指数函数的图象及其性质教学设计

指数函数的图像和性质教案设计第一章：指数函数的引入1.1 生活中的实例引入通过生活中的实例，如细胞分裂、放射性衰变等，引入指数函数的概念。

引导学生观察实例中的规律，引发对指数函数的好奇心。

1.2 指数函数的定义给出指数函数的数学定义：形如f(x) = a^x 的函数，其中a 是正常数。

解释指数函数与幂函数的关系。

1.3 指数函数的图像利用数学软件或图形计算器，绘制几个简单的指数函数图像。

引导学生观察图像的形状和特点，如随着x 的增大，函数值增大或减小等。

第二章：指数函数的性质2.1 指数函数的单调性探讨指数函数的单调性，即随着x 的增大，函数值是增大还是减小。

引导学生通过观察图像或数学推理来得出结论。

2.2 指数函数的渐近行为分析指数函数在x 趋向于正无穷和负无穷时的渐近行为。

引导学生理解指数函数的快速增长和减趋行为。

2.3 指数函数的零点和极限探讨指数函数的零点，即函数值为零的x 值。

引导学生理解指数函数的极限概念，如x 趋向于某个值时函数的极限。

第三章：指数函数的应用3.1 人口增长模型利用指数函数模型描述人口增长，介绍人口增长的基本规律。

引导学生通过指数函数来分析和预测人口变化。

3.2 放射性衰变模型利用指数函数模型描述放射性物质的衰变过程，介绍放射性衰变的基本规律。

引导学生通过指数函数来分析和预测放射性物质的变化。

3.3 投资增长模型利用指数函数模型描述投资的复利增长，介绍投资增长的基本规律。

引导学生通过指数函数来分析和预测投资的变化。

第四章：指数函数的图像和性质的综合应用4.1 指数函数图像的变换探讨指数函数图像的平移、缩放等变换规律。

引导学生通过变换规律来理解和绘制更复杂的指数函数图像。

4.2 指数函数性质的综合应用结合前面的学习，解决一些综合性的问题，如求指数函数的零点、极值等。

引导学生运用指数函数的性质来解决实际问题。

第五章：复习和拓展5.1 复习指数函数的图像和性质通过复习题和小测验，巩固学生对指数函数图像和性质的理解。

《指数函数的图像及其性质》教学设计一、教材分析《指数函数的图像及其性质》选自人教版数学必修1中第二章《基本初等函数（I）》第一节第二课时。

第二章主要分为三个小节:第一节为指数函数，第二节为对数函数，最后一节为幂函数。

在学习指数函数的图像及其性质前，学生们已经学习了函数及指数函数，对指数函数有了一定的了解，后面我们将利用指数函数的性质对应的分析比较对数函数和幂函数的图像和性质，由此可见，指数函数的图像及其性质起着承上启下的作用。

指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置，并且指数函数的图像及其性质是高一函数部分的重点和难点。

如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望。

二、学情分析在学习指数函数的图像及其性质前，学生们已经学习了函数的知识，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。

学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力。

通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。

高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。

有好奇心、好胜心、进取心，富有激情、思维活跃。

三、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。

领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

指数函数的图像及其性质【教学目标】1.知识与技能：（1）理解利用指数函数的单调性比较大小的解题策略；（2）理解解简单的指数不等式的解题策略；（3）理解指数函数性质的综合应用的解题策略；（4）通过对指数函数的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学习兴趣.2.过程与方法：通过具体的例题的分析与讲解，在教师的引导下共同探讨出利用指数函数的单调性比较大小、解简单的指数不等式和指数函数性质的综合应用的解题策略，培养学生自主归纳与解题反思的好习惯.3.情感态度价值观：营造和谐、轻松的学习氛围，通过学生亲手实践，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析总结能力。

