17.1 勾股定理 第2课时 教学设计

《勾股定理（2）》教学设计(人教版八年级数学下册第十七章第一节第二课时)一、教学目标1.能在给定的直角三角形中，利用勾股定理求出未知边长，进而解决实际问题.2．在解决问题的过程中培养数学建模思想，渗透转化思想、分类思想、数形结合的思想.3．在学习过程中，培养符号感，锻炼计算能力，培养及时纠错、克服困难的良好品质.4．增强学习数学的成就感，感受数学和实际生活的紧密联系.二．教学重、难点1．教学重点：应用勾股定理解决问题，准确求直角三角形中未知的边长.2．教学难点：将实际问题转化成数学问题的过程及计算的准确性.三、教学思考前节课学习了勾股定理的证明，学生已经知道了“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，那么如何应用这个定理去解决问题就成了接下来研究的问题.本节课就是在上节课的基础上来解决这个问题.由于要利用勾股定理进行计算，因此在本课一开始就要先复习巩固勾股定理的内容，给出不同类型的题目来考查学生对勾股定理的理解.情境的创设也是吸引学生继续学习的重要环节之一，教材的例1非常好，在比较门框尺寸与木板尺寸的过程中涉及了分类思想，这些内容在生活中常常用到，但是要建立数学模型，转化为数量之间的比较相对困难，因此这是本节课的重点之一.本节课的整体设计都建立在对勾股定理的应用之上，从数学情境入手，由浅入深，然后再过渡到实际情境中解决问题，从探究中得到了分类思考的方法，再进入数学情境中巩固加深分类方法的使用.整个设计体现了由简单到复杂的学习过程，并渗透了分类思想、转化思想、数形结合等思想.四．教学过程设计例2 如图，直的墙AO上，这时端A沿墙下滑移0. 5m吗？2 .如图,池塘边有两点A、B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点,测得CB=60m,AC=20m. 求A、B两点间的距离（结果取整数）?一楼梯的侧面如图所示，其中AB=13米，BC=5。

新人教版第十七章勾股定理教案第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)教学目标：1.知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能够应用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

2.过程与方法：通过观察、猜想、归纳、验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。

3.情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐。

教学重点：知道勾股定理的结果，并能运用于解题。

教学难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形。

教学过程：一、课堂导入2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示了本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。

今天我们就来一同探索勾股定理。

二、合作探究让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

这个事实是我国古代3000多年前有一个叫XXX的人发现的。

他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2.那么对于任意的直角三角形也有这个性质吗？用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，其等量关系为：4S△+S小正=S大正，即4×ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2+b2=c2.三、证明定理勾股定理的证明方法达300余种。

下面这个古老的精彩的证法出自我国古代无名数学家之手。

已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的过程较为顺利，大家积极参与，课堂氛围活跃。但同时我也发现，部分小组在操作过程中出现了计算错误，这说明学生在数学运算方面仍需加强。因此，我计划在接下来的教学中，加强对学生数学运算能力的训练。
关于学生小组讨论环节，我发现学生在讨论过程中能够提出自己的观点，并进行有效交流。但在引导与启发方面，我觉得自己还可以做得更好。未来，我将更多地运用开放性问题，激发学生的思考，帮助他们发现问题、分析问题和解决问题。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用。本节课主要内容包括：
1.理解并掌握勾股定理的应用场景，如直角三角形中，了解斜边与两个直角边的关系。
2.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、判断一个三角形是否为直角三角形等。
5.培养学生数学运算的核心素养，让学生熟练掌握勾股定理，并能灵活运用到各种计算和证明过程中，提高运算的准确性和速度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理及其在直角三角形中的应用。
-重点讲解：
-勾股定理的表述：直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
-勾股定理的证明：通过几何图形或代数方法，证明勾股定理的正确性。
其次，理论讲解环节，我尽量用简洁明了的语言解释勾股定理的概念和证明过程。从学生的反应来看，大部分同学能够跟上我的讲解，但仍有少数同学在理解上存在困难。针对这个问题，我考虑在今后的教学中，可以通过增加互动提问环节，让学生在课堂上及时反馈疑问，以便我更好地关注到每个学生的学习情况。
在案例分析环节，我选取了建筑物直角三角形结构作为例子，旨在让学生了解勾股定理在实际问题中的应用。从学生的讨论来看，这个案例取得了较好的效果。但在今后的教学中，可以尝试引入更多类型的案例，让学生从不同角度理解勾股定理的应用。

