北师大版数学必修二课件：圆的标准方程

M ( x0 , y0 )
2 0
所求的切线方程是 x0 x +
x0 x + y0 y = x + y . 2 2 = r2, 因为点M在圆上,所以 x 0 + y 0
整理得
2 0
O
x
y0 y = r .
2
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
例2 已知圆的方程是 x 2 + y 2 = r 2 ，求经过圆 y 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程 2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线 方程. 3.从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线 方程. 4.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线，求 切线的长.
2
，求经
y P(x,y)
分析：利用平面向量知识. 设P（x,y)是切线上不同于M的 任意一点,则
OM MP OM MP= 0
M ( x0 , y0 )
O
x
x0x +y0 y = r2
当P与M重合时，P的坐标仍满足上面方程.
经过圆 x 2 + y 2 = r 2上一点M ( x0 , y0 ) 的切线的 方程是 x0x +y0 y = r2
x
C1
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法

分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆 心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C 与A, B 两点 的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C
在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线l '的交点，半径长等于
|CA|或|CB|．
变式：己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 解法1:设圆C的方程为
（3）点P在圆外 x0 a2 y0 b2 r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
2 几何方法：数形结合
必做：课本81页练习：1，2 选做：课本82页练习：2
谢谢大家
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
例2ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)， C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 (y b)2 r2
(1) 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）．于是
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程
是：（x 2）2 (y 3)2 25
把 M1(5,7) 的坐标代入方程 (x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点 M1 的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边不
相等，点
M
的坐标不适合圆的方程，所以点 M
2
2不在
这个圆上．
怎样判断点 M0(x0, y0) 在圆 (x a)2 (y b)2 r2

北师大版高中数学必修2第二章2.1圆 的标准 方程完 美课件 【精品 】
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同学们, 今天的课就上到这里， 提醒大家：课后别忘了复习巩固并及时完成 作业！
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思考7:在平面几何中，初中学过：点与 圆有哪几种位置关系？
点在圆内，点在圆上，点在圆外
思考8:在初中平面几何中，如何确定点
与圆的位置关系？
A A
O
O
A几 O何
法
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OA<r
OA=r
OA>r
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思考9:在直角坐标系中,已知点M(x0，y0)
和圆C：x a2 y b2 r2 ,如何判断点
M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
代数法
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圆的标准方程
生活中的圆
圆的标准方程
【三维目标】 知识与技能：掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟
练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心 坐标和半径。
过程与方法：通过圆的标准方程的推导过程，培养学生数 形结合及把几何问题转化为代数问题的转化思想
情感、态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交 流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。 【教学重点】

(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值

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Z 知识梳理
HISHI SHULI
D 典例透析
IANLI TOUXI
S 随堂演练
UITANGYANLIAN
1.确定圆的条件 一个圆的圆心位置和半径一旦给定,这个圆就确定了. 2.圆的标准方程 (1)圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点叫 作圆的圆心,定长称为圆的半径. (2)方程:圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. (3)当圆心在坐标原点时,有a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2. 【做一做1】 圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是 ( ) A.(2,1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(-2,-1) 答案:B
2
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题型一 题型二 题型三 题型四
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方法二 (待定系数法 ): 设圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2(r> 0). (6-������ )2 + (5-������ )2 = ������ 2 , 则有 (0-������ )2 + (1-������ )2 = ������ 2 , 3������ + 10������ + 9 = 0, ������ = 7, 解得 ������ = -3, ������ = 65, 故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.
圆与圆的方程
-1-
圆的标准方程

x 思考： 1.是否要建立直角坐标系？怎样建立？ 2.圆心和半径能直接求出吗？ 3.怎样求出圆的方程？ 4.怎样求出支柱A2P2的长度？
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得，b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2
思考题：
圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 是关于x、y的二元二次方程。
那么是否二元二次方程均可化为圆方程？ 怎样的二元二次方程可化为圆的方程？
x
C1
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
r
d
用r 表示圆的半径，d 表示圆心到直线的距离，则 （1）直线和圆相交 d<r
（2）直线和圆相切 （3）直线和圆相离
d=r d>r
课外思考题
x2+y2=r2 xx+yy=r2 x0x+y0y=r2 练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2， ) 6 的切线方程。 2x + 6 y =10
例3、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时 每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长 y 度（精确到0.01）