【重点难点】1.教学重点：利用指数函数的单调性比较大小、解简单的指数不等式和指数函数性质的综合应用的解题策略．2.教学难点：利用指数函数的单调性比较大小、解简单的指数不等式和指数函数性质的综合应用的解题策略．【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：复习引入1．指数函数的定义函数xy a=(0a>且1a≠)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2．指数函数的图象和性质1a>01a<<图象教师：通过ppt演示展示知识点学生：仔细观察并思考问题.以复习指数函数的基本知识作为引入，不仅能激发学生的兴趣还能自然地引(2)[解] ①因为5017<<，所以函数57xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域R 上单调递减，又 1.8 2.5->-，所以1.857-⎛⎫ ⎪⎝⎭2.557-⎛⎫< ⎪⎝⎭.②在同一平面直角坐标系中画出指数函数23x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如图所示．当0.5x =-时，由图象观察可得0.523-⎛⎫> ⎪⎝⎭0.534-⎛⎫ ⎪⎝⎭.③因为00.20.31<<<，所以指数函数0.2x y =与0.3x y =在定义域R 上均是减函数，且在区间()0,+∞上函数0.2xy =的图象在函数0.3xy =的图象的下方，所以0.20.2<0.20.3.又根据指数函数0.2xy =的性质可得0.30.2<0.20.2，所以0.30.2<0.20.3.思考：你能归纳下这类习题的解题规律吗？ 变式训练：比较下列各题中两个值的大小： (1) 1.83-， 2.53-；(2)0.57-，0.58-；(3)0.86-，0.77.解：(1)因为31>，所以函数3xy =在定义域R 上单调递增，又 1.8 2.5->-，所以1.83->2.53-.(2)依据指数函数中底数a 对函数图象的影响，画出函数7x y =与8xy =的图象(图略)，可得0.57->0.58-.教师：提出问题学生：思考问题并解决问题，在教师的引导下，师生共同归纳出三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量，其中一个大于，另一个小于；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较c a 与d b 的大小，可取d a 为中间量，c a 与d a 利用函数的单调性比较大小，d b 与d a 利用函数的图象比较大小． .教师：通过ppt 演示展示例题学生：思考老师提出的问题通过练习帮助学生进一步加深对三类指数式的大小比较问题的认识与直观感受.)1-D 不等式2x+<是增函数，∴1。

§2.1.2指数函数及其性质（一）教学目标1、知识与技能：掌握指数函数的概念；会作指数函数的图象；归纳出指数函数的几个基本性质.2、过程与方法：通过由指数函数的图象归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力.3、情感、态度、价值观：通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法；培养学生主动学习、合作交流的意识.教学重点和难点1、重点：指数函数的定义、图象和性质.2、难点：指数函数的定义理解；指数函数性质的归纳.教学方法 探究式教学教学手段 借助多媒体辅助教学，演示指数函数的图象教学流程设计教学过程设计情景引入问题1： 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？问题2： 一尺之棰,日取其半,万世不竭.（出自《庄子 天下篇》）已知一把尺子第一次截去它的一半,第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第二次剩余部分的一半,依次下去，问截的次数x 与剩余尺子长度y 之间的函数关系如何?（假设原来长度为1个单位）问题3： 与 这类函数的解析式有何共同特征？学生思考回答，得出结论，引出指数函数知识点一：指数函数的定义一般地，函数y=a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题4：指数函数定义中为什么规定a ＞0且a≠1呢？如果不这样规定会出现什么情况呢？ 学生活动：分组讨论，各组交流成果，加深对定义的认识例1.下列函数中，哪些是指数函数？知识点二：指数函数的图象、性质类比以前讨论函数性质时的内容和方法，我们该如何研究指数函数，研究什么内容？研究方法：画出函数图，结合图象研究函数性质.研究内容：定义域、值域、单调性、奇偶性及其它.探究:用描点法画函数x y 2=与x y )21(=的图象 学生自主探究，描点画出图象学生讨论：两个函数图象有何联系与区别？（学生活动）类比以上函数的图象，总结指数函数性质.学生自主探究完成下面指数函数性质表格：a>1 0<a<1 图象性质 (1)定义域：R (2)值 域：(0，+∞) (3)过点(0,1)，即x=0时，y=1(4)在R 上是增函数 (4)在R 上是减函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2x y =x y 4=4x y =x y 4-=14+=x y o o探究: x y 2=, x y 3= , x y )21(= , xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31四个函数图象特征,图象与其底数有什么规律?学生探究：通过三组图象，探究指数函数图象与底的关系，教师适当启发指导. 知识点三:指数函数性质应用例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0.由学生分析解题思路，教师总结.拓展迁移：已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :1. 2. 3. 学生演板，然后师生共评，反馈校正.小结归纳，拓展深化（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识 ？（2）你又掌握了哪些研究数学的学习方法？学生总结，教师补充点评.布置作业,提高升华(1)必做题 ：课本P59，A 组5、7(2)选做题： 课本P60，B 组4板书设计n m 22<n m 2.02.0>)10(≠>>a a a a n m 且教学反思：本节课充分发挥自制课件的优势，将自己的想法、新课改的理念和“知识与技能、过程与方法、情感、态度、价值观”三维目标充分融入自制课件中，使本节课的内容更加充实。