《17.1 勾股定理（二）》教学案
《16.1 二次根式（一）》预习案
1、预习课本第1-3页
2、填空：
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m ．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s ）与开始落下
的高度h （单位：m ）满足关系 h =5t 2，如果用含有h 的式子表示 t ，
则t 为 。

3、你在上面的填空中得到的式子：
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
4、二次根式和算术平方根有什么关系？
5、二次根式有意义的条件是什么？
6、当x 是怎样的实数时， 2 x 在实数范围内有意义？
7、a 取何值时，下列根式有意义？。

17.1 勾股定理 2课时教学设计-人教版八年级数学下册课程目标通过本节课的学习，学生应能： 1. 理解勾股定理的基本概念和运用； 2. 运用勾股定理解决直角三角形的问题； 3. 掌握勾股定理的证明方法。

教学重点1.掌握勾股定理的应用；2.理解勾股定理的证明方法。

教学难点1.灵活运用勾股定理解决实际问题；2.理解并掌握勾股定理的证明方法。

教学过程导入（5分钟）1.引入勾股定理的概念，激发学生的学习兴趣。

例如：“同学们，你们知道直角三角形吗？它有一个特殊的定理，叫做勾股定理。

接下来，我们一起来学习勾股定理的应用和证明方法。

”2.引导学生回顾直角三角形的定义和特点，确认直角三角形满足勾股定理。

学习（40分钟）步骤一：勾股定理的应用（20分钟）1.教师通过展示直角三角形的图形，通过示例问题引入勾股定理的应用。

例如：“现在有一个直角三角形ABC，边长分别为a、b、c，其中c为斜边。

如果我们已知a、b两边的长度，如何求出斜边c的长度呢？”2.引导学生思考、讨论解决问题的方法。

3.通过具体计算示例，教师演示勾股定理的应用过程，并让学生跟随计算。

步骤二：勾股定理的证明方法（20分钟）1.教师引导学生思考勾股定理的证明方法。

例如：“在我们的日常生活中，如何证明勾股定理呢？请思考并尝试提出自己的证明方法。

”2.学生进行思考，并进行讨论。

3.教师给出经典的数学证明方法，并解释其原理和过程。

4.教师引导学生进行勾股定理的证明推理过程，并通过示意图进行解释和演示。

巩固（40分钟）1.学生进行练习题，练习勾股定理的应用和证明方法。

2.教师进行个别辅导，帮助学生解决问题。

3.学生互相交流，分享解题思路和方法。

小结（5分钟）1.教师对本节课学习的内容进行小结，强调勾股定理的应用和证明方法。

2.教师鼓励学生继续探索数学的乐趣，并思考如何将勾股定理应用到更多实际问题中。

课后作业1.布置课后作业，要求学生再次运用勾股定理解决实际问题，并以文字形式写出解题过程。

3.教师板书“勾股定理”，并提问：“同学们，你们听说过勾股定理吗？知道它是关于什么的吗？”
4.学生回答后，教师简要介绍勾股定理的背景和意义，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.教师通过多媒体课件或黑板，展示勾股定理的公式：a² + b² = c²。
2.教师引导学生理解公式中的字母代表的意义，解释勾股定理的含义。
2.分步教学，循序渐进
针对勾股定理的教学，教师应遵循循序渐进的原则，先引导学生理解定理的概念，然后逐步引导学生掌握定理的证明方法，最后将定理应用于实际问题。在这个过程中，教师要关注学生的接受程度，适时调整教学节奏，确保学生能够扎实掌握每个环节。
3.多元化教学方法，提高课堂效果
（1）直观演示法：通过多媒体课件或实物展示，让学生直观地感受勾股定理的内涵。
a.勾股定理的证明方法有哪些？
b.勾股定理在生活中的应用实例有哪些？
c.你还能想到其他证明勾股定理的方法吗？
2.学生在小组内展开讨论，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.每个小组派代表分享讨论成果，其他小组给予评价和补充。
（四）课堂练习
1.教师针对勾股定理的相关知识点，设计适量、难度适中的练习题，要求学生在课堂上独立完成。
5.关注个体差异，实施分层教学
针对学生的个体差异，教师应实施分层教学，为不同层次的学生提供难易适度的教学内容和练习题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
6.情感态度与价值观的培养
在教学过程中，教师要关注学生的情感态度与价值观的培养，引导学生认识到数学学习的意义和价值，提高学生的数学素养。
7.教学评价
2.从以下三个问题中选择一个进行深入探究，并撰写探究报告：
a.勾股定理的起源与发展历史。

17.1勾股定理（第二课时）【教学目标】1.进一步理解巩固勾股定理联系二次根式的计算2.运用勾股定理进行简单的计算【重点难点】重点：勾股定理的简单应用难点：勾股定理的应用【教学过程设计】【活动一】(一)介绍勾股定理与第一次数学危机：“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。

但根2很快就引起了数学思想的大革命。

科学史上把这件事称为“第一次数学危机”，也让数学向前大大发展了一步。

引入斜边长为无理数时勾股定理的应用。

【活动二】讲解例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：可以看出，木板横着和竖着都不能通过，只能试着斜着通过师生活动：教师和学生共同完成练习：一个门框的尺寸如图所示，一块长4m，宽3m的薄木板（能或不能）从门框内通过．1m2m师生活动：学生板演，教师进行点评【活动三】例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移动0.5m吗？师生活动：学生先思考如何解决这个问题教师讲解例题规范解题步骤【活动四】巩固提高完成书上26页练习题练习1 如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m，求A，B两点间的距离（结果取整数）2.在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4），求这两点之间的距离课堂小结1.本节课主要学习了哪些内容2.勾股定理如何应用到简单问题的解决中？作业1.复习本节课的内容2.完成练习册上的相关内容3.预习下节课内容板书设计课后反思。

