2020-2021学年冀教版数学七年级下册第七章 第四讲 平行线的性质

如图在四边形ABCD中,已知AB∥CD, ∠B = 600. ①求∠C的度数; ②由已知条件能否求得∠A的度数?
解: ① ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠B + ∠C= 1800(两直线平行,同旁内角互补).
D
又∵ ∠B = 600 (已知),
A
∴∠C = 1200 (等式的性质).
②根据题目的已知条件,
C
D
？
小结
两直线平行
线的关系
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补 性质
判定 角的关系
区平
行
别
线 的
性
与
质 和
平
联行
线
系
的 判
定
方
法
的
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。

F
7-4-1
（2）阅读下面这两个命题的说理过程，在括号内填写根据.
命题2 已知：如图7-4-1，直线AB，CD
被直线EF所截，∠2+∠4=180°.对
AB∥CD说明理由。
E
理由：∵ ∠2+∠4=180°（ ∠3+∠4=180°（
∴ ∠2=180°-∠4 ∠3=180°-∠4（
∴ ∠2=∠3（ ∴AB∥CD （
）
A
）
3 14
B
C
2
D
）
）
F
）
7-4-1
由此得到定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等 （或者同旁内角互补），那么这两条直线平行.
简单的说就是：
内错角相等，两直线平行.
E
同旁内角互补，两直线平行. A
3 14
B
C
2
D
应用：
1、 ∵ ∠1=∠2（ 已知
）
F
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
C
43
D
2
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行）
F
7-4-2
1、如图，直线a,b被直线c所截，如果同位角∠1=∠5，请你写
出图中其他相等的同位角、所有相等的内错角、所有相等的
同旁内角.
c
a
12 34
b
56 78
2、对于上面例题中的命题，请你试着写出用“内错角相 等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说 理过程.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，
EF⊥OA于F ,
EG⊥OB于G
求证：EF=EG
A F
O
EC
GB
已知：如图，直线a,b,c被直线d所截， 且a∥b , c∥b. 求证：a∥c

知2－讲
解：CD∥EF，理由： ∵∠B＝∠D， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． ∵∠CEF＝∠A， ∴EF∥AB(同位角相等，两直线平行)． ∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．
总结
知2－讲
找寻说明平行的方法： 1. 分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要什么样 的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1) 2. 综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件 能推出什么结论, 一直推导出要说明的结论为止; (如导引2) 3. 两头凑：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综 合法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．
知2－练
2 【中考·枣庄】如图，将一副三角板和一张对边 平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一 直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与 纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点 在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ A ） A．15° B．22.5° C．30° D．45°
知识点 3 平行线的性质与判定的综合应用
总结
知3－讲
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条 件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果 题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未 指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性 的数学问题．
知3－练
1 【中考·宿迁】如图，直线a，b被直线c，d所截， 若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4 的度数是（ B ） A．80° B．85° C．95° D．100°
易错点：画图考虑不周导致漏解.
解：画图如图①②③④所示．∠ABC与∠DEF相等或互补， 理由如下： 如图①，∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DPC. ∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC. ∴∠ABC＝∠DEF. 如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC. ∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.∴∠ABC＝∠DEF. 如图③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF， ∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.

如果∠D＝∠1，则可得到 AB // CD , 根据是内错角相等，两直线平行 .
如果∠D+∠C=180°，则可得到AB //CD ,
根据是 同旁内角互补，两直线平行 .
A1
D
B
C
当图中各角满足下列条件时,你 能指出哪两条直线平行?并说出
a
依据。
(1) ∠1 = ∠4，
4
b
a ∥ b.
(2) ∠2 = ∠4， c ∥m.
我也有新发现!
如图： 如果∠1+∠2=180o， 那么a与b平行吗？
l
a 2
1 b3
同旁内角互补，两直线平行.
∵ _∠__1_+_∠__2_=180o（已知） ∴ __a_∥_b__（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的判定方法
方法1 方法2 方法3
如果∠B＝∠1，则可得 AD // BC , 根据是 同位角相等，两直线平行.
理由：∵ ∠1=60°
∠1+∠5=180°（平角定义）
∴ ∠5=120°
又∵∠2=∠5=120°
5
∴AB∥CD（同位角相
等，两直线平行）
理由：∵ ∠2=120° ∠2+∠3=180°（平角定 义）
∴ ∠3=60° 又∵∠1=∠3=60°
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
理由：∵ ∠2=120° ∠2=∠4（对顶角相等） ∴ ∠4=120°
7.4平行线的判定
在一片草地上需要修一段笔直的小路，
路的一边已经确定，另一边在井盖的边缘， 现有一根绳（足够长）一块有角的木板，你 能找到路的另一边吗？
平行线的画法：
（1）放
（2）靠
·
（3）推