指数函数图像与性质教学设计精选10篇指数函数及其性质教学设计解读篇一《2.1.2 指数函数及其性质(2 》教学设计【学习目标】1.知识与技能①.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。

②.掌握指数函数的性质及应用。

③.理解指数函数的简单应用模型, 认识数学与现实生活及其他学科的联系。

2.情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

②培养学生观察问题，分析问题的能力。

③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；3.过程与方法让学生通过观察函数图象，进而研究指数型函数的性质, 主要通过小组讨论、小组展示、及时评价完成整个导学过程【学习重点】熟练掌握指数函数的的概念，图象和性质及指数型增长模型。

【学习难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、指数型函数的图象，性质。

【导学过程】教学内容师生互动设计意图互查每组两名同学互查识记内容教师提问记忆方法，学生回答，其他同学可以相互借鉴。

复习指数函数的图象及性质，为本节课中的内容储备知识基础。

展系吗？→请用一句话概括下图是指数函数2x y =, 3xy =, 0.3x y =, 0.5x y =的图象，请指出它们各自对应的图象。

教师随时点评，引导，欣赏，鼓励。

每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。

其他同学可让学生从图象直观的理解指数函数，从变化中找到不变的规律，提高学生的总结归纳能示交流结论：针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。

力教学内容师生互动设计意图展示交流探究二：指数形式的函数定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(121 x y =+,(2y =,(3 1 4 2x y-=.首先提问给出的三个函数是否是指数函数，加深学生对指数函数概念的理解。

学生小组讨论，交流。

每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。

其他同学可针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。

所给函数虽然不是指数函数，但是由指数函数得到的复合函数，其性质与指数函数密切相关，通过训练能够培养学生的创造性思维能力。

指数函数的图像与性质一、教材分析（一）教材的地位和作用“指数函数”的教学共分三个课时完成，第1课时为指数函数的概念，具体指数函数的图像和性质；第2课时为指数函数的图像和性质及简单应用；第三课时为指数函数的性质应用。

本课时主要通过对指数函数图像的研究归纳其性质，并进行简单的应用。

“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。

通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。

（二）教学目标1、知识目标：i会做指数函数的图像；ii能归纳出指数函数的几个基本性质；iii会进行指数函数性质的简单应用。

2、能力目标：通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。

3、情感目标：通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。

（三）教学重点和难点1、重点：指数函数的性质和图像。

2、难点：指数函数性质的归纳。

二、教法分析（一）教学方式直接讲授与启发探究相结合（二）教学手段借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像三、教学基本思路：1、引入1）复习指数函数概念2）回忆指数函数图像的画法2、探究指数函数的性质1）研究指数函数的图象2）归纳总结指数函数的性质3、指数函数性质的简单应用4、巩固练习5、小结6、作业布置1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。

