下载文档原格式
17.1 勾股定理（第2课时勾股定理的应用）学案学习目标•理解勾股定理的应用场景•掌握勾股定理的应用方法•运用勾股定理解决实际问题基础知识回顾在前一节的学习中，我们学习了勾股定理的基本概念和证明过程。
回顾一下，勾股定理可以表达为：a2+b2=c2其中，a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的一个重要定理，广泛应用于各个领域。
下面我们将探讨一些常见的应用场景。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理最基本的应用就是测量直角三角形的边长。
当我们已知直角三角形的两条直角边，想要求解斜边的长度时，可以直接利用勾股定理计算。
2. 解决实际问题勾股定理在解决实际问题时也起到重要的作用。
例如，在土木工程中，我们常常需要测量建筑物的高度或者水平距离。
通过勾股定理，我们可以利用已知的线段长度和角度来计算未知的线段长度，从而帮助我们解决实际问题。
勾股定理的应用方法1. 已知两条直角边，求解斜边假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，我们可以利用勾股定理进行求解。
具体步骤如下：1.将已知的直角边代入勾股定理得到等式a2+b2=c2。
2.将已知的直角边的值代入等式，解得斜边的长度c。
2. 已知直角边和斜边，求解另一条直角边当我们已知直角三角形的一条直角边和斜边的长度，想要求解另一条直角边时，可以利用勾股定理进行求解。
具体步骤如下：1.将已知的直角边和斜边代入勾股定理得到等式a2+b2=c2。
2.将已知的直角边和斜边的值代入等式，解得另一条直角边的长度。
3. 解决实际问题在实际问题中应用勾股定理时，我们需要根据问题的具体情况，确定需要求解的未知量是哪一个。
通过观察题目中给出的已知条件和需求，我们可以根据勾股定理的应用方法进行求解。
案例分析案例一：求斜边长度已知直角三角形的一条直角边长为3cm，另一条直角边长为4cm，求斜边的长度。
解答步骤如下：1.将已知直角边代入勾股定理得到等式：32+42=c2。
勾股定理与生活
勾股定理是数学中一个基本的定理，主要描述了在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理在生活中有非常广泛的应用：
1. 建筑和工程：在建筑和工程领域，勾股定理被用来确保结构的准确性和稳定性。
例如，工人会用它来检查墙壁、地板是否垂直或水平，或者在测量电线杆、塔等的高度时。
2. 装修设计：在室内设计中，比如确定家具的位置，计算最佳视角等，都会用到勾股定理。
3. 体育运动：在篮球、足球、田径等运动中，运动员利用勾股定理来判断投篮角度、传球距离等。
4. 导航和地理：在地图制作和导航系统中，勾股定理用于计算两点之间的最短距离。
5. 电子设备：手机、电脑等电子设备的屏幕尺寸，往往通过勾股定理来计算对角线长度。
6. 日常生活：比如测量窗户、门的尺寸，计算梯子的安全角度等，都会用到勾股定理。
7. 交通：驾驶员在倒车入库时，可以通过勾股定理判断车尾与障碍物的距离。
这些都是勾股定理在我们日常生活中的实际应用，体现了数学的实用性和普遍性。
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用情景导入同学们知道，我们学校的洗手池与篮球场之间被草坪隔开了，体育课后，个别打完篮球的同学为了少走一些路就直接从草坪中间穿到水池洗手．这个行为肯定是不对的，为了弄清楚他们到底会少走多少路，我让同学们进行了测量．下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答．图17－1－511．根据测量AB＝4米，BC＝3米，那么他们将要少走多少米？在解决这个问题的过程中我们应用了什么定理？2．若改变数据AB＝5米，学生穿越草坪的距离AC＝13米，那么他们若不走草坪只多走了多少米？[说明与建议] 说明：利用学生身边情景导入新课，使学生经历了从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的强烈的好奇心和求知欲，并且又能起到育人的目的．建议：提前布置任务，给学生实践的机会，从而引发学生思考解决设疑的方法，为新课的讲解做好铺垫．图17－1－52有一个有趣的问题：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米(每个小方格的边长为1 cm)？你能解决这个问题吗？若从A点爬到D点，蚂蚁有没有最短的爬行距离，你能求出来吗？[说明与建议] 说明：设计实际问题背景，激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力．建议：教学中教师要鼓励学生积极地进行观察、思考、计算，教师检验并多进行积极的评价．——教材第29页习题17.1第10题图17－1－53这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．(丈尺是长度单位，1丈＝10尺)这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？【模型建立】在解决有关直角三角形的实际问题时，若情况复杂，比如不能直接求边长，这时可利用勾股定理建立方程解决问题．【变式变形】图17－1－541．公元12世纪，印度著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中将该题编成一首诗歌，在中东和西欧国家广泛流传，成为著名的“莲花问题”，该诗为：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲．