七年级上册数学第四讲。

尖子生培优教材数学七年级上第四讲。

平方根与立方根讲义及答案第四讲：平方根与立方根知识导引：平方根和立方根的概念在数学中起到了十分重要的作用。

这些概念是通过逆运算来建立的，并且有多种不同的情况。

因此，理解这些概念的最好方法是从平方和立方的概念开始。

此外，还应该学会使用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题。

1.有关平方根：1) 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

2) 算术平方根a的双重非负性：a≥0；a≥0.3) a的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式。

2.有关立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

因此，任何数都有立方根。

3.实数的几种非负形式：1) a≥0（a为实数）；2) a < 0，|a|≥0（a为实数）。

4.算术平方根的主要性质：1) (√a)²=a；2) a≥0，√(a²)=a；3) ab≥0，√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；4) a≥0，b>0，(√a/√b)²=a/b。

典例精析：例1：填空题：1) (-3)的算术平方根是______。

2) 平方根等于它本身的数是______。

3) 和数轴上的点一一对应的数是______。

例1-1：下列说法正确的有：(填入相应的序号)。

①-8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④6根2是2；⑤根是±8；⑥9=±3.例1-2：已知x+2+y-3+(z+1)²=______，求x+y+z的平方根。

例2：比较大小：1) -23与-32.2) 1/2，x，x，x(<x<1)。

例2-1：设a=3-2，b=2-3，c=3-2，则a、b、c的大小关系是( )。

A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a例3：观察下列等式：32/22=23，33=33=43，34.可得出一般规律是______。

第四讲因式分解（拆添项、配方、双十字、主元）拆添项一、拆项与添项：拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如22232a a a =-； 添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项，如221221a a a a +=+-+. 拆项和添项都是代数式的恒等变形.在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进行因式分解.这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需要同学们通过多做练习来掌握.【铺垫1】 ★★☆☆☆分解因式：387x x -+【例题1】 ★★★☆☆分解因式：（1）32x x +-（2）414x x --（3）42201820172018x x x +++配方法二、配方法：（1）定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．（2）方法：配方主要是配中项2ab ，或配一个平方项2b （或2a ）．如何配方依赖于对题目特点的观察和分析．应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式22A B -的形式，使多项式可分解为()()A B A B -+的形式．【铺垫2】 ★☆☆☆☆分解因式：421x x ++【例题2】 ★★☆☆☆分解因式：（1）444x y + （2）4259x x ++ （3）422423a a b b -+【例题3】 ★★★☆☆4322321x x x x ++++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：51x x ++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()444x y x y +++双十字相乘双十字相乘法：⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如FEyDxCyBxyAx+++++22的二次多项式进行因式分解.