通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。

让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。

2、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。

4.4.2 指数函数的图象与性质教学目标1.掌握指数函数的图象变换.2.熟悉指数函数与其他函数的复合函数的处理方法.3.熟悉指数函数在实际问题中的应用教学重点：1.指数函数的图象与底数的关系.2.指数函数的图象变换与参数的关系，特殊点在图象变换中的作用.3.复合函数的单调性、定义域与值域问题的处理方法.4.指数函数性质的应用．教学难点：1.指数函数的图象与底数关系的直观理解与严格证明.2.参数在图象变换(平移、翻转)中的作用，数形结合方法的进一步渗透.3.复合函数相关问题中各种函数性质的综合应用.教学过程：一、核心概念知识点一、不同底指数函数图象的相对位置指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由变；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由变；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．知识点二、函数图象的对称和变换规律一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)．函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x 轴对称，函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．函数y ＝f (|x |)的图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y 轴右边的图象保留，y 轴左边的图象删去，再将y 轴右边部分关于y 轴对称得y 轴左边图象，就得到了y ＝f (|x |)的图象． 知识点三、与指数函数复合的函数单调性(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．它由两个函数， 复合而成．(2)若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则函数y ＝f [g (x )]的单调性有如下特点：过考查f (u )和g (x )的单调性，求出y ＝f [g (x )]的单调性．二、评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)3－1.8>3－2.5.( ) (2)7－0.5<8－0.5.( )(3)6－0.8<70.7.( )答案：（1）√、（2）×、（3）√2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)如果57xx aa (a >0，且a ≠1)，当a >1时，x 的取值范围是__________；当0<a <1时，x 的取值范围是________．(2)满足31()4x 的x 的取值范围是________．(3)某种细菌在培养的过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，则这种细菌由一个分裂成4096个需经过________小时．答案：(1)7(,)6，7(,)6、(2)(,1)、(3)3三、典例分析题型一 指数函数的图象变换例1利用函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，作出下列各函数的图象：(1)f (x －1)；(2)－f (x )；(3)f (－x )．【答案】作出f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示：(1)f (x －1)的图象：需将f (x )的图象向右平移1个单位长度得f (x －1)的图象，如下图(1)． (2)－f (x )的图象：作f (x )的图象关于x 轴对称的图象得－f (x )的图象，如下图(2)． (3)f (－x )的图象：作f (x )的图象关于y 轴对称的图象得f (－x )的图象，如下图(3)．金版点睛：作与指数函数有关的图象应注意的问题(1)作与指数函数有关的函数图象，只需利用指数函数的图象作平移变换或对称变换即可，值得注意的是作图前要探究函数的定义域和值域，掌握图象的大致趋势．(2)利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如本例(1)；对称需分清对称轴是什么，如本例(2)(3)． 跟踪训练1画出函数y ＝2|x －1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质． 【答案】y ＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1.其图象是由两部分组成的：一是把y ＝2x 的图象向右平移1个单位长度，取x ≥1的部分；二是把y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象向右平移1个单位长度，取x <1的部分，如图中实线部分所示．由图象可知，函数有三个重要性质：①对称性：图象的对称轴为直线x ＝1；②单调性：在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增； ③函数的值域：[1，＋∞).题型二 利用指数函数的单调性比较大小 例2比较下列各题中两个值的大小：(1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.【答案】 (1)∵1.7>1.∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.(2)解法一：∵1.7>1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方．而0.3>0， ∴1.70.3>1.50.3. 解法二：∵1.50.3>0，且1.70.31.50.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.50.3， 又1.71.5>1,0.3>0，∴⎝⎛⎭⎫1.71.50.3>1， ∴1.70.3>1.50.3.(3)∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1， ∴1.70.3>0.83.1.金版点睛：比较函数值大小的常用方法(1)利用函数单调性比较，此法用于可化为同底的式子．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂值比较大小，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)当底数不同，指数也不同时，采用中间值法，即当两个数不易比较时，可找介于两值中间且与两数都能比较大小的一个值，进而利用中间值解决问题．