如何用几何画板动态演示二次函数函数图像

利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学二次函数是高中数学中的重要内容，几何画板可以很好地辅助教学，帮助学生直观地理解二次函数的图像性质。

本文将介绍如何利用几何画板构建二次函数的图像，并通过直观的方法教学。

让我们来绘制一个二次函数的图像。

打开几何画板，选择直线和抛物线工具。

利用直线工具绘制x轴和y轴，这是我们的坐标系。

接下来，利用抛物线工具绘制一个二次函数的图像。

选择一个坐标点作为抛物线的顶点，并选择两个离顶点较近的点作为抛物线的两个焦点。

连接顶点和两个焦点，就得到了一个二次函数的图像。

接下来，让我们来观察二次函数的图像性质。

二次函数的图像是一个抛物线。

当二次函数的二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。

这个性质可以通过调整二次项系数来观察得出。

二次函数的图像关于顶点对称。

利用几何画板的对称工具，以抛物线的顶点为对称轴进行对称操作，我们可以观察到抛物线的两侧图像完全对称。

二次函数的图像与一次函数的图像相比，更加平滑。

我们可以在几何画板上绘制一个一次函数的图像，然后将二次函数的图像与之进行对比，可以直观地感受到二次函数的图像比一次函数的图像更加平滑。

我们可以通过改变二次函数的其他系数来观察其对图像的影响。

改变一次项系数可以使得图像在x轴上平移；改变常数项可以使得图像在y轴上平移。

利用几何画板，我们可以方便地进行这些操作，并观察到图像的变化。

通过利用几何画板构建二次函数的图像，并观察其性质，可以帮助学生更好地理解二次函数的图像性质。

学生可以通过直观的方法体验到二次函数的图像相比于一次函数更加平滑，并且可以通过调整系数来观察图像的变化。

这样的直观教学方法可以提高学生的学习兴趣，使他们更加深入地理解二次函数的概念和性质。

运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质作者：顾桂新来源：《教师·下》2016年第10期在二次函数的教学中，二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是学生难以理解也很容易错的知识点。

而二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数的图象与性质的关系更是学生容易混淆、难以掌握的知识点。

文章通过运用几何画板动态解析二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k是如何产生的，动态解析一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c的改变后二次函数的图象是如何变化的，从中梳理二次函数的图象和性质。

一、二次函数y=ax2的图象与性质在二次函数的图象和性质的教学中，我们是从简单的二次函数y=ax2入手学习二次函数的图象和性质的。

二次函数y=ax2中只含有一个系数a，我们利用几何画板改变a的取值观看y=ax2的图象的变化。

从图1、图2发现：a>0时，二次函数y=ax2的图象开口向上；a利用几何画板，把二次函数y=ax2的左侧抛物线翻折到右侧（如图3、图4所示），可以发现：二次函数y=ax2不管a的正负，其对称轴都是y轴（即直线x=0）；顶点坐标是（0，0）。

当a>0时，图象有最低点，即有最小值0；当a在二次函数y=ax2上取一点Q，通过移动点Q。

如图5所示：当a>0时，在y轴左侧（即x0），y随x的增大而增大。

如图6所示：当a0），y随x的增大而变小。

二、二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的动态形成在函数的学习中，先学习最简单函数。

从简单到复杂，从特殊到一般。

二次函数顶点式的形成可以看作由二次函数y=ax2的图形移动得到。

1.二次函数y=a（x+h）2可以看作y=ax2左右移动得到如图7所示：y=0.4（x+4.7）2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向左移动4.7个单位长度得到。

y=0.4（x-4.7）2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向右移动4.7个单位长度得到。

几何画板运用于探索二次函数性质（y=ax2）（动态）二次函数图像的性质是初三学习的一个难点，通过改变二次函数系数大小，直观看见图像变化，采取动态比较过程，学生更容易吸收理解，下面我将介绍具体操作过程：
打开几何画板：步骤1准备工作：绘图→网络样式→方形网格
得到如图所示：
y=ax2的图像性质
步骤2绘制函数图像：数据→新建参数→名称输入a→点击确定→绘图→绘制新函数，
在弹出的方框中选择“方程→符号y=”，
选择参数a，并依次在方框中选择*、x、^、2,；点击确定即可。

具体操作方法见下图
步骤3设置动态系数：
选中参数后选择编辑→操作类按钮→动画
如下图所示更改参数（如图中所示范围为参数变化范围可根据自己需求设置），其中标签为按钮名称。