⑵条件：①21aaA=，21ccC=，21ffF=②Bcaca=+1221，Efcfc=+1221，Dfafa=+1221即：1a x1c y1f2a x2c y2f则=+++++FEyDxCyBxyAx22111222()()++++a x c y f a x c y f⑶步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F分解成两个因式填在第三列上.③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F++，检验是否等于()()1122a x f a x f++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.(4) 特殊情况：形如432Ax Bx Cx Dx E++++一元四次五项式．即：21a x1c x1e22a x2c x2e其中，12A a a=，1221B a c a c=+，1221D c e c e=+，12E e e=，特别的，121221C c c a e a e=++．【铺垫3】★☆☆☆☆分解因式：22232543x xy y yz zx z+++++.模块三【例题4】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）226136x xy y x y ---+-（2）2221076142712x xy y xz yz z ---+-【例题5】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）2256x y x y -++- （2）225624x xy y y -++-【例题6】 ★★★☆☆双十字相乘法分解因式： （1）4322656x x x x ++++ （2）432273108x x x x +++-注：关于x 的四次五项式的因式分解方法很多，个人理解，一般以系数的特征来区分用法， 如43222533x x x x ++++，一二项系数相同，四五项系数也相同，而第三项系数等于前后系数之和的，直接选用拆中项分组分解，得()()4322222333x x x x x +++++；如4325251x x x x ++++，一三五可配方，选用分组分解，得()()4232155x x x x ++++；如4323266x x x x -++-，系数相加为0，选用试根法，根为1，具体在后面讲次会讲解； 再比如还有待定系数法解决一般的四次五项式，不过所有方法中，相对而言双十字相乘法会更加便捷的解决一般的四次五项式，建议在这着重练习.主元十字主元十字法实际上属于分组分解法中的一类，方法是以某个字母为主（看作主元），把这个多项式看成关于主元的二次三项式，再用十字相乘法进行因式分解.【铺垫4】 ★★☆☆☆分解因式：32221a b a b ab a ++++.【例题7】 ★★★☆☆用主元法分解因式：（1）222a bc ac acd abd cd d ++--- （2）2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-模块四【例题8】 ★★★☆☆分解因式：()()()2211221y y x x y y +++++..【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()()()()2222221ab x y a b xy a b x y ---+-++【练习1】 分解因式：（1）332x x -+ （2）3212x x +- （3）3231x x -+【练习2】 分解因式：（1）32212x x x ---（2）32201820182017x x x +++ （3）42676x x x ---【练习3】 分解因式：（1）4414x y +（2）422416x x y y -+ （3）42204x x -+【练习4】 分解因式：224443x x y y --+-【练习5】 分解因式：4422222221x y x y x y +---+【练习6】 分解因式：43241x x x x +-++【练习7】 分解因式：（1）222332x xy y x y +++++ （2）22215196x xy y x y +-+-- （3）2220918183314x xy y x y +--+- （4）22xy y x y ++--【练习8】 分解因式：（1）432391112x x x x ++++ （2）432922x x x x --++11 【练习9】 ★★★☆☆分解因式：（1）432223816x x x x +--+ （2）4212312224x x x -+-【练习10】 分解因式：（1）322232b ab a b ac c ++++ （2）222324x y xy x xy y +++-- （3）23322222a x ax ax x ax +++--。