第十七章勾股定理17.1 勾股定理第2课时♦教材分析勾股定理有广泛应用，本节课学习应用勾股定理进行直角三角形的边长计算，简单解决一些的实际问题.♦教学目标1.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边之间长度的联系，进而求出未知边长解决实际问题，培养学生的建模思想；2.通过勾股定理建立已知边和未知边之间的关系列出方程解决实际问题，培养学生的方程思想.♦教学重难点--------- —----------如何利用或构造直角三角形利用勾股定理解决问题'♦课前准备'课件.♦教学过程、知识回顾1.直角三角形的性质如图，在△ ABC中，已知/ C=90°,则/ A和/ B的关系为 ___________________a, b为直角边，c为斜边，三边关系为__________________ ；c= （已知a、b,求c);a= （已知b、c,求a);b= （已知a、c,求b)3. (1)在Rt△ ABC / C=90 , a=3, b=4,则c= .(2)在Rt△ ABC / C=90 , a=6, c=10，则b= .(3)在Rt△ ABC / C=90 , b=12, c=13，贝U a= .设计意图：通过复习勾股定理，进一步复习直角三角形中三边关系, 从而为后面研究实际问题提供知识保证、解决实际问题例1 一个门框的尺寸如图所示, 一块长3m宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：此题可看出，木板横着或竖着都不能通过门框，只能试试斜着能否通过•而门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以求出AC,再与木板的宽进行比较，就将此实际问题转化为已知直角三角形的两直角边，求斜边的问题，利用勾股定理轻松求解a, b, c，h之间的关系式为___________ . _______实師间题㈡数学模型解：在Rt △ ABC 中，根据勾股定理,AC2=AB2+BC2=12+22=5. ••• AC= .,5 2.24.••• AC 大于木板的宽2.2m ，所以木板能从门框内通过 .设计意图：将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出几何图形，分析已知量、待求 量，让学生掌握解决实际问题的一般套路•例2 如图，一架2.6米长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 A0上，这时AO 为2.4 米. (1) 求梯子的底端 B 距墙角0多少米？(2) 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑0.5米，那么梯子底端 B 也外移0.5米吗？分析：已知斜边和一直角边求另一直角边 解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt △ AOB 中，根据勾股定理, 在Rt △ COD 中，根据勾股定理, • BD=OD -OE 1.77-1=0.77.答：梯子的顶端沿墙下滑 0.5m 时，梯子底端外移约 0.77m. 例3池塘中有一株荷花的茎长为OA 无风时露出水面部分 CA=0.4米，如果把这株荷花旁边拉至使它的顶端 A 恰好到达池塘的水面 B 处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC=1.2米,0B=. AB 2-OA 2= ■ 2.62-2.42=1;OD= CD 2-OC 2= . 