完成后如图所示点击a<0按钮即可生成动画：
同理：按照上述方法操作可制作而成系数为正时。

也可以再绘制y=x2图形作为参考。

利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学几何画板是一种在绘制几何图形时使用的工具。

利用它可以直观地呈现出图形的性质，有助于学生理解和记忆。

本文将介绍如何利用几何画板构建二次函数图像的性质，以帮助教师进行直观教学。

一、画出一般式二次函数的图像y=ax^2+bx+c其中a、b、c为常数，a≠0。

我们以a=1，b=0，c=0为例，画出y=x^2的图像。

步骤如下：1. 打开几何画板，选取一个坐标系工具。

2. 选择函数曲线工具，并输入函数y=x^2。

3. 在坐标系上点击两个点，依次为(0,0)和(1,1)，即可画出一条y=x^2的图像。

示意图：二、观察二次函数图像的性质1. 零点和轴对称性将一般式二次函数y=ax^2+bx+c转化成标准式y=a(x-h)^2+k形式，其中(h,k)为顶点坐标。

利用几何画板，我们可以轻松地观察出二次函数图像的顶点坐标，从而得到零点和轴对称性。

(1) 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即使y=0的x值。

通过画板，我们可以很容易地标出二次函数图像的零点，如下图：(2) 轴对称性由于二次函数图像是关于顶点对称的，所以可以通过画板将其轴对称，得到关于y=h的对称图形。

以y=x^2为例，步骤如下：1. 标出顶点坐标为(0,0)。

2. 选取直线工具，过顶点的横坐标0画出垂直于x轴的一条直线。

3. 复制这条直线，将其平移到顶点横坐标的相反数处，即(-0,0)。

4. 双击直线，选择反转工具，即可得到关于y=0的对称图形。

2. 开口方向和函数值的正负二次函数的开口方向由a的正负决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。

同时，当x趋近于无穷大或负无穷大时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大，具体取决于a的正负。

在画板上，我们可以通过修改一般式二次函数中的a的值，观察图像的变化来理解和记忆这个性质。

如下图所示：三、总结通过利用几何画板，我们可以直观地观察和理解二次函数图像的性质。

几何画板如何绘制二次函数
二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，在学习二次函数的时候，我们学习过用描点法来大概画出二次函数，在几何画板中我们可以也用描点法准确的画出二次函数。

几何画板利用描点法绘制二次函数的具体的操作步骤如下：（几何画板官网）第一步定义三个坐标点
确定三个坐标点：（2，2）、（-2，2）、（1，-1）。

第二步描点画图
（1）打开几何画板软件，单击左边工具栏“自定义工具”—“函数工具”—“过三点的抛物线1”。

紧接着会自动出现平面直角坐标系，如图所示，这样我们就可以轻松找到坐标点。

利用自定义工具自动生成平面直角坐标系
（2）单击左边工具栏“自定义工具”—“函数工具”—“过三点的抛物线2”，在坐标系中分别找到三点（2，2）、（-2，2）、（1，-1）并单击，就回自动生成二次函数图像，同时在左上角显示函数解析式。

在坐标系中分别找到三个坐标点自动生成二次函数图像
第三步图像调节
（1）刻度调节。

如果你觉得坐标轴上面标示的刻度有些多或者少，我们可以找到x轴上面靠近原点处的一个单位点，鼠标左键按住并左右拖动可以调节点的密集程度。

鼠标左键按住单位点并左右拖动调节点的密集程度
（2）位置调节。

如果你觉得坐标轴的位置你不太满意的话，你可以通过按住原点上面的红点拖动来实现位置的改变。

鼠标左键按住原点拖动来实现位置的改变
以上向大家介绍了几何画板中利用描点法画二次函数图像的方法，操作简单，大家可根据教程多多练习，生动形象的二次函数图像能够帮助我们加大对于二次函数的理解。