模块一 代数式的概念用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 例如：5.a .()222,,23a b ab a ab b +-+.等等.【例1】 列代数式（1）若正方形的边长为a .则正方形的面积是 ；（2）若三角形一边长为a .并且这边上的高为h .则这个三角形的面积为 ； （3）若x 表示正方形棱长.则正方形的体积是 ； （4）若m 表示一个有理数.则它的相反数是 ；（5）小明从每月的零花钱中贮存x 元钱捐给希望工程.一年下来小明捐款 元.（数学教学要紧密联系学生的生活实际.这是新课程标准所赋予的任务.让学生列代数式不仅复习前面的知识.更是为下面给出单项式埋下伏笔.同时使学生受到较好的思想品德教育）【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】（1）2a ;（2）12ah ;（3）3x ;（4）m -;(5)12x列代数式时应该注意的问题（1）数与字母、字母与字母相乘时常省略“⨯”号或用“”.整式的加减如：22 223322a a ab ab x x-⨯=-⨯⨯=⨯-⨯=-，，（2）数字通常写在字母前面.如：()()()5533mn mn a b a b⨯--⨯+=+，（3）带分数与字母相乘时要化成假分数.如：152,22ab ab⨯=切勿错误写成“122ab”.（4）除法常写成分数的形式.如：s s xx ÷=思想方法小结在代数式里渗透了转化思想和推理思想.（1）转化思想表现为把实际问题中的数量关系转化为代数式或者给出代数式实际背景. （2）推理思想表现为用所学的知识去推导未知量.求代数式的值等.模块二 单项式与多项式单项式：像234,,6,,,2x vt a a n r π-.它们都是数或字母的积.这样的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中.所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.知识规律小结：(1)圆周率π是常数.如2r π的系数是2π.次数是1；2r π的系数是π.次数是2.(2)当一个单项式的系数是1或1-时.通常省略不写系数.如2a bc .abc -等.(3）代数式的系数是带分数时.通常写成假分数.如2314xy 写成274xy【例2】 判断下列各代数式是否是单项式.如不是.请说明理由；如是.请指出它的系数和次数.（1）1x +； （2）1x ； （3）2r π； （4）232a b - 【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】（1）不是；单项式没有符号（2）不是；根据定义（3）是；系数是π.次数是２（4）是；系数是32-.次数是３【例3】 下面各题的判断是否正确？①27xy -的系数是7； ②23x y -与3x 没有系数； ③32ab c -的次数是032++； ④3a -的系数是1-；⑤2233x y -的次数是7； ⑥213r h π的系数是13.【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】①×;②×;③×;④√;⑤×;⑥√通过其中的反例练习及例题.强调应注意以下几点： ①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或1-时.“1”通常省略不写.如2x .2a b -等； ③单项式次数只与字母指数有关.1. 写出一个系数是2004.且只含,x y 两个字母的三次单项式是 ； 【题目难度】★ 【解题思路】略． 【题目答案】22004x y2. 指出下列单项式的系数和次数2322332,5,,,2,137a ab ab a bc x y π-- 【题目难度】★ 【解题思路】略． 【题目答案】3a-的系数是13-.次数是1；25ab 的系数是5.次数是3； 23a bc 的系数是1.次数是6237a b π的系数是7π.次数是5322x y 的系数是32.次数是31-的系数是-1.次数是0【巩固练习】填空:单项式8310t ⨯的系数是_________ 【题目难度】★ 【解题思路】略 【题目答案】8310⨯ 3. 若124m nm x y --是系数为-1的五次单项式.求m n ，的值 【题目难度】★★ 【解题思路】根据题意得14125mm n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩解得：41m n =⎧⎨=⎩【题目答案】45m n ==，模块三 多项式多项式及相关概念（1）几个单项式的和叫做多项式.例如：222,3a ab b mn -+-等.（2）在多项式中.每个单项式叫做多项式的项.其中.不含字母的项叫做常数项.如：多项式232x x -+.它的项分别是2,3,2x x -.常数项是2.(3)一般地.多项式里次数最高的项的次数.就是这个多项式的次数.如：22232434x y x y x y y -++是五次四项式.最高次项是324x y .【例4】 指出下列多项式的项和次数.并说明它是几次几项式.（1）3223a a b ab b -+-； （2）42321n n -+【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)多项式3223a a b ab b -+-的项有33a 、2a b -、2ab 、3b -.次数是3.它为三次四项式.(2)多项式4221n n -+的项有4n 、22n -、1.次数是4.它为四次三项式【例5】 (1)如果231(1)n m x y-+是关于,x y 的六次单项式.则,m n 应满足什么条件？（2）如果2(1)1nx m x +-+是关于x 的三次二项式.求22m n -的值.（3）若多项式222(1)x k xy y k +-+-不含xy 的项.求k 的值.【题目难度】★★【解题思路】（1）由2(1)0m +≠.且316n +-=.