求∠ 2、 ∠ 3各是多少度？
c
a
∵ a∥b (已知)∵∵a∥a∥bb(已(已知知) )
∴∴∠∠1=1∠=∠44( (
))
∴∠1=∠2∠∠2(+2∠+∠3=31=8108°0°( ( ) ) )
又又∵∵∠∠11=5=45°4°( 已( 已知知 ) )
∵ ∠1 =7∴∴3∠∠4°=4∠=(∠545°4°( (
1、本节课你学到了什么知识？
平行线的性质
2、你还学到了什么数学思想？
帮助学生形成知识 体系，使学生对本 节课所学的知识有 一个系统的认识。
转化的数学思想
布置作业：课本第 51 页 第1题、2题
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月10日星期日2022/4/102022/4/102022/4/10 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/102022/4/102022/4/104/10/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/102022/4/10April 10, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
，观察，比较它们之间有
D
何关系？学生讨论、交流
、总结，得出结论
F
完成下列表格
角
∠1
∠2
∠3
∠4
度数
角
∠5
∠6
∠7
∠8
度数
平行线的性质
性质1：
两条直线被第三条直线所截，
E
如果这两条直线平行，那么同位角相等。

7.4
的判定
对顶角
两
邻补角
条
直同
线一 的平
角度关系 反映 位置关系
位面
置内 关
平行线的判定
系
定义：在同一平面内，不相交的两条直线
角度关系 位置关系 叫反做映平行线。
基本事实：同位角相等，两直线平行
我们已经知道：同位角相等，两直线平行. 即在图7-4-1中，如果∠2=∠3，那么AB∥CD.
经过认真观察你有新的发现吗？
）
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）
例 如图7-4-2,已知：如图7-4-2，直线AB，CD被直线EF所截，
∠1=60°，∠2=120°.
对AB∥CD说明理由。
理由：
∵∠1+∠2=60°+120°=180°（已知）A
∠2=∠4 （对顶角相等），
1
∴ ∠1+∠4=180°（等量代换） C
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平 行）
如果∠？=∠？，那么AB∥CD.
由此得到定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等 （或者同旁内角互补），那么这两条直线平行. 简单的说就是：
内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
应用：
1、 ∵ ∠1=∠2（ 已知
）
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
2、 ∵ ∠2+∠4=180°（ 已知
E
A1 3
2 C
G
B
4
5
D
F
H
3.如果 ∠3 =∠4 能判定哪两条直线平行?
E
A1 3
2 C
G
B
4
5
D
F
H
在同一平面内，两条直线垂直于 同一条直线，这两条直线平行吗？ 为什么？

第七章 相交线与平行线
7.5 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
学习目标
1.掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判
断角相等或互补；（重点） 2.能够根据平行线的性质进行简单的推理.
导入新课
复习引入
根据右图，填空： ①如果∠1＝∠C， AB ∥CD 那么＿＿ ＿＿（同位角相等，两直线平行 ） E A 4 1 ② 如果∠1＝∠B 32 EC ∥＿＿ BD （ 内错角相等，两直线平 行 那么＿＿ ） ③ 如果∠2＋∠B＝180°， C EC ∥＿＿ BD （同旁内角互补,两直线平行 那么＿＿ ） D
解: ∵a//b （已知）, ∴ 1= 2 （两直线平行，同位角相等）.
∵ 1+ 4=180° （邻补角定义）, ∴ 2+ 4=180° （等量代换）.
a b c 4 2
1
总结归纳
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 应用格式: ∵a∥b（已知）
线的关系
判定 平行线的判定
角的关系 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 角的关系
两直线平行
平行线的性质 线的关系
性质
当堂练习
1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度,为什么？
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度,为什么？
(3)从 ∠1=110o可以知道∠4 是多少度,为什么？
角的度数，你的猜想还成立吗？
d
a
b
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
总结归纳
一般地，平行线具有如下性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 应用格式: ∵a∥b（已知） ∴∠1=∠2