在几何画板中，如何用“迭代法”构造二次函数轨迹及动态演示函数图象的生成过程？下面以二次例函数.2y 05x x 6=-++为例（见最后的截图）：1.定义直角坐标系，绘制函数.2y 05x x 6=-++的图象；2.描图象“轨迹”的起点：新建参数=.1x 37-→计算().1y x 455=-（计算过程：数据→计算→点击.2y 05x x 6=-++→点击=.1x 37-→确定即可完成）→同时选定=.1x 37-和().1y x 455=-绘图绘制点即可完成（也可分别点选输入绘制）；3.新建.b 02=，计算.1x b 350+=-；4.新建反映迭代次数的参数n 47=（注意数据设置成整数，并注意迭代范围和速度时间和单位的设置）；5.迭代：同时选定=.1x 37-、n 47=→按住Shift →变换→深度迭代→=.1x 37- →+.1x b 350=-（点击+.1x b 350=-即可）→迭代.见上面的示意图，若不需要标示的迭代，只需选定=.1x 030和n 22=来进行迭代（见反比例函数的示意图）；6.在x 轴上构造控制轨迹线段，线段的终点(如图的M )：建立参数+.1x n b 564⋅=，通过“绘图”的绘制点点击和输入的方式（+.1x n b 564⋅=，0）完成；线段起点(如图的N )可以点选完成，落在迭代轨迹的起点的区间内，这样动画的效果更好；构造线段MN .7.在x 轴上构造控制轨迹线段的控点和构造轨迹：选定线段→线段上的点→平移点→过线段上的点→作射线或直线（若轨迹在正半轴和负半轴则作直线）或作垂直于x 轴的直线（道理是一样的）→构造此射线或直线与函数图象的交点→选择线段上的构造的点和交点→构造→轨迹.8.隐藏不需要的点、线、迭代等（包括隐藏原反比例函数的图象、动画参数表）；9.选定迭代次数的按钮n 47=，制作动画按钮（设置范围和速度等）.补充说明：①、构造轨迹的辅助平移点的环节可以舍去，直接过“线段上的点”作轴的垂线（直线、射线），再构造交点，构造轨迹；②、要使动画不显得那么慢，除了速度设置，还可以把作为迭代平移的+.1x b 350=-中平移距离参数b 值设置大一些；③、要使轨迹动画全覆盖，除了构造轨迹的线段的端点注意设置，还要注意迭代次数的参数范围比轨迹参数实际的设置大一些来解决.④.若在动画演示中显现坐标，设计还要多一些步骤.动画参数的范围的范围要反映迭代次数的范围.⑤.比如本例输入在0～47之间.见截图（截图上的的一些点线还没有作隐藏，课件完成后根据需要作隐藏）：郑宗平 2015/7/29。

用几何画板做动态函数图像的步骤一、两点说明：1．本文适用软件为几何画板3.05板本。

2．如果需要选择两个以上对象，用选择工具时要同时按住SHIFT键。

3．如果没有特别说明，单击、双击都是指用鼠标左键。

4．单击、双击后面的词如无特别说明都是指菜单及菜单中的内容，文中省去了引号。

二、几个函数图象的作法1．正比例函数（1）作可变系数k：①单击图表中的建立坐标系，屏幕上出现平面直角坐标系；②选择x轴（用选择工具单击x轴）后单击作图中的对象上的点，此时x轴上出现一个点并且是被选择状态；③同时选择x轴和x轴上的这个点后单击作图中的垂线，屏幕上出现x轴的一条垂线；④选择这条垂线后单击作图中的对象上的点，选择这个点后单击度量中的坐标，屏幕上出现了这个点的坐标，双击这个点的坐标（或者单击度量菜单中的计算）后屏幕上出现了一个计算器，单击计算器上的数值中的点Y，计算器的屏幕上出现这个点的纵坐标，单击计算器上的确定后屏幕上出现了这个点的纵坐标；⑤用文本工具双击上面所得的纵坐标弹出度量值格式对话框，点文本格式后从键盘上输入k，单击确定后屏幕上点的纵坐标变为k=…，用选择工具拖动x轴垂线的上点可以看到k值的变化。

（2）计算函数值：①选择x轴后单击作图中的对象上的点作出x轴上的一个动点，选择这个点后单击度量中的坐标，屏幕上出现这个点的坐标，双击这个坐标弹出计算器，单击计算器上的数值中的点x，单击计算器上的确定，屏幕上出现这个点的横坐标，用（1）⑤的方法把它改为x=…；②用选择工具双击屏幕上的纵坐标（或者单击度量菜单中的计算）后屏幕上出现了一个计算器，依次单击屏幕上的k=…（省略号是数值），计算器上的乘号，电脑屏幕上的x=…后屏幕上出现kx=…。

（3）描点作图：①依次选择屏幕上的x=…，kx=…，单击图表菜单中的P绘出（x,y）,屏幕上出现以x 为横坐标，以kx为纵坐标的点；②同时选择这个点和x轴上与它对应的点，单击显示菜单中的追踪点，单击作图中的轨迹，屏幕上出现了函数的图象。

如何用几何画板作二次函数图二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，是以变化与对应为基础的重要数学概念。