即1,4m n ≠-=(2) 由题意得知.3n =.且10m -=.所以 1.3m n ==所以当 1.3m n ==时.228m n -=-. （3）由题意得10k -=.得1k =【题目答案】（1）1,4m n ≠-=;(2)8-; （3）1k =【例6】 已知多项式2231113832m x y xy x -+-+是五次四项式.单项式260.2n m x y --的次数与这个多项式的次数相同.求22m n +的值.【题目难度】★★【解题思路】由已知多项式2231113832m x y xy x -+-+是五次四项式.得3m =.又因为单项式260.2n m x y --的次数与这个多项式的次数相同.则265n m +-=.所以22,1n n ==所以22223110m n +=+=【题目答案】10【总结】(1)在确定多项式的项的时候.要连同它前面的符号.(2)多项式的次数是多项式中次数最高项的次数☞巩固练习4. 下列说法中正确的是﹙ ﹚A ．2523x y x y -+是二次三项式B ．yxy 110-是二次三项式 C ．276x --的常数项是6- D ．两个多项式的和一定还是多项式 【题目难度】★ 【解题思路】略 【题目答案】C5. 已知多项式63512212--+-+x xy y x m 是六次四项式.单项式m n y x -526.2的次数与这个多项式的次数相同.求n 的值. 【题目难度】★★【解题思路】由题意得216256m n m ++=⎧⎨+-=⎩解得32m n =⎧⎨=⎩【题目答案】3,2m n ==模块四 整式整式：单项式与多项式都是整式整式⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩单项式的系数、次数多项式的项、次数整式的概念同类项的概念【例7】 判断下列各式是否是整式①1；②r ；③343r π；④11x +；⑤213x +；⑥22x π【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】①②③⑤⑥是整式☞巩固练习6. 某地区的手机收费有两种方式.用户可任选其一：A 、月租费 20元.0.25元／分；B 、月租费 25元.0.20元／分．某用户某月打手机x 分钟.两种方式的费用分别为1y 元和2y 元.试用含x 的代数式分别表示1y 和2y . 【题目难度】★★【解题思路】根据题意得10.2520y x =+ ; 20.225y x =+ 【题目答案】10.2520y x =+ . 20.225y x =+模块四 同类项同类项：所含字母相同.并且相同的字母的指数也相同的项【例8】 指出下列多项式的同类项（1）321523x y y x -++-- （2）2222123223x y xy xy yx -+- 【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)同类项：3x 和2x ；2y 和5y ；1和3-（2）同类项：23x y 和223yx -；22xy -和212xy 注:所含字母相同.并且相同的字母的指数也相同的项为同类项.【例9】 （1）若2122m ab +与2334m n a b +-是同类项.求,m n 的值.（2）若47a x y 与579bx y -是同类项.,a b 的值 【题目难度】★★【解题思路】（1）依题意得：212,32;1,5m m n m n +=+-=∴==所以1,5m n ==(2)依题意得：5,4a b ==【题目答案】（1）1,5m n ==.(2) 5,4a b ==【巩固练习】若25xa b 与30.9ya b 同类项.求,x y 的值． 【题目难度】★★【解题思路】因为3,2x y ==.所以3,2x y =±=± 【题目答案】3,2x y =±=±【例10】 单项式113a b a x y +--与23x y 是同类项.求a b -的值． 【题目难度】★★【解题思路】由题意得2,11,2,0a b a a b +=-=∴== 【题目答案】2,0a b ==☞巩固练习 7. 若3m mma b-与nnab 是同类项.求()2003n m -的值．【题目难度】★★【解题思路】由题意得1,3m m n =-=得m=1,n=2()20031n m -=【题目答案】18. 若12223559m m n ab+--与2a b 是同类项.求,m n 的值【题目难度】★★【解题思路】由题意得12222;1355m m n +=-=解得52,m=0,n=-【题目答案】52m=0,n=-9. 若25xa b 与30.9ya b 是同类项.求,x y 的值. 【题目难度】★★【解题思路】由题意得3,2,3,2x y x y ===±=±解得 【题目答案】3,2x y =±=±模块五 合并同类项合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项. 类比数的运算.探究得出合并同类项的法则.法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和.字母部分不变.【例11】 合并下列各式中的同类项(1)226mn mn -;(2)22222332a b a b ab ab -++-; (3)()()()22232a b a b b a -----;【题目难度】★【解题思路】(1)22265mn mn mn -=-(2) 2222222332a b a b ab ab a b ab -++-=+ (3)()()()()2222324a b a b b a a b -----=--【题目答案】(1)25mn - ; (2)22a b ab +; (3)()24a b --.合并同类项法则：把同类项的系数相加.字母和字母的指数保持不变. 特别提醒：(1) 合并的前提是同类项.(3) 合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律.☞巩固练习10. 计算()()22321235x x x x -+-+-的结果是( )A .256x x -+B . 