A．55° B．65° C．75° D．125°
2 已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角尺ABC 按如图方式 放置(∠ABC＝30°)，其中A，B 两点分别落在m，n上，若∠1
＝20°，则∠2的度数为( D ) A．20° B．30° C．45° D．50°
知识点 2 平行线的同旁内角互补的性质
解：∵a∥b，∴∠1＝∠2. ∵b∥c，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3，∴a∥c.
1 如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝90°，则∠3的
度数为( D ) A．40° B．5图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，试说明：AB∥CD.
解：∵∠1＝∠2(已知)，
且∠1＝∠CGD ( 对顶角相等 )， ∴∠2＝∠CGD (等量代换)． ∴CE∥BF ( 同位角相等，两直线平行 )． ∴∠__C____＝∠BFD ( 两直线平行，同位角相等 )． 又∵∠B＝∠C (已知)， ∴____∠_B__F_D__＝__∠_B_______(等量代换)， ∴AB∥CD ( 内错角相等，两直线平行 )．
1 如图，已知直线a，b，c，d，c⊥a，c⊥b，直线b，c，d 交于一
点，若∠1＝50°，则∠2的大小是( D ) A．30° B．40° C．50° D．60°
2 如图，点D，E，F 分别在AB，BC，AC 上，且EF∥AB，要使 DF∥BC，只需再有条件( D )
A．∠1＝∠2
B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD
3 完成下列推理： 如图，已知∠1＝36°，
∠C＝74°，∠B＝36°，
求∠2的度数．
解：因为∠1＝_∠__B__＝36°， 所以___E_F__∥__B__C__(同位角相等，两直线平行)． 所以∠2＝__∠_C___＝__7_4_°__(两直线平行，同位角相等)．

强化训练、应用新知：
如图,哪两个角相等能判定
直线AB∥CD ?
A
B
1
C
D
思考：
. 我们遇到一个新 的问题时，常常怎样 去解决呢？
20
合作交流、探究状元新成才知路 ： 同一平面内，同垂直于第三条直线的两 直线平行
例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同 一条直线，那么两条直线平行吗？为什么？
已知条件：b⊥a，c⊥a. 要说明的结论：b∥c ？
a∥b .
(同旁内角互补，两直线平行)
a
2 4
15
强化训练、应用新知：
如图，BE是AB的延长线．
（1）由∠CBE=∠A可以判定哪 两条直线平行?根据是什么?
（2）由∠CBE=∠C可以判定哪 两条直线平行?根据是什么?
（3）由∠D +∠A = 180°可以
判定哪两条直线平行？根据是 什么？
（4）由∠D +∠C = 180°可以
判定哪两条直线平行？根据是 什么？
合作交流、探究新知：
（１）现在要判定两条直线平行，关键 要找什么条件？ （２）同位角是在怎样的几何图形中才会出现？
（２）这种类型的角是在怎样的几何图 形中才会出现？
总结归纳、获得状元新成才知路 ：
平行线的判定
判定方法1 同位角相等，两直线平行． 判定方法2 内错角相等，两直线平行． 判定方法3 同旁内角互补，两直线平行．
拓展应用：
BD平分∠ABC，∠ABC=140°，若 ∠CDB=70°，求CD∥AB.
课堂小结
状元成才路
平行线 的判定
①平行的定义. ②平行公理的推论：如果两条直线都与第三 条直线平行，那么这两条直线也互相平行. ③判定方法1：同位角相等，两直线平行. ④判定方法2：内错角相等，两直线平行. ⑤判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. ⑥同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平 行.