=-ax(0<a<1).另外，函数y=－ax与y=ax的图 象关于x轴对称，由此可以画出函数在y轴左侧的图象.故选D.
2.如图所示．
(1)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到； (2)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到； (3)y=2|x|的图象是由y=2x的y轴右侧的图象和y轴右侧的图象 关于y轴对称的图象组成的； (4)y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称．
4分
∴
f (－x) －x 2
2－x 1 2－x－1
x 2
(2x 1) (2x 1)
2x ② 2x
－x 2
1 2x 1－2x
x 2
2x 1 2x－1
f
x
，
∴f(x)为偶函数.
…………………… 7分
(3)由(2)知
f x x
2
2x 1 2x－1 .
……………………
8分
对于任意x∈R,都有2x+1＞0，
6
6
于0＜ 5＜1，所以指数函数y=( 5)x在R上是减函数.
6
6
因为－0.24＞－1，所以( )－50.24＜
4
6
(
5
－1
)4
.
6
(2)1.90.3与1.92.3可以看作函数y=1.9x的两个函数值.由于底数
1.9＞1，所以指数函数y=1.9x在R上是增函数.
因为0.3＜2.3，所以1.90.3＜1.92.3.
(3)巧用图象的特征 在解答有图象信息的填空题时，可根据奇函数的图象关于原 点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定. 2.函数奇偶性的应用 (1)图象特征的应用 根据函数的奇偶性，可画出函数在定义域中关于原点对称的 区间上的图象. (2)奇函数f(x)满足f(0)=0(当0属于定义域时)，偶函数f(x)满 足f(x)=f(|x|).
指数函数及其性质的应用
类型 一 指数函数的图象变换问题
【典型例题】 1.(2013·吉林高一检测)函数 y xax (0<a<1)的图象的大致形
|x|
状是( )
2.画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y＝2x的图象经 过怎样的变换得到的． (1)y＝2x－1.(2)y＝2x＋1.(3)y＝2|x|.(4)y＝－2x.
若x＞0，则2x＞20，所以2x－1＞0③，
于是 x 2x＞10，即f(x)＞0,
2 2x－1
…………………… 9分
若x<0,则2x＜20，所以2x-1<0③,
于是 x 2x＞10，
2 2x－1
即f(x)>0,
…………………… 11分
综上知：f(x)>0.
…………………… 12分