254x x --C . 24x x +-D . 26x x ++【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】A11. 在2xy 与215xy -.23ab 与24a b .4abc cab 与.334b 与.263-与.23235a b c a b 与中能合并的又( ) A.5组 B .4组 C .3组 D .2组【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】C12. 合并下列同类项(1)2222x x x x ----【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】24x -(2)3223225115225363363a b a b ab a b ab ba --+-+++ 【题目难度】★★【解题思路】略 【题目答案】323511632a b a b ab +++(3)1110.50.20.3n n n n n x xx x x +++--+-【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】10.80.2n n x x ++(4)()()()()()223523x y y x y x x y x y +---+++-+【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】()()()()2333x y y x x y x y +--++-+13. 某市出租车收费标准为:起步价为5元.超过3千米后每1千米收费1.2元.某人乘坐出租车行了x 千米(x>3且为整数).则他应付费多少元?【题目难度】★★★【解题思路】根据题意列式()1.233x -+【题目答案】()1.233x -+元模块六 去括号括号前是“+”号.把括号和它前面的“+”号去掉.原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号.把括号和它前面的“-”号去掉.原括号里各项的符号都要改变.【例12】 先去括号.在合并同类项(1)5(24);a a b -- 22(2)23(2)x x x +-【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1)5(24)52434a a b a a b a b --=-+=+22222(2)23(2)2636x x x x x x x x +-=+-=-模块七 整式加减几个整式相加减.通常用括号把每一个整式括起来.再用加减号连接.然后去括号.合并同类项.【例13】 计算：(1)(237)(652);x y x y -++--22(2)(67)(34)a a a a ----+【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1)(237)(652)x y x y -++--237652(26)(35)5(26)(35)5885x y x y x x y y x y x y =-++--=++--+=++--+=-+2222222(2)(67)(34)6734()(36)(74)(11)(36)11311a a a a a a a a a a a a a a a ----+=---+-=-+-+--=-+--=--【例14】 化简求值2323(1)381231x x x x x -+--+.其中2x =2222(2)42923x xy y x xy y ++--+.其中2,5x y ==【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】（1）原式=322981x x x ---+当2x =时原式=32229282167-⨯-⨯-⨯+=- （2）原式=22210x xy y -+当2,5x y ==时原式=222225105248⨯-⨯+⨯=【例15】 有这样一道题：计算222221382(33)(3)3535x x xy y x xy y -+-+++的值.其中1,22x y =-=.甲同学把“12x =-”错抄成“12x =”.但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？ 【题目难度】★★【解题思路】根据题意 22222222222221382(33)(3)3535138********1832(3)(33)()3355x x xy y x xy y x x xy y x xy y x xy y y -+-+++=--++++=-++-+++= 【题目答案】化简结果不含有字母x.故原多项式的值与x 无关.因此.无论甲同学把“12x =-”错抄成“12x =”还是错抄成别的什么.只要y 没抄错.结果都是正确的. 【例16】 已知多项式21(2)0a a b +++=.求多项式222231556152ab b a ab a b -+-+-的值 【题目难度】★ 【解题思路】由已知得1a +≥0.2(2)a b +≥0.21(2)0a a b +++= 所以10,20a a b +=+=所以1,2a b =-=【题目答案】222231556152ab b a ab a b -+-+- 22222031720(1)3(1)21722066842a ab b =--=---⨯-⨯=+-=-☞巩固练习14. 当211-=a 时.求代数式}3]9)2(85[4{1522222a a a a a a a a -+---+--的值.【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】2222215{4[58(2)9]3}a a a a a a a a --+---+-22222215{4[104]3}15{14}29a a a a a a a a a a =--+-+-=--+=- 当211-=a . 原式=255415. 先化简.