跟踪训练2比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1，1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1.【答案】 (1)∵0<0.8<1，∴y ＝0.8x 在R 上是减函数．∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，又∵0.8－0.2＝1.250.2∴0.8－0.1<1.250.2.(2)∵0<1π<1，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫1πx 在R 上是减函数． 又∵－π<0，∴⎝⎛⎭⎫1π－π>⎝⎛⎭⎫1π0＝1，即⎝⎛⎭⎫1π－π>1.题型三解简单的指数不等式 例3设0<a <1，解关于x 的不等式22232223x x xx aa .【答案】∵0<a <1，∴y ＝a x 在R 上是减函数．又∵22232223x x xx aa ，∴2x 2－3x ＋2<2x 2＋2x －3，解得x >1. ∴不等式的解集是(1，＋∞)．金版点睛：解指数型函数不等式的依据解a f (x )>a g (x )(a >0，且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为：跟踪训练3求满足下列条件的x 的取值范围：(1)139x x ； (2)0.225x0.2x <25； (3)57xx aa (0a ，且1a)．【答案】 (1)∵3x －1>9x ，∴3x －1>32x ，又y ＝3x 在定义域R 上是增函数， ∴x －1>2x ，∴x <－1，即x 的取值范围是(－∞，－1)．(2)∵0<0.2<1，∴指数函数f (x )＝0.2x 在R 上是减函数．又25＝0.2－2，∴0.2x <0.2－2，∴x >－2，即x 的取值范围是(－2，＋∞)． (3)当a >1时，∵a－5x<a x －7，∴－5x <x －7，解得x >76；当0<a <1时，∵a －5x<a x －7，∴－5x >x －7，解得x <76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫76，＋∞；当0<a <1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，76. 题型四 指数函数性质的综合应用 例4已知函数f (x )＝a －12x ＋1(x ∈R )．(1)用定义证明：不论a 为何实数，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f (x )为奇函数，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求f (x )在区间[1,5]上的最小值． 【答案】 (1)证明：∵()f x 的定义域为R ，任取12x x ，则121212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x aa， ∵12x x ， ∴1212220,(21)(21)0xx x x ， ∴12()()0f x f x ，即12()()f x f x ，∴不论a 为何实数，()f x 总为增函数. (2)∵f (x )在x ∈R 上为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －120＋1＝0，解得a ＝12.(3)由(2)知，f (x )＝12－12x ＋1，由(1)知，f (x )为增函数，∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1)． ∵f (1)＝12－13＝16，∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为16.金版点睛：复合函数的单调性问题函数y ＝f (a x )的单调区间既要考虑f (x )的单调区间，又要讨论a 的取值范围：当a >1时，函数y ＝f (a x )与函数f (x )的单调性相同；当0<a <1时，函数y ＝f (a x )与函数f (x )的单调性相反．但在证明过程中，仍应严格按照定义证明． 跟踪训练4已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明：f (x )为奇函数；(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明． 【答案】 (1)证明：由题知f (x )的定义域为R .f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x (3－x ＋1)·3x ＝1－3x1＋3x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)f (x )在定义域上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则2121212112213131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ， ∵12x x ， ∴2112330,310,310xx x x ，∴21()()f x f x ，∴()f x 为R 上的增函数.四、随堂练习1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．22D ．0.90.3>0.90.5答案：D解析：因为函数y ＝0.9x 在R 上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.2．若213211()()22aa a，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案：B解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.3．设13＜⎝⎛⎭⎫13b <⎝⎛⎭⎫13a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a答案：C解析：由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .4．函数11()2x y的单调增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1)答案：A解析：设t ＝1－x ，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的递增区间．5．已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数f (x )的值域．解：y ＝a 2x ＋2a x －1，令t ＝a x ，则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 当a >1时，∵x ≥0，∴t ≥1， ∴当a >1时，y ≥2.当0<a <1时，∵x ≥0，∴0<t ≤1. ∵g (0)＝－1，g (1)＝2， ∴当0<a <1时，－1<y ≤2.综上所述，当a >1时，函数的值域是[2，＋∞)； 当0<a <1时，函数的值域是(－1,2]．。