要让学生理解二次函数的变量之间的相互依赖关系，清楚地看到二次函数的几种形式y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a（x－h）2+k、y=ax2+bx+c之间的平移、对称关系，需要给学生提供大量的图象素材，让学生观察、分析与对比。

当然最好还是让他们直观地观看当函数中的几个参数a、b、c或参数h、k发生变化时，图形是如何变化的，看到在运动和变化的过程中变量之间的对应关系。

这个靠老师口头讲解、黑板上画图都很难达到这个要求，而利用多媒体技术可以帮助我们做到这一点。

几何画板与Z+Z教育平台可以让抽象的函数问题变得直观形象、化静为动，动态地演示作图过程，动态地演示函数值随自变量的变化而变化的情景，有利于学生理解函数的概念、图象与性质。

如何有效地把信息技术和数学教学进行整合？如何把几何画板与Z+Z教育平台这些新的教学工具完美地融合到二次函数的教学过程中？下面我简单介绍一下用几何画板制作二次函数课件：我想用几何画板制作课件的目标主要有三个：1、快速地作出我们想要的二次函数的图象；2、动态演示几种形式的二次函数的图象，帮助学生理解二次函数的图象、性质及几种形式的二次函数图象之间的平移与对称关系；3、动态演示二次函数的函数值随自变量的变化而变化的情景，帮助学生理解二次函数的单调性与二次函数的极值问题。