再求值（1）233(4333)(4)a a a a a +-+--+.其中2a =-；【题目难度】★【解题思路】233(4333)(4)a a a a a +-+--+23533a a a =+-- 【题目答案】原式=7（2）22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦.其中1,2x y =-=.【题目难度】★【解题思路】22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦2222x y xy =- 【题目答案】原式=1216. 已知0a b -=.求()3432233422a a b a b ab b a b ----+的值【题目难度】★★★【解题思路】0,,a b a b -=∴=则()()34322334373337322222a a b a b ab b a b b b b b b b b ----+=----+=-【题目答案】32b -17. 已知：2733=+b a .622-=-ab b a .求代数式)(2)3()(232233ab b ab b a a b ---+-的值. 【题目难度】★★★【解题思路】332232()(3)2()b a a b ab b ab -+---()()()3322332227633b a a b ab a b a b ab =--+-=-++-=-+-=-【题目答案】33-18. 某公交车上原有()4a b -人.中途有半数人下车.同时又有若干人上车.这时车上共有乘客()6a b +人.你知道中途上车的人数吗？【题目难度】★★★【解题思路】把()4a b -与()6a b +看成两个整体.可列示()()1642a b a b +-- 化简后得342a b +. 【题目答案】342a b +【练习1】若当1x =时.多项式31ax bx ++的值为5.则当1x =-时.多项式311122ax bx ++的值为__________．【题目难度】★【解题思路】当1x =时.311ax bx a b ++=++.当1x =-时. 31111111()122222ax bx a b a b ++=--+=-++ 课堂检测由条件可知.15;4a b a b ++=+=.11()1()41122a b -++=-⨯+=- 【题目答案】1-【练习2】已知多项式21(2)0a a b +++=.求多项式222231556152ab b a ab a b -+-+-的值 【题目难度】★★【解题思路】由已知得1a +≥0.2(2)a b +≥0.21(2)0a a b +++= 所以10,20a a b +=+=所以1,2a b =-=原式22222031720(1)3(1)21722066842a ab b =--=---⨯-⨯=+-=- 【题目答案】42-【练习3】若1-a +()22b -0=.22236,5A a ab b B a =-+=--.求A B -的值【题目难度】★★【解题思路】∵22236,5A a ab b B a =-+=--A B ∴-=()22222365465a ab b a a ab b -+---=-++又∵1-a +()22b -0=.即1,2a b ==∴2462251A B -=-⨯++= 【题目答案】11.写出下列单项式的系数.(1)218a b -； (2)xy ； (3)322yz x -； (4)x -； (5)32x 4. 【题目难度】★【解题思路】略课后练习【题目答案】(1) 218a b -的系数是18-；(2) xy 的系数是1； (3)322yz x -的系数是-31；（4）x -的系数是1-； (5) 32x 的系数是23.即8.2.下列多项式分别是哪几项的和？分别是几次几项式？(1)2225356x y xy x -+-；(2)222226s s t t --+；(3)323x by -. 【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1) 2225356x y xy x -+-是223x y .25xy -.5x .-6四项的和.是五次四项式.(2)222226s s t t --+是2222,2,6s s t t --三项的和.是四次三项式.(3) 323x by -是32,3x by -两项的和.是四次二项式. 3.将下列各式合并同类项.（1)22111445x x x x -+--+；(2)32322321122322ab a b a b ab a b a b -+----. 【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】（1)22111445x x x x -+--+ 2104x =+(2)32322321122322ab a b a b ab a b a b -+---- 32322332322ab a b a b ab =-+-- 4.如图所示.请说出第n 个图形中笑脸的个数.【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】：第n 个图形中笑脸的个数可以表示为2n .5.（1）若2310x x +-=.则32558x x x +++＝ ；（2）若代数式2234a a -+的值为6.则代数式2213a a --的值为 . 【题目难度】★★★【解题思路】(1)无法求出x 的具体值.由2310x x +-=可变形为231x x +=.只需把所求32558x x x +++变形即可逐步求出.具体过程如下：∵2310x x +-=.∴231x x +=.∴()322225583258268x x x x x x x x x x +++=++++=++()223821810x x =++=⨯+=(2)此题不能直接求出a 的值.需对所求式子变形.∵22346a a -+=.∴2232a a -= ∴()2221111231213333a a a a --=--=⨯-=- 【题目答案】1103-，。