2.62-(2.4-0.5)2= 3.15 -1.77 ；求这颗荷花的茎长0A水面解：如图，已知AC=0.4m BC=1.2m / OCB=90设OA=OB=X 贝y 0C=0A-AC=(x-0.4)m在Rt△ OBC中，由勾股定理可知OC2+BC2=O巴•••(x-0.4) 2+1.2 2=x2解得，x=2答：荷花的茎长OA等于2m.设计意图：将实际问题转化为数学问题，如果不能直接用已知线段求待求线段时，应想到设未知数列方程，这里勾股定理是常用列方程的方法练习1如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？解:根据题意画出图形，已知/ ACB=90 , AC=3 AB-BC=1.设BC=x 则AB=BC+1=x+1.在Rt△ ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2=AE2• 32+x2=(x+1) 2解得，x=4.--AB+BC=3+5=8m.答：树折断前的高度为8m.【点拨】此题中能将实际问题的条件转化为数学问题是解题的关键例4科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B, C两地的距离.解：过B点作BD丄AC于D,1在Rt△ ABD中，•••/ BAD=60 ,二/ ABD=90 - / BAD=30 ,二AD J AB=2km.2••• BD= .. AB2- AD2= 2、3km.在Rt△ BCD中, vZ DBC=45 , • CD=BD2.3km. • BC^ Btf+C D2=2 6 km.答：B, C两地的距离为2 6 km.练习2如图所示，两艘货船分别从点A出发离开码头，甲船以16海里/时的速度向北偏东60o的方向行驶，乙船以12海里/时的速度向南偏东30o的方向行驶，若两船同时出发， 2 小时后两船相距多远？解：根据题意可得Z BAC=90o AB=16x 2=32海里，AC=12x 2=24海里,根据勾股定理可得BC= AB2 AC2= 322 242=40. • 2小时后两船相距40海里.例5如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据.3~ 1.73）东B C【分析】此题中，过P点作AB的垂线，由垂线段最短可知，P点是直线AB上所有点的连线中DP 最短，也就是公路上D点离P最近，如果此时DP< 100km,则D点在保护区内，即公路穿越了保护区；反之，则不会穿越保护区解：公路不会穿越保护区，理由如下:过P作PDL AC于D,在Rt△ BDP中，I/ PBD=60 ,•••/ BPD=90 - / PBD=30 , ••• PB=2BD设BD=x 贝U PB=2x,• PD=J BP2-BD2 = V3X.•// PBD=/ A+/ APB•••/ APB=/ PBD-/ A=30°,•••/ A=/ APB• PB=AB=120km••• 2x=120解得，x=60.• PD=、.. 3x=60 . 3 ~ 103.8km > 100km.•这条公路不会穿过保护区.练习3如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处(图中B点位置)就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在这条路上通行吗？过点A作ACL BD于点C,•••由题意得AC=9, AB=AD=41 ACL BD,• Rt △ ACB 中，BC=・"=40m, •/ AB=AD ACL BD, • BD=2BC=80m • 80-4=20 ( s ),•受影响时间为20s;•/ 20 v 25,「.可以通行.三、课堂小结1.解决实际问题时，首先要将实际问题转化为数学问题，即画出几何图形，明确已知和未知，借助直角三角形勾股定理来解决问题；2.有时需要先构造直角三角形，通过作垂线构造直角三角形来解决问题。