3 |a|
1.课本探究：几何画板
• 2.课本例２：
• 三角形ABC的三个顶点的 坐标分别是 A(5,1), B(7,3), C (2,8)
• • 求它的外接圆的方程．
1。完成课本131页练习2、 3
• 2。课本例3： , • 已知圆心为C的圆经过点 A(1 1) 和 B(2,2) ， 且圆心C • 在直线 l : x y 1 0 上， • 求圆心为C的圆的标准方程。
y r C
M
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
作业:
课本第134页
2、3、4。
同 学 们 再 见 ！
普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书
4。1。1
圆的标准方程
本节要求：掌握圆的标准方程并
能根据条件写出圆的标准方程。
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
作为练习：
请完成课本131页练习第4题
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2

1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程 2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线 方程. 3.从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线 方程. 4.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线，求 切线的长.
Y
C（8、3） P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习
6、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
Y
C(1、3)
0
X
3x-4y-6=0
• 解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, • 已知a=1,b=3 • 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0 的距离， • 所以 r= |3×1-4 ×3-6| 2 2 = 5 =3 15 3 + ( -4 )
整理得 x0 x + y0 y = x0 + y0 .
2 2
O
2
x
所求的切线方程是 x0 x +
= r2, 因为点M在圆上,所以 x 0 + y 0
2 2
y0 y = r .
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
例2 已知圆的方程是 x 2 + y 2 = r 2 ，求经过圆 y 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
-10.5≈14.36-10.5=3.86(m
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)

[研一题]
[例2] 已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)， Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
[自主解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝ 1 |P1P2|＝ 2 3＋12＋6－22＝2 2. 1 2
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8. ∵(2－1)2＋(2－4)2＝5＜8， (5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8， ∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．
[悟一法]
判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位
置关系，即比较|MC|与r的关系：
[悟一法] 直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐
标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
[通一类]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)； (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径； (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)， B(0，－2)．
解：(1)由两点间距离公式， 得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[悟一法] 用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：
①设出圆的标准方程．
②根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组 得a，b，r的值． ③代入标准方程，得出结果．

是不是所有X2+Y2+Dx+Ey+F=0情势 的方程都可以表示一个圆？？
x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得：
(x-D/2)2+(y-E/2)2=(D2+E2-4F)/4
（1）当D2+E2-4F>0，方程表示 以（-D/2, -E/2）为圆心，以 r D2 E 2 4F 为半径的圆。
2
(2)当D2+E2-4F＝0，方程表示一个点 （-D/2, -E/2）。
分析：我们可以利用配方法，解答这些类型的题，同样我 们也可以利用圆的一般方程的判定式来解决。
(3) x2+y2+2ax-b2=0 D=2a, E=0, F=-b2, 所以，D2+E2-4F=4(a2+b2) a=b=0时，4(a2+b2)=0，表示点 a≠0或b≠0时， 4(a2+b2) >0，表示圆。
解得：D=-8,E=6,F=0; 所以圆的一般方程为：
x2+y2-8x+6y=0
(x-4)2+(x+3)2=52
圆心为(4,-3)，半径为5
比较圆的一般方程求解这题和圆的 标准方程求解这题。
可以看出：
(1) 求圆的方程有配方法和待定系数法； (2) 正确选择圆的方程求解问题。
例3.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0）距离的比为1／2 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实 数解，不表示任何图形。
因此，形如二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0， D2+E2-4F>0时， 方程叫做圆的一般方程。