第四讲：幂与积的乘方1．熟练掌握幂的乘方的运算性质并能运用它进行快速计算和熟练的计算；2．理解积的乘方的意义；会运用积的乘方法则进行有关的计算；3．逆用积的乘方法则简便运算，能利用所学幂的运算法则，进行混合运算指出下列各幂的底数和指数：34(2) 43()a 35()a在上列各式中我们若把23看成一个整体，那么34(2) 的底数是23，指数是4，它就是2的3次幂的4次方；43()a 的底数是 ，指数是＿ ＿＿，它就是35()a 的底数是 ，指数是＿ ＿＿，它就是34(2)；43()a ；35()a 称之为幂的乘方。

请计算34(2)； 43()a ； 35()a提醒学生可以根据乘方的意义和同底数的幂的乘法性质。

得（1）34(2)= ⨯ ⨯ ⨯ =()2（2）43()a = ⨯ ⨯ =()a（3）35()a = ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ = ()a让学生观察（1）34(2)=122；（2）43()a =12a ；（3）35()a =15a 三小题左右两边的变化规律 猜想：如果m 、n 都是正整数，那么 ()m n a =＿ ＿＿练习：1．计算：（1）52(10)； （2）33()y ； （3）[2(3)-]3； （4）[3()a -]52．计算；（1）3524()a a a ⋅+； （2）2433()()a a ⋅；（3）322()a a ⋅ （4）3434()a a a +⋅3．把下列各式写成()n a b +或()n a b -的形式：（1）23()a b ⎡⎤+⎣⎦ （2）[()a b -2()b a -]4思考：请观察以下算式：()()()2353535⨯=⨯⋅⨯……幂的意义()()3355=⨯⋅⨯……乘法的交换律、结合律2235=⋅请按照以上方法，完成下列填空：()225____________________________⨯== ()4______________________________ab ==我们知道n a表示n个a相乘，那么()nab表示什么呢？()nab ab ab ab=⋅⋅⋅；____________个ab()()a a ab b b=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；________个a________个b_____________=思考：这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如()nabc ()n n n nabc a b c=(n是正整数)练习：1．计算：（1）()43a（2）()32mx-（3）()32xy-（4）2223xy⎛⎫ ⎪⎝⎭小结：在计算中要注意什么？（1）在计算中要看清所进行的计算类型（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方），不能用错法则；（2）要看清综合运算中包含的各种运算，遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先做括号”例1. 计算下列各题（1）、23523()()x x x x ⋅+-+ （2）、232534[()]()x x x x x x ⋅-+⋅+-⋅试一试：计算下列各题（1）、4510224()()3[()]x x x -+-- （2）、222452223()()()()x x x x ⋅-⋅例2. 计算： (1) 1111(0.25)4-⨯(2) 20132014(0.125)8-⨯试一试：计算: (1) 620.25(32)⨯- (2)201420142013201311(8)(7)()()87-⋅-⋅--例3. 已知105,106a b ==，求（1）231010a b +的值；（2）2310a b +的值试一试：已知2m a =，2n b =，求（1）8m n +，（2）3222m n m n +++的值例4. 阅读下列解题过程：试比较1002与753的大小．解：100425252(2)16==75325253(3)27==而1627<， 所以25251627<1007523∴<请根据上述解答过程解答：比较552、443、334的大小．1．下列等式成立的是（ ）（A ）224a a a += （B ）248a a a ⋅= （C ）33()n n a a = （D ）33(2)2a a = 2．如果x 和y 互为倒数，那么20142013()x y ⋅-的值为 （ ）．A ．xB ．–xC ．yD ． –y 3．计算：61245_________⨯=（结果用幂的形式表示）． 4．计算：3223()()a a -⋅-= ．5．计算：33()()n n a a ⋅= ．6．3223927⨯⨯= （结果用幂的形式表示）．7．若35(2)2x -⋅=，则x = ．本节课主要知识点：幂的乘法运算，积的乘方运算及注意事项【巩固练习】1．下列计算中，结果正确的是( )A ．236a a a =·B ．(2)(3)6a a a ⋅=C ．()326a a = D ．623a a a ÷=2．化简24m n ⋅的结果是( )A ．(24)mn ⨯B ．22m n +⨯C ．(24)m n +⨯D ．22m n + 3．221()n x --等于（ ）A 、41n x -B 、41n x --C 、42n x -D 、42n x --4. 12()n a --等于（ ）A 、22n a -B 、22n a --C 、21n a -D 、22n a --5. 31n y +可写成（ ）A 、31()n y +B 、31()n y +C 、3n y y ⋅D 、1()n n y +6. 2()()m m m a a ⋅不等于（ ）A 、2()m m a+ B 、2()m m a a ⋅ C 、22m m a + D 、31()()m m m a a -⋅【预习思考】1. 利用乘法的交换律和结合律计算：2223x y xy ⋅2.利用乘法分配率计算下列各题：(1)222(32)ab a b ab ⋅- (2) 212()(12)43x x y xy -⋅-。

七年级上册数学第四讲。

七年级上册数学第四讲通常涵盖以下主题：
1. 大数读写与数位比较：
- 数的位数及其读法
- 万以内数值大小的比较
- 十进制数与汉字读法的对应关系
2. 十进制数的运算：
- 十进位数的加减法
- 进位与退位
- 十进制数的实际应用问题
3. 分数的引入与认识：
- 自然数与整数的回顾
- 分数的介绍与简单认识
- 分数的大小比较
4. 分数的加减运算：
- 分数的加法规则
- 分数的减法规则
- 分数的实际应用问题
以上是七年级上册数学第四讲的一般内容，具体教材可能会有所不同。

建议参考学校教材或课本详细了解该讲的具体知识点和习题。