一、利用几何画板作二次函数y=3x2－4x+1的图象。

这种形式的图象比较容易在几何画板窗口上画出，教师可以在上课过程中即兴作图。

1、建立平面直角坐标系。

在进入几何画板窗口后，单击编辑窗口上的“图面”选择“显示坐标轴”，此时你可以看到窗口上出现了一个坐标轴，你拉动x轴正半轴上的一个滑动点，可以改变单位长度的大小。

2、画点。

点击编辑窗口左侧的工具栏中的画点工具，在x轴上任意处单击，可以在x轴上做出一个点，如点A。

用几何画板探究二次函数()k-=2的y+ahx图象和性质资料编号:202211042302 几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在y轴上任意画出一点A,选中点A和y轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出y轴的一条垂线.单击“点工具”,在y轴左侧的垂线上任画一点B,在y轴右侧的垂线上任画一点C.选中垂线并隐藏,选中点B、C,隐藏单击“构造”、“线段”,作出线段BC.单击“绘图”,选择“隐藏网格”如图1所示.2. 单击“点工具”,在线段BC上任意画出一点P.选中点P,依次单击“度量”、“横坐标（X）”,量出点P的横坐标.选中点P横坐标的度量值右单击,选择“属性”,在对话框中选择“标签”,输入“h”.选中点P,修改点P的标签为h,如图2所示.3.用同样的方法画出第二条线段DE 和线段DE 上的任意一点Q ,选中点Q ,度量其横坐标,修改度量值为k 的值.再次选中点Q ,修改点Q 的标签为k .如图3所示.4.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次单击输入“1”、 “÷”、“2”、“ *”、“（”、“x ”、“﹣”、“h 的值”、“）”、“∧””、“2”、“+”、“k 的值”,如图4所示,单击“确定”,作出函数()()k h x x f +-=221的图象,如图5所示.5.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数的标签（函数解析式）,右单击,选择“函数的标签”,从弹出对话框中修改标签为y .如图6所示.6.使用“点工具”在抛物线上任取一点G ,选中点G 和x 轴,依次单击“构造”、“平行线”,作出x 轴的平行线,交抛物线于另一点H .双击点G ,选中点H ,依次单击“变换”、“缩放”,从弹出的对话框中设置“固定比”为1/2,如图7所示.单击“缩放”,得到线段GH 的中点'H .7.选中点'H 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出的垂线'H x x 即为抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为“红色”.选中点G 、H和直线GH并隐藏.选中点'H,依次单击“度量”、“横坐标”.如图8所示.8.选中点h,修改点的颜色为浅蓝色,选中点k,修改点的颜色为粉红色,如图8所示.点h和点k即为可拖动的点.9.单击抛物线与对称轴的交点处,作出点K.选中点K,依次单击“度量”、“坐标（T）”,量出抛物线的顶点K的坐标.如图9所示.10.依次选中h的值、k的值和顶点K的坐标,依次单击“数据”、“制表”,列出一个表格.再次选中h的值、k的值和顶点K的坐标,依次单击“显示”、“隐藏文本对象”,隐藏选中的对象.如图10所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()()0212≠+-=a k h x y ,课件设置了两个参数h 和k ,通过拖动点h 和点k ,使这两个参数可以在一定的范围内变化,以观察函数图象的变化与这两个参数之间的关系.（1）拖动点h 在线段BC 上移动,观察函数图象及其对称轴的变化,不难发现,函数图象及其对称轴都沿x 轴左右平移.进一步观察,我们可以得到下面的结果:二次函数()()0212≠+-=a k h x y 的对称轴为直线h x =. （2）拖动点k 在线段DE 上移动,观察函数图象及其顶点坐标的变化,不难发现,函数图象沿y 轴上下平移,对称轴保持不变,即顶点K 的横坐标保持不变.进一步观察,我们可以得到下面的结果:二次函数()()0212≠+-=a k h x y 的顶点坐标为()k h ,. （3）通过以上（1）、（2）的动手操作和观察探究,我们还可以得到下面的结果:二次函数()()0212≠+-=a k h x y 的图象开口向上,有最低点.当h x =时,函数有最小值,最小值为k y =.二次函数()k h x a y +-=2的图象及性质二次函数()k h x a y +-=2与2ax y =的关系二次函数()()02≠+-=a k h x a y （顶点式）的图象可由函数()02≠=a ax y 的图象平移得到.将二次函数()02≠=a ax y 的图象沿x 轴向左（0<h ）或向右（0>h ）平移h 个单位,得到函数()()02≠-=a h x a y 的图象;再把函数()2h x a y -=的图象向上（0>k ）或向下（0<k ）平移k 个单位,即可得到函数()()02≠+-=a k h x a y 的图象.二次函数()()02≠+-=a k h x a y 与()02≠=a ax y 的图象开口方向相同,开口大小相同.二次函数()k h x a y +-=2的图象与性质的应用例1. 抛物线()3232+-=x y 开口_________,顶点坐标为_________,对称轴是直线_________,当2>x 时,y 随x 的增大而_________,当2<x 时,y 随x 的增大而_________,当=x _________时,y 有最_________值,是_________. 解: 向上 , ()3,2 , 2=x , 增大 , 减小 , 2 , 小 , 3 .例2. 抛物线()322++=x y 可以由抛物线2x y =向_________平移_________个单位,再向_________平移_________个单位得到. 解: 左 , 2 , 上 , 3 .例3. 顶点坐标是()1,5--,且开口方向、形状与函数231x y =的图象相同的抛物线是____________. 解:()15312-+=x y . 例4.如图所示,二次函数()212++=x a y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,已知()0,3-A ,根据图象回答下列问题:（1）求a 的值和点B 的坐标;（2）设抛物线的顶点是P ,试求△P AB 的面积;（3）在抛物线上是否存在点M ,使得△MAB 的面积是△P AB 的面积的2倍?若存在,求出点M 的坐标.解:（1）把()0,3-A 代入()212++=x a y 得:()02132=++-⨯a解之得:21-=a∴()21212++-=x y∵抛物线的对称轴为直线1-=x ,()0,3-A 、B 两点关于对称轴对称 ∴()0,1B ; （2）∵()21212++-=x y ∴抛物线的顶点坐标为P ()2,1- ∵()0,3-A ,()0,1B ∴()431=--=AB ∴42421=⨯⨯=∆PAB S ; （3）存在.理由如下:设点M 的纵坐标为m ,则有842221=⨯==⋅=∆∆PAB MAB S m AB S ∴8421=⨯⨯m ,4=m ∴4±=m当4=m 时,()421212=++-=x y ,无解; 当4-=m 时,()421212-=++-=x y解之得:321,32121--=+-=x x∴点M 的坐标为()4,321-+-或()4,321---.巩固练习1. 关于抛物线()212--=x y ,下列说法错误的是【 】（A ）顶点坐标为()2,1- （B ）对称轴是直线1=x（C ）开口向上 （D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小2. 抛物线321532-⎪⎭⎫⎝⎛+-=x y 的顶点坐标是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛-3,213. 关于二次函数()212++-=x y 的图象,下列判断正确的是【 】（A ）图象的开口向上 （B ）图象的对称轴是直线1=x （C ）图象有最低点 （D ）图象的顶点坐标为()2,1- 4. 若抛物线()512-+--=m x y 的最大值为3,则=m _________.5. 已知抛物线()2132+-=x y ,当x _________时,y 随x 的增大而减小.6. 已知抛物线()212++-+=m m x y 的顶点在第二象限,则m 的取值范围是__________.7. 如图,抛物线()412+--=x y 与y 轴交于点C ,顶点为D .（1）求顶点D 的坐标; （2）求△OCD 的面积.yxDCO。