举例解释：
-在证明勾股定理时，学生可能会对如示、动画等多种方式，逐步引导学生理解证明过程中的每一步。
-在解决实际问题时，学生可能会因为题目中没有直接给出直角三角形的直角边和斜边而感到困惑。教师需要教授学生如何识别隐藏的直角三角形，并运用勾股定理。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和应用这两个重点。对于难点部分，如定理的证明，我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用纸片制作直角三角形，验证勾股定理。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生发言不够积极，可能是他们对自己的观点不够自信。针对这个问题，我会鼓励学生们大胆表达自己的想法，培养他们的自信心。同时，也要关注那些默默无闻的学生，给他们更多的关注和鼓励。
最后，总结回顾环节，我觉得自己的表达可能还不够精炼，有些地方可以进一步简化。在今后的教学中，我要尽量用简练的语言进行总结，帮助学生更好地巩固所学知识。
-设计实际情景题目，如测量距离、计算建筑物高度等，让学生练习使用勾股定理进行计算。
-引导学生通过拼图、折叠等实际操作，体验勾股定理的证明过程，加深对定理的理解。
2.教学难点
-理解勾股定理的逻辑推理过程，特别是对于证明方法的理解。
-在实际问题中识别并运用勾股定理，特别是在非标准直角三角形的情况下。
-理解勾股定理在不同情境下的变式和拓展。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了勾股定理，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课的部分，我通过提出与日常生活相关的问题来激发学生的兴趣，这是一个好的开始。但在实际操作中，我发现有些学生对这个问题并没有太大的反应。我意识到，可能是因为问题设置得不够具体或者不够贴近他们的生活实际。在今后的教学中，我需要更加关注问题的设计，让它更具针对性和吸引力。

2.练习题分为基础题和提高题，以满足不同层次学生的学习需求。
3.教师巡回指导，解答学生在练习过程中遇到的问题，帮助学生突破难点。
（五）总结归纳，500字
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结勾股定理的关键点和应用方法。
2.学生分享学习心得，交流在解决问题过程中遇到的困难和解决办法。
3.教师强调勾股定理在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
4.布置课后作业，要求学生结合勾股定理，解决生活中的实际问题，将所学知识内化为自己的能力。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.基础作业：
（1）完成课本第17.1.2节后的练习题1、2、3。
（2）根据勾股定理，自行设计一个直角三角形的实际情景问题，并求解。
3.家长要关注孩子的作业完成情况，鼓励孩子遇到问题时主动寻求帮助，培养良好的学习习惯。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，给予针对性的指导和评价。
2.提问学生：“你们在生活中见过直角三角形吗？直角三角形有什么特殊之处？”让学生思考并回答，为新课的学习做好铺垫。
3.引导学生回顾直角三角形的基本概念和性质，为勾股定理的学习打下基础。
（二）讲授新知，500字
1.教师通过PPT展示直角三角形的图形，引导学生观察并思考：“在一个直角三角形中，斜边与两个直角边之间有什么关系？”
4.小组合作，交流分享
将学生分成小组，让他们相互讨论、交流勾股定理的发现和应用过程，培养学生的团队协作能力和表达能力。
5.拓展延伸，提高能力
结合勾股定理，设计一些拓展性问题，让学生运用勾股定理解决更复杂的问题，提高学生的解题能力和思维水平。