《指数函数的图象和性质》教学设计◆教学目标1．能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象，探索并了解指数函数的单调性与特殊点．2．结合指数函数图象与性质的研究，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升直观想象核心素养．◆教学重难点◆教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：根据图象，抽象概括出指数函数的性质，以及对指数函数性质的理解．◆课前准备PPT课件，计算器，GGB课件．◆教学过程（一）整体感知，明确任务引导语：对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．前面一节我们从具有现实背景的问题中，学习得到了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应用．根据我们在第三章研究幂函数的经验思考：如何研究一个函数的性质？研究一个函数的性质主要是研究哪些方面？师生活动：教师引导学生类比研究幂函数的学习，提出研究指数函数的图象和性质的方法和内容．预设的答案：研究指数函数的图象和性质，首先要作出函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象．按照函数研究的一般过程，需要研究指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，以及其特有的一些性质．设计意图：通过回顾以往研究幂函数图象和性质的方法和内容，提出研究指数函数的图象和性质的方法和内容，明确本节课研究的重点，并引出问题1．（二）新知探究1．研究指数函数的图象和性质问题1：首先画出指数函数的图象，我们先从简单的函数y=2x开始．请同学们利用计算器完成x，y的对应值表1，并用描点法画出函数y=2x的图象．师生活动：学生独立完成后展示交流，全班师生形成共识即可．预设的答案：完成的表1，和画出的函数y=2x的图象（图1）如下．表1x y-2 0.25-1.5 0.35-1 0.5-0.5 0.710 10.5 1.411 21.52.832 4设计意图：从一个具体的简单的指数函数开始进行研究，巩固描点法，为后续的研究作好铺垫．问题2：为了得到指数函数y=a x(a＞0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察．用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数1()2xy=的图象，并与函数y=2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y=2x的图象，画出函数1 () 2xy=的图象？师生活动：学生先用描点法画出函数1()2xy=的图象，通过观察作出猜想．然后教师引导学生从指数的运算性质考虑分析．预设的答案：因为1()22x xy-==，点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数y=2x的图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(-x，y)都在函数1()2xy=的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．根据这种对称性，就可以利用图1一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y=2x的图象，画出1()2xy=的图象．如图2所示．设计意图：通过探究，学生体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象，并从中学习用联系的观点看问题，以及通过逻辑推理获得数学结论的思维方式．另外，这样探究还便于将指数函数y=a x分为0＜a＜1和a＞1两类，从而分别对两类图象的共同特点进行归纳．问题3：选取底数a（a＞0，且a≠1）的若干个不同的值，例如11 3,4,,34a a a a====，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等．师生活动：在已经画出y=2x和1()2xy=图象的基础上，学生利用计算器可以画出这些函数的图象．教师也可以展示GGB课件“4.2指数函数第二课时-不同底数的指数函数图象”，并演示动画效果，得到a取任意值时函数y=a x的大量图象．学生根据这些图象直观地归纳出它们的共同特点，教师予以补充完善，并引导学生进行规范：要将指数函数y=a x分为0＜a＜1和a＞1两类进行讨论．预设的答案：选取底数a的若干值，例如113,4,,34a a a a====，利用信息技术画出图象，如图3．发现指数函数y=a x的图象按底数a的取值，可分为0＜a＜1和a＞1两种类型．因此指数函数的性质也可以分0＜a＜1和a＞1两种情况进行研究，设计的表格如表2．图2表20＜a＜1 a＞1图象定义域R值域(0，+∞)性质（1）过定点(0，1)，即x=0时，y=1 （2）减函数（2）增函数（3）非奇非偶函数，即无奇偶性设计意图：利用GGB动画演示能便捷地做出大量图象，易于归纳，底数a的取值自然地变化，所作函数的图象也自然地产生了，而非事先规定的．在此过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”，先观察图象得到图象的特征，然后再将图象特征转化为函数性质，达到提升学生直观想象核心素养的目的．2．指数函数的应用例3比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.8−√2，0.8−√3；（3）1.70.3，0.93.1．师生活动：学生独立完成后展示交流．师生总结求解要点：每一组中的两个值都可以看作某个指数函数的函数值，从而利用指数函数的单调性进行比较．对于（1）（2），两个值可以看作同一个指数函数的两个函数值，直接利用其单调性进行比较．对于（3）1.70.3和0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值．可以利用函数y=1.7x和y=0.9x的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来．预设的答案：解：（1）1.72.5和1.73可看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值．因为底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x是增函数．因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73．（2）同（1）理，因为0＜0.8＜1，所以指数函数y=0.8x是减函数．因为-√2＞-√3，所以0.8−√2＜0.8−√3．图3（3）由指数函数的特性知1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，所以1.70.3＞0.93.1．设计意图：利用指数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的指数函数．学生能够进一步熟悉指数函数的性质，并形成用函数观点解决问题的意识．例4如图4，某城市人口呈指数增长．（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？师生活动：首先由教师引导学生对问题进行分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期；（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．然后由学生独立完成后展示交流．预设的答案：解：（1）观察图4，发现该城市人口经过20图4年约为10万，经过40年约为20万，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从20万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．设计意图：利用指数函数的图象分析和解决问题，建立函数图象与概念、性质的联系，进一步促使学生形成用函数观点解决问题的意识．（三）归纳小结，布置作业问题4：本节课研究指数函数的图象和性质的方法是什么？从哪几方面概括了指数函数的性质？分别是什么？师生活动：先让学生进行思考并做适当交流，再让学生发言，教师予以补充完善．预设的答案：本节课选取了大量不同的底数a，在同一直角坐标系中画出相应的指数函数图象，通过观察，并结合函数的解析式，分析得到指数函数的图象特点及函数性质．从定义域、值域、定点、单调性和奇偶性，概括了指数函数的性质．具体性质略．设计意图：研究一个函数的图象和性质，是研究函数的基本过程“背景—概念—图象和性质—应用”中的“图象和性质”环节，通过不断强化这一研究过程的方法，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本方法．同时强调根据图象概括函数的性质时，应该关注哪几方面．。