出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边．渔人观看忙向前，花离原位两尺远．能算诸君请解题，湖水如何知深浅？解：设水深为x 尺，则茎秆高为(x ＋0.5)尺，由勾股定理，得x 2＋22＝(x ＋0.5)2.解得x ＝334，即湖水深334尺． 2．一根竹子高一丈(10尺)，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是多少？解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边长为(10－x )尺，根据勾股定理得x 2＋32＝(10－x )2，解得x ＝9120. 答：折断处离地面的高度是9120尺．图17－1－553．如图17－1－55是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，长为1米，将绳子拉直后，绳子的末端离旗杆5米，你能求出旗杆的高度吗？试试看．解：设AC＝x米，则AB＝(x＋1)米，BC＝5米，由勾股定理得，AC2＝AB2－BC2，即x2＝(x＋1)2－25，解得x＝12.答：旗杆的高度是12米．4．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”[解析] 诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解．图17－1－56解：如图17－1－56，不妨设图中的OA为秋千的绳索，CD为地平面，BC为身高5尺的人，AE为两步，即相当于10尺的距离，A处有一块踏板，EC为踏板离地的距离，它等于一尺．设OA＝x尺，即OB＝OA＝x尺，F A＝BE＝BC－EC＝5－1＝4(尺)，BF＝EA＝10尺．在Rt△OBF中，由勾股定理，得OB2＝OF2＋BF2，即x2＝(x－4)2＋102，解这个方程，得x＝14.5.所以这个秋千的绳索长度为14.5尺．[命题角度1] 直接利用勾股定理求边长通过对等式a2＋b2＝c2变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：c＝a2＋b2，b＝c2－a2，a＝c2－b2.在直角三角形中，已知两边，求第三边，可直接应用勾股定理求解．注意挖掘实际问题中的直角，把实际问题转化为有关直角三角形的问题，应用勾股定理计算后回答实际问题．例如图17－1－57，一架25 m长的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，AO＝24 m.(1)求这个梯子的底端与墙的垂直距离有多远；(2)当BD＝8 m时，AC的长是多少？(3)如果梯子的底端向墙一侧移动了2 m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少？图17－1－57解：(1)在Rt△AOB中，∠AOB＝90°.由勾股定理，得OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49，所以OB＝49＝7.答：这个梯子的底端距墙的垂直距离是7 m.(2)OD＝OB＋BD＝7＋8＝15(m)，CD＝25 m.在Rt△COD中，∠COD＝90°，由勾股定理，得OC2＝CD2－OD2＝252－152＝400，所以OC＝400＝20 (m)，所以AC＝AO－OC＝24－20＝4 (m)．(3)由题意及勾股定理，得此时梯子顶端离地面的垂直距离为252－52＝10 6≈24.49(m)，所以梯子的顶端向上滑动的距离约为24.49－24＝0.49(m)．[命题角度2] 利用勾股定理建立方程解决实际应用问题题目中虽然有直角三角形，但是已知线段的长不完全是直角三角形的边，所求边长不能直接运用勾股定理解决，这时可以设出未知数，通过建立方程，解答这类计算问题．例如图17－1－58，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米．现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？图17－1－58解：设超市C与车站D相距x米，则BC＝BD－x.在Rt△ABD中，BD＝AD2－AB2＝4000(米)，所以BC＝(4000－x)米．在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即x2＝30002＋(4000－x)2，解得x＝3125.答：该超市与车站D的距离是3125米．[命题角度3] 利用勾股定理求平面上两点之间的最短距离“两点一直线”型最短路径问题有两种情况：(1)两点在直线异侧时，连接两点与直线有一个交点，交点就是所求的点．(2)两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线相交．最短路线为“一点→交点→另一点”．在求值时要根据对称性构造直角三角形．例如图17－1－59所示，一个牧童在小河正南方4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8 km北7 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？17－1－5917－1－60解：如图17－1－60，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP，则A→P→B就是最短路线，AP＋BP＝A′B.在Rt△A′DB中，由题意，得BD＝8 km，DA′＝7＋4＋4＝15(km)，由勾股定理求得A′B＝A′D2＋BD2＝17(km)．答：他要完成这件事情所走的最短路程是17 km.。