《勾股定理》第2课时精品教案【教学目标】1.知识与技能利用勾股定理解决实际生活问题。

2.过程与方法灵活运用所学知识，主动参与讨论学习。

3.情感态度和价值观通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。

【教学重点】正确利用勾股定理解决实际问题。

【教学难点】将实际问题转化为数学问题。

【教学方法】讲解与练习相结合的方法。

【课前准备】教学课件。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入【过渡】上节课我们学习了什么是勾股定理以及简单的应用，现在我们先来回忆一下，什么是勾股定理？（引导学生回答）【过渡】大家回答的都很正确，看来课下都进行了复习。

那么，现在我就要检验一下大家究竟会不会运用勾股定理。

课件展示简单的应用题。

学生回答。

【过渡】刚刚的问题只是非常简单的应用，这节课我们将学习勾股定理的深一步应用。

二、新课教学1．勾股定理的应用（1）生活中的数学问题【过渡】我们首先来看勾股定理在生活实际问题中的应用。

讲解例1。

【过渡】读过问题之后，我们知道，这是一道实际的问题。

在之前，我们学习过，遇到实际问题时，我们需要想办法将其转化为数学问题，而实际的图形就需要转化为数学图形。

【过渡】从题目中，我们知道，木板的长和宽都大于门的宽度和高度。

因此，不论是横着还是竖着，都是不可能将木板弄进屋里。

在这个时候，我们就需要考虑，斜着能否将其抬进去呢？【过渡】我们知道，在矩形中，其对角线的长度是最大的，因此，就将问题转化为比较对角线与木板长度的大小。

在这里，我们就需要用到勾股定理。

课件展示解题过程。

【过渡】现在，我们来看另一类问题。

讲解例2.【过渡】题目可以转化为比较BE与0.4m的大小，这样就能够将问题数学化，再利用勾股定理，就可以解决问题了。

课件展示解题过程。

（2）立体问题【过渡】除了以上的问题之外，我们还会遇到在立体图形中的问题。

例3：有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)【过渡】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可。

17．1 勾股定理（二）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点1．重点：勾股定理的简单计算。

2．难点：勾股定理的灵活运用。

三、例题的意图分析例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。

让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。

四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

五、例习题分析例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c 。

⑵已知a=1,c=2, 求b 。

⑶已知c=17,b=8, 求a 。

⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。

⑴求等边△ABC 的高。

17.1勾股定理第2课时【教学目标】知识与技能:1.能利用勾股定理解决实际问题.2.会利用勾股定理解决立体图形中两点距离最短问题.过程与方法:经历探究与勾股定理有关的实际问题的过程,学会利用勾股定理解决实际问题的方法.情感态度与价值观:在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.【重点难点】重点:能利用勾股定理解决简单的实际问题.难点:能利用勾股定理解决立体图形中两点之间距离最短问题.【教学过程】一、创设情境,导入新课:【导入新课】如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一千米造价为300万元,隧道总长为2千米,隧道造价每千米为1 000万元,AC=80千米,BC=60千米,则改建后可省工程费用是多少?你能解答上面问题吗?这一节课我们就来探究这类问题.二、探究归纳活动1:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:1.将实际问题转化为数学问题;2.明确已知条件及结论;3.利用勾股定理解答,确定实际问题的答案.活动2:立体图形异面两点之间的距离问题:1.如图,有一个圆柱,它的高等于16 cm,底面半径等于4 cm,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,在求需要爬行的最短路程时首先需将圆柱体展开,连接A、B,圆柱的侧面展开图是______,点B的位置应该在长方形的边CD的______处.点A到点B的最短距离为线段______的长度.答案:长方形中点AB2.如图,正四棱柱的底面边长为5 cm,侧棱长为6 cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处,求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长时,由点A到点C1的展开图有两种情况.活动3:例题讲解【例1】一架长5米的梯子AB,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识,论证你的结论.分析:根据勾股定理可求得如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米.解:是.证明1:在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,AC==4米,DC=4-1=3米.在Rt△DCE中,DC=3,DE=5,CE==4米,BE=CE-CB=1,即梯子底端也滑动了1米.证明2:在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,AC==4米,DC=4-1=3米,可证Rt△ECD≌Rt△ACB,∴CE=AC=4米,BE=CE-CB=1,即梯子底端也滑动了1米.总结:应用勾股定理解决实际问题的步骤1.读懂题意,分析数量关系,数形结合,正确标图,将条件反映到图形中,建立数学模型;2.应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解,解决实际问题.【例2】如图,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm,8 cm,30 cm.(1)在AB中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬到C处去吃,有无数种走法,则最短路程是多少?(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?分析:(1)要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体的侧面展开,然后利用两点之间线段最短解答.(2)利用长方体的性质,连接AG,BG利用勾股定理解答即可.解:(1)将长方体沿AB剪开,使AB与D在同一平面内,得到如图所示的长方形,连接CD,∵长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm,8 cm,30 cm,即DE=12 cm,EF=30 cm,AE=8 cm,∴CD====25 cm.(2)连接AG,BG,在Rt△BFG中,GF=12 cm,BF=8 cm,由勾股定理得,GB===cm,在Rt△AGB中,GB=cm,AB=30 cm,由勾股定理得,AG===2cm.总结:求立体图形表面上两点之间的最短距离的问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一.三、交流反思这节课我们学习了利用勾股定理解决实际问题及应用勾股定理求最短距离问题.关键是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,再用勾股定理等知识来解答.四、检测反馈1.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1 m处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2 m,则树高为()A.mB.mC.(+1)mD.3 m2.如图,一根12 m高的电线杆两侧各用15 m的铁丝固定,两个固定点AB之间的距离是()A.13B.9C.18D.103.如图,有一个圆锥,高为8 cm,直径为12 cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁,它想吃掉圆锥顶部A处的食物,则它需要爬行的最短路程是()A.8 cmB.9 cmC.10 cmD.11 cm4.如图,圆柱的底面周长为6 cm,AC是底面圆的直径,高BC=6 cm,点P是母线BC上一点,且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是()A.cmB.5 cmC.6 cmD.7 cm5.如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要______ m.6.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为________ mm.7.木工师傅做一个人字形屋梁,如图所示,上弦AB=AC=4 m,跨度BC为6 m,现有一根长为3 m的木料打算做中柱AD(AD是△ABC的中线),请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做中柱AD.(只考虑长度、不计损耗)8.我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图)请问这根藤条有多长?(注:枯树可以看成圆柱;树粗3尺,指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺).五、布置作业教科书第28页习题17.1第2,3,4,5,10题六、板书设计17.1勾股定理第2课时一、利用勾股定理解决实际问题二、应用勾股定理求最短距离问题三、例题讲解四、板演练习七、教学反思1.利用勾股定理解决实际问题关键是做到:(1)引导学生分析实际问题,明确如何将实际问题转化为数学问题,注意条件的转化;学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题.引导学生分析总结得出应用勾股定理解决实际问题的步骤;(2)读懂题意,分析数量关系,数形结合,正确标图,将条件反映到图形中,建立数学模型;(3)应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解,解决实际问题.2.应用勾股定理求最短距离问题:(1)引导学生分析总结得出求立体图形表面上两点之间的最短距离的问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一.(2)关于立体图形中两点距离最短问题,这对不少学生来说是一个难点,教师要引导学生充分发挥空间想象能力,把立体图形转化成平面图形,让学生体会解决此类问题的方法:将立体图形(或曲面)展开为平面图形,再利用勾股定理求解.通过例题讲解及练习